Probabilidades

8.5 Conceptos bsicos de la teora de probabilidades
La probabilidad es la rama de la matemtica que analiza experimentos
aleatorios. Un experimento aleatorio es aquel en que no podemos
predecir el resultado preciso. Ejemplos de experimentos aleatorios son
lanzar una moneda, tirar un dado o predecir los medallistas
de oro, plata y bronce en una carrera de 1 00 m.
Se hacen algunas
suposiciones:
1 La moneda es
equilibrada.
2 El dado es
equilibrado.
Es imposible predecir el resultado en un experimento aleatorio
en forma precisa , pero es posible:
a Enumerar el conjunto de todos los resultados posibles del
experimento
b Decidir cun probable es un resultado determinado
3 Todos los
correderos son
parejos.
Cuando se lanza una moneda, hay dos resultados posibles: cara (C )
y cruz (X).
Adems, la probabilidad de obtener cara es igual a la de obtener
cruz, as que la probabilidad de obtener cara es una posibilidad sobre dos.
La probabilidad de obtener cruz es la misma.
En otras palabras, el conjunto de resultados equiprobables
(que tienen la misma probabilidad) es {C, X} y
1
P(C ) = P(X) =
2
.
Cuando se tira un dado, el conjunto de resultados equiprobables
tiene 6 elementos y es {1 , 2, 3, 4, 5, 6} .
Como todos los resultados son equiprobables,
1
P(1 ) = P(2) =  = P(6) = .
6
Sea A el suceso sale un nmero par.
Para hallar P(A), consideremos el conjunto de resultados
equiprobables {1 , 2, 3, 4, 5, 6} .
Hay 6 resultados equiprobables y 3 de estos son nmeros pares,
as que P(A) =
3
6
.
Sea B el suceso sale un nmero primo.
Para hallar P(B), observamos de nuevo el conjunto de resultados.
Hay 3 nmeros primos: 2, 3 y 5, as que P(B) =
3
6
U
A
4
.
3
2
6
5
Podemos mostrar, en un diagrama de Venn, los resultados
equiprobables que se obtienen al tirar un dado, con
U = {1 , 2, 3, 4, 5, 6} y A = {nmeros pares} .
P(A) =
n(A)
n (U )
=
3
6
El conjunto B puede aadirse al diagrama de Venn para
representar el suceso B.
P(B) =
352
n( B)
n (U )
1
U
A
B
4
6
=
3
6
Conjuntos y probabilidad
3
2
5
1
 Si todos los resultados equiprobables de un experimento
aleatorio se pueden enumerar y orman U, el conjunto
universal, y se defne el suceso A representado con el conjunto
A, entonces:
P( A ) =
n( A )
n (U )
Hay tres consecuencias de esta ley:
n (U )
1
P(U ) =
2
P( ) =
3
0  P(A)  1
n (U )
=1
n( )
=0
n (U )
(La probabilidad de un suceso seguro
es 1 .)
(La probabilidad de un suceso
imposible es 0.)
(La probabilidad de un suceso siempre
est entre 0 y 1 .)
Ejemplo 11
Halle la probabilidad de que ocurran estos sucesos
para el experimento aleatorio tirar un dado.
a Sale un nmero impar.
b Sale un nmero primo que es par.
c Sale un nmero primo que es impar.
d Sale un nmero que es primo o es par.
Salvo que se
indique lo contrario,
hablaremos siempre
de un dado cbico con
sus caras numeradas
del 1 al 6.
Respuestas
A
n ( A) 3
=
n (U ) 6
a
P( A) =
b
P( A  B ) =
n( A  B ) 1
=
n (U )
6
c P(A  B) =
n ( A  B ) 2
=
n (U )
6
d P(A  B) =
n( A  B) 5
=
n (U )
6
Usar el diagrama de Venn dibujado
anteriormente, donde A es el suceso
sale un nmero par y B es el
suceso sale un nmero primo
A es el suceso sale un nmero par,
as que la probabilidad de que salga
un nmero impar es P(A). Del
diagrama de Venn, A = {1, 3, 5}.
A es el suceso sale un nmero par
y B es el suceso sale un nmero
primo, as que la probabilidad de
que salga un nmero primo que sea
par es P(A  B).
La probabilidad de que salga un
nmero primo que sea impar es
P(A  B).
La probabilidad de que salga un
nmero primo o un nmero par
es P(A  B).
U
B
4
3
2
6
5
1
Este ejemplo ilustra
los conceptos
bsicos de la teora
de probabilidades:
enumera todos
los resultados
equiprobables de un
experimento aleatorio
y los cuenta. Dibujar
un diagrama de Venn
puede aclarar la
situacin.
Captulo 8
353
Dos leyes ms de probabilidad:



Para sucesos complementarios, P(A) = 1  P(A).
Para sucesos combinados,
P(A  B) = P(A) + P(B)  P(A  B).
Utilice un diagrama
de Venn para ilustrar
estas leyes.
Ejercitacin 8J
354
1
Un experimento aleatorio consiste en tirar un dado equilibrado
de seis caras.
Sea A el suceso sale un nmero cuadrado y sea B el suceso
sale un divisor de 6.
a Enumere los elementos del conjunto A.
b Enumere los elementos del conjunto B.
c Muestre los conjuntos A y B en un diagrama de Venn.
d Escriba P(A).
e Escriba P(B).
f Halle la probabilidad de que el nmero que sale no sea un nmero
cuadrado.
g Halle la probabilidad de que el nmero que sale sea un nmero
cuadrado y un divisor de 6.
h Halle la probabilidad de que el nmero que sale sea un nmero
cuadrado o un divisor de 6, o ambos.
i Verifque que se cumplen P(A) = 1  P(A) y
P(A  B) = P(A) + P(B)  P(A  B).
2
Los nmeros 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se escriben en trozos idnticos de
cartn y se ponen en una bolsa. El experimento aleatorio consiste en
sacar aleatoriamente de la bolsa un cartn.
Sea A el suceso se elige un nmero primo y
sea B el suceso se elige un nmero par.
a Enumere los elementos del conjunto A.
b Enumere los elementos del conjunto B.
c Muestre los conjuntos A y B en un diagrama de Venn.
d Escriba P(A).
e Escriba P(B).
f Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea compuesto
(no primo).
g Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea impar.
h Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea par y primo.
i Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea par o primo,
o ambos.
j Verifque que se cumplen P(A) = 1  P(A) y P(B  ) = 1  P(B).
k Verifque que se cumple P(A  B) = P(A) + P(B)  P(A  B).
l Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea impar y compuesto.
m Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea impar o
compuesto, o ambos.
n Verifque que se cumple P(A  B  ) = P(A ) + P(B  )  P(A  B  ).
Conjuntos y probabilidad
3
Los nmeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se escriben en trozos idnticos
de cartn y se ponen en una bolsa. El experimento aleatorio
consiste en sacar aleatoriamente de la bolsa un cartn.
Sea A el suceso se elige un nmero impar y sea B el suceso
se elige un nmero cuadrado.
a Enumere los elementos del conjunto A.
b Enumere los elementos del conjunto B.
c Muestre los conjuntos A y B en un diagrama de Venn.
d Escriba P(A).
e Escriba P(B).
f Halle la probabilidad de que se elija un nmero cuadrado
que es impar.
g Halle la probabilidad de que se elija un nmero impar o
un nmero cuadrado.
h Verifque que se cumple P(A  B) = P(A) + P(B)  P(A  B).
4
Un experimento aleatorio consiste en lanzar dos monedas equilibradas.
a Enumere los cuatro resultados equiprobables posibles.
b Halle P(dos caras), P(una cara), P(ninguna cara).
5
Un experimento aleatorio consiste en lanzar tres
monedas equilibradas.
a Enumere los ocho resultados equiprobables posibles.
b Halle P(ninguna cara), P(una cara), P(dos caras),
P(tres caras).
6
El primer libro que
se escribi sobre
probabilidades ue
Liber de ludo aleae,
de Girolamo Cardano
(15011576), un
flsoo y matemtico
italiano. En l se
explicaban tcnicas
para hacer trampa y
para atrapar a otros
cuando hacen trampa.
Un experimento aleatorio consiste en lanzar cuatro monedas equilibradas.
Halle P(ninguna cara).
b Halle P(cuatro caras).
c Halle P(una cara).
d Halle P(tres caras).
e Utilice las respuestas de los apartados a hasta d para deducir P(dos caras).
f Enumere los resultados equiprobables posibles.
a
8. Probabilidad condicionada
En una clase de 25 alumnos, 1 6 estudian rancs, 1 1 estudian
malayo y 4 no estudian ninguna de las 2 lenguas. Esta
inormacin se puede mostrar en un diagrama de Venn.
Supongamos que se elige al azar un alumno de la clase.
Podemos usar las tcnicas que ya hemos visto para hallar
la probabilidad de que:
U
F
M
10
6
5
4
El alumno estudie rancs y malayo
El alumno estudie exactamente una lengua
c El alumno no estudie dos lenguas
d El alumno no estudie rancs
a
b
Captulo 8
355
Usando el diagrama de Venn de la derecha:
a
6
25
c
M
1
10 5 15
+
=
25 25 25
b
F
F
M
U
M
1
d
M
10
U
6 19
=
25 25
F
U
F
6
5
U
4
16 9
=
25 25
F
M
U
Esto requiere ser
abordado de una forma
diferente, porque
hay una condicin
adicional: el alumno
estudia malayo.
Cul es la probabilidad de que un alumno elegido al azar estudie
rancs, sabiendo que el alumno estudia malayo?
La probabilidad de que un alumno estudie rancs, sabiendo que el
alumno estudia malayo, es un ejemplo de probabilidad condicionada .
Se escribe P(F| M).
Dado que M ha sucedido indudablemente,
en lugar de elegir
elementos del conjunto universal (el rectngulo), podremos elegir
solamente elementos del conjunto M (el rea sombreada).
U
F
M
10
6
5
Si ahora queremos determinar la probabilidad de que F tambin
haya ocurrido, entonces consideramos la parte de F que tambin
se encuentra en M, es decir, la interseccin de F y M
(sombreado ms oscuro).
La probabilidad condicionada, la probabilidad de que un alumno
estudie rancs, sabiendo que el alumno estudia malayo, es:
P(F| M) =
n ( F  M)
n ( M)
=
6
11
4
U
F
M
10
6
5
4
 La probabilidad condicionada de que ocurra A, sabiendo que
B ha ocurrido, se escribe P(A| B) y se defne como:
P(A| B) =
356
P ( A  B)
P ( B)
Conjuntos y probabilidad
Ejemplo 12
En una clase de 29 alumnos, 20 alumnos estudian francs, 15 alumnos
estudian malayo y 8 alumnos estudian ambas lenguas. Se elige al azar
un alumno de la clase.
Halle la probabilidad de que el alumno:
a Estudie francs
b No estudie ninguna de las dos lenguas
c Estudie al menos una lengua
d Estudie ambas lenguas
e Estudie malayo, sabiendo que estudia francs
f Estudie francs, sabiendo que estudia malayo
g Estudie ambas lenguas, sabiendo que estudia al menos una de las
lenguas
Respuestas
Primero dibujar un diagrama
de Venn para mostrar la
informacin
U
F
M
12
8
7
2
a
P(estudie francs) =
20
29
b P(no estudie ninguna lengua) =
2
29
c P(estudie al menos una lengua) =
d P(estudie ambas lenguas) =
27
29
8
29
e P(estudie malayo, sabiendo que
= P( M | F ) =
U
F
estudia francs)
n ( M  F)
n ( F)
=
8
M
12
8
7
20
2
Las probabilidades
de la e a la g son
condicionadas y
requieren ms
atencin.
{ Contina en la pgina siguiente.
Captulo 8
357
f
P(estudia francs, sabiendo que
U
F
M
estudia malayo)
= P( F | M ) =
n ( F  M)
n ( M)
=
8
15
12
8
7
2
g P(estudie ambas lenguas, sabiendo
que estudia al menos una lengua)
= P ( F  M| F  M )
=
n ([ F  M]  [ F  M] )
n ( F  M)
=
Mirando el diagrama de
Venn, podemos ver que
(F  M)  (F  M) = (F  M).
8
27
Ejercitacin 8K
En los diagramas de Venn se muestra el nmero de elementos de
cada conjunto.
1
2
3
4
358
Halle la probabilidad de que una persona elegida al azar:
a Est en A
b No est ni en A ni en B
c No est en A y no est en B
d Est en A, sabiendo que no est en B
e Est en B, sabiendo que est en A
f Est en A y en B, sabiendo que est en A
Halle la probabilidad de que una persona elegida al azar:
a No est en A
b No est ni en A ni en B
c No est en A y en B, sabiendo que est en B
d No est en A, sabiendo que no est en B
e Est en B, sabiendo que est en A
f Est en A y en B, sabiendo que no est en A
Halle la probabilidad de que una persona elegida al azar:
a Est en B, pero no en A
b No est en A ni en B
c Est en B y no en A
d Est en A, sabiendo que no est en B
e Est en B, sabiendo que est en A
f No est en A y en B, sabiendo que est en A
Halle la probabilidad de que una persona elegida al azar:
a Est en A, pero no en A y en B
b No est en A y no est en ambos
c No est en A y en B
d Est en A, sabiendo que no est en B
e Est en B, sabiendo que est en A
f No est en A, sabiendo que no est en B
Conjuntos y probabilidad
U
A
B
15
8
12
5
U
A
B
12
4
6
8
U
A
B
7
0
8
2
U
A
B
12
6
6
10
5
6
7
8
El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos de una
clase que cursan Artes y/o Biologa.
Utilice el diagrama de Venn para hallar la probabilidad de que
un alumno de la clase elegido al azar:
a Curse Artes
b Curse Biologa, pero no Artes
c Curse Artes y Biologa
d Curse al menos una de las dos asignaturas
e No curse ninguna de las dos asignaturas
f Curse Biologa
g Curse exactamente una de las dos asignaturas
El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos de una
clase que cursan Fsica y/o Qumica.
Utilice el diagrama de Venn para hallar la probabilidad de
que un alumno de la clase elegido al azar:
a Curse Fsica pero no Qumica
b Curse al menos una de las dos asignaturas
c Curse Qumica, sabiendo que el alumno cursa Fsica
d Curse Qumica, sabiendo que el alumno cursa exactamente
una de las dos asignaturas
El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos de una
clase que cursan Artes y/o Teatro.
Utilice el diagrama de Venn para hallar la probabilidad de
que un alumno de la clase elegido al azar:
a Curse Teatro, pero no Artes
b Curse Teatro, sabiendo que cursa Artes
c Curse ambas asignaturas, sabiendo que cursa Teatro
d No curse ninguna de las dos asignaturas
e Curse Teatro, sabiendo que cursa exactamente una de
las dos asignaturas
El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos de una
clase que cursan Geografa y/o Historia.
Utilice el diagrama de Venn para hallar la probabilidad de
que un alumno de la clase elegido al azar:
a Curse Geografa, pero no Historia
b Curse Geografa, sabiendo que no cursa Historia
c Curse Historia, sabiendo que cursa al menos una de las
dos asignaturas
d Curse Geografa, sabiendo que cursa Historia
e Curse Geografa, sabiendo que cursa exactamente una de
las dos asignaturas
U
A
B
5
8
4
7
U
F
Q
5
10
3
4
U
A
T
9
4
12
3
U
G
H
12
2
5
8
Captulo 8
359
8.7 Dos casos especiales: sucesos incompatibles
y sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son incompatibles si, cuando ocurre A, es
imposible que ocurra B y, cuando ocurre B, es imposible que ocurra A.
Por ejemplo, cuando
se lanza una
moneda, los sucesos
sale cara y  sale
cruz son sucesos
incompatibles.
Los sucesos A y A brindan el ejemplo ms obvio de sucesos
incompatibles, ya que ocurre uno o el otro, pero A y A no pueden
ocurrir al mismo tiempo.
Aqu hay un diagrama de Venn que representa sucesos
incompatibles A y B.
Como los dos conjuntos no se superponen, A  B = .
A
B
 Los sucesos A y B son incompatibles si y solo si P(A  B) = 0.
Ejemplo 13
Los nmeros 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se escriben, cada uno, en trozos
idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. El experimento aleatorio
consiste en sacar de la bolsa un cartn aleatoriamente.
Sea A el suceso se elige un nmero primo  y sea B el suceso se elige
un nmero par .
a Dibuje un diagrama de Venn que describa este experimento
aleatorio.
b Determine si los sucesos A y B son incompatibles.
Respuestas
a
A
B
5
3
7
4
8
6
10
U
Dibujar un diagrama de Venn
para mostrar los conjuntos
AyB
9
A  B = , as que P(A  B) = 0.
b A y B son incompatibles.
La interseccin A  B est vaca.
En 1933, el matemtico ruso Andrey Nikolaevich Kolmogorov (19031987)
defni la probabilidad a travs de estos axiomas:

La probabilidad de todos los sucesos es 1.

La probabilidad de un suceso es mayor o igual que 0.

Cuando dos sucesos no pueden coincidir, entonces sus probabilidades
se pueden sumar.
Las propiedades matemticas de la probabilidad pueden deducirse a partir
de estos axiomas. Kolmogorov us su trabajo sobre probabilidad para
estudiar el movimiento de los planetas y las turbulencias del aire producidas
por el motor a reaccin.
360
Conjuntos y probabilidad
Qu es un axioma?
Averige ms acerca
de los axiomas de
Euclides para la
geometra, escritos
2000 aos atrs.
U
Ejercitacin 8L
En cada experimento, determine si los sucesos
A y B son incompatibles.
1
Se tira un dado equilibrado de seis caras.
Sea A el suceso  sale un nmero cuadrado
y sea B el suceso  sale un divisor de 6.
2
Se tira un dado equilibrado de seis caras.
Sea A el suceso sale un cuatro y sea B el suceso
sale un seis.
3
Se tira un dado equilibrado de seis caras.
Sea A el suceso sale un nmero primo y sea B el suceso
 sale un nmero par.
4
Se tira un dado equilibrado de seis caras.
Sea A el suceso sale un nmero cuadrado y sea B el
suceso sale un nmero primo.
5
Los nmeros 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se escriben, cada uno, en trozos
idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. Se saca aleatoriamente
un cartn de la bolsa.
Sea A el suceso sale un nmero cuadrado y sea B el suceso
sale un nmero impar.
6
Los nmeros 5, 6, 7, 8, 9, 10 se escriben, cada uno, en trozos
idnticos de cartn y se ponen en una bolsa.
Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa. Sea A el suceso
sale un nmero cuadrado y sea B el suceso sale un nmero par.
7
Los nmeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se escriben, cada uno, en trozos
idnticos de cartn y se ponen en una bolsa.
Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa. Sea A el suceso
sale un nmero par y sea B el suceso sale un mltiplo de 3.
8
Se lanzan dos monedas equilibradas.
Sea A el suceso salen dos caras y sea B el suceso sale una cara.
Si dos sucesos, A y B, son incompatibles, entonces el efecto del suceso
A en el suceso B no podra ser ms contundente: si ocurre A, entonces
no es posible que ocurra B (y viceversa). El hecho de que ocurra uno de
los sucesos impide por completo que ocurra el otro.
Captulo 8
361
El otro extremo se da cuando el hecho de que ocurra un suceso no
aecta de ninguna manera el hecho de que ocurra el otro. Entonces
los dos sucesos son matemticamente independientes uno del otro.
Otra orma de expresar esto es decir que la probabilidad de que
ocurra A, P(A), se mantiene igual, una vez que ha ocurrido B. Para
escribir esto como una ecuacin: A y B son independientes si
P(A) = P(A | B).
La defnicin de P(A | B) es:
P( A | B ) =
P ( A  B)
P ( B)
Entonces, si A y B son independientes:
P( A  B )
= P( A )
P( B )
Reordenando, P(A  B) = P(A)  P(B)
 A y B son independientes si y solo si P(A  B) = P(A)  P(B).
Por ejemplo, si se
lanza una moneda de
un euro y luego una
moneda de un dlar,
el hecho de que la
moneda de un euro
muestre cara no
aecta de ninguna
manera que la moneda
de un dlar muestre
cara o cruz . Los
dos sucesos son
independientes uno
del otro.
Si nos piden
determinar si
dos sucesos son
independientes, esta
es la rmula que hay
que usar.
Ejemplo 14
Los nmeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se escriben, cada uno, en trozos
idnticos de cartn y se ponen en una bolsa.
Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa. Sea A el suceso
sale un nmero impar y sea B el suceso sale un nmero cuadrado  .
a Dibuje un diagrama de Venn que describa este experimento.
b Determine si los sucesos A y B son independientes.
Respuestas
a
A
B
5
9
3
4
2
6
8
7
b P(A)  P(B) =
1 1
1
 =
2 4 8
U
El suceso A  B es sale un nmero
impar y sale un nmero cuadrado
o sale un nmero impar que es
cuadrado.
Del diagrama de Venn,
P( A ) =
P(A  B) =
1
8
4 1
=
8 2
362
Conjuntos y probabilidad
2 1
=
8 4
A  B = {9}, por lo tanto
P( A  B ) =
As que A y B son sucesos
independientes.
P( B ) =
1
8
Ahora, considerar la defnicin de
independencia (matemtica):
P(A  B) = P(A)  P(B)
Este trabajo se
conecta con la prueba
de chi-cuadrado
que estudiamos
en el captulo
5. Recordemos
que, para calcular
las recuencias
esperadas, el total de
la fla se multiplica por
el total de la columna
y luego el resultado se
divide por el total de
las recuencias. Esta
es una consecuencia
directa de la defnicin
de independencia
matemtica.
Ejercitacin 8M
Para cada experimento, determine si los sucesos A y B son
independientes.
1
Los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se escriben, cada uno, en trozos idnticos
de cartn y se ponen en una bolsa.
Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa.
Sea A el suceso  sale un nmero impar y sea B el suceso
 sale un nmero cuadrado.
2
Los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6 se escriben, cada uno, en trozos idnticos de
cartn y se ponen en una bolsa.
Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa.
Sea A el suceso  sale un nmero par y sea B el suceso
 sale un nmero cuadrado.
3
Los nmeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se escriben, cada uno, en trozos
idnticos de cartn y se ponen en una bolsa.
Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa.
Sea A el suceso  sale un nmero primo y sea B el
suceso  sale un mltiplo de 3.
4
El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos
que cursan Artes y/o Biologa en una clase.
Utilice el diagrama de Venn para determinar si cursar Artes
y cursar Biologa son sucesos independientes.
U
A
B
4
2
6
12
5
El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos que
cursan Qumica y/o Biologa en una clase.
Utilice el diagrama de Venn para determinar si cursar
Qumica y cursar Biologa son sucesos independientes.
U
Q
B
2
8
3
5
U
Q
6
El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos que
cursan Qumica y/o Fsica en una clase.
Utilice el diagrama de Venn para determinar si cursar
Qumica y cursar Fsica son sucesos independientes.
F
12
8
2
18
Captulo 8
363
8.8 Diagramas de espacios muestrales
Un diagrama de espacio muestral es una orma grfca de mostrar los
resultados equiprobables de un experimento, en lugar de enumerarlos.
Se tiran dos dados equilibrados: uno rojo y uno azul.
Podemos mostrar todos los resultados posibles en una grilla.
Hay 36 resultados posibles, n(U) = 36.
Podemos usar el diagrama muestral para
calcular probabilidades.
6
5
Dado azul
4
3
2
1
0
1
2
3 4
Dado rojo
5
6
Ejemplo 15
Se tiran juntos un dado rojo y otro azul. Calcule la probabilidad de que:
El puntaje total sea 7
Salga el mismo nmero en ambos dados
La dierencia entre los nmeros que salen sea 1
El nmero que sale en el dado rojo sea menor que el que sale en el dado azul
El puntaje total sea un nmero primo
a
b
c
d
e
Respuestas
a
P(el puntaje total sea 7) =
6
36
Los crculos
muestran los
resultados
para los que el
puntaje total
es 7.
6
Dado azul
5
4
3
2
1
0
2
3 4
Dado rojo
5
6
Los crculos
muestran los
resultados en
los que ambos
nmeros son
iguales.
6
5
Dado azul
b P(salga el mismo nmero en
6
ambos dados) =
36
1
4
3
2
1
0
1
2
3 4
Dado rojo
5
6
{ Contina en la pgina siguiente.
364
Conjuntos y probabilidad
Los crculos
muestran los
resultados
que hay que
considerar.
6
5
Dado azul
c P(la diferencia entre los 2 nmeros que salen
10
sea 1) =
36
4
3
2
1
0
d P(el nmero que sale en el dado rojo sea
2
3 4
Dado rojo
5
6
1
2
3 4
Dado rojo
5
6
1
2
3 4
Dado rojo
5
6
6
menor que el que sale en el
5
Dado azul
15
dado azul) =
36
1
4
3
2
1
0
6
5
Dado azul
e P(el puntaje total sea un nmero
15
primo) =
36
4
3
2
1
0
Ejercitacin 8N
1
Dibuje un diagrama de espacio muestral para este experimento:
Se tiran dos dados tetradricos (de cuatro caras), uno azul y
otro rojo, numerados del 1 al 4. Halle la probabilidad de que:
a El nmero que muestra el dado rojo sea mayor que el que
muestra el dado azul
b La diferencia entre los nmeros que muestran ambos dados
sea 1
c El dado rojo muestre un nmero impar y el dado azul
muestre un nmero par
d La suma de los nmeros que muestran los dados sea un nmero primo
Captulo 8
365
2
Se tiran un dado tetradrico (numerado del 1 al 4) y un dado
normal de 6 caras. Dibuje un diagrama de espacio muestral
para este experimento. Halle la probabilidad de que:
a El nmero que muestra el dado tetradrico sea mayor que el
nmero que muestra el dado normal
b La diferencia entre los nmeros en ambos dados sea mayor que 1
c El dado normal muestre un nmero impar y el tetradrico
muestre un nmero par
d La suma de los nmeros que muestran los dados sea un nmero primo
e Los dos dados muestren el mismo nmero
3
Una caja contiene 3 cartas numeradas 1, 2, 3.
Una segunda caja contiene 4 cartas numeradas 2, 3, 4, 5.
Se elige una carta al azar de cada caja. Dibuje un diagrama
de espacio muestral para este experimento.
Halle la probabilidad de que:
a Las cartas tengan el mismo nmero
b El mayor nmero que se saca sea un 3
c La suma de los 2 nmeros sea menor que 7
d El producto de los nmeros sea al menos 8
e Al menos un nmero de las cartas elegidas sea par
4
Se ponen en una bolsa 6 cartas, numeradas 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
Se saca al azar una carta, se anota su nmero y luego se vuelve
a poner en la bolsa. Luego se saca al azar una segunda carta.
Dibuje un diagrama de espacio muestral para este experimento.
Halle la probabilidad de que:
a Las cartas tengan el mismo nmero
b El mayor nmero que se saca sea primo
c La suma de los 2 nmeros sea menor que 7
d El producto de los nmeros sea al menos 8
e Al menos un nmero de las cartas elegidas sea par
5
Se ponen en una bolsa 6 cartas, numeradas 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Se
saca al azar una carta y no se vuelve a poner en la bolsa. Luego
se saca al azar una segunda carta.
Dibuje un diagrama de espacio muestral para este experimento.
Halle la probabilidad de que:
a Las cartas tengan el mismo nmero
b El mayor nmero que se saca sea primo
c La suma de los 2 nmeros sea menor que 7
d El producto de los nmeros sea al menos 8
e Al menos un nmero de las cartas elegidas sea par
366
Conjuntos y probabilidad
Tenga cuidado:
este no es el
mismo espacio
muestral que el
de la pregunta 4.
8.9 Diagramas de rbol
Los diagramas de rbol son otra forma de representar y calcular probabilidades.
Ejemplo 16
Se tiran dos dados equilibrados, uno rojo y otro azul.
Usando un diagrama de rbol, halle la probabilidad de que:
a Salga doble seis
b No salga ningn seis
c Salga exactamente un seis
d Salga al menos un seis
Respuestas
Dado rojo
Dado azul
Resultado
1
6
Probabilidad
1 1
1
 =
6 6 36
6
(6, 6)
no 6
(6, no 6)
6
(no 6, 6)
no 6
(no 6, no 6)
6
1
6
5
6
1
6
5
6
1 5
5
 =
6 6 36
5 1
5
 =
6 6 36
no 6
5
6
5 5 25
 =
6 6 36
Primero, partir el experimento en dos
experimentos simples:
Uno: tirar el dado rojo y anotar si sale
un seis o no
Dos: luego tirar el dado azul y anotar si
sale un seis o no
Dibujar un diagrama de rbol para
mostrar los resultados
Aadir las probabilidades a las ramas
Para el dado rojo:
P (6 ) =
1
6
, P ( no 6 ) =
5
6
Para el dado azul:
P (6 ) =
a
P(doble 6) = P(6, 6)
1
=
6
1

