UNIVERSIDAD TÉCNICA ESTATAL DE QUEVEDO FACULTAD CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INGENIERÍA TELEMÁTICA PROYECTO INTEGRADOR TEMA DE PROYECTO: APLICACIÓN DE CONSOLA PARA ENCONTRAR LA RAÍZ DE UNA ECUACION NO LINEAL MEDIANTE EL MÉTODO DE BISECCIÓN Y EL METODO DE NEWTON RAPHSON GRUPO: 7 AUTORES: ARIAS CHEVEZ NELSON GERMAN AVILES ARCOS ADRIAN ALEXIS VERA GUERRERO ANGEL ALFREDO ZAMBRANO DUEÑAS ZULLY KAROLAY ZEAS MORÁN CARLOS LEOPOLDO DOCENTE: ING. MARJORI TORRES QUEVEDO – LOS RÍOS – ECUADOR 2018 – 2019 2 Contenido INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 3 CAPÍTULO1 .............................................................................................................................................. 4 1. PROBLEMATIZACIÓN ....................................................................................................................... 5 1.1. 2. 3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .......................................................................................... 5 1.1.1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA .......................................................................................... 6 1.1.2. SISTEMATIZACIÓN DEL PROBLEMA ..................................................................................... 6 OBJETIVOS ....................................................................................................................................... 7 2.1. OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................. 7 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................................................... 7 JUSTIFICACIÓN................................................................................................................................. 8 CAPÍTULO2 .............................................................................................................................................. 9 4. MARCO TEÓRICO ........................................................................................................................... 10 4.1. Sistema De Ecuaciones No Lineales ...................................................................................... 10 4.2. Método De Bisección............................................................................................................. 10 4.2.1. Características Del Método De Bisección ...................................................................... 11 4.2.2. Algoritmo De Bisección ................................................................................................. 12 4.2.3. Minimización de las evaluaciones de una función ........................................................ 12 4.3. Método De Newton Raphson ................................................................................................ 13 4.3.1. Algoritmo para el método de Newton-Raphson ........................................................... 16 4.3.2. Esquema Del Método De Newton Raphson .................................................................. 17 4.4. Comparación De Los Métodos. ............................................................................................. 19 4.4.1. Ventajas Del Método de Bisección. ............................................................................... 19 4.4.2. Desventajas Del Método de Bisección. ......................................................................... 19 4.4.3. Ventajas del método de Newton-Raphson. .................................................................. 19 4.4.4. Desventajas del método de Newton-Raphson .............................................................. 20 4.4.5. Conclusión De La Comparación De Los Métodos. ......................................................... 20 Bibliografía............................................................................................................................................. 