ALGEBRA P

Expresiones Algebraicas y
Teoría de Exponentes
EXPRESION ALGEBRAICA (E.A.)
Exponente
- 9 x3
Es una expresión matemática en la cual para la
variable o variables sólo se definen las operaciones
aritméticas (Adición, Sustracción, Multiplicación,
División, Radicación y Potenciación), en forma
FINITA y sin variables como exponentes.
Coeficiente
: Son aquellas expresiones que
tienen un valor fijo. Generalmente
se utilizan las primeras letras del
abecedario para representarlas.
CONSTANTE
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos términos que tienen la misma
parte literal, afectados de iguales exponentes.
Dos términos se pueden sumar o restar si son
semejantes, para lo cual se suma o se restan los
coeficientes y se escribe, la misma parte literal.
: Es
un valor arbitrario o
desconocido, representa a una
cantidad
en
forma
general.
Frecuentemente
para
representarlas, se utilizan Las
últimas letras del abecedario.
VARIABLE
Ejemplos:
6
Variable
5
;
,
29
Ejemplos:
CLASIFICACIÓN
ALGEBRAICAS
;
,
LAS
EXPRESIONES
EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL (EAR)
Son expresiones en las cuales sus variables están
afectadas por exponentes enteros o también
porque el subradical no tiene letras, pudiendo
contener a su vez términos independientes.
de éstas condiciones anteriores, es una expresión
no algebraica o Trascendente.
Ejemplos de expresiones NO algebraicas:
1) 3x - log x2
2) 1 + x - x2 + x3 - x4 + ...
3) 2x + sen2x – arctanx + 1
Ejemplos:
ü
ü
é2 x 1ù é 4 2 n ù
ê 4 3ú = ê3 y 4 a ú
ë
û ë
û
,
2
5
3
35
Término independiente(puesto que
42
es la variable)
a) Expresión Algebraica Racional Entera
(EARE)
Cuando los exponentes de sus variables son
enteros positivos incluyendo el cero.
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es una expresión algebraica previamente reducida
donde no se define las operaciones de adición ni
sustracción entre las variables.
Ejemplos:
PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO:
1.
2.
3.
DE
; 4 x7 y
Se clasifican tomando en cuenta los exponentes de
las variables (clasificación por su naturaleza). Así:
RECUERDA: Si una expresión no cumple con una
4)
7 x7 y ; - p x7 y
4x3 y ;
Coeficiente (incluyendo al signo)
Parte literal o Parte variable.
Exponentes de las variables.
x+4
;
6
b) Expresiones
Fraccionaria
159
2x3 - y
Algebraicas
Racional
(EARF).- Cuando los
exponentes de sus variables son enteros
negativos.
Propiedades:
am . an = am + n
1.
Ejemplo:
7
x3
3
;
4 xyz - 3
am
2.
2x6
3
-8y +
9 3
y z
z + x2
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
IRRACIONAL
(EAI)
Son expresiones en las cuales las variables
están afectadas por lo menos un exponente
fraccionario (ℚ), es decir donde se define por lo
menos una
radicación que involucre a las
variables.
3.
(ab) n = an bn
4.
n
an
æaö
ç ÷ = n ; b¹0
èbø
b
5.
( am ) n = a mn = ( an ) m
6.
a -n =
7.
æaö
ç ÷
èbø
8.
n
a = an
9.
n
ab = n a .
Ejemplos:
6
3 5
x ;
2 xyz 4
2
; 4 x 7 y 5 + 3 yz
= am - n , a ¹ 0
an
Potenciación: Es la operación que consiste en
multiplicar un número, llamado base, tantas veces
como otro número llamado exponente.
Representación:
13.
n
a¹0
n
æbö
=ç ÷ ; a¹0
èaø
, b¹0
1
b
TEORÍA DE EXPONENTES
;
an
n a =
10.
11.
-n
1
n
a
n
b
n
b
,b¹0
m
am = a n = ( n a ) m
12. am .
n
ap =
m n p
n
am n . ap
a = mn p a
Sea:
bn = p
Þ
p = b.b.b.b.b.b............b
CASOS PARTICULARES
“n” factores
1.-
donde: b : base, b ∈
0
n : Exponente (n ∈ )
x
y n
am
b
z
p
n
m
p
x
.
y
x
.
x
c =a . b
. c y.z
Ejemplo:
6
60
4
2 4 3 6 5 60
2
3
5
= 2 2 . 3 (2)(3) . 5 (5)(3)(2) = 300
bn : n-ésima potencia de b.
Ejemplo:
2.-
35 = 3.3.3.3.3 = 243
x
y n
am
a
z
x.y.z (m. y + n)z + p
ap =
a
Ejemplo:
5 factores 3
34
160
3 6
3
2.3.2 ( 4.3 + 6)2 + 12 12 48
312 =
3
= 3
= 34
ECUACIONES EXPONENCIALES
PROBLEMAS RESUELTOS
Son igualdades donde la incógnita aparece en
el exponente, y en otros como base y exponente.
1. Determinar los posibles valores de “a” para que
la expresión:
xz 6
3
E ( x, y, z ) = 3 8 x a y 6 + y a - 2z3
5
2z a
Diferentes formas de ecuaciones:
racional entera.
1.- Ley de bases iguales:
a) {2, 4,6}
a x = a y Þ x = y ; "a > 0 Ù a ¹ 1
Þ 3x = 2
a
³0
3
a=b ; " x ¹ 0
Þ
a=3
;
a£6
a-2 ³ 0
Ù
;
2. Simplificar:
"a¹0
ì
ï
ïæ 3 3
4
ïç
3
3 3 4 27
ïç
ïç
E = íç
3 3
ïç
ïç
ïçè
ï
ïî
(x -3)(x -3) = 256Þ (x -3)(x -3) = 44 Þ x -3 = 4 \ x = 7
ax = by Þ x = y = 0
" a, b Î R - {0}
a) 1
5.- Formas Indeterminadas:
b) 3
Solución:
Usando las
exponentes
c) 9
3
- 6- 1 ü
3
ï
-3
ö
ï
÷
ï
÷
ï
ï
÷
ý
÷
ï
÷
ï
÷÷
ï
ø
ï
ïþ
d) 1/3
5.1)
n (n + 1) +
n (n + 1) +
n (n + 1) + ........ ¥ = n + 1
5.2)
n(n + 1) -
n(n + 1) -
n(n + 1) - ........ ¥ = n
4
- 6 -1
3
.( -33
).3 3
3
æ
ö 3
3
ç
÷
1
ç
÷
3
ç
.27 4 3 ÷
E = ç3
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
n
-1 3
æ
-3
ç
ç - 3 4 .33 6 .3 2
ç
-1 3
ç
ç
6
3
ç
3
.3 4
E =3è
5.3) n n
nn
n nN
¥
n
xN
x
5.4) x
=n Þ
a³2
Rpta. Alternativa “c”
Ejemplo:
4.-
6-a ³ 0
Luego, se obtiene que : a = { 3,6 }
\ x = 12
3.- Ley de simetría:
a a = bb Þ a = b
Ù
de donde:
Ejemplo:
(x - 4)3 = 512 Þ (x - 4)3 = 83 Þ (x - 4) = 8
e) {2,4,6}
Solución:
La expresión es racional entera, si se cumple
que:
\ x = 3/2
2.- Ley de Exponentes iguales:
ax = bx
c) {3,6}
b) {1,3,5}
d) {1,2,3}
Ejemplo:
27x = 9 Þ 33x = 32
; sea
=n
x=
n
propiedades
de
la
e)
3
33
teoría
de
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
E = 3 - 1 = 1/3
Rpta. Alternativa “d”
161
3. Sea la expresión algebraica racional entera
E ( x , y, z ) =
a+2
xa + 3 .
y
S = éa2 ( a + b) + 3ù + éa( a - b2 ) - 4ù = 8 - 1 = 7
êë
úû êë
úû
( a - 2)3
Rpta. Alternativa “d”
y- 5za - 7
5. Si : xn + 3 = (2x) n = ( 4x) n -1 , calcular el valor
Calcular uno de los valores de E(-2, -2, -2)
a) 215
b) 213
d) 218
e) 220
de: n + x
a) 3
b) 5
c) 221
a -2³0
Ù
Ù
Si xn + 3 = (2x) n , entonces
n
n -1
Asimismo, si x n + 3 = ( 4x) n -1 entonces x = 2 2
;
a£7
n
n -1
Luego : 2 3 = 2 2
Esto es a Î { 2,3, 4,5,6,7 }
Usando
E ( x , y , z ) = x a + 3 . y a + 3 .z 7 - a
ecuaciones exponenciales se tiene:
Luego:
la
propiedad:
ax = a y Þ x = y ,
Al simplificar la expresión
De donde: n = 3
E ( - 2, - 2, - 2 ) = ( - 2 ) a + 3 .( - 2 ) a + 3 .( - 2 ) 7 - a ;
Rpta. Alternativa “d”
4. Si los términos
2
E1 (x, y) = éa2 ( a + b) + 3ù x a - 1 yb + 3
êë
úû
[
b) 2
]
c) 5
d) 6
sus
e) 7
Solución:
Por definición de términos semejantes:
a2 - 1 = 2( a - 1)
de donde: a = 1
y
b+3 = 4
y
n n -1
=
3
2
x=2
Rpta. Alternativa “b”
Entonces: E ( - 2 , - 2 , - 2 ) = 2 8 . 2 8 . 2 2 = 2 18
4 b -1
E2 ( x, y) = a ( a - b2 ) - 4 x2( a - 1) y
son semejantes, hallar la suma de
coeficientes
y
de
Por tanto: n + x = 5
“a” es impar, si a = 5,
a) 0
e) 11
x =23
7-a³0
de donde:
a³2
d) 9
Solución:
Solución:
La expresión es racional entera, si se cumple que:
a+3³0
c) 7
b -1
b=4
Luego la suma de sus coeficientes es:
162
Gr ado de l as Expr esi ones
Algebr ai cas
De tercer grado: ax3 + bx2 + cx + d
DEFINICIONES PREVIAS:
o
o
MONOMIO : Expresión del tipo Racional
entera de UN solo término
Ejemplo:
4
Grados en operaciones con polinomios
POLINOMIO: Es aquella expresión
matemática
donde
intervienen
las
operaciones de adición y sustracción para
unir monomios.
Ejemplo:
4
7
8
2. GA [P(x) . Q(x) ] = m + n
Sean los polinomios P(x) de grado m, y Q (x) de
grado n (con m > n), entonces:
1. GA [P(x) ± Q (x) ] = m
é P( x) ù
3. GA ê
ú=m-n
ë Q( x) û
4. GA [P( x)] r = r.m
m
5. GA r P(x) =
,
r
GRADO DE UN POLINOMIO
Se denomina grado a la característica relacionada
con los exponentes de las variables de una
expresión algebraica. Se distinguen dos tipos de
grados: Grado Absoluto (GA) y Grado Relativo (GR).
POLINOMIOS ESPECIALES
Ø Polinomio Homogéneo
Es aquel polinomio cuyos términos tienen el mismo
grado absoluto. A éste grado común se le denomina
grado de homogeneidad.
Ejemplo :
Para un Monomio:
Grado Relativo: Es el exponente que afecta a la
variable indicada.
P( x, y, z ) = x3 - 6x2y + 7xy2 - 9y3
Grado Absoluto: Es la suma de los exponentes que
afectan a todas las variables indicadas.
Ejemplo:
Es un polinomio homogéneo de grado 3
PROPIEDAD:
Dado el monomio F (x,y,z) = -52x9y5x
GR(x) = 9
GR(y) = 5
GR(z) = 1
P( x, y) un polinomio homogéneo de grado "n"
n
Entonces: P (kx, ky) = k p ( x, y )
Sea
GA(F) = 15
Para un Polinomio:
Ø Polinomio Ordenado
Grado Relativo: Es el mayor exponente que afecta
a la variable seleccionada en toda la expresión.
Con respecto a una variable, un polinomio está
ordenado si los exponentes de esta variable lo
están ya sea en forma ascendente o descendente,
no necesariamente en forma consecutiva.
Ejemplo:
Grado
Absoluto:
Es
el
grado
absoluto
(simplemente grado), del término de mayor grado
en dicho polinomio.
Dado el polinomio
P(x,y) = x5y - x3y2 + xy3 , es un polinomio ordenado
en forma descendente respecto a "x" y en forma
ascendente respecto a "y".
P( x, y) = 7 x 7 y 2 - 3x 4 y 6 + 5x 5 y 3
GR(x) = 7
GR(y) = 6
r¹0
GA = 10
Ø Polinomio completo
Nota: El grado del término independiente es cero.
Con respecto a una variable, un polinomio es
completo, si existen todos los exponentes de dicha
variable, desde el exponente 0 hasta el grado del
polinomio.