6
36
6

6
=
6
36
c P(exactamente un 6)
5
P(6, no 6) =
5
Que no salga un seis en un dado y en el
otro son sucesos independientes.
b P(ningn 6) = P(no 6, no 6)
5 5
25
=
6
, P ( no 6 ) =
Que salga un seis en un dado y en el otro
son sucesos independientes, as que hay
que multiplicar las probabilidades.
1
=
1
Hay dos formas en que esto puede
suceder:
(6, no 6) o (no 6, 6)
36
5
P(no 6, 6) =
36
P(exactamente un 6) =
d P(al menos un 6)
=
5
36
1
+
36
5
+
36
11
=
36
5
36
5
+
36
10
=
36
En lugar de escribir P(6, no 6),
podemos escribir P(6, 6).
Sumar las probabilidades
P(al menos un 6) =
P(6, no 6) + P(6, 6) + P(no 6, 6)
Observe que P(al menos
un 6) = 1  P(ningn 6).
Captulo 8
367
Tambin podemos usar diagramas de rbol para calcular probabilidades condicionadas.
Ejemplo 7
Para el experimento del ejemplo 16, halle la probabilidad de que, sabiendo que
sali al menos un seis, el dado rojo haya salido seis.
Respuesta
P(seis en el dado rojo | sali al menos un seis)
P (seis en el dado ro j o y sali al m eno s un seis)
=
=
P (sali al m eno s un seis )
Usar la defnicin de probabilidad condicionada
P (6, 6) + P (6, no 6 )
P (6 , 6) + P (6, no 6) + P (no 6, 6 )
5 
1
+