21 3 INTRODUCCIÓN El motivo del trabajo realizado es poder dar a conocer uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para la solución de problemas de funciones, el cual viene siendo el método de bisección que trabaja con iteraciones representado en una aplicación de consola para el desarrollo practico en C# que es un lenguaje de programación orientado a objetos y el conocimiento de los resultados más aproximados que se pueda tener en una función, ya que se tiene conocimiento de que estos no son exactos. Se notarán múltiples ejemplos que incluirán imágenes representando el procedimiento a través de un manual de usuario de la aplicación para mayor entendimiento del método de bisección ya que se aplican funciones algebraicas o transcendentes y proporciona únicamente raíces reales; al ser un método cerrado requiere un intervalo en el cual está atrapado una raíz. Este método tiene su origen en un popular algoritmo de búsqueda de datos en arreglos vectoriales denominada búsqueda binaria el cual es una búsqueda que encuentra la posición de un valor en un array (formación) ordenado. Bisección al ser un método robusto, resulta lento en su proceso por lo oneroso de los cálculos que debe realizarse, sin embargo se garantiza la máxima aproximación entre las funciones ya que así existan más de una raíz en el intervalo el método seguirá siendo convergente pero no resulta tan fácil de caracterizar por eso al crear la aplicación de consola proporcionaremos una mayor facilidad para los estudiantes de Ingeniería en Telemática del Segundo Semestre en la U.T.E.Q en el momento de la resolución de este tipo de intervalos. 4 CAPÍTULO 1 5 1. PROBLEMATIZACIÓN 1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Para realizar una tarea en la que se debe pretender resolver un problema aplicando un “algoritmo estándar”, los estudiantes necesitan entender que algoritmos aplican y utilizar el procedimiento o conjunto de procedimientos para su resolución. En contraste, una tarea de resolución de funciones puede no requerir la ejecución de un procedimiento conocido, sino una que se puede llegar a entender para facilitar el aprendizaje del estudiante. Se puede decir que la solución de ecuaciones es uno de los problemas más básicos en un cálculo científico, pero en muchas ocasiones ingenieros y estudiantes se enfrentan a problemas que implican la resolución de modelos matemáticos no lineales ya sean en ecuaciones o problemas de optimización, todos ellos implican tener conocimientos sobre métodos numéricos para resolverlos y no solo eso, dependiendo del tipo de problema pueden resultar unos métodos más difíciles que otros. En este caso en particular nuestro problema son los métodos iterativos en la resolución de ecuaciones no lineales de una variable ya que no tienen una solución exacta y que son base de los sistemas numéricos. Existen diferentes métodos para la resolución de este tipo de problemas, muchos de estos métodos les pueden resultar difíciles de entender a los estudiantes por la manera en que comúnmente son descritos. 6 1.1.1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ¿De qué manera se puede dinamizar el aprendizaje de ecuaciones no lineales mediante el método de bisección y el método de Newton Raphson? 1.1.2. SISTEMATIZACIÓN DEL PROBLEMA ¿Cómo funciona el método de bisección y el método de Newton Raphson? ¿Cuáles son los beneficios al utilizar el método de bisección y el de Newton Raphson? ¿Cuál de los dos métodos es el más eficiente a la hora de resolver ecuaciones no lineales? 7 2. OBJETIVOS 2.1. OBJETIVO GENERAL Desarrollar una aplicación de consola que nos permita obtener la raíz de una ecuación no lineal mediante el método de bisección y el método de Newton Raphson. 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer los métodos a utilizar para la posterior implementación en un lenguaje de programación. Analizar las ventajas y desventajas de uso del método de bisección y el método de Newton Raphson. Realizar una comparación entre el método de bisección y el método de Newton Raphson. 