Representación general de polinomios de acuerdo
al grado
Considerando la variable "x" y las constantes a, b, c
y d tal que a ¹ 0, tenemos :
De grado cero: a
Teorema: Si un polinomio es completo en una variable,
entonces el número de términos es igual a su grado
aumentado en 1, es decir:
NT = GA + 1
De primer grado: ax + b
De segundo grado: ax2 + bx + c
Ejemplo:
163
P(x) =
2 +x5 +
2x-
p
x4 + 4x3+ (
2 -1)x2,
Si P(x) = ax4 + bx + c es idénticamente nulo. Se
cumplirá que: a = b = c = 0 y se representa por :
P(x) º 0
es
de quinto grado con seis términos.
Ø Polinomio entero en “x”
Valor numérico de un polinomio
Es aquel que depende únicamente de la variable "x",
siendo sus coeficientes números enteros.
Ejemplo :
Es el valor que adquiere un polinomio cuando se le
asigna un determinado valor a su variable.
Ejemplo:
P(x) = 3x3 + 2x2 - 1 , es un polinomio entero en "x"
de tercer grado.
Si
P(1) = (1)3 – 5(1)2 + 4 = 0
Ø Polinomio mónico
P(-2) = (-2)3 – 5(-2)2 + 4 = 6
Es aquel polinomio entero en
"x"
que se
caracteriza por que su coeficiente principal
(coeficiente de la variable con mayor exponente) es
igual a la unidad.
Ejemplo :
P(x) = x5 – 5x + 8,
Nota :
La suma de los coeficientes del polinomio P(x) es
P(1), es decir,
S coef. de P(x) = P(1)
es un polinomio mónico de
El término independiente del polinomio
P(0), es decir
T. I. de P(x) = P(0)
quinto grado.
Ø Polinomios idénticos
1. Hallar la suma de valores de “n” para los cuales
la expresión.
4x
10 - 2 n
2
a) –14
128
- 3y 2
n
es un polinomio
b) 8 c) 6
d) 9 e) 3
Solución
Por ser polinomio:
Teorema: Polinomios idénticos son aquellos cuyos
términos semejantes poseen el mismo coeficiente.
10 - 2 n
ÎN
2
Ø Polinomios equivalentes
y
128
ÎN
2n
Sólo se cumple si: n = 1,2,3
Son aquellos polinomios que teniendo formas
diferentes aceptan igual valor numérico para un
mismo sistema de valores asignados a sus variables.
Ejemplo. Dados los polinomios
å n = 1+2+3 = 6
Respuesta : alternativa “c”
2. En el polinomio homogéneo
P(x,y) = (x + y)2 + (x - y)2
x 4n -1 + x 4n - 2 y + L + xy 4n - 2 + y 4n -1
Q (x,y) = 2(x2 + y2)
que
también es completo y ordenado se verifica que
la suma de los grados absolutos de sus
términos es de 240.
Hallar su grado de
homogeneidad:
a) 4 b) 15 c) 16 d) 60 e) 4n
P(x,y) y Q (x,y) son equivalentes
y denotamos:
P(x,y)
P(x) es
EJERCICIOS RESUELTOS
Dos o más polinomios en las mismas variables son
idénticos, cuando tienen los mismos valores
numéricos para cualquier valor que se le asigne a
sus variables.
Ejemplo:
P(x,y) = (x+y)2-4xy
Q(x,y) = (x-y)2
Vemos que P y Q tienen el mismo valor numérico, y
se denota por: P(x,y) º Q(x,y)
Nótese que :
P(x) = x3 – 5x2 + 4, entonces
Q (x,y)
Ø Polinomio idénticamente nulo
Solución
Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su
valor es cero para cualquier valor de la variable.
Ejemplo:
Por dato del problema :
164
å de los grados absolutos = 240, entonces
Solución
(4n-1) + (4n-1) + (4n-1) + LL + (4n-1) = 240
I. å coef = P(1)
como el polinomio es completo, homogéneo y
ordenado, entonces :
# de términos = G.A. + 1
además
G.A. = 4n - 1
entonces
# de términos = 4n
Si x = 0
→ P(1) = 22n . 72 . 7 = 2n . 343
II. T. Ind. = P(o)
Si: x = -1
→ P(o) = (-1)2n . (-5 + 7)2 . (-4 + 7)= 22 . 3
luego
Por dato: 3(22n . 343) = 343 . 22 . 3
( 4n - 1) + ( 4n - 1) + L + ( 4n - 1) = 240
144444424444443
n=1
4n veces
Respuesta: alternativa “c”
4n(4n-1) = 240
de donde
5. Determinar el valor de “k” si el polinomio
n=4
luego el grado de homogeneidad es:
P(x, y) = x
4n-1 = 15
Respuesta: alternativa “b”
a2 + a + k
- 2x
b2
5 a +1
y
+ 3y
b2 + 20
5
es homogéneo ; a < b < 9 , k Î Z
Solución
3. Dado el polinomio P(x) y Q(x), se sabe que los
como P(x,y) es homogéneo entonces:
polinomios: P3(x).Q(x) y P3(x) ¸ Q2(x), son de
a2 + a + k =
grado 17 y 2 respectivamente. Hallar el grado
b) 6
c) 10
d) 15
e) 9
b2
b2
+ a+1=
+4 Þ
5
5
Solución
Sea P(x) un polinomio de grado m
Sea Q(x) un polinomio de grado n
P3(x) ¸ Q2(x) = 3m – 2n
Entonces:
puesto que
3m + n = 17
a2 + a + k =
de donde m = 4 y n = 5
entonces P(x).Q(x) es de grado:
Þ
m+n=9
4. En el polinomio
P(x + 1) = (3x+2)2n (5x+7)2 (4x+7)
Se observa que:
3å coef = 343 veces el término independiente
Calcular el valor de n
c) 1
debe ser entero por ser
d) 2
b 2 + 20
Þ 12 + k = 9
5
k = -3
Respuesta: alternativa “c”
Respuesta: alternativa “e”
b) 3
b2 + 20
5
P(x,y) un polinomio, entonces b = 5. ahora
3m – 2n = 2
a) 4
a=3
luego como a < b < 9 entonces 3 < b < 9 y
P3(x).Q(x) = 3m + n
Luego:
Þ
b2
b2 + 20
+ a +1 =
5
5
de P(x).Q(x).
a) 4
b2
b 2 + 20
+ a +1 =
5
5
e) 0
165
Operaciones con Expresiones Algebraicas
Multiplicación Algebraica
Productos Notables
Dentro del cálculo algebraico es frecuente la
transformación de una expresión algebraica en otras
equivalentes, cuando estas permiten algunas
reducciones
o
simplificaciones,
estas
transformaciones reciben el nombre de operaciones
algebraicas, Así tenemos:
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:
Para multiplicar dos polinomios, tenemos dos
métodos:
a) Método Normal
b) Método de los coeficientes separados; que se
emplea por lo general para multiplicar polinomios de
una sola variable ó polinomios homogéneos con dos
variables.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Ejemplo:
1.- Después de efectuar el producto:
Es la operación que consiste en sumar o restar
términos semejantes (Simplificación de términos
semejantes) y se procede de la siguiente manera:
1.
2.
(4x3 + 7 x2 - 6) (2x2 - 3x - 4)
Dar el menor coeficiente de dicho producto.
Se suman algebraicamente los coeficientes
Se escribe la misma parte literal
Ejemplo:
a) -37
d) 8
e) 24
En primer lugar se completan y se ordenan las
expresiones (de preferencia en forma descendente),
luego se multiplica cada término del multiplicador por
cada uno del multiplicando, así:
si: Q = 8xy + 3y2 + 7
2
c) 2
solución:
P = 5x2 - xy + 9
Hallar P + Q - R
b) -40
2
R = 5x - 2xy + 9 y
Concluimos que: P + Q - R = 9 xy - 6 y 2 + 16
4x 3 + 7 x 2 + 0 x - 6
MULTIPLICACIÓN
ALGEBRAICAS
DE
EXPRESIONES
2 x 2 - 3x - 4
8 x 5 + 14 x 4 + 0 x 3 - 12 x 2
Es la operación que consiste en hallar una expresión
denominada producto “P(x)”, a partir de otras dos
expresiones llamadas
multiplicando “M(x)” y
multiplicador N(x)” ó simplemente factores; de modo
que:
- 12 x 4 - 21x 3 + 0 x 2 + 18 x
- 16 x 3 - 28 x 2 + 0 x + 24
8 x 5 + 2 x 4 - 37 x 3 - 40 x 2 + 18 x + 24
2.- Al multiplicar los polinomios:
A (x) = 2x4 + x2 - 5x + 2
M(x) × N(x) = P(x)
B ( x) = 3 x 3 - 2 x 2 + 5
se obtiene el polinomio producto con las siguientes
características:
1.- Su mayor coeficiente positivo es 16
2.- La suma de los coeficientes es -8
3.- El polinomio es completo
4.- El término independiente es 5
De las afirmaciones anteriores son verdaderas
solamente:
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:
Se Multiplican los signos, luego los coeficientes y por
último las partes literales utilizando la teoría de
exponentes.
Ejemplo: El producto de los monomios
A=-
3 3 4
x y z y B = -6x2y3z3 es:
2
a) 2 y 4
d) 1, 2 y 3
AB = 9x5y 7z4
166
b) 1 y 3
e) 2, 3 y 4
c) 3 y 4
Solución:
Se multiplican los polinomios, usando el método de los
coeficientes separados así tenemos:.
2
0
1 -5
3 -2
6
0
0
6
-4
7
0
3
6
Son casos especiales que se presentan dentro de la
multiplicación algebraica, en los cuales se puede
obtener el producto en forma directa, sin necesidad
de efectuar la operación.
2
5
3 - 15
-4
PRODUCTOS NOTABLES
6
Principales productos notables:
-2
10
-4
10
0
5 - 25 10
- 7 16
5
4
1
1. CUADRADO DE UN BINOMIO (Se obtiene un
Trinomio cuadrado perfecto)
- 25 10
3
1.1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2
Luego 6x - 4x + 3x - 7 x + 16x + x - 25x + 10
1.2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Rpta: Alternativa b
Corolario: Identidades de Legendre
Propiedades.1.
El grado del polinomio producto, es igual a la
suma de los grados de los polinomios factores.
2.
El término independiente del polinomio producto
es igual al producto de los términos
independientes de los factores.