36 36 

6
=
5
5  = 1 1 = 0, 5 45
1
+
+


 36 36 36 
Leer las probabilidades de la ltima columna del
diagrama de rbol del ejemplo 16
Usar la calculadora de pantalla grfca (en
adelante, CPG) para hacer este clculo: dar la
respuesta como una raccin o redondeando a
tres ciras signifcativas
Ejercitacin 8O
1
Una bolsa contiene seis bolas rojas y cinco bolas azules. Se elige una bola al azar. Se anota
su color y luego se pone de vuelta en la bolsa. Luego se elige una segunda bola al azar.
a Halle la probabilidad de que se elija exactamente una bola roja.
b Halle la probabilidad de que se elija al menos una bola azul.
c Halle la probabilidad de que se elija una bola de cada color.
d Si se eligi una bola de cada color, cul es la probabilidad de
que la segunda sea una bola azul?
Estas son probabilidades
e Si al menos una de las dos bolas fue azul, cul es la
condicionadas.
probabilidad de que la primera haya sido una bola azul?
2
En un dado de 5 caras estas se numeran 1, 2, 3, 4, 5. Se tira dos veces.
a Halle la probabilidad de que salga exactamente un nmero primo.
b Halle la probabilidad de que salga al menos un nmero primo.
c Sabiendo que ha salido al menos un nmero primo, halle la
probabilidad de que hayan salido dos nmeros primos.
d Sabiendo que ha salido al menos un nmero primo, halle la
probabilidad de que en el primer dado haya salido un nmero primo .
3
Para llegar al trabajo debo atravesar dos semforos, primero
en la Avenida Sexta y luego en la calle Larga. La probabilidad de demorarme
en la avenida Sexta es
3
7
y la probabilidad de demorarme en la calle Larga es .
5
10
Dibuje un diagrama de rbol para mostrar las posibles demoras en mi trayecto al trabajo.
Halle la probabilidad de que me demore solo una vez.
b Halle la probabilidad de que no me demore.
c Sabiendo que me he demorado exactamente una vez, cul es la probabilidad de que
haya sido en la Avenida Sexta?
d Sabiendo que me he demorado, cul es la probabilidad de que haya sido
en la Avenida Sexta?
a
368
Conjuntos y probabilidad
4
Una proesora, en su viaje al colegio, tiene que pasar por dos semoros
(A y B). Las probabilidades de que pare en estos son
2 1
y respectivamente. Las demoras
7 3
correspondientes son de 1 minuto y 3 minutos. Sin estas demoras su viaje dura 30 minutos.
Dibuje un diagrama de rbol para ilustrar estas posibles demoras.
a Halle la probabilidad de que el viaje no dure ms de 30 minutos.
b Halle la probabilidad de que la proesora tenga solo una demora.
c Sabiendo que la proesora se ha demorado, cul es la probabilidad de
que haya sucedido en A?
d Un da determinado, la proesora tiene solo 32 minutos para llegar al colegio a tiempo.
Halle la probabilidad de que llegue tarde.
5
La probabilidad de que llueva el da de hoy es 0,2. Si hoy llueve, la Material de ampliacin
disponible en lnea: Hoja de
probabilidad de que llueva maana es 0,15. Si hoy no llueve,
ejercicios 8: un juego
entonces la probabilidad de que no llueva maana es 0,9.
a Halle la probabilidad de que al menos uno de los dos das no llueva.
b Sabiendo que al menos uno de los dos das no ha llovido, cul es
la probabilidad de que haya sido hoy?
c Sabiendo que al menos uno de los dos das no ha llovido, cul es
la probabilidad de que no haya llovido en ninguno de los dos das?
Problemas sin reposicin
Un problema clsico de probabilidad involucra elegir una bola de una bolsa,
anotar su color y no reponerla, y luego elegir otra bola.
Esto signifca que la probabilidad de elegir la siguiente bola de la bolsa
ser dierente de la probabilidad de elegir la primera.
Podemos usar un diagrama de rbol para este tipo de problema.
Ejemplo 18
En una bolsa hay seis caramelos de menta (M) y dos caramelos de licor (L). Se escoge un
caramelo al azar y no se repone en la bolsa . Luego se escoge un segundo caramelo al azar.
a Halle la probabilidad de que se haya escogido uno de cada tipo.
Este problema del tipo sin
b Sabiendo que se ha escogido uno de cada tipo, halle la
reposicin utiliza caramelos
probabilidad de que el primer caramelo escogido haya sido
en lugar de bolas.
de menta.
Respuestas
Primer caramelo Segundo caramelo Resultado Probabilidad
6
8
2
8
5
7
M
M, M
2
7
L
M, L
6
7
M
L, M
1
7
L
L, L
6 5 30
 =
8 7 56
M
6 2 12
 =
8 7 56
2 6 12
 =
8 7 56
L
Dibujar un diagrama de rbol. Partir el
experimento en:
1 Escoger el primer caramelo
2 Escoger el segundo caramelo
En la segunda eleccin, solo quedan siete
caramelos. Si la primera vez se escoge uno de
menta, solo quedan cinco de menta.
2 1
2
 =
8 7 56
{ Contina en la pgina siguiente.
Captulo 8
369
P(uno de cada tipo) = P(M, L) + P(L, M)
a
= 1 2 + 1 2 = 24 = 3
56
b
56
56
7
P( A  B )
P( A | B ) =
P( B )
P( A  B ) = P( M , L ) =
12
56
=
3
14
Los resultados que corresponden a se escoge uno
de cada tipo son (M, L) y (L, M).
y P( B ) =
3
7
Sea A el suceso el primer caramelo que se escoge
es de menta y sea B el suceso se escoge uno de
cada tipo. Entonces necesitamos P(A| B).
P(B) es la probabilidad del apartado a.
3
14 = 1
As que, P(A | B) =
2
3
7
Ejercitacin 8P
1
Una bolsa contiene seis bolas rojas y cinco bolas azules. Se escoge una al azar.
Se anota su color y no se repone en la bolsa . Luego se escoge al azar una
segunda bola.
a
b
c
d
e
370
Halle la probabilidad de que se escoja exactamente una bola roja.
Halle la probabilidad de que se escoja al menos una bola azul.
Halle la probabilidad de que se escoja una de cada color.
Si se ha escogido una de cada color, cul es la probabilidad de
que la azul se haya elegido en segundo lugar?
Si se ha escogido al menos una azul, cul es la probabilidad de
que la azul se haya elegido en primer lugar?
2
Una bolsa contiene cinco bolgrafos defectuosos y siete que funcionan.
Un nio y luego una nia escogen un bolgrafo cada uno.
a Cul es la probabilidad de que ambos escojan un bolgrafo defectuoso?