8 3. JUSTIFICACIÓN Mejorar el entendimiento de diversas áreas es esencial para que los estudiantes tengan un mayor enfoque y expectativa sobre la materia que va a desarrollar a lo largo de su carrera, así de alguna manera poder tener más motivación sobre lo que se quiere alcanzar. Se escogieron estos métodos por no solo ser los más utilizados a la hora de resolver ecuaciones no lineales, sino también porque destacan gracias a su importante propiedad de siempre converger en una solución en el caso del método de bisección, esto puede ser negativo y positivo ya que pueden converger muy lenta e inadvertidamente aproximaciones intermedias. Fundamentalmente se quiere lograr que los estudiantes de la carrera de Ingeniaría en Telemática en base a estos métodos puedan facilitar el análisis de error de las funciones y tener una máxima aproximación de los valores de manera sencilla al tener una aplicación que pueda resolver rápidamente las iteraciones y así resolver un gran problema, el tiempo que se toma. Al realizar esta aplicación de consola se está tomando en consideración los factores que la a mayoría de estudiantes se les dificulta, recordemos que, resolver un problema no es sólo descubrir un procedimiento para llegar desde los "datos" a las "metas" del problema, conlleva el proceso de interpretar una situación matemáticamente, la cual por lo general supone varios ciclos iterativos de expresar, hacer pruebas y revisar interpretaciones matemáticas, y de ordenar, combinar, modificar, revisar o refinar conceptos matemáticos. 9 CAPÍTULO 2 10 4. MARCO TEÓRICO 4.1. Sistema De Ecuaciones No Lineales Llamamos sistema no lineal a un sistema de ecuaciones en el que una o ambas de las ecuaciones que forman el sistema es una ecuación no lineal, es decir, cuando alguna de las incógnitas que forman parte de la ecuación no son de primer grado. Por tanto en este tipo de sistemas nos podemos encontrar polinomios de segundo grado, raíces, logaritmos, exponenciales, etc. [1] 4.2. Método De Bisección Está basado en dos teoremas, el teorema de Bernard Bolzano (quien demostró el método por primera vez) y el teorema del valor medio, posteriormente el matemático Augustin-Louis Cauchy da un asegunda demostración el 1821. [2] El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz. Esto se logra llevar a cabo a través de varias iteraciones que son aplicadas en un intervalo para por medio de ello encontrar la raíz de la función [3]. Se aplica a funciones algebraicas o trascendentes y proporciona únicamente raíces reales. Tiene su origen en un popular algoritmo de búsqueda de datos en arreglos vectoriales denominado “Búsqueda binaria”. [4] Es un método cerrado, es decir, requiere de un intervalo en el cual se esté atrapada una raíz. Básicamente, consiste en cortar el intervalo en dos justo por la mitad (bisectar) y considerando a este punto como una aproximación de la raíz de la función. [4] Debe determinarse si la raíz verdadera se encuentra a la derecha o a la izquierda de la aproximación y, según corresponda, cerrar el intervalo con la aproximación y el límite derecho o izquierdo pero siempre manteniendo a la raíz verdadera en el intervalo. Esta operación se repite hasta que la diferencia entre las dos últimas aproximaciones es menor que una tolerancia preestablecida. [4] 11 Bisección es un método robusto, aunque resulta lento en su proceso por lo oneroso de los cálculos que deben realizarse; por otra parte, su convergencia puede en ocasiones ser inestable. [4] El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. Una sugerencia inicial sería finalizar el cálculo cuando el error verdadero se encuentre por debajo de algún nivel prefijado. Puede decidirse que el método termina cuando se alcance un error más bajo, por ejemplo, al 0.1. Por lo tanto, se requiere estimar el error de forma tal que no se necesite el conocimiento previo de la raíz. Se puede calcular el error relativo porcentual 𝜺𝒂 de la siguiente manera: 𝒙𝒓 𝒏𝒖𝒆𝒗𝒐 − 𝒙𝒓 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝜺𝒂 = | | 𝟏𝟎𝟎% 𝒙𝒓 𝒏𝒖𝒆𝒗𝒐 donde 𝒙𝒓 𝒏𝒖𝒆𝒗𝒐 es la raíz en la iteración actual y 𝑥𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 es el valor de la raíz en la iteración anterior. Se utiliza el valor absoluto, ya que por lo general importa sólo la magnitud de 𝜀𝑎 sin considerar su signo. Cuando 𝜀𝑎 es menor que un valor previamente fijado 𝜀𝑠 , termina el cálculo. [5] 4.2.1. Características Del Método De Bisección Es un método muy didáctico. Útil en cualquier ecuación. Si las condiciones se cumplen. converge con seguridad (+, -). Algoritmo muy sencillo. 