Recuerda que:
Todo trinomio
de
la
forma
es cuadrado perfecto
si y sólo si :
Ejemplo 1. Se tienen los polinomios:
P(x) = 2x2 - 3x 4 - 5
Q(x) = x2 - 3x + 7
2. SUMA POR SU DIFERENCIA
Diferencia de cuadrados)
3
R(x) = 5x - 2x + 3
(Se obtiene
2.1) (a + b) (a - b) = a2 - b2
Luego tenemos que:
2.2) (an + bn ) (an - bn ) = a2 n - b2n
Grado[P(x).Q(x).R(x)] = 4 + 2 + 3 = 9
3. CUADRADO DE UN TRINOMIO
3.1) ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2b c
Término independiente del producto es:
(T.I.) = (-5) (7) (3) = -105
3.2) (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc
3.3) ( a - b - c)2 = (b + c - a)2
Ejemplo 2:. El grado del polinomio:
4. CUBO DE UN BINOMIO
4.1) ( a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3 ab2 + b3
P (x) = (x33 + 1)(x66 + 1)(x99 + 1).....(x198 + 1) es:
a) 545
b) 330
solución:
Grado de:
c) 495
d) 726
4.2) (a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3
e) 693
Formas de Cauchy
4.3) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab( a + b)
4.4) ( a - b)3 = a3 - b3 - 3ab( a - b)
P ( x) = 33 + 66 + 99 + ..... + 198
= 33 (1 + 2 + 3 + ...... 6)
Casos Particulares:
( a + b) 3 + ( a - b) 3 = 2a( a 2 + 3b2 )
= 693
(a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 +b2 )
(a + b)6 - (a - b)6 = 4ab(3a2 +b2 )(3b2 + a2 )
167
5. BINOMIO POR UN TRINOMIO (Se obtiene una
suma o diferencia de cubos)
(a 2 + b2 + c2 ) 2 = 2(a 4 + b 4 + c 4 )
a 4 + b 4 + c 4 = 2 (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )
5.1) (a + b) ( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3
5.2) ( a - b) ( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b3
a 4 + b 4 + c 4 = 1 / 2 ( a 2 + b 2 + c 2 )2
6. CUBO DE UN TRINOMIO :
6.1) Forma general:
a 5 + b 5 + c 5 = -5 a b c ( a b + b c + a c )
(a + b + c) = a + b + c + 3a b + 3a c + 3b a + 3b c + 3c a + 3c b + 6abc
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
6.2) Según Cauchy
(a + b + c)3 = a 3 + b3 + c3 + 3ab(a + b ) + 3bc(b + c) + 3ac(a + c) + 6abc
6.3) Formas usuales:
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b) ( a + c) (b + c)
( a + b + c)3 = 3( a + b + c)( a 2 + b2 + c2 ) - 2( a3 + b3 + c3 ) + 6 abc
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b + c) ( ab + ac + bc) - 3abc
æ a 2 +b2 +c2
ç
ç
2
è
öæ a 3 + b 3 + c 3
֍
֍
3
øè
ö a5 +b5 +c5
÷=
÷
5
ø
æ a2 +b2 +c2
ç
ç
2
è
öæ a 5 + b5 + c5
֍
֍
5
øè
ö a7 +b7 +c7
÷=
÷
7
ø
12. EQUIVALENCIAS:
7. PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO
COMÚN
Si
Ø
7.1) (x + a) (x + b) = x2 + ( a + b)x + ab
entonces
7.2)
a = b =c
( x + a )(x + b)( x + c) = x3 + ( a + b + c)x2 + ( ab + ac + bc)x + abc
7.3)
(x -a )( x - b ) (x -c )= x 3 -(a + b + c )x 2 + (a b + b c + c a )x -a b c
Si
Ø
8. IDENTIDADES DE LAGRANGE
entonces
8.1) ( a2 + b2 ) (x2 + y2 ) = (ax + by)2 + (ay - bx)2
8.2)Con tres incógnitas:
( a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) = ( ax + by + cz ) 2 + (ay - bx) 2
+ ( az - cx) + (bz - cy )
2
Si: x+
Ø
2
a = b = c o a + b + c =0
1
=m
x
entonces se cumple que:
9. IDENTIDAD DE ARGAND
( x 2m + x m y n + y 2n ) ( x 2m - x m y n + y 2n ) = x 4 m + x 2m y 2n + y 4n
Formas particulares más usuales:
Si: m=1 , n=1
(x2 + xy + y2 ) (x2 - xy + y2 ) = x4 + x2y2 + y 4
Si: m=1, n=0
x2 +
1
=m 2 -2
2
x
x3+
1
=m 3 -3m
3
x
x4+
(x2 + x + 1) (x2 - x + 1) = x 4 + x2 + 1
2
1
= m 2 -2  2
x4


1
3
10. EQUIVALENCIA DE GAUSS
a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a + b + c) ( a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
Ø
Si
Ø
Si
⋯
⇒
11. IDENTIDADES CONDICIONALES :
Si
a +b+c=0
, se cumple que:
a2 + b2 + c2 = -2 (ab + ac + bc)
a3 + b3 + c3 = 3abc
√
√
⟹
2
0
⋯
⋯
√
⋯
0
0
IDENTIDADES ESPECIALES:
168
0
a)
v
2
b) 4
Solución
c) 3
d)
1
e)
8
Efectuando en el dato se obtiene:
(a n ) 2 + (2b n ) 2 = 725 a n b n
v
(a + b)(a + c)(b + c) + abc= (a+ b + c)(ab+ ac+bc)
v
Completando cuadrados se tiene:
(a n + 2bn )2 = 729a nb n , de donde:
13. FORMAS POTENCIALES DE:
an + bn
(a n + 2bn ) = 27 a nb n
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
a3 + b3 = (a + b)3 -3ab(a +b)
Luego:
3
a n + 2b n
n n
= 3 27 = 3
a b
a4 + b4 = (a + b)4 - 4ab(a + b)2 + 2(ab)2
Respuesta: c) 3
a5 + b5 = (a + b)5 - 5ab(a + b)3 + 5(ab)2(a + b)
3.-Considerando:
ab = 3 100 - 3 10 + 1
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar
el
valor
a 2 + b2 = 3 10 + 1
numérico
Obtener:
de:
a) 1000 b) 88
E(x) = x6 - 6x 4 + 9x2 para
x=
3
7 - 6 +
3
b) 14
d) 18
e) 16
x=
3
al
cubo
7- 6 +
3
ambos
c) 12
x - 3x = 2 7
e) 99
tiene que:
(a + b) 4 - (a + b)4 = 8( 3 10 + 1)( 3 100 - 3 10 + 1)
= 8(11)
= 88
miembros
de:
7 + 6 se tiene:
Respuesta: b) 88
4.-Conociendo que:
x 3 = 7 - 6 + 7 + 6 + 3x , entonces
3
d) 168
(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a 2 + b 2 ) , de donde se
Solución
Elevando
c) 64
Solución Se sabe que:
7 + 6
a) 28
( a + b ) 4 - ( a - b) 4
ax + by = 8
ay - bx = 6
, luego elevando al cuadrado esta
a2 + b2 = 5
expresión:
( x3 - 3x ) 2 = ( 2 7 ) 2 , de donde se deduce que:
Calcule:
x6 - 6x 4 + 9x2 = 28
a) 16
x2 + y 2
b) 18
c)
20
d) 24
e) 25
Solución De la identidad:
Rpta: a) 28
(a 2 + b2 )( x 2 + y 2 ) = (ax + by )2 + (ay - bx)2 , se
n
2. Si
valor de E = 3
tiene que:
n
æaö
æbö
+
ç ÷ + 4ç ÷ = 725 a , b Î Â
b
a
è ø
è ø
an + 2bn
an bn
el
82 + 62
5
= 20
x2 + y 2 =
es:
Respuesta: c) 20
169
Respuesta: c) 36
5.-Si:
a6 = 2a3 + 1
Evaluar:
a) 1
b) 2
c) 3
d) -1
Solución Simplificando la expresión
M = (a - 1) (a + a + 1)
= (a - 1)
3
2
2
a) 5
d) 20
e) -2
M
b) 10
e) 25
valor de
es.
c) 15
Observa la propiedad y reemplaza:
2
(a + b)6 - (a - b)6 = 4ab(3a 2 + b 2 )(a 2 + 3b2 )
3
trinomio
Del dato se obtiene:
E = (a + b)6 - (a - b)6
E = (3 3)6 - (3 2)6
(a 3 - 1)2 = 2
1
424
3
M
E = 9 - 4=5
M =2
Respuesta: a)
Respuesta: b) 2
8.- La simplificación de
6.-Si:
ab(a + b) = 420
E=
(a + b)(a 2 + b2 ) = 888
Obtener el valor de:
b) 25
N =(
c) 36
d) 49
Efectuando en
N
( a+1)( a-1) ( a 4 +a 2 +1)( a 6 -a 3 +1)( a 6 +a 3 +1)
9
a +1
a) a3 -1
d) a9 + 1
a+b 2
)
a -b
b) a6 -1
e) a6 + 1
c) a9 -1
Solución:
e) 64
Solución
2
4 2
6 3
6 3
a -1)( a +a +1)( a -a +1)( a +a +1)
(
E=
se tiene:
9
a +1
6
6 3
6 3
a -1 a -a +1 a +a +1
a 2 + b 2 + 2 ab
N= 2
a + b 2 - 2ab
a2 + b2
+2
= 2 ab 2
a +b
-2
ab
E=
( )(
)(
9
a +1
12 6
a -1 a +a +1
( )(
)
6
E=
9
a +1
Del dato si dividimos la segunda parte entre la
primera resulta:
a 2 + b 2 888 222
=
=
ab
420 105
222
+2
N = 105
= 36
222
-2
105
170
( )( )
9
9
a -1 a +1 a -1
9
=
= a -1
9 +1
9
a
a +1
18
E=
Luego
2
E = 4ab(a 2 + 3b2 )(b2 + 3a 2 )
a14
- 24
2a +
31 = 2
a) 1
2
Solución:
, resulta:
2
6
Luego,
2
a - b = 3 2 el
y
E = 4ab(a + 3b )(b + 3a )
M = (a 2 - 2a + 1)(a 2 + a + 1)2
2
a +b = 3 3
7.- Si
)
es.
División Algebraica, Teorema
del Resto y Cocientes Notables
2. División de un polinomio entre un monomio.
Para dividir un polinomio entre un monomio se
divide cada uno de los términos del polinomio
separadamente entre el monomio divisor y se
suman algebraicamente cada uno de estos
términos. Es decir, aplicando la propiedad
distributiva de la división se tiene:
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La operación de división tiene por objeto calcular
dos
polinomios
denominados COCIENTE y
RESIDUO, partiendo de dos polinomios conocidos:
DIVIDENDO y DIVISOR.
a +b+c a b c
=
+ +
m
m m m
Donde se cumple que:
División Inexacta
Propiedad distributiva
Ejemplo 1: Dividir:
5x 4 - x 3 + 3x 5x 4 x 3 3x
=
+
= 5x 3 - x 2 + 3
x
x
x
x
División Exacta :
3. División de dos polinomios.
Para dividir polinomios se utilizan los siguientes
métodos:
Donde:
D(x) : Dividendo
Q(x) : Cociente
1.
2.
3.
4.
5.
d(x) : Divisor
R(x) : Resto o Residuo
PROPIEDADES DE LOS GRADOS:
1. En toda división el grado del cociente es igual al
grado del Dividendo menos el grado del divisor:
2. En toda división el grado del Dividendo es mayor
o igual que el grado del divisor.
3. En toda división el grado del divisor es mayor
que el grado del residuo.
4. El grado máximo que puede tomar el residuo
será uno menos que el grado del divisor (a
excepción de los polinomios homogéneos)
MÉTODO DE HORNER
º
[ R (x) ] max
= [d ( x) ] º - 1
Es un método de coeficientes separados que
permite encontrar el cociente y el residuo de la
división de dos polinomios, de cualquier grado, para
esto el dividendo y divisor deben estar completos y
ordenados, generalmente, en forma descendente
respecto a una variable (ordenatriz).
5. En la división de dos polinomios homogéneos el
cociente y el residuo también son polinomios
homogéneos, pero el grado absoluto del
dividendo es igual al grado absoluto del residuo.
Casos en la división:
1. División de monomios.
Ejemplos:
b)
- 3x2 y3z 2
- 24a mbn
6ab2
= - 14x yz
= - 4 am -1 bn -2
Esquema:
NOTA:
La división de
monomios
es
siempre exacta
Cambiar de signo
a)
3
clásico o general.
de coeficientes separados
de Horner.
de los coeficientes indeterminados
de Ruffini.
Antes de efectuar una división de polinomio,
debemos observar que el dividendo y divisor
sean polinomios completos y ordenados en
forma descendente, con respecto a la variable
ordenatriz. Si faltase algún término, ya sea en
el dividiendo o en el divisor, éste se completará
con “0”.
Por su facilidad es su aplicación, sólo
desarrollares los métodos de Horner y de
Ruffini
[Q (x)]o = [D (x)]o- [ d (x)]o
42x 5 y 4z 3
Método
Método
Método
Método
Método
171
d
i
v
i
s
o
r
D I V I D E N
COCIENTE
D O
RESIDUO
Procedimiento a seguir:
a) Se completan y ordenan los polinomios
dividendo y divisor con respecto a una sola
letra o variable. En caso exista dos o más
variables se asume a una de ellas como tal y las
demás hacen el papel de constantes.
b) Se distribuyen en forma horizontal los
coeficientes del dividendo y en forma vertical
los coeficientes del divisor, todos cambiados
de signo a excepción del primero
c) Se divide el primer coeficiente del dividendo
entre el primero del divisor, obteniéndose el
primer coeficiente del cociente. Luego éste se
multiplica por cada uno de los coeficientes del
divisor que han cambiado de signo y el
resultado se coloca en la segunda fila
corriéndose un lugar hacia la derecha
d) Se reduce la segunda columna y se repite el
paso anterior tantas veces hasta que la ultima
operación efectuada caiga debajo del ultimo
coeficiente del dividendo. Llegado este
momento se reducen las columnas que faltan
separando respectivamente los coeficientes
del resto y del cociente
e) El número de columnas que se separan para el
resto lo determina el grado del divisor,
contándose de derecha a izquierda
MÉTODO DE RUFFINI:
Se considera como un caso particular del método
de Horner y se utiliza cuando el divisor es de
primer grado siendo de la forma (ax ± b), (a ¹ 0) o
cualquier otra expresión transformable a ésta.
Procedimiento a seguir:
a) Los coeficientes del Dividendo (completo y
ordenado) se colocan en forma horizontal con
sus propios signos.
b) El divisor se iguala a cero, despejándose la
variable, cuyo valor se coloca en el ángulo
inferior izquierdo, según se muestra en el
diagrama siguiente:
D I V I D E N D
x=±
C O C I ENTE
c)
d)
Ejemplo: Efectúe la división e indique el cociente y
el residuo de:
e)
15x - 11x + 21x - x + 3
3x 2 - x + 2
5
4
3
2
Fíjese que falta el término en “x” en el dividendo.
Trazando el esquema y completando con “0” aquel
término, ubiquemos los coeficientes del dividendo y
divisor
y
Efectuando
las
operaciones
correspondientes se tiene:
3
15
-11
21 - 1
0
5
- 10
-2
-6
-2
4
9
3
-6
6
2
-4
2
-4
-1
5
-2
3
Caso 1. Divisor de la forma x ± a
x 4 + 2x3 - 3x2 + 2x - 3
x-2
Usamos el esquema de Ruffini
Ejemplo:
Dividir
1
2
-3
2
-3
1
2
4
8
5
10
12
24
21
2
donde:
EL Cociente es: Q(x) = x3 + 4x2 + 5x + 12
El Residuo es: R(x) = 21
Luego:
El cociente es: q(x ) = 5x 3 - 2x 2 + 3x + 2
Caso 2. Divisor de la forma ax ± b
El Residuo es: R(x ) = -4x - 1
Completo será: P(x) = 5x3 - 2x2 + 3x + 2 +
RESTO
El primer coeficiente del cociente resulta ser
el primer coeficiente del dividendo.