b Halle la probabilidad de que al menos uno de los dos escoja un bolgrafo defectuoso.
c Sabiendo que se ha escogido exactamente un bolgrafo defectuoso, cul es la
probabilidad de que lo haya escogido la nia?
3
Para llegar al colegio puedo tomar una de dos rutas, por la Avenida Simn
Bolvar o por la Avenida de Las Amricas. Tomo la Avenida Simn Bolvar en
promedio tres veces por semana, en una semana de cinco das. Si tomo esta ruta,
la probabilidad de que me demore es 0,25. Si tomo la Avenida de Las
Amricas, la probabilidad de que me demore es 0,5.
Dibuje un diagrama de rbol que muestre mi viaje al colegio.
a Halle la probabilidad de que me demore.
b Halle la probabilidad de que vaya por la Avenida de Las Amricas
y no me demore.
c Sabiendo que me he demorado, cul es la probabilidad de que
haya ido por la Avenida Simn Bolvar?
d Sabiendo que no me he demorado, cul es la probabilidad de
que haya ido por la Avenida de Las Amricas?
Conjuntos y probabilidad
4
La probabilidad de que nieve el da de hoy es 0,9. Si hoy nieva, entonces
la probabilidad de que nieve maana es 0,7. Sin embargo, si hoy no
nieva, entonces la probabilidad de que nieve maana es 0,6.
Dibuje un diagrama de rbol que muestre las posibles condiciones
del tiempo en estos dos das.
Halle la probabilidad de que nieve los dos das.
Halle la probabilidad de que nieve exactamente un da.
c Sabiendo que nieva exactamente un da, cul es la probabilidad
de que sea hoy?
d Sabiendo que nieva al menos un da, cul es la probabilidad
de que sea hoy?
a
b
5
Hay ocho discos idnticos en una bolsa, de los cuales cinco son negros
y los otros tres son rojos. El experimento aleatorio consiste en escoger de la
bolsa un disco al azar, no reponerlo en la bolsa, luego escoger un
segundo disco de la bolsa. Halle la probabilidad de que el segundo
disco escogido sea rojo.
Ejercicio de revisin
Preguntas del estilo de la prueba 
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
Las actividades que ofrece un colegio son golf (G), tenis (T) y
natacin (N). El diagrama de Venn muestra el nmero de
personas que participan en cada una de las actividades.
a Escriba el nmero de personas que:
i Juegan solo tenis
ii Juegan al tenis y al golf
iii Juegan al menos dos deportes iv No juegan tenis
b Copie el diagrama y sombree la parte del diagrama de
Venn que representa G  N.
1
2
U
G
T
2
11
6
3
4
1
8
N
4
Se hace una encuesta a un grupo de 40 nios para averiguar qu
deporte practican entre los siguientes 3: voleibol (V), bsquetbol (B)
o cricket (C ). Los resultados fueron los siguientes:
7 nios no practican ninguno de estos deportes.
2 practican los 3 deportes.
5 practican voleibol y bsquetbol.
3 practican cricket y bsquetbol.
10 practican cricket y voleibol.
15 practican bsquetbol.
20 practican voleibol.
a Dibuje un diagrama de Venn para ilustrar la relacin entre los tres
deportes practicados.
b En su diagrama de Venn, indique el nmero de nios que pertenece
a cada regin disjunta .
c Halle el nmero de nios que practican nicamente cricket.
Captulo 8
371
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
3 El siguiente diagrama de Venn muestra los conjuntos U, A, B y C.
U
A
B
C
Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas,
basndose en la informacin provista en el diagrama de Venn.
a A  C= 
b C  (C  B)
c C  (A  B) = 
d C  A
e C B= C
f (A  B)  = A  B
Copie este diagrama de Venn y sombree A  (B  C ).
4 a
A
B
U
C
En el diagrama de Venn de la derecha, est dado el
nmero de elementos de cada regin.
Halle n ((P  Q)  R).
c U es el conjunto de enteros positivos,  + .
I es el conjunto de nmeros impares.
M es el conjunto de mltiplos de 5.
Enumere los primeros cuatro elementos del conjunto M.
i
Enumere los primeros tres elementos del conjunto I  M.
ii
b
5
 es el conjunto de los nmeros enteros,  es el conjunto de los
nmeros racionales,  es el conjunto de los nmeros reales.
a Escriba un elemento de .
b Escriba un elemento de   .
c Escriba un elemento de .
d Escriba un elemento de   .
e Escriba un elemento de .
f Escriba un elemento de  .
6
La siguiente tabla muestra el nmero de jugadores de tenis
zurdos y diestros, en una muestra de 60 hombres y mujeres.
Hombres
Mujeres
Total
Zurdos
8
Diestros
32
Total
40
4
16
20
12
48
60
Si se elige al azar un jugador de tenis de este grupo, halle la
probabilidad de que sea:
a Mujer y zurda
b Hombre o diestro
c Diestra, sabiendo que es una mujer
372
P
Conjuntos y probabilidad
Q
3
2
1
6
5
4
9
R
U
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
7 Una bolsa contiene caramelos: tres rojos, cuatro amarillos y ocho verdes.
Marcela escoge al azar un caramelo de la bolsa y lo come. Luego escoge
al azar un segundo caramelo.
a Escriba la probabilidad de que el primer caramelo escogido sea rojo.
b Sabiendo que el primer caramelo no fue rojo, halle la probabilidad de
que el segundo haya sido rojo.
c Halle la probabilidad de que tanto el primer caramelo escogido como el segundo
sean amarillos.
8
Ernesto tira dos dados cbicos. Uno de los dados tiene tres caras rojas y
tres caras negras. El otro dado tiene sus caras numeradas del 1 al 6.
Usando un diagrama de espacio muestral o de otra manera, halle:
a El nmero de todas las combinaciones posibles que pueden salir
b La probabilidad de que obtenga una cara negra y un nmero par
c La probabilidad de que obtenga un nmero mayor que 4
9
La siguiente tabla muestra el nmero de palabras en las monografas de una clase del IB.
Nmero de
palabras
Frecuencia
a
b
3100  p < 3400
3400  p < 3700
3700  p < 4000
4000  p < 4300
7
20
18
5
Escriba el grupo modal.
Escriba la probabilidad de que un alumno de la clase elegido al azar escriba
una monografa con un nmero de palabras en el rango: 4000  p < 4300.
El lmite mximo de palabras en una monografa es 4000.
Se elige un alumno de la clase al azar. Halle la probabilidad de que:
c No escriba una monografa con un nmero de palabras que sea igual o superior al