12 La precisión la fija el usuario, de acuerdo a sus necesidades. Ocupa poca memoria. Operaciones muy sencillas. Poco error de redondeo. Método lento. [2] 4.2.2. Algoritmo De Bisección El algoritmo emplea funciones definidas por el usuario para volver más eficientes la localización de las raíces y la evaluación de las funciones. Además, se le pone un límite superior al número de iteraciones. Por último, se incluye la verificación de errores para evitar la división entre cero durante la evaluación del error. Éste podría ser el caso cuando el intervalo está centrado en cero. En dicha situación la ecuación tiende al infinito. Si esto ocurre, el programa saltará la evaluación de error en esa iteración. El algoritmo no es amigable al usuario; más bien está diseñado estrictamente para dar la respuesta. [5] 4.2.3. Minimización de las evaluaciones de una función El algoritmo de bisección es adecuado si se quiere realizar la evaluación de una sola raíz de una función que es fácil de evaluar. Sin embargo, hay muchos casos en ingeniería que no son así. Por ejemplo, suponga que se quiere desarrollar un programa computacional que localice varias raíces. En tales casos, se tendría que llamar al algoritmo miles o aun millones de veces en el transcurso de una sola ejecución. Además, en un sentido más general, la función de una variable es tan sólo una entidad que regresa un solo valor para un solo valor que se le da. [5] Visto de esta manera, las funciones no son simples fórmulas como las ecuaciones de una sola línea de código resueltas en los ejemplos anteriores de este capítulo. Por ejemplo, una función 13 puede consistir de muchas líneas de código y su evaluación llega a tomar un tiempo importante de ejecución. [5] En algunos casos, esta función incluso representaría un programa de computadora independiente. Debido a ambos factores es imperativo que los algoritmos numéricos minimicen las evaluaciones de una función. [5] 4.3. Método De Newton Raphson Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es 𝑥𝑖 , entonces se puede trazar una tangente desde el punto [𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖 )] de la curva. Por lo común, el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz. [5] El método de Newton-Raphson se deduce a partir de esta interpretación geométrica (un método alternativo basado en la serie de Taylor). Se tiene que la primera derivada en x es equivalente a la pendiente: 𝒇′ (𝒙𝒊 ) = 𝒇(𝒙𝒊 ) − 𝟎 𝒙𝒊 − 𝒙𝒊+𝟏 Que se arregla para obtener 𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 − 𝒇(𝒙𝒊 ) 𝒇′(𝒙𝒊) La cual se conoce como fórmula de Newton-Raphson. [5] 14 No hay un criterio general de convergencia para el método de Newton Raphson. Su convergencia depende de la naturaleza de la función y de la exactitud del valor inicial. La única solución en estos casos es tener un valor inicial que sea “suficientemente” cercano a la raíz. ¡Y para algunas funciones ningún valor inicial funcionará! Los buenos valores iniciales por lo común se predicen con un conocimiento del problema físico o mediante el uso de recursos alternativos, tales como las gráficas, que proporcionan mayor claridad en el comportamiento de la solución. Ante la falta de un criterio general de convergencia se sugiere el diseño de programas computacionales eficientes que reconozcan la convergencia lenta o la divergencia. [5] Vamos a construir el método de Newton Raphson en el caso bidimensional; construcción que se generaliza a dimensiones mayores. Consideremos el sistema: 𝑢 = 𝑓1 (𝑥, 𝑦) (1) 𝑣 = 𝑓2 (𝑥, 𝑦) Que puede verse como una transformación del plano XOY en el plano UOV. Si estamos interesados en el comportamiento de esta transformación cerca del punto (𝑥0 , 𝑦0 ), cuya imagen es el punto (𝑢0 , 𝑣0 ), y si las dos funciones tienen derivadas parciales continuas, entonces podemos usar la diferencial del sistema para escribir un sistema de aproximaciones incrementales lineales válidas cerca del punto (𝑥0 , 𝑦0 ) en cuestión: (2) 𝑢 − 𝑢0 ≈ 𝑑 𝑑 𝑓1 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓 (𝑥 , 𝑦 )(𝑦 − 𝑦0 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1 0 0 𝑣 − 𝑣0 ≈ 𝑑 𝑑 𝑓2 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓 (𝑥 , 𝑦 )(𝑦 − 𝑦0 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 0 0 15 El sistema (2) es una aproximación lineal local que nos da una idea del efecto de pequeños cambios en las variables independientes producen en variables dependientes. Si usamos la matriz jacobiana 𝐽(𝑥0 , 𝑦0 ), esta relación se escribe de forma más cómoda como (3) 𝑑 𝑑 𝑓1 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓 (𝑥 , 𝑦 ) 𝑢 − 𝑢0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1 0 0 𝑥 − 𝑥0 [𝑣 − 𝑣 ] ≈ [𝑦 − 𝑦 ] 𝑑 𝑑 0 0 𝑓2 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓2 (𝑥0 , 𝑦0 ) [𝑑𝑥 𝑑𝑦 ] Si escribimos el sistema (1) como una función vectorial 𝑉 = 𝐹(𝑋), entonces la matriz jacobiana 𝐽(𝑥0 , 𝑦0 ) es análogo bidimensional a la derivada, porque la relación (3) queda (4) ∆𝐹 ≈ 𝐽(𝑥0 , 𝑦0 )∆𝑋 Usaremos la aproximación (4) para desarrollar el método de Newton bidimensional. Consideremos el sistema de ecuaciones que resulta de igualar 𝑢 y 𝑣 a cero en (1): (5) 0 = 𝑓1 (𝑥, 𝑦) 0 = 𝑓2 (𝑥, 𝑦) Supongamos que (𝑝, 𝑞) es una solución de (5) es decir: (6) 0 = 𝑓1 (𝑝, 𝑞) 0 = 𝑓2 (𝑝, 𝑞) Si consideramos pequeños cambios de las funciones cerca de un punto inicial (𝑝0 , 𝑞0 ) próximo a la solución (𝑝, 𝑞): (7) ∆𝑢 = 𝑢 − 𝑢0 ∆𝑣 = 𝑣 − 𝑣0 ∆𝑝 = 𝑥 − 𝑝0 ∆𝑞 = 𝑦 − 𝑞0 16 Ponemos (𝑥, 𝑦) = (𝑝, 𝑞) en (1) y usamos (6), de manera que (𝑢, 𝑣) = (0,0) entonces los cambios en las variables dependientes son: (8) 𝑢 − 𝑢0 = 𝑓1 (𝑝, 𝑞) − 𝑓1 (𝑝0 , 𝑞0 ) = 0 − 𝑓1 (𝑝0 , 𝑞0 ) 𝑣 − 𝑣0 = 𝑓2 (𝑝, 𝑞) − 𝑓2 (𝑝0 , 𝑞0 ) = 0 − 𝑓2 (𝑝0 , 𝑞0 ) Ahora usamos los resultados de (8) en la aproximación lineal (3) y obtenemos: (9) 𝑑 𝑑 𝑓1 (𝑝0 , 𝑞0 ) 𝑓 (𝑝 , 𝑞 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1 0 0 ∆𝑝 𝑓 (𝑝 , 𝑞 ) [ ] ≈ −[ 1 0 0 ] ∆𝑞 𝑑 𝑑 𝑓2 (𝑝0 , 𝑞0 ) 𝑓2 (𝑝0 , 𝑞0 ) 𝑓2 (𝑝0 , 𝑞0 ) [𝑑𝑥 𝑑𝑦 ] Si la matriz jacobiana 𝐽(𝑝0 , 𝑞0 ) que aparece en (9) es invertible, entonces podemos despejar ∆𝑃 = [∆𝑝 ∆𝑞]´ = [𝑝 𝑞 ]´ − [𝑝0 𝑞0 ]´ de manera que (10) ∆𝑃 ≈ −𝐽(𝑝0 , 𝑞0 )−1 𝐹(𝑝0 , 𝑞0 ) Esto nos proporciona la siguiente aproximación 𝑃1 a la solución 𝑃 = [𝑝 (11) 𝑞 ]: 𝑃1 = 𝑃0 + ∆𝑃 = 𝑃0 − 𝐽(𝑝0 , 𝑞0 )−1 𝐹(𝑝0 , 𝑞0 ) Hagamos notar que la fórmula (11) es la generalización de la iteración del método de Newton 𝑓(𝑝 ) Raphson para funciones de una variable que, como vimos es 𝑝1 = 𝑝0 − 𝑓´(𝑝0 ) 0 4.3.1. Algoritmo para el método de Newton-Raphson Un algoritmo para el método de Newton-Raphson se obtiene fácilmente al sustituir la ecuación por la fórmula predictiva. Observe, sin embargo, que el programa también debe modificarse para calcular la primera derivada. Esto se logra incluyendo simplemente una función definida por el usuario: 17 1. Se debe incluir una rutina de graficas en el programa. 2. Al final de los cálculos, se necesitará sustituir siempre la raíz final calculada en la función original, para determinar si el resultado se acerca a cero. Esta prueba protege el desarrollo del programa contra aquellos casos en los que se presenta convergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de 𝜀𝑎 , mientras que la solución aún está muy lejos de una raíz. 3. El programa deberá incluir siempre un límite máximo permitido del número de iteraciones para estar prevenidos contra soluciones oscilantes, de lenta convergencia o divergentes que podrían persistir en forma interminable. 4. El programa deberá alertar al usuario para que tome en cuenta la posibilidad de que 𝑓′(𝑥), sea igual a cero en cualquier momento durante el cálculo. [5] 4.3.2. Esquema Del Método De Newton Raphson Supongamos que hemos obtenido Pk . Paso 1. Evaluamos la función f (p , q ) F(Pk ) = [ 1 k k ] f2 (pk , q k ) Paso 2. Evaluamos la matriz jacobiana d d f1 (pk , q k ) f (p , q ) dx dy 1 k k J(Pk ) = d d f2 (pk , q k ) f (p , q ) [dx dy 2 k k ] Paso 3. Calculamos ∆P resolviendo el sistema lineal J(Pk )∆P = −F(Pk ) Paso 4. Calculamos el siguiente punto 18 𝑃𝑘+1 = 𝑃𝑘 + ∆𝑃 Y se repite el proceso 19 4.4. Comparación De Los Métodos. 