Este valor se multiplica por el valor despejado
de la variable y el resultado se coloca debajo
del coeficiente que sigue del dividendo, se
suman ambos valores, obteniéndose el segundo
término del cociente.
Se procede como en el caso (d), hasta llegar al
último término del dividendo, al reducir se
obtiene el residuo de la división.
3
1
O
-4x -1
3x2 - x + 2
Ejemplo 1: Dividir
172
4x 4 - 4x3 - x2 + 7 x - 5
2x - 3
Teorema: el resto (R) de dividir un polinomio P(x )
Usamos el esquema de Ruffini
4
3
2
4
2
-4
-1
7
6
3
3
2
2
2
2
entre un divisor binómico de la forma (ax + b ) , o
-5
cualquier otra expresión trasformable a ésta, se
obtiene el valor numérico de:
15
æ bö
R = Pç - ÷
è aø
10
10
2
Procedimiento a seguir:
a) Se iguala el divisor a “0”. Si el divisor es de
primer grado, se despeja “x”. si el divisor es de
grado mayor que 1, se despeja una expresión
adecuada (por lo general, la mayor potencia de
“x”).
b) Se acomoda el dividendo, formando en él la
expresión despejada anteriormente. Si el divisor
es de primer grado, no es necesario realizar esto.
c) Se reemplaza el valor de “x” (si el divisor es de
primer grado) o el valor de aquella expresión (si el
divisor es de grado mayor que 1), en aquel
dividendo. Luego de efectuar las operaciones
correspondientes, el resultado que se obtiene es
el resto
En este caso los coeficientes obtenidos en la
posición del cociente deben ser divididos entre el
coeficiente que acompaña a “x” en el divisor, es
decir entre 2. Luego:
El Cociente es: Q(x) = 2x 3 + x 2 + x + 5
El Residuo es: R(x) = 10
axn ± b
Caso 3. Divisor de la forma
Se debe cumplir que los exponentes de las
variables del Dividendo sean múltiplos del
exponente de la variable del divisor.
Ejemplo: 1
2x6 - x 4 - 2x2 - 2
Dividir
Ejemplo 1 :
x2 - 2
Haciendo : x2 = y
se obtiene:
2x5 - x 4 + 2x - 3
x -2
2y 3 - y 2 - 2y - 2
y -2
Se iguala a cero el divisor: x - 2 = 0
Usamos el esquema de Ruffini
2
donde:
2
-1
-2
-2
2
4
3
6
4
8
6
Q(y) = 2y2 + 3y + 4 y
Calcular el resto de dividir:
Þ
x = 2,
Este valor se reemplaza en el dividendo y cuyo
valor numérico será el residuo:
Sea P(x) = 2x5 - x 4 + 2x - 3 el Dividendo
Entonces el residuo será:
R = P(2) = 2 (2)5 - (2) 4 + 2(2) - 3
R(y) = 6
\
como y = x 2 , se obtiene :
Cociente: Q(x) = 2 x4 + 3x2 + 4
Residuo R(x) = 6
R = 49
Ejemplo 2: Hallar el resto en
(5x 4 + 7 x2 + 5)2 + (5x 4 + 7 x2 + 7 )3 + 8
TEOREMA DEL RESTO
5 x 4 + 7 x2 + 8
Se aplica cuando el divisor es de la forma
( ax ± b ) o cualquier otra expresión transformable
haciendo un cambio de variables: 5x 4 + 7 x2 = y ,
a ésta. Este teorema se usa para calcular sólo el
resto de una división, pero sin necesidad de
efectuar dicha operación.
( y + 5)2 + ( y + 7 )3 + 8
y +8
se obtiene:
P ( y ) = ( y + 5 )2 + ( y + 7 )3 + 8
173
Igualando a cero el divisor: y + 8 = 0 Þ
Por lo tanto : R = P (-8)
R = ( -8 + 5)2 + ( -8 + 7)3 + 8
y = -8
R = 2(1) .x - 2(1) + (1) - (1) .x 2
19
19
Pero este resto es falso. Para hallar el resto
verdadero. Lo dividimos entre la expresión por
la cual multiplicamos al inicio (x-1)
- ( x - 1)
Rv =
= -( x - 1) Þ Rv = - x + 1
x -1
2
2º) Si al dividendo y al divisor se les divide entre
un mismo polinomio M(x ) (M(x ) ¹ 0 ) entonces el
resto también queda dividido entre el polinomio
M(x) .
D(x ) ì d(x ) ü
R (x )
=í
ý . q(x ) +
M(x ) î M(x ) þ
M(x )
Sabemos que: D(x ) º d(x ) . q(x ) + R(x )
1º) Si al dividendo y al divisor se les multiplica por
un mismo polinomio M(x ) (M(x ) ¹ 0 ) , entonces el
Si, luego de esta operación aplicamos el teorema, lo
que se obtendrá como resto será la parte señalada
(resto falso). Para hallar el resto verdadero, se
multiplica aquel resto falso por el polinomio M(x )
resto también queda multiplicado por el mismo
polinomio M(x ) .
{D(x ) . M(x )} º {d(x ) . M(x )}. q(x ) + R(x ) . M(x )
RF (x ) =
Si, luego de esta operación, aplicamos el teorema,
lo que se obtendrá como resto será la parte
señalada (resto falso). Para hallar el resto
verdadero, se divide aquel resto entre el polinomio
M(x ) .
R (x )
Þ R (x ) = RF (x ) . M(x )
M(x )
Ejemplo:
1.
RF(x )
M(x )
Halle el resto de la división:
No podemos cancelar
2x57 + x 32
x2 + x + 1
a nuestro libre
(x + 1)11 (2x + 7)
x +1
Solución
dividendo y el divisor por (x-1):
(x + 1)(x + 2)
(2 x + x )(x - 1)
(x + x + 1)(x - 1)
resulta:
2
Operando:
Usando el teorema del resto:
·
x + 2 = 0 ® x = -2
Por el teorema del resto:
x3 - 1 = 0 Þ x 3 = 1
·
Acomodando el dividendo:
·
( ) + (x ) - (x )
.x - 2 x
3 19
(x + 1)10 (2x + 7 )
x+2
2 x 58 - 2 x57 + x 33 - x 32 |
x3 - 1
·
; Ahora si, simplificando
x +1
32
( )
(x + 1)
albedrío; lo que tenemos que hacer es dividir al
dividendo y divisor entre (x + 1) , así:
1. Halle el resto en la siguiente división:
D=2 x
(x + 1)11 (2x + 7 )
(x + 1)(x + 2 )
Solución
Ejemplo:
3 19
10
2
La aplicación del teorema del resto resulta mucho
más sencilla cuando el divisor contiene sólo dos
términos y es de cualquier grado. Para esto, en
algunos casos, previamente se debe transformar el
divisor original en otro de sólo dos términos. Esto
se consigue multiplicando o dividiendo tanto al
dividendo como al divisor; pero veamos qué sucede
con el resto, cuando se hace este artificio.
57
11
R = - x 2 + 2 x - 1 Þ R = -( x - 1)
R = 16
RESTOS ESPECIALES:
RF (x ) = R(x ) . M(x ) Þ R(x ) =
Reemplazando:
·
3 11
3 10
x
No hace falta acomodar el dividendo,
reemplazando:
R = (- 2 + 1)10 [2(- 2 ) + 7 ] Þ R = 3
2
Pero este resto es falso. Para hallar el
resto verdadero se multiplica aquel resto
174
falso por la expresión entre la cual
dividimos al inicio, (x + 1) . Entonces, se
dividido por dicha cantidad. Para determinar el
resto verdadero, se multiplica el resto obtenido
por la cantidad por la cual se dividió dividendo y
divisor.
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
tendrá que:
RV = 3(x + 1)
®
R = 3x + 3
Dividiendo entre “m”:
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
D( x) d( x)
R( x )
=
× Q( x) +
m
m
m
Se dice que un polinomio es divisible entre otro
cuando al dividirlos resulta como cociente una
expresión algebraica entera y residuo cero.
Resto Verdadero =
Principios Fundamentales:
1. Un polinomio D(x) es divisible por otro d(x), si
existe un polinomio Q(x) tal que:
Ejemplo 1 :
Un polinomio entero en “x” de
tercer grado se anula para ( x = 7 ) y para
( x = -3 )
D( x) = d( x) · Q( x)
y al dividirlo entre ( x = 10 )
se
obtiene como residuo 39. Si el coeficiente
principal del polinomio es 3. Hallar el polinomio.
2. Si P(x) es divisible entre ( x - a) , entonces:
P(a) = 0
Solución:
Formando el polinomio de tercer grado según
los datos tenemos:
3. Si un polinomio P(x) es divisible separadamente
entre (x ± a), (x ± b) y (x ± c), entonces P(x) es
divisible por el producto : (x ± a) (x ± b) (x ± c);
siendo a ¹ b ¹ c.
P( x) = ( x - 7 )( x + 3)(3x + a) ........... (1)
Además como el residuo de dividir
4. Si un polinomio es divisible entre el producto de
varios binomios, será divisible separadamente
por cada uno de ellos.
39, entonces R = P(10)
Luego
al
reemplazar
en
(1)
P( x)
es
x - 10
se
tiene:
(10 - 7 )(10 + 3)[3(10) + a ] = 39
5. Si al dividir un polinomio entre varias
expresiones por separado, se obtiene el mismo
resto, entonces se cumplirá que dicho polinomio
dividido entre el producto de ellos dará el
mismo resto.
a = -29
El polinomio es: P(x) = (x - 7)(x + 3)(3x - 29)
6. En toda división, si al dividendo y divisor se le
multiplica por una misma cantidad el resto
quedará multiplicado por dicha cantidad. Para
determinar el resto verdadero se divide el
resto obtenido entre la cantidad por la cual se
multiplicó el dividendo y divisor.
COCIENTES NOTABLES
Llamaremos cocientes notables (C.N) a los
cocientes que se obtienen en forma directa, es
decir, sin la necesidad de efectuar la división.
Las divisiones indicadas que dan origen a los
cocientes notables son de la forma:
En general :
D(x) = d(x) Q(x) + R(x)
Multiplicando por “m” :
m.D(x) = m.d(x)Q(x) + mR(x)
Re sto Verdadero =
R( x )
( m) = R( x)
m
xn ± an
x ± a
Re sto Obtenido mR(x)
=
= R(x)
m
m
7. En toda división, si al dividendo y divisor se le
divide por una misma cantidad, el resto queda
175
;
∈
∧
2
a)
ESTUDIO DE LOS CUATRO CASOS
CASO I:
b)
xn - a n
= xn -1 + xn -2a + xn -3a2 + ... + an -1
x-a
Por el teorema del resto: x - a = 0 Þ x = a
El Residuo es cero para cualquier valor de “n”.
CASO II:
Ejemplo 1: Hallar el T22 del desarrollo del C.N.
xn - an
= xn -1 - xn -2a + xn -3a2 - ... - an -1
x+a
x155 + a93
x5 + a3
Por el teorema de resto: x + a = 0 Þ x = - a
Solución:
Dando forma al C.N. tenemos:
El Residuo es cero siempre que “n” sea par.
( x5 )31 + ( a3 )31
CASO III:
n
Si el divisor (denominador) es de la forma (x –
a), todos los términos del C.N. son positivos.
Si el divisor es de la forma (x + a), se debe
tener en cuenta que: :
i) Los términos de lugar impar del desarrollo
del cociente notable son positivos.
ii) Los términos de lugar par del desarrollo del
cociente notable son negativos.
x +a
= xn -1 - xn -2a + xn -3a2 - ... + an -1
x+a
T22 = ( -) ( x5 )31-22 ( a3 )22-1
El Residuo es cero siempre que “n” sea impar.
CASO IV:
n
, por dato del problema k = 22
x5 + a3
n
T22 = -x 45 a63
n
x +a
= xn -1 + xn - 2 a + xn - 3 a 2 + ... + an -1 ; n ³ 1
x-a
FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL (Contado de
Derecha a Izquierda)
El Residuo es 2an
Se observa que estas divisiones no son exactas; Por
lo tanto No se considera como cociente notable.
¬
T k = (signo) xk -1an - k
donde:
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA
OBTENER UN C.N.
Si la expresión
que:
xp ± a q
xr ± a s
¬
Tk : Término de lugar k contado a partir del
término final.
es un C.N., se cumple
Observaciones:
p q
= = n = Número de términos
r s
-
El cual debe ser contrastado con los signos de los
cuatro casos anteriores.