lmite mximo
d Escriba una monografa con un nmero de palabras en el rango 3400  p < 3700,
sabiendo que el nmero de palabras no es igual o superior al lmite mximo
Preguntas del estilo de la prueba 2
PREGUNTA TIPO EXAMEN
Sea U = {x | 8  x < 13, x  } .
P, Q y R son subconjuntos de U tales que:
P = {mltiplos de 4}
Q = {divisores de 24}
R = {nmeros cuadrados}
a Enumere los elementos de U.
b i Dibuje un diagrama de Venn para mostrar la relacin entre los conjuntos P, Q y R.
ii Escriba los elementos de U en lugares apropiados del diagrama de Venn.
c Enumere los elementos de:
i P R
ii P   Q  R
d Describa en palabras el conjunto P  Q.
e Sombree la regin de su diagrama de Venn que representa a (P  R)  Q .
1
Captulo 8
373
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
2 En un club que tiene 70 socios, cada uno participa o bien los martes en
teatro (T), o bien los jueves en deportes (D), o bien ambos das en
teatro y deportes.
Se encuentra que una semana 48 socios participaron en teatro,
44 participaron en deportes y x socios participaron en teatro
y deportes.
a i Dibuje y rotule completamente un diagrama de Venn para
ilustrar esta informacin.
ii Halle el nmero de socios que participaron en teatro y deportes.
iii Describa, en palabras, el conjunto que representa (T  D).
iv Cul es la probabilidad de que un socio elegido al azar
participe nicamente en teatro o nicamente en deportes?
El club tiene 40 socias, 10 de las cuales participan en teatro y en
deportes.
b Halle la probabilidad de que un socio del club elegido al azar:
i Sea mujer y participe nicamente en teatro o nicamente
en deportes
ii Sea hombre y participe en teatro y deportes
3
374
Un da determinado, se les pregunta a 50 nios qu tomaron ese da.
Se les dan tres opciones: agua (P ), jugo de frutas (Q) o caf (R).
2 nios tomaron nicamente agua.
4 nios tomaron nicamente caf.
12 nios tomaron nicamente jugo de frutas.
3 nios tomaron las tres bebidas.
4 nios tomaron agua y caf nicamente.
5 nios tomaron caf y jugo de frutas nicamente.
15 nios tomaron agua y jugo de frutas nicamente.
a Represente la informacin anterior en un diagrama de Venn.
b Cuntos nios no tomaron ninguna de las tres bebidas?
c Se elige un nio al azar. Halle la probabilidad de que el nio:
i Haya tomado jugo de frutas
ii Haya tomado agua o jugo de frutas, pero no caf
iii No haya tomado jugo de frutas, sabiendo que el nio ha tomado agua
d Dos nios se eligen al azar. Halle la probabilidad de que ambos
hayan tomado las tres bebidas.
Conjuntos y probabilidad
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
4 Los conjuntos P, Q y R son subconjuntos de U. Estn defnidos de
la siguiente orma:
U = {enteros positivos menores que 13}
P = {nmeros primos}
Q = {divisores de 18}
R = {mltiplos de 3}
a Enumere los elementos (si existen) de:
i P
ii Q
iii R
iv P  Q  R
b i
Dibuje un diagrama de Venn, mostrando la relacin entre los
conjuntos U, P, Q y R.
ii Escriba los elementos de los conjuntos U, P, Q y R en los
lugares apropiados del diagrama de Venn.
c Usando el diagrama de Venn, enumere los elementos de:
i
ii (P  R)
iii (P  Q)  R
P  (Q  R)
d Halle la probabilidad de que un nmero del conjunto universal U
elegido al azar sea:
Un nmero primo
i
ii Un nmero primo, pero no un divisor de 18
iii Un divisor de 18 o un mltiplo de 3, pero no un nmero primo
iv Un nmero primo, sabiendo que el nmero es un divisor de 18
5
Hay dos latas de galletas en una repisa. La lata roja contiene cuatro
galletas de chocolate y seis galletas de vainilla. La lata azul contiene
una galleta de chocolate y nueve galletas de vainilla.
Un nio alcanza la lata roja y aleatoriamente elige una galleta.
El nio pone esa galleta nuevamente en la lata, la agita y luego
elige otra galleta aleatoriamente.
a Dibuje un diagrama de rbol que muestre los posibles resultados.
Ubique las probabilidades adecuadas en cada rama del diagrama
de rbol.
b Halle la probabilidad de que:
i
Las dos galletas elegidas sean de chocolate
ii Una de las galletas sea de vainilla y la otra de chocolate
c Un segundo nio elige una galleta de la lata azul. El nio come la
galleta y elige otra de la lata azul. El diagrama de rbol de la
derecha representa los posibles resultados para este experimento.
Escriba los valores de a y de b.
i
ii Halle la probabilidad de que ambas galletas sean
de chocolate.
iii Cul es la probabilidad de que al menos una de las galletas
sea de vainilla?
d Suponga que, antes de que los dos nios llegaran, su hermano
hubiera elegido al azar una de las latas de galletas y hubiera sacado
de ella una galleta. Calcule la probabilidad de que esta galleta haya
sido de chocolate.
C
1
10
C
V
C
9
10
V
a
b
Captulo 8
V
375
PREGUNTA TIPO EXAMEN
6 Los datos de la siguiente tabla se referen a 60 plantas elegidas al azar.
Ritmo de
crecimiento
Clasifcacin por ambiente
Desrtico
Templado
Inundado
Total
4
9
13
7
11
18
13
16
29
24
36
60
Alto
Bajo
Total
a
i
Halle la probabilidad de que una planta sea de un ambiente desrtico.
Halle la probabilidad de que una planta tenga un ritmo de
crecimiento bajo y su ambiente est inundado.
iii Halle la probabilidad de que una planta no sea de un ambiente templado.
b Se elige al azar una planta del grupo anterior.
Halle la probabilidad de que la planta elegida tenga:
i Un ritmo de crecimiento alto o sea de un ambiente inundado,
pero no ambos
ii Un ritmo de crecimiento bajo, sabiendo que es de un ambiente desrtico
c Las 60 plantas del grupo anterior se clasifcaron de acuerdo al tipo
de hoja. Se encontr que 15 de las plantas tienen hojas del tipo A,
36 de las plantas tienen hojas del tipo B y 9 tienen hojas del tipo C.
Se eligieron al azar dos plantas de este grupo. Halle la probabilidad de que:
i
Ambas plantas hayan tenido hojas del tipo B
ii Ninguna de las dos plantas haya tenido hojas del tipo A
ii
RESUmEn DEL CAPTULO 8
Teora bsica de cojutos


