tabla formulas Probabilidad y estadistica

Distribución discreta uniforme
Teorema: Si X es una variable aleatoria con distribución
discreta uniforme, entonces:
∑ki=1 xi
𝜇x = 𝐸(𝑥) =
k
𝑘
2
∑
(𝑥
𝑖− 𝜇𝑥 )
𝑖=1
𝜎𝑥2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑥) =
𝑘
V.A. asume cada uno de sus valores con la misma
probabilidad.
𝛿x (x: k) la V.A. es x, mientras que k es un parámetro del
cual depende la distribución, o simplemente 𝛿x (x)
Ensayo de Bernoulli
Teorema: Si X es una variable aleatoria con distribución
de Bernoulli, entonces:
p, x = 1 (Exito)
f(x) = {q, x = 0 (fracaso)
0,
en otro caso
Proceso de Bernoulli
1) El experimento sólo puede tener
dos posibles resultados, ambos
mutuamente excluyentes
(éxito/fracaso).
2) Las pruebas en las que se
obtienen los sucesos anteriores
(éxito/fracaso) son independientes.
3) Las probabilidades de éxito
fracaso son constantes
Distribución Binomial
Distribución de Pascal o Binomial Negativa
Distribución Normal
𝑃(𝑋 = 𝑛) = NCn 𝑝𝑛 𝑞 𝑁−𝑛
𝑆 𝑛
𝑆 𝑁−𝑛
= NCn (𝜆 − ) (𝜆 − )
𝑁
𝑁
n
( ) px (1 − p)n−x , x = 0,1,2, . . . , h
fx (x, n, p) = { x
0,
En otro caso
𝜇x = n𝑝
𝜎x2 = npq
f(x) = px (1 − p)1−x
𝜇 = 𝐸(𝑥) = 𝑝
𝜎x2 = Var(x) = p1
n−1 k
P(x = k) = (
) p (1 − p)n−k
k−1
Para n=k, k+1, k+2
𝑓𝑋(𝑥) =
x representa el número de ensayos requeridos para obtener k
ocurrencias de éxito.
Teorema: Si X es una variable aleatoria con distribución
de Pascal con parámetros r y p, entonces:
𝜇x =
r
p
𝜎x2 =
rq
p2
1
√2𝜋 𝜎
℮
(𝑥−𝜇)2
−
2𝜎2
−∞ < 𝑥 < ∞ para toda x
Donde μ y σ son constantes tales
que, -<μ<, entonces X tiene una
distribución normal con parámetros,
media μ y varianza σ, lo cual se
denota por:
𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2)
Distribución Hipergeométrica
𝑓𝑋(𝑥)
(𝑥𝑟 )(𝑁−𝑟
)
𝑛−𝑥
; 𝑥 = 0,1,2, . . . , 𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≤ 𝑟, 𝑛 − 𝑥 ≤ 𝑁 − 𝑟
𝑁
= { ( )
𝑛
0,
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Teorema: Si X es una variable aleatoria con distribución
hipergeométrica con parámetros N,n y r, entonces:
r
𝜇x = 𝐸(𝑥) = 𝑛 ( )
n
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝
Distribución de Poisson
𝑆 𝑛
𝑆 𝑁−𝑛
𝑃(𝑋 = 𝑛) = NCn 𝑝𝑛 𝑞 𝑁−𝑛 = NCn (𝜆 − ) (𝜆 − )
𝑁 𝑛
𝑁
𝜆
Considerando que N→
𝑃(𝑥 = 𝑛) = ℮−𝜆 ;
𝑛!
𝑛 = 0,1,2,3, …
𝜆𝑥
𝑃(𝑥) ℮−𝜆 ; 𝑥 = 0,1,2,3, …
𝑥!
ocurrencias
𝜆 = np =
= promedio de resultados
tiempo
𝜇𝑋 = 𝐸(𝑋) = 𝜆
𝜎𝑋2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆
Si S=1
Distribución Geométrica
qx−1 p, x = 1,2,3, . . . , n
fx (x) = {
0,
en otro cado
Teorema: Si X es una variable
aleatoria con distribución
geométrica con parámetros en p,
entonces:
P(x = n) = (1 − p)n−1 p = qn−1 p
1
p
(1
−
p)
𝜎x2 =
p2
𝜇x = E(x) =
𝑟
𝑟 𝑁−𝑛
𝜎𝑋2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑛 ( ) (1 − ) (
)
𝑁
𝑁 𝑁−1
𝑁−𝑛
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛𝑝𝑞 (
)
𝑁−1
Distribucion Exponencial
𝜆℮−𝜆𝑡 ;
𝑡>0
𝑓T (𝑡) = {
0;
𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Se denota 𝑇~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝜆) 𝑜 𝑇~𝑒𝑥𝑝 ()
Teorema: Sea T una variable aleatoria con distribución
exponencial y parámetro λ, entonces:
1
1
𝜇𝑇 = 𝐸(𝑇) =
𝜎𝑇2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑇) = 2
𝜆
𝜆
Distribución Continua-Uniforme
Distribución Normal Estandar
1
𝑓𝑋(𝑥) = {𝑏 − 𝑎 ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0; 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
𝑥 − 𝜇𝑥
Donde 𝑋~𝑁(𝜇𝑋, 𝜎𝑋2 )
𝜎𝑥
Para calcular la probabilidad de que
la variable aleatoria x tome un valor
dentro del intervalo [x1, x2] se debe
evaluar la siguiente integral
definida:
𝑃(𝑥1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥2)
entonces X tiene una distribución continua uniforme
con parámetros a y b.
Se denota como 𝑋~ 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 (𝑎, 𝑏)
(𝑏 − 𝑎)2
𝑎+𝑏
𝜇x =
𝜎𝑋2 =
2
12
𝑧=
𝑥2
= ∫
𝑥1
1
√2𝜋 𝜎
℮
(𝑋−𝜇)2
−
2𝜎 2
𝑑𝑥,
Aproximación normal de las probabilidades
Binomiales
Teorema: Si X es una V.A. de distribución binomial
con parámetros µx = np y σx2 = npq, entonces la
forma límite de la distribución es:
𝑋 − 𝑛𝑝
𝑍=
√𝑛𝑝𝑞
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒏 → ∞, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟
𝒁 ≈ 𝑵(𝟎, 𝟏).
En general, la aproximación es adecuada cuando
se cumple:
n > 10
np > 5
nq > 5
Definición: Si una variable aleatoria X con
distribución binomial se desea calcular la
probabilidad de que este entre x1 y x2, el ajuste
por continuidad está dado por:
𝑃(𝑥1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥2) =
(𝑥1 − 𝑑) − 𝜇
(𝑥2 + 𝑑) − 𝜇
𝑃(
≤𝑍≤
)
𝜎
𝜎