K1 =
FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL
Esta fórmula nos permite encontrar un término
cualquiera en el desarrollo de los cocientes
notables, sin necesidad de conocer los demás.
En la división:
Si el número de términos “ n ” de un C. N es
par, existe dos términos centrales en su
desarrollo, donde los lugares son :
-
n
2
K2 =
Si el número de términos “n” de un C. N es
impar, existe un término central en su
desarrollo, donde el lugar es :
x n± a n
x ± a
K=
un término de lugar k (término cualquiera) del
cociente está dado por la fórmula:
·
Tk = ( signo ) xn -k ak -1
n +1
2
Formula que nos permite encontrar el
término central en un CN.
Regla para determinar el signo
176
n
+1
2
T k = ( signo ) (x.a )
n -1
2
n(n + 1)
= 10 (n + 1)
2
;n es impar
Ejemplo 1: Expresar el polinomio
(x + 2) (x + 3) (x + 6) (x - 1) - 10
x2 + 5 x + 6
como cociente notable.
a) 10
b) -10
c)0
d)6
e)-6
Solución
Igualando a cero el denominador:
Solución:
El polinomio dado se puede transformar en :
x2 + 5x + 6 = 0 Þ x2 + 5x = -6
Dando forma al dividendo:
(x2 )9 - (x2 )9 + (x2 )9 - . . . . . . . + x2 - 1
(x2 + 5x + 6) ( x2 + 5x - 6) - 10
Luego, éste es un polinomio completo ordenado y
de 10 términos, entonces proviene de un Cociente
Notable de la forma:
1
+
1
x2
x20
=
x2
-
1
+
1
Luego : Resto = ( -6 + 6) ( -6 - 6) - 10
Resto = -10
Rpta. Alternativa “b”
4. Hallar el grado respecto a ” x ” en el término
tercero del cociente notable que resulta de la
división:
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
x5 n + 6 - y 4 n
Calcular a + b si la división
3
2
2x + 7 x + ax + b
x2 + 2x + 3
a)2 8
b) 20
c)21
d)-20
e)-23
Solución
Usando el método de Horner
1
2
7
a
-2
-4
es exacta
2
3
donde:
a -12 = 0
b -9 = 0
Luego: a + b = 21
-9
(a -12)
x16 - y8
4
x=1
1
1
n-1
n
x 4 - y2
Por lo tanto: el grado respecto a “x” en el
término tercero es 4.
Rpta. Alternativa “ b”
5. Hallar el lugar que ocupa el termino de grado
de coeficientes del cociente es 10 veces el
resto.
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
Solución:
Aplicando el método de Ruffini:
1 ..... 1
2 .........
3 ...........
( x 4 ) 4 - ( y2 ) 4
T(3) = ( x 4 ) 4-3 ( y2 ) 3-1 = x 4 y 4
xn + xn - 1 + ... + x2 + x + 1 se obtiene que la suma
x -1
1
1
2
=
Calculando el tercer término:
Rpta. Alternativa “c”
2. Hallar el valor de “n” si al efectuar la división
1
2
x -y
(b-9)
a = 12
b=9
Þ
Þ
c)3
5n + 6 4n
=
= k Î Z+
4
2
5n + 6
= 2n
4
n =2
Reemplazando en el cociente:
b
-6
x 4 - y2
b)4
e)8
a) 5
d)6
Solución:
-6
-3
Rpta. Alternativa “ a”
3. Hallar el resto de la división
x18 - x16 + x14 - . . . . . . + x2 - 1
(x2 )10 -
n = 20
Þ
700 en el desarrollo de :
a) 100
d)93
Solución:
1
n
n+1
b)98
e)90
x800 - y700
x8 - y 7
c)97
( x 8 ) 100 - ( y 7 ) 100
x8 - y 7
Tk = ( x8 ) 100 -k ( y7 ) k -1
Por condición del problema:
800 - 8k + 7k - 7 = 700
Entonces:
k = 93
Rpta. Alternativa “d”
å coeficient es Q(x) = 1 + 2 + 3 + ....... + n
Luego se tiene que:
1 + 2 + 3 + ..... + n = 10 (n + 1)
177
Factorización
Es la transformación de una expresión algebraica o
trascendente en un producto indicado de factores
primos, dentro de un determinado campo numérico.
factorizar. El factor común puede ser un
monomio o un polinomio.
Ejemplo: Factorizar:
3x3y2 + 12xy3 - 6x2 y5
El factor común es: 3xy2 , entonces resulta:
QUE ES POLINOMIO SOBRE UN CAMPO?
Es aquel polinomio en el que sus coeficientes
pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho
campo. Se consideran tres campos: Racional (Q) ;
Real (R) y Complejo (C).
Ejemplo:
P ( x) = 2x2 - x + 6
3xy2 ( x2 + 4 y - 2xy3 )
II. AGRUPACIÓN DE TERMINOS
Consiste en agrupar convenientemente los
términos del polinomio, generalmente en grupos
de dos términos, descomponiéndolos a su vez en
dos factores, apareciendo luego algún factor
común a todas las agrupaciones realizadas.
está definido en Q , R y C.
3
Q (x) = 5 x - 5x + 7 está definido en R y C.
T ( x) = x2 + 7i x - 9
está definido solo en C.
Ejemplo 1: Factorizar:
E = a2x - ax2 - 2a2y + 2axy + x3 - 2x2y
NOTA: En el presente texto cada factorización
se realizará hasta obtener factores
primos en Q, cada uno de ellos con
coeficientes enteros. Esto se define
como factorización en Q.
Solución: Como no existe factor común a simple
vista se agrupará como se indica:
a2x - ax2 - 2a2 y + 2axy + x3 - 2x2 y
= a2 ( x - 2y) - ax ( x - 2y) + x2 ( x - 2y)
= (x - 2y) (a2 - ax + x2 )
CONCEPTOS FUNDAMENTALES:
FACTOR: Es un polinomios de cualquier grado que
divide exactamente a otro.
Ejemplo 2: Factorizar:
FACTOR PRIMO: Es aquel factor que no se
puede transformar como el producto de dos
polinomios.
Solución: Agrupando términos se puede escribir
así:
Ejemplo :
1. La expresión
x6 + x5 + x 4 + x3 + 2x2 + 2x + 1
(x 6 + x5 + x 4 ) + (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= x 4 (x2 + x + 1) + x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
E = (2x + 3)( x2 - 3)
P( x) = ( x2 + x + 1)(x 4 + x + 1)
Tiene dos factores primos (uno de primer grado
y otro de segundo grado).
2. La expresión
F = (x - 5)2 ( x + 8)
III. METODO DE LAS IDENTIDADES :
En este caso se utiliza los productos notables
o identidades ya estudiados, tales como:
Tiene dos factores primos lineales.
3. M = (x - 2 )(x + 3 )( 2 x + 3 )
Tiene tres factores primos lineales. Si la
factorización se realiza en los Reales (R).
a) Trinomio Cuadrado Perfecto:
a2 n ± 2an bn + b2 n = ( an ± bn ) 2
4. P = (x2 + 1)2 ( y + 1)( y 2 + y + 1)(x + 2)3
Tiene cuatro factores primos (dos lineales y dos
cuadráticos).
5.
b)
Diferencia de Cuadrados:
c)
Diferencia de Cubos:
E = (x x - 4)(x x + 2) tiene dos factores primos.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
a2n - b2n = (an + bn ) ( an - bn )
a3 n - b3 n = ( a n - b n ) ( a2 n + an bn + b2 n )
I. FACTOR COMÚN
d)
Un factor común es aquel que aparece en cada
uno de los términos que componen el polinomio a
Suma de Cubos:
a3n + b3n = (a n + b n ) (a2n - an bn + b2n )
178
a4n+a2nb 2n+b 4n = (a2n-anbn+b 2n)
(a2n+anb n+b 2n)
Ejemplo 2: Factorizar
2
2
2
M = 12 ab x - (16 a - 9b ) x - 12ab
Solución:
2
2
2
12 ab x - (16 a - 9b ) x - 12ab
Ejemplo 1: Factorizar:
x9 y2 - 64x3y8
Solución:
3 bx
- 4a ®
2
- 16a x
4 ax
+ 3b ®
2
+ 9b x
x3 y2 ( x 6 - 64 y6 )
x3y2 (x3 - 8y3 ) (x3 + 8y3 )
-
x3 y2 (x - 2y) ( x2 + 2xy + y2 )( x + 2y )(x2 - 2xy + y2 )
Así,
5
3
5
3
2
P(x) = (x2 - 9)(x3 + 1)
2
P( x) = ( x + 3)(x - 3)( x + 1)( x - x + 1)
IV. METODO DEL ASPA
3.1 los términos: Ax2m , Bxmyn , Cy2n
3.1 los términos: Cy2n , Eyn , F
A) Método del Aspa Simple: Se utiliza para
3.1 los términos: Ax2m , Dxm , F
factorizar expresiones de la siguiente forma:
A x2 m + B xm yn + C y2 n
o
4. Por último los factores se seleccionan en
forma horizontal.
A x2 n + B xn + C
Pasos a seguir:
Ejemplo 1: Factorizar:
1. Luego de ordenar el trinomio, se
descompone cada uno de los términos
extremos en un producto de factores.
2. Estos factores se multiplican en aspa
debiéndose cumplir que la suma de los
productos sea igual al término central.
3. Al cumplirse lo anterior, los factores se
toman en forma horizontal.
6x2 + xy - 2y2 + 9x - y + 3
Solución:
6x2 +
Ejemplo 1: Factorizar
Solución: Ordenando se tiene:
3x
xy
- 2y2 + 9x - y + 3
3x
2y
2x
-y III
I
3
II
1
Verificando las aspas I ; II ; III
P = 3x2 + 15 y2 + 14xy
x
para
Pasos a seguir:
1. Debe ordenarse el polinomios de acuerdo a
la forma establecida.
2. Si falta algún término se añade en su lugar
un cero.
3. Se aplicarán aspas simples a:
P(x) = x3(x2 - 9) + (x2 - 9)
P = 3x
M = (3 bx - 4 a) (4 ax + 3b)
A x2m + Bx m y n + C y 2 n + D x m + E y n + F
- 9x ) + ( x - 9)
2
2
2
- 9x + x - 9
Solución:
P( x) = ( x
2
(16a - 9b ) x
B) Método del Aspa Doble:
Sirve
factorizar expresiones de la forma:
Ejemplo 2: Factorizar:
P( x) = x
14xy
Así, P(x) = (x + 3y)(3x + 5y)
e) Identidad de Argand:
+ 14xy + 15y
2
3x( - y) + 2x(2y) = + xy (aspa izquierda)
II.
2y(1) + ( - y)(3) = - y
III. 3x(1) + 2x(3) = 9x
Luego los factores son:
3y ® 9 xy
5y
I.
® 5 xy
(aspa derecha)
(aspa punteada)
(3x + 2y + 3) (2x - y + 1)
179
se
Ejemplo 2: Factorizar:
0 y2
Completando con
4 xy
+
para aplicar
2x2
2y
2x
0y III
I
x2
0 y2 + 18x + 6 y + 9
4x
factores
primos:
-3x
1
-x
3
3. Se hace la verificación :
3
2x 4
3
II
en
de la siguiente forma:
el método de aspa doble
8x2 +
descompone
3x = ( -3x)( -x) ; quedando la descomposición
8x2 + 4 xy + 18x + 6y + 9
Solución:
2
-
5x3
+
2x2
Luego los factores son:
x2
( 4x + 2y + 3) (2x + 3)
C) Método del Aspa Doble Especial: Se utiliza
para factorizar expresiones de la forma:
-
10x
3
+
-3x
1
-x
3
Aspa Izquierda:
Aspa derecha:
2x (-x) = -2x
( -3x)(3) = -9x
2
2
3
x ( -3x) = -3x
3
- 5x
Ax 4 n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E
10x2
( -x)(1) = -x
3
-10x
Luego los factores primos son:
(2x2 - 3x + 1) (( x2 - x + 3)
Pasos a seguir:
1. Se ordena el polinomio de acuerdo a la
forma establecida, colocando un cero en el
lugar del término que falta.
2. Los términos extremos se descomponen en
dos factores efectuando el producto en
aspa, la suma algebraica de ambos términos
se restará del término central.
3. La diferencia obtenida se descompone en la
parte central buscando aspas simples a
ambos lados; luego de verificar los
términos de lugar segundo y cuarto, los
factores se toman en horizontal.
IV. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier
grado, siempre y cuando admita por lo menos un
factor lineal.
Este método se fundamenta en el siguiente
principio:
“Si un polinomio se anula para x = ± a; uno de sus
factores será (x m a)”.
Para obtener los valores de “x” que anulan al
polinomio se tendrá en cuenta lo siguiente:
i) Si el polinomio es mónico (coeficiente
principal, la unidad) los posibles valores de “a”
son los divisores del termino independiente
del polinomio con su doble signo.