Un cojuto es simplemente una coleccin de objetos. Los objetos se denominan
eleetos del conjunto.
El nmero de elementos del conjunto fnito A se denota con n(A).
Diagraas de Ve





376
El cojuto uiversal (simblicamente, U), debe estar indicado para que un
conjunto est bien defnido.
Si cada elemento de un conjunto dado, M, tambin es un elemento de otro conjunto,
N, entonces M es un subcojuto de N; esto se escribe simblicamente M  N.
Un subcojuto propio de un conjunto dado es aquel que o es idtico
al conjunto original.
Si M es un subconjunto propio de N (simblicamente, M  N ), entonces:
1 Cada elemento de M tambin est en N
2 Hay uno o ms elementos en N que no estn en M
El conjunto vaco  es subconjunto de cualquier conjunto.
Todo conjunto es un subconjunto de s mismo.
Conjuntos y probabilidad
Contina en la pgina siguiente.




La interseccin del conjunto M y el conjunto N (simblicamente, M  N) es el
conjunto de todos los elementos que estn en M y en N.
La unin del conjunto M y el conjunto N (simblicamente, M  N) es el conjunto de
todos los elementos que estn en M o en N o en ambos.
El complementario de un conjunto M, simblicamente M, es el conjunto de todos
los elementos del conjunto universal que no estn en M.
El complementario del conjunto universal, U, es el conjunto vaco, .
Conceptos bsicos de la teora de probabilidades

Si todos los resultados equiprobables de un experimento aleatorio se pueden
enumerar y orman U, el conjunto universal, y se defne el suceso A representado
con el conjunto A, entonces:
P( A ) =
n( A )
n (U )
Hay tres consecuencias de esta ley:
1 P(U)
2
=
P( ) =
n (U )
n (U )
=1
n ( )
=0
n (U )
(La probabilidad de un suceso seguro es  .)
(La probabilidad de un suceso imposible es 0.)
3


0  P(A)  
(La probabilidad de un suceso siempre est entre 0 y  .)
Para sucesos complementarios, P(A) = 1  P(A).
Para sucesos combinados, P(A  B) = P(A) + P(B)  P(A  B).
Probabilidad condicionada

La probabilidad condicionada de que ocurra A, sabiendo que B ha ocurrido, se
escribe P(A| B) y se defne como:
P(A| B) =
P ( A  B)
P ( B)
Dos casos especiales: sucesos incompatibles
y sucesos independientes


Los sucesos A y B son incompatibles si y solo si P(A  B) = 0.
A y B son independientes si y solo si P(A  B) = P(A)  P(B).
Captulo 8
377