4.4.1. Ventajas Del Método de Bisección. Una ventaja del método de Bisección es que podemos determinar a priori, la cantidad mínima de iteraciones necesarias para alcanzar una determinada cota de error, es decir podemos asegurarnos que la longitud del intervalo que encierra la raíz sea menor que un cierto valor épsilon. Por lo tanto no importará, cuál de los extremos de dicho intervalo final tomemos como solución, pues la diferencia entre cualquiera de ambos y la solución real estará acotada por la longitud de dicho intervalo. Dado por los siguientes puntos: Siempre converge. Útil como aproximación inicial de otros métodos. [6] 4.4.2. Desventajas Del Método de Bisección. Es muy lento en su convergencia, y utiliza mucho tiempo (en comparación con otros métodos). No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones calculadas, solo tiene en cuenta el signo de f (x). [6] 4.4.3. Ventajas del método de Newton-Raphson. El método de newton es eficiente en la solución de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisión en los resultados. Dado por los siguientes puntos: Convergencia rápida. El método de Newton converge cuadráticamente para raíces simples y linealmente para raíces múltiples. Encuentra raíces complejas (el valor inicial debe ser complejo) [7] 20 4.4.4. Desventajas del método de Newton-Raphson Aunque en general el método de Newton-Raphson es muy eficiente, hay situaciones donde se comporta de manera deficiente. Por ejemplo en el caso especial de raíces múltiples y también cuando se trata de raíces simples, se encuentran dificultades. Dado por los siguientes puntos: Necesita calcular la derivada. (Método de la secante). No se pueden prever la cantidad de iteraciones a partir de una cota de error. No siempre converge. (No se puede asegurar la convergencia si en [a,b], f’(x) = 0, f’’(x) cambia de signo, la tangente cae fuera del intervalo). [7] 4.4.5. Conclusión De La Comparación De Los Métodos. El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. El método de Newton Raphson trabaja con un proceso iterativo (más rápido) a diferencia del de bisección que trabaja sobre intervalos. Cada método tiene sus ventajas y desventajas, dependiendo de la función que se desea usar. Enfocándonos en el método de Bisección, es un estilo más simple que el de Newton-Raphson, pero es más lento a la hora de converger. Newton-Raphson no tiene un criterio de convergencia, y dependiendo de la función tiende a la divergencia, pero cuando converge, lo hace de manera rápida. 21 Bibliografía [1] Laura, «La Guía,» 20 Diciembre 2012. [En línea]. Available: https://matematica.laguia2000.com/general/sistema-de-ecuaciones-no-lineales. [Último acceso: 18 Junio 2018]. [2] C. Garcia, «Procesos Numericos,» 03 Septiembre 2014. [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/procesosnumericos120142/home/practica-1/metodoscerrados/biseccion. [Último acceso: 06 Junio 2018]. [3] R. Campos, «Ingenieria en Procesos Industriales,» WordPress.com, 09 Abril 2014. [En línea]. Available: https://reynacampos.wordpress.com/2014/04/09/metodo-de-biseccion-y-newtonraphson/. [Último acceso: 06 Junio 2018]. [4] I. J. J. C. Rojas, «Solución de ecuaciones algebraicas y transcendentes: Método de bisección,» 2006. [En línea]. Available: http://www.ingenieria.unam.mx/~pinilla/Tema1/Biseccion.pdf. [Último acceso: 10 06 2018]. [5] S. C. C. y. R. P. Canale, Métodos Numéricos Para Ingenieros Quinta Edición, Estados Unidos: McGrawHill, 2007. [6] J. L. Cano, «Pybonacci,» 18 Abril 2012. [En línea]. Available: https://www.pybonacci.org/2012/04/18/ecuaciones-no-lineales-metodo-de-biseccion-ymetodo-de-newton-en-python/. [Último acceso: 12 07 18]. [7] «Métodos Numéricos – Cap 3: Resolución de ecuaciones,» 08 Agosto 2013. [En línea]. 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