Ejemplo 1: Factorizar
2x 4 - 5x3 + 10x2 - 10x + 3
ii) Si el polinomio no es mónico los posibles
valores de “a” son cantidades enteras o
fraccionarias que resultan de combinar los
divisores del término independiente y el
coeficiente principal.
Estas dos reglas se resumen en la siguiente
fórmula:
Solución:
1. Una vez ordenado el polinomio se descompone
los términos extremos en sus factores primos.
2x 4 - 5x3 + 10x2 - 10x + 3
2x2
1
®
x2
x2
3
®
6x2
ìï Divisores del término independie nte üï
P.C.R = ±í
ý
ïî Divisores del coeficient e Principal ïþ
7 x2
Donde P.C.R = Posibles Ceros Racionales
2. Como tenemos 7 x2 , para obtener el tercer
término : 10x2 , le faltaría 3x2 ; éste término
180
Ejemplo 1:
5
Factorizar
P(x) = 2x - x
Solución:
4
3
Luego: E = (x - 1) (x – 2) (x + 2) (x + 3) (x + 4)
2
- 10x + 5x + 8x - 4
Divisores de 4:
Divisores de 2:
V. METODOS DIVERSOS
Se utilizan para factorizar expresiones
particulares, estructurando los términos de la
expresión de modo que sea factorizable por
alguno de los métodos conocidos.
Así tenemos:
A) Cambio de Variable: Consiste en sustituir
por una variable expresiones que se repiten
de modo que la expresión dada quede
simplificada.
1; 2; 4
1; 2
ìï 1 ; 2 ; 4 üï
1ü
ì
Posibles ceros = ± í
ý = í1 ; 2 ; 4 ; ý
2þ
ïî 1 ; 2 ïþ î
Usando Ruffini en forma sucesiva :
2
-1
-10
5
8
-4
-2
3
7
-12
4
2 -3
-7
12
-4
0
-4
14
-14
4
2 -7
7
-2
0
2
-5
2
2 -5
2
0
4
-2
-1
0
-1
-2
1
2
2
Ejemplo 1: Factorizar
Þ (x + 1)
(x + 2)2 (x + 1)( x + 3) - 5x(x + 4) - 27
Solución :
(x2 + 4x + 4)(x2 + 4x + 3) - 5(x2 + 4x) - 27
Þ (x + 2)
Hacemos:
Reemplazando en la expresión tenemos:
Þ (x -1)
( a + 4)( a + 3) - 5a - 27
a2 + 7 a + 12 - 5a - 27
a2 + 2a - 15 = ( a + 5)( a - 3)
Þ (x - 2)
Luego : P( x) = ( x + 1)( x + 2)( x - 1)( x - 2)(2x - 1)
Ejemplo 2:
Reponiendo la variable se tiene:
(x2 + 4x + 5)( x2 + 4x - 3)
Factorizar
x5 + 6x 4 + x3 - 36x2 - 20x + 48
Solución:
Divisores de 48 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 ; 48
Divisores de 1 : 1
Ejemplo 2: Factorizar
E = (2a2 + 3ab + b2 )2 - 4( a2 - b2 )( a2 + 3ab + 2b2 )
Solución :
ì 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 ; 48 ü
P.C.R. = ± í
ý
1
î
þ
posibles ceros : ± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 4 ; ± 5 ; ± 6 ;
± 8 ; ± 12 ; ± 24 ; ± 48
Usando Ruffini en forma sucesiva:
1
6
1
1 -36
7
8
1
7
2
8 - 28
18 52
-48
48
0 Þ (x - 1)
1
9
-2
26 24
-14 -24
0
Þ (x - 2)
7
-3
12
-12
4
0
+1
+2
-2
-3
1
1
x2 + 4x = a
-20 48
-28 -48
0
Haciendo:
2a2 + 3ab + b2 = x
a2 + 3ab + 2b2 = y
Restando miembro a miembro se obtiene:
a2 - b2 = x - y
Factores
Reemplazando:
E = x2 - 4(x - y)y = x2 - 4xy + 4 y2 (es un TCP)
E = (x - 2y)2
Luego en función de “a” y “b” se tiene:
E = (2a2 + 3ab + b2 - 2a2 - 6ab - 4b2 )
Þ (x + 2)
E = ( -3ab - 3b2 )2 = [ - 3 b( a + b)]2
Þ (x + 3)
E = 9 b2 (a + b)2
181
B) Sumas y Restas: Consiste en sumar y
restar simultáneamente una misma expresión
o descomponer algún término del polinomio, de
tal modo que una expresión aparentemente no
factorizable se transforme en otra que se
factorice.
En particular:
- Si la expresión es un polinomio de grado
par se tratará de formar un trinomio
cuadrado perfecto para luego llevarlo a
una diferencia de cuadrados.
- Si la expresión es un polinomio de grado
impar se tratará de formar una suma o
diferencia de cubos y Argand.
4
Ejemplo 1 : Factorizar: 64x + y
Solución : Formamos
perfecto
Solución:
Ordenando y agrupando convenientemente los
factores del primer término:
P( x) = ( x + 1) ( x + 4) ( x + 2) ( x + 3) + 1
P(x) = (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) + 1
Entonces: P(x) = ( a + 4) ( a + 6) + 1
P(x) = a2 + 10 a + 25 = ( a + 5)2
Devolviendo el valor original se tiene:
P(x) = (x2 + 5x + 5)2
4
Rpta. Alternativa “b”
un trinomio cuadrado
sumando y restando
16x2 y2
3. Al factorizar x 4 + 2x3 - 2x - 1 ; la suma de sus
factores primos es:
a) 2
b) 2x
c) –2
d)-2x
e)2(x-1)
64x 4 + 16x2y2 + y 4 - 16x2 y2
Así:
(8x2 )2 + 2(8x2 )( y2 ) + ( y2 )2 - ( 4xy)2
Solución:
2
(8x + y ) - (4xy)
2
2 2
2
2
x2 + 5x = a
Haciendo cambio de variables:
Agrupando en forma conveniente:
2
(x 4 - 1) + 2x (x2 - 1)
2
(8x + y + 4xy) (8x + y - 4xy)
(x2 - 1) ( x2 + 1) + 2x (x2 - 1)
Finalmente ordenando resulta:
(x2 - 1) (x2 + 1 + 2x )
(8x2 + 4xy + y2 ) (8x2 - 4xy + y2 )
(x + 1) (x - 1) (x + 1)2
(x - 1) (x + 1)
EJERCICIOS RESUELTOS
3
Factores primos: (x + 1) y (x - 1)
Suma: 2x
1. Cuando se factoriza x 9 - x hasta donde sea
posible en polinomios y monomios con
coeficientes enteros, el número de factores
primos es:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Rpta. Alternativa “b”
4. Indicar la suma de los factores primos de:
Solución:
( a - b)2 ( c - d)2 + 2ab (c - d)2 + 2cd ( a2 + b2 )
x 9 - x = x ( x8 - 1 )
a) a2 + b2 + c2 + d2
4
2
2
= x (x - 1) (x + 1)
= x (x - 1) (x + 1) (x2 + 1) (x 4 + 1)
( a - b)2 ( c - d)2 + 2ab (c - d)2 + 2cd ( a2 + b2 )
2
Rpta. Alternativa “d”
2
2
2
2
2
2
(c-d) [a - 2ab+b + 2ab] + 2cd(a + b )
2. Cuántos factores primos tiene la siguiente
expresión:
P( x) = ( x + 1) ( x + 2) (x + 3) (x + 4) + 1
d) 3
2
(c-d) [(a - b) + 2ab] + 2cd(a + b )
2
c) 4
d) a + b2 + c + d
Solución:
Luego el número de factores primos es 5.
b) 1
b) a + 2b + c + 2d
2
e) a2 + b2 - c2 - d2
= x ( x2 - 1) ( x2 + 1) ( x 4 + 1)
a) 5
2
c) a - b + c + d
4
2
2
2
2
2
(c - d) (a + b ) + 2cd(a + b )
2
2
2
2
2
(a + b ) [(c - d) + 2cd]
2
2
(a + b ) (c - 2cd + d + 2cd)
e) 2
182
2
2
2
2
6. Hallar el término independiente de uno de los
(a + b ) (c + d )
Luego la suma de los factores es:
2
2
2
a +b +c +d
factores primos del trinomio:
2
(x + y + 3)2 + 7 x + 7 y + 31
Rpta: Alternativa “a”
a) 2
3
b) 2
c) 3
e) 39
2
(x + y + 3) + 7(x + y) + 31
2
P(x; y; z) º x y + x yz + x y + x yz
a) 1
d) 3
(x + y + 3)2 + 7 x + 7 y + 31
polinomio.
4
c) 8
Solución:
5. Indicar el número de factores primos del
5
b) 7
d) 4
Haciendo cambio de variables:
e) 5
x+y=a
Solución:
2
(a + 3) + 7a + 31
El polinomio dado es:
5
4
3
2
a + 6a + 9 + 7a + 31
2
P(x; y; z) º x y + x yz + x y + x yz
2
a + 13a + 40
(a + 8) (a + 5)
(x + y + 8) (x + y + 5)
Por un factor común:
2
3
2
P(x; y; z) º x y(x + x z + x + z)
Luego el término independiente de un factor
primo es: 8
Agrupar dos a dos:
2
3
2
P(x; y; z) º x y ( x + x z + x + z )
Rpta: Alternativa “c”
Extrayendo factor común:
2
2
P(x; y; z) º x y[x (x+z)+(x+z)]
2
2
P(x; y; z) º x y(x+z) (x +1)
El número de factores primos es 4:
Rpta. Alternativa “d”
183
M.C.D. – M.C.M.
Fr acci ones Al gebr ai cas
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
-
El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más
expresiones algebraicas enteras, es otra expresión
algebraica entera de mayor coeficiente numérico y
mayor grado contenida un número exacto de veces
en cada una de las expresiones dadas.
-
PASOS PARA CALCULAR EL MCD Y MCM
a) Se factorizan cada una de las expresiones
dadas.
b) El MCD está dado por el factor o producto de
factores comunes afectados de sus menores
exponentes.
c) El MCM está dado por el producto de
factores comunes y no comunes afectados de
sus mayores exponentes.
Ejemplo 1
Dado los siguientes monomios:
6
12
30
Hallar el MCD
Solución:
, ,
Ejemplo 1:
Hallar el grado absoluto del MCM de los
polinomios:
A = x5 – xy4
;
B = (x2 – y2) (x4-y4)
a) 5
b) 4
c)3
d) 6
e)7
6
Ejemplo 2: Hallar el MCD de los polinomios:
.
Solución:
.
.
,
Solución:
Factorizando :
A = x (x4 – y4) = x(x2+y2) (x2- y2)
A = x(x2+y2) (x+y) (x-y)
.
.
B = (x + y) ( x – y) (x2+y2) (x+y) (x-y)
B = (x + y)2 ( x – y)2(x2+y2)
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más
expresiones algebraicas enteras, es la menor
expresión algebraica entera y de menor coeficiente
que contiene exactamente a cada una de las
expresiones dadas.
Ejemplos 1:
Por lo tanto:
M.C.M(A,B) = x (x2+y2) (x+y)2(x-y)2;
Se observa que el grado absoluto del m.c.m es:
1+2+2+2 = 7
Rpta. Alternativa “e”
Ejemplo 2 :
Sean: P(x) = Ax2 +2x –B ;
Q(x) = Ax2 – 4x + B
Si (x-1) es el M.C.D de P y Q. Determinar el
cociente B/A.
a)1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Si P = 3x 2 y 5 z 3 ; Q = 4x5y3z6
Entonces:
M. C. M (P, Q) = 12x5y5z6
Ejemplos 2
Hallar el MCM de los polinomios:
Solución
Por el teorema del resto:
P(1) = A + 2 –B = 0
Q(1) = A –4 + B = 0
Resolviendo el sistema
A – B = -2
A +B=4
Luego : B/A = 3/1 = 3
.
Solución:
. .
PROPIEDADES:
-
-
Todo polinomio P(x) , Q(x) contiene al MCD. Es
P( x)
decir:
da residuo cero.
MCD
Todo MCM contiene a dichos polinomios.
Si dos o más expresiones algebraicas son
primas entre si, entonces, el MCM es el
producto de ellas y el MCD es la unidad.
Si A y B son dos expresiones algebraicas
enteras; entonces:
Ejemplo 3 :
Dados los polinomios:
P(x) = 2x4 – 3x3 + x2 + Ax + B
Q(x) = 3x4 – 7x3 + Cx + D
Si : MCD (P,Q) = x2 – x – 6.
Hallar AD + BC
MCD(A,B) x MCM(A,B) = A x B
Solución:
184
2
1
-3
1
2
12
6
-1
2
-1
12
a ×k
b×k
1
-7
0
3
18
A
B
2x + 2
2x - 2
-6
CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES
ALGEBRAICAS
12
72
A+6
B+72
C
-4
1. Fracciones Homogéneas: Cuando tienen el
mismo denominador.
2
x+3
Ejemplos:
84
3
Así, si
-4
14
C-10
D+84
x +1
x -1
2x2 - 3
3
4x + 5x + 6
3
x -7
3
2
x - x +1
Las fracciones algebraicas son expresiones de
P( x )
la forma
, donde P(x) y Q(x) son polinomios,
Q( x )
siendo Q(x) ¹ 0,
b)
;
del
del
x -1
x2 + 1
4. Fracción Impropia: Cuando el grado del
numerador es mayor o igual que el grado del
denominador.
Ejemplos:
FRACCIONES ALGEBRAICAS
1
x+1
x2 - 1
3. Fracción Propia: Cuando el grado
numerador es menor que el grado
denominador.
Ejemplos:
Luego :
AD + BC = (-6) (-84) + (-72) (10) = -216
a) -
x2 + 2x + 1
y
Estas fracciones obtienen los mismos valores
numéricos, para todo valor real de x, con
excepción de ± 1.
C – 10 = 0 entonces c = 10 y si
D + 84 = 0
entonces D = -84
Ejemplos:
x2 + 2
x+3
y
2. Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son
equivalentes si toman los mismos valores
numéricos para todos los valores admisibles de
sus variables.
D
-24
14
6
k¹0
Si se le multiplica por 2 al numerador y
denominador obtenemos:
Ejemplo:
3
a¸k
,
b¸k
x +1
x -1
Luego, afirmamos que el resto es cero «
A+6=0
® A = -6
B + 72 = 0
® B = -72
También :
Q(x) ¸ (x2 – x – 6) dividimos por el
método de Horner:
1
=
Ejemplo: Sea la fracción:
Aplicando el método de Horner,
P(x) ¸ (x2 – x – 6) se resuelve por :
1
a
=
b
Así;
Si x2 – x – 6 es el MCD (P,Q), entonces
x2 – x – 6 divide exactamente a P(x) y
a Q(x).
;
5
10x + 2x + 6
3
3x + x - 1
5. Fracción Compuesta: Cuando el numerador
y/o denominador poseen a su vez
otras
fracciones algebraicas.
x3 - 2
3x + 4
Ejemplos:
Propiedad:
"Si a los términos de una fracción algebraica
se les multiplica o divide por una misma cantidad
distinta de cero, se obtiene otra fracción
equivalente".
6x +
x+
x-2
3
2-
185
x2 - 1
x2 + 1
6.
Fracción de Valor Constante : Cuando
asume el mismo valor numérico para cualquier
sistema de valores asignados a sus variables:
ax + bxy + cy
Si
A=
es una
a1 x + b1 xy + c1 y
fracción de valor constante.
Entonces se cumple que:
A=
Finalmente reemplazando x;
1+ a
-1
6a
1
- 5a
A=
=
=a
æ 1+ a ö
6
5ç
÷ +1
è 1 - 5a ø
a
b
c
=
=
= valor constante de A
a1
b1
c1
Ejemplos: Sabiendo que la fracción
x -1
5x + 1
2. Simplificar:
az + b
cz + d
1
A =
1 +
Es independiente de “z” entonces el valor de la
expresión:
Solución
b 2ad a
+
d bc c
7.
1
a b
=
c d
proporciones: ad = bc , luego sustituyendo
a 2ad a 2ad
en la expresión:
+
- =
=2
c bc c ad
1+
x2 + 3
x -1
2ab + a + a2b + 1
1 + b + ab
- ab - a - a2 b
- a (b + 1 + ab)
=
= -a
1 + b + ab
1 + b + ab
3.
hasta
Simplificar
2
2
2
2
2
2
2
2
.
2
4
4
Solución
Se hace un cambio de variable
2
2
Donde tenemos:
1.Simplificar:
2
2 + 2a
æ 1+ a ö
-3
ç
÷ +
1 - 5a
è 1 - 5a ø
∗
2
16 + 16a
æ 1+ a ö
5ç
+3
÷ +
1
5
a
1 - 5a
è
ø
Solución
Haciendo el cambio de variable
1+ a
x=
1 - 5a
Entonces
A=
1 + ab
1 + b + ab
=
1 + ab
2ab + a + a2b + 1
=
1 + b + ab
1 + b + ab
Ejemplos Resueltos
A =
1
b
=
b
ab + 1
Restando ambos resultados; se obtiene:
Se factorizan el numerador y denominador de
la fracción.
Se eliminan los factores comunes
obtener una fracción irreductible.
1+
2ab + a(1 + ab) + 1
=
1 + ( a + 1) b
Para simplificar una fracción se procede de la
siguiente manera:
2.
a+
1
=
Además :
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
1.
1
1
ab + 1 + b
ab + 1
Fracción Irreductible :
Cuando el
numerador y denominador no tienen factores
comunes.
Ejemplo:
1
b
a +
Solución:
Evaluemos por partes :
Bajo la propiedad tenemos:
Por
2ab + a(1 + ab) + 1
1 + ( a + 1)b
-
1
x2 + 2x - 3
2
5x + 16x + 3
=
Efectuando tenemos
4
∗
4
Luego al simplificar y remplazar los términos
originales tenemos:
(x + 3)(x - 1)
(5x + 1)(x + 3)
2
2
186
2
2
∗
2
4
4
Simplificando tenemos ab
P( x)
FRACCIONES PARCIALES
Para descomponer una fracción racional en sus
fracciones parciales,
se debe cumplir las
siguientes condiciones:
1.
2.
ü Descomponer en sus fracciones parciales la
fracción:
CASOS:
Primer Caso: Cuando el denominador contiene
factores lineales sin repetición.
Ejemplo:
2x + 6x - 2
3
2x2 + 6x - 2
x( x - 2) ( x + 1)
A
B
C
+
+
x
x -2
x +1
2x2 + 6x– 2 = A (x – 2).(x + 1) + B x (x + 1) + Cx (x –2) .. (*)
Una forma práctica: igualamos a cero los factores
lineales y obtenemos:
x=0, x=2, x=1
Estos valores obtenidos los reemplazamos en
la ecuación (*)
Si x = 0 : 2(0)2 + 6(0) – 2
=
A (0 – 2)
(0 + 1) + B (0) (0 + 1) + C (0) (0 – 2)
-2
= -2 A
A =1
Si x = 2 : 2(2)2 + 6(2) – 2
(2 + 1) + B (2) (2 + 1) + C (2) (2 – 2)
18
Ax + B
Cx + D
=
+
2
2
2
2
( x + ax + b )
x + ax + b
(x + ax + b )2
=
A (2 – 2)
=
6B
B=3
Quinto caso: Cuando el denominador contiene un
factor lineal y un factor cuadrático irreductible,
ambos factores sin repetición.
Ejemplo:
( x + a )( x + bx + c)
x( x - x - 2)
=
Entonces:
Cuando el denominador contiene
factores cuadráticos irreductibles
con repetición.
=
2
A(x - 2) (x + 1) + B(x) ( x + 1) + C(x) (x - 2)
x(x - 2) (x + 1)
P( x )
2
2x2 + 6x - 2
2x2 + 6x - 2
=
x(x - 2) (x + 1)
Tercer Caso:
Cuando el denominador contiene
factores cuadráticos irreductibles
sin
repetición.
Ejemplo:
P( x)
=
( x2 + ax + b) (x2 + cx + d)
Ax + B
Cx + D
+
x2 + ax + b
x2 + cx + d
P( x )
=
2x2 + 6x - 2
=
x(x - 2) (x + 1)
A
B
C
+
+
x+a
(x + a)2
(x + a)3
Ejemplo :
x3 - x2 - 2x
De esta manera :
:
Cuarto Caso:
2
x - x - 2x
Segundo Caso: Cuando el denominador contiene
factores lineales con repetición.
=
2x2 + 6x - 2
Solución:
2
P(x )
A
B
C
=
+
+
(x + a ) (x + b) (x + c) x + a
x+b
x+c
( x + a )3
A
B
Cx + D
+
+
(x + a) ( x + a)2 x 2 + bx + c
Ejemplos Resueltos
La fracción debe ser propia.
El denominador debe ser factorizable.
Ejemplo:
P( x )
=
( x + a)2 ( x2 + bx + c)2
Ex + F
+ 2
(x + bx + c)2
Si x = -1 : 2(-1)2 + 6(-1) – 2 = A (-1 – 2)
(-1 + 1) + B (-1) (-1 + 1) + C (-1) (-1 – 2)
-6
=
- C (-3)
A
Bx + C
+ 2
( x + a)
(x + bx + c)
C = -2
De esta manera las fracciones parciales son :
Sexto caso: Cuando el denominador tiene factores
lineales y factores cuadráticos irreductible, ambos
con repetición.
2
1
3
2
2x + 6 x - 2
+
=
3
2
x
x-2
x +1
x - x - 2x
Ejemplo:
187
Análisis Combinatorio
Potenciación
Binomio de Newton
FACTORIAL DE UN NÚMERO
NÚMERO COMBINATORIO
Se define al factorial de un número natural “n”
como el producto que resulta de multiplicar todos
los números naturales desde la unidad hasta el
número “n”.
Se denota como: n ! ó n y se lee “ factorial de n “.
Así :
Siendo n y k números naturales, el número
Combinatorio de n en k
define como:
C nk =
n ! = n = 1 x 2 x 3 x 4 x ..... x n
n!
(n - k) ! k !
1.
5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
C n1 = n
C nn = 1
;
C n0 = 1
;
3. Combinatorios complementarios :
C nk = C nn -k
Observación: Por convención se asume que : 0 ! = 1
4.
Suma de números combinatorios :
PROPIEDADES:
C nk + C nk +1 = C nk ++11
1) Degradación :
4.
n ! = n (n - 1)!
n ! = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) ....( n - k + 1) (n - k) !
Degradación de indices:
4.1. Ambos índices
C nk =
n n -1
C
k k -1
4.2. Indice superior
C nk =
n
C n -1
n -k k
2) Para dos números naturales a y b (a, b ³ 1 ) . Si
a ! = b ! entonces a = b
3) (n + 1) ! + n ! = (n + 2) . n !
4.3. Indice inferior
4) (n + 1) ! – n ! = n (n !)
1. Si se cumple que n ! = 1 , entonces : n = 1 v n = 0
2. Las
operaciones
aritméticas
dentro
factoriales, no están definidas; es decir :
a!
æaö
ç ÷! ¹
b!
èbø
6. C n0 + C n1 + C n2 + .......... + C nn = 2 n
de
7. C n - C n + C n - .......... ± C n
n =1
1
2
3
(a . b) ! ¹ a ! x b !
n
E=
n ÎN
;
n ÎN
9. Cn + Cn + Cn + .......... + Cnn = 2 n -1 ; n = impar
1
3
5
21 ! + 22 !
18 !
+
21 !
16 ! + 17 !
Solución :
Se observa que :
21 ! + 22 ! = (1 + 22) 21 ! = 23 . 21 !
16 ! + 17 ! = 18 . 16 !
23 . 21!
18 !
Entonces :
E=
+
21!
18 . 16 !
E = 23 +
;
n -1 ; n = par
8. C n + C n + C n + .......... + C n
n =2
0
2
4
n
(a ) ! ¹ (a ! )
Reducir
n -k +1 n
C k -1
k
ì n=m Ù k=q
ï
Cn = C m
Ûí
o
q
k
ï n =m Ù k+q=n
î
Observaciones :
(a ± b) ! ¹ a ! ± b !
C nk =
5. Igualdad de Números Combinatorios
n ! + (n + 1) ! + (n + 2) ! = (n + 2)2 n !
Ejemplo:
0£k£n
PROPIEDADES :
Ejemplo :
5)
se denota por C nk y se
Ejemplo: Calcular
A = C010 + C110 + C210 + ... + C1010
Solución : Por la propiedad 6 obtenemos:
C010 + C110 + C210 + ... + C1010 = 210
18 . 17 . 16 !
18 . 16 !
Entonces:
E = 23 + 17 = 40
A=1024
Ejemplo: Calcular
188
T = C111 + C311 + C511 + ... + C1111
æn ö
æ n ö æn + 1 ö
÷
çç ÷÷ + çç
÷÷ = ç
ç
÷
èk ø
è k + 1 ø èk + 1ø
Solución : Por la propiedad 7 obtenemos:
C111 + C311 + C511 + ... + C1111 = 211-1 = 210
Entonces:
T=1024
Ejemplo: Calcular “n” en
C2n + C3n +1
7
=
n +2
5
C4
Solución :
=
7
5
ø
4(n + 4)
æn ö
3) çç ÷÷ = 0
èk ø
para n Î N
Ambos índices:
n +1ö
æ
C2n ç 1 +
÷
7
3 ø
è
Þ
=
æn + 2ö æn + 1ö n
5
ç
÷ ç
÷ C
è 4 ø è 3 ø 2
=
7
5
Þ
donde:
Luego
n=3
æ n ö
÷
. çç
÷
èk - 1ø
( x + a ) n y se denomina Binomio de Newton.
10
æ 2 2ö
ç 3x + ÷
aø
è
(exponente natural)
1 + x º (1 + x)1 / 2 (exponente fraccionario)
æn ö
la notación çç ÷÷ se lee
èk ø
“coeficiente binomial, de n en k” y se define por :
y
æn - 1 ö
ç
÷
ç k ÷
è
ø
La potencia de un binomio es de la forma :
COEFICIENTE BINOMIAL
n Î R
æ n ö n æn - 1 ö
÷
ç ÷ = ç
ç k ÷ k çk - 1 ÷
è ø
è
ø
BINOMIO DE NEWTON
Ejemplo:
Si
Ù k>n
æn ö n - k + 1
Indice inferior: çç ÷÷ =
k
èk ø
7n2 + n - 66 = 0
22
n =3 y n =7
n³ k
æn ö
n
Indice superior: çç ÷÷ =
k
n
-k
è ø
Simplificando se obtiene :
n 2 + 3n + 2
para n Î N Ù
4) Degradación de :
n +1 n
C2n +
C2
3
æ n + 2 ö n +1
ç
÷ C3
4
è
æn ö
2) çç ÷÷ = C n
k
èk ø
K Î N,
1
º (1 - x )-1
1-x
k - factores
(exponente negativo)
DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON,
PARA n Î N
644444474444448
æn ö
n(n - 1) (n - 2) (n - 3) ... (n - k + 1)
ç ÷ =
çk ÷
k!
è ø
æn ö
æn ö
æn ö
( x + a ) n = çç ÷÷ xn + çç ÷÷ xn -1 a + çç ÷÷ xn -2 a2 + ...... +
èoø
è1 ø
è2 ø
Ejemplo: Efectuar:
æ -1 ö ( -1) ( -2) ( -3) ( -4) ( -5)
a) çç ÷÷ =
= -1
5!
è 5ø
Observaciones :
æn ö n
çç ÷÷ a
èn ø
En el desarrollo de ( x + a ) n
notamos que :
· Es un polinomio completo y homogéneo de grado n
· Posee (n + 1) términos
1æ1
öæ 1
öæ 1
ö
ç - 1 ÷ ç - 2÷ ç - 3÷
æ1ö
ç ÷ 2è2
2
2
ø
è
ø
è
ø = -5
b) ç 2 ÷ =
4
!
128
ç5 ÷
è ø
TÉRMINO GENERAL DE ( x + a ) n
æ3 ö
3 . 2 . 1 . 0 . ( -1) . ( -2)
c) çç ÷÷ =
= 0
1 . 2 . 3 . 4 . 5 .6
è 6ø
Para calcular el término de lugar (k + 1) se utiliza la
siguiente fórmula:
Tk +1 = C nk x n -k ak
PROPIEDADES :
Ejemplo: Calcular el quinto término del desarrollo
1) La suma de dos coeficientes binomiales :
de (x2 + 2y)7
189
Solución:
n=7
k+1=5
Ù
Término contado a partir del final
k=4
Þ
Tk +1 = C nk x k a n -k
T 5 = C47 ( x2 )7 - 4 (2y )4 = 35 ( x6 ) (16 y 4 )
T 5 = 560 x 6 y 4
Ejemplo: Halle el quinto término contado a partir
del final del desarrollo de (2x2 - y3 )7 .
Ejemplo: Calcular el término 14 del desarrollo de :
66
Solución:
æ1
ö
E(x) = ç - x3 ÷
èx
ø
Solución:
n = 66
( )4 (- y 3 )3
T k + 1 = T 4 + 1 = C 47 2 x 2
T 5 = - 560 x 8 y 9
k + 1 = 14 Þ k = 13
66
T14 = C 13 ( x -1 ) 66-13 ( -x 3 ) 13
Observaciones:
1. La suma de los exponentes de: ( xp + y q ) n
66
T14 = - C 13 x -53 x 39
å exp onentes = (p + q) .
66
T14 = - C 13 x -14
Término central del desarrollo de (x + a)
es :
å coeficient es = ( a + b ) n
Tc = Tn +2
(
2
Ejemplo: En la expansión de: 2x3 + 3y2
2
Tc
2
)5 . Hallar la
suma de sus exponentes y la suma de sus
coeficientes.
Caso 2: Si n es impar, existen dos términos
centrales, cuyos lugares son:
y
n (n + 1)
2
2. La suma de los coeficientes de ( a x p + b y q ) n
n
Caso 1: Si n es par, el lugar del término central es:
Tc = Tn +1
1
es
Solución:
= Tn + 3
En la potencia (2x3 + 3y2 )5 se tiene que:
2
p=3 ; q=2 ; n =5
Luego:
a)
(2x3 - 3y2 ) 4
Solución:
DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON,
PARA EXPONENTE NEGATIVO
Tc = T4 +2 = T2+1 = C 24 (2x3 ) 4 -2 ( -3y2 ) 2
2
El desarrollo de ( 1 + x ) n para
T3 = -216 x 6 y 4
nÎZ- y
x <1,
es de la forma:
æn ö
æn ö æn ö
æn ö
æn ö
(1 + x) n = çç ÷÷ + çç ÷÷ x + çç ÷÷ x2 + çç ÷÷ x3 + çç ÷÷ x 4 + ......
0
1
2
3
è ø è ø
è ø
è ø
è 4ø
Ejemplo: Hallar los términos centrales de :
3 2ö
æ
ç 2x + y ÷
4
è
ø
æ 5(5 + 1) ö
å exp . == (3 + 2) ççè 2 ÷÷ø = 75
b) å coef. = (2 + 3)5 = 3125
Ejemplo: Hallar el término central de:
5
Nota: Se observa que el número de términos de su
desarrollo es ILIMITADO
Solución:
2
æ3
ö
Tc1 = T5 +1 = T2+1 = C25 (2x)5-2 ç y2 ÷ = 45x3 y 4
è4
ø
2
3
135 2 6
æ3 ö
Tc 2 = T5 + 3 = T3+1 = C53 (2 x )5 -3 ç y 2 ÷ =
x y
4
8
è
ø
2
TÉRMINO GENERAL DE ( 1 + x ) n
190
El término general se determina por:
Si un evento “A” puede ocurrir de “m” maneras
diferentes y después de haber ocurrido
cualquiera de ellos, otro evento “B” puede
ocurrir de “n” maneras diferentes, entonces la
ocurrencia de los eventos: “A y B” sucede de
(m x n) maneras diferentes
æn ö
Tk +1 = çç ÷÷ x k
èk ø
donde:
Ejemplo: Luis tiene 2 polos distintos y 3
pantalones diferentes. ¿De cuántas maneras
distintas puede vestirse utilizando dichas prendas?
k + 1 : lugar que ocupa el término pedido.
n
: exponente del binomio
Solución:
Utilizando el esquema de diagrama
del árbol para mostrar los diferentes casos que se
presentan, se tiene :
Polo
Pantalón
M -------- AM
A
N -------- AN
P -------- AP
Ejemplo: Hallar la expansión de (1 - x) -2 ,
|x|<1
Solución :
æ -2 ö
(1 - x) -2 = çç ÷÷ è 0ø
æ -2 ö
æ -2 ö
æ -2 ö
ç ÷ x + ç ÷ x2 - ç ÷ x3 + ....
ç 1÷
ç 2÷
ç 3÷
è ø
è ø
è ø
(1 - x) -2 = 1 - ( -2) x + 3 x2 - ( -4) x3 + ....
M -------- BM
N -------- BN
P -------- BP
Del diagrama se obtiene que el número de maneras
distintas de vestir es: 2 x 3 = 6
(1 - x) -2 = 1 + 2 x + 3 x2 + 4 x3 + ....
B
ANÁLISIS COMBINATORIO
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
1.
Principio de la adición :
Si un evento “A” ocurre de “m” maneras
diferentes y otro evento “B” ocurre de “n”
maneras diferentes, siendo ambos mutuamente
excluyentes (No pueden ocurrir A y B
simultáneamente); entonces la ocurrencia de
los eventos: “A o B” sucede de ( m + n ) maneras
PERMUTACIONES
Es el arreglo u ordenación de todos los elementos
de un conjunto, donde un arreglo se diferencia de
otro por el orden de ubicación de sus elementos.
Para n objetos diferentes,
permutaciones Pn está dado por:
diferentes.
Ejemplo:
Una persona desea viajar de
Huancayo a Chiclayo por vía aérea, usando 2
líneas de transporte aéreo o por vía terrestre
a través de 3 líneas de ómnibus
¿De cuántas formas puede realizar el viaje de
Huancayo a Chiclayo?
el
número
de
Pn = n !
Ejemplo:
¿De cuántas maneras pueden sentarse 3
niños formando una fila ?.
Solución :
3 ! = 6 maneras posibles
Ejemplo: La Directora del C.P.U., inspecciona 5
aulas diferentes del curso de Algebra. Para
supervisar a los profesores sin que éstos sepan en
qué orden lo hará, varía el orden de las
inspecciones. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?
Solución : El número de maneras diferentes que la
Directora puede supervisar las aulas está dado por:
Del diagrama se obtiene que el número de
formas en que puede realizar el viaje es:
2+3 = 5
2.
P5 = 5 ! = 120
Principio de la multiplicación
PERMUTACIÓN CIRCULAR
191
Es el arreglo que se puede hacer con los elementos
de un conjunto, distribuidos alrededor de una curva
cerrada de forma circular
El número de permutaciones circulares de n
elementos, está dado por:
V
Ejemplo: Alrededor de una torta circular de
cumpleaños, se ubican 6 velas diferentes. ¿De
cuántas maneras pueden ser ubicadas?
Solución :
Como el arco iris tiene 7 colores y el
orden de los colores influye en el resultado, el
número de banderas está dado por:
P6c = ( 6 - 1 ) ! = 5 ! = 120
PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN
El número de permutaciones de n objetos en el que
se repiten alguno de ellos esta dado por:
(k1 , k2 , k 3 ... k m )
Donde
k1 , k2 , k3 , ....... , km
=
n!
; n³k
(n - k )!
Ejemplo: Con los colores del arco iris ¿Cuántas
banderas bicolores distintas se puede formar?
El número de maneras está dado por :
Pn
=
Nótese que una variación es un caso particular de
una permutación.
c
Pn = ( n – 1 ) !
Solución :
n
k
V7
=
2
n!
k1 ! k2 ! k3 ! ... km !
7 !
7.6.5 !
=
= 7.6 = 42
(7 - 2) !
5!
COMBINACIONES
Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse
con “n” elementos tomados de “k” en “k”, de modo
que dos arreglos cualesquiera difieren por lo menos
en un elemento.
: Número de veces que se
repite cada elemento.
k1 + k2 + k3 + ....... + km = n : Número total de
El número de combinaciones está dado por:
elementos.
C nk =
Ejemplo:
¿De cuántas maneras se pueden
permutar 2 bolas rojas, 5 amarillas, 3 azules?.
Solución :
P 10
=
2,5,3
10 !
= 2520
2! 5! 3 !
Ejemplo: Un estudiante del CPU de la UNPRG,
tiene que resolver solamente 8 preguntas de 10 en
un examen de admisión. ¿Cuántas maneras de
escoger las preguntas tiene el estudiante?
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes se
pueden ordenar las letras de la palabra Socorro?
Solución :
La letra O , se repite 3 veces
La letra r , se repite 2 veces
La letra S , se repite 1 vez
La letra C , se repite 1 vez
Luego :
P37,2,1,1 =
n!
; n³k
(n - k )! k !
Solución: El estudiante puede empezar a resolver
por cualquiera de las 10 preguntas, Entonces el
número de maneras de escoger las 8 preguntas es:
7!
= 420
3! 2 ! 1 ! 1 !
C 10
=
8
VARIACIONES
Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse
con “n” elementos tomados de “k” en “k”, teniendo
en cuenta el orden de sus elementos.
El número de variaciones está dado por:
192
10 !
10.9.8 !
=
= 45
(10 - 8) ! 8 !
2! 8!
3. En el desarrollo de: (3x 3 - y2 )n , hallar “n” si la
EJERCICIOS RESUELTOS
suma de coeficientes es 1024
Solución:
Cn Cn
Cn
E = C n0 + 1 + 2 + ........ + n
2
3
n +1
Multiplicando por (n+1) se tiene:
1. Reducir:
(n + 1)E = (n + 1)C0n +
De la formula: ( ax p + b y q )n entonces:
(n + 1) n (n + 1) n
(n + 1) n
C1 +
C2 ........ +
Cn
2
3
n +1
å coef
Por consecuencia de degradación de índices:
= (a + b)n
Reemplazando valores tenemos:
(n + 1)E = C n1 +1+ C n2+1+ C n3+1........ + C nn ++11
å coef
Sumando y restando al segundo miembro cn0+ 1
= (3 - 1)n = 2n = 1024
tenemos:
n +1
n +1
(n + 1)E = cn0+1 + c1n +1 + c2
+ c3
...... + cnn++11 - cn0+1
2n = 210
4. Un club dispone de 15 jugadores: 8 varones y 7
damas. Se desea formar un equipo de 11
jugadores, donde participan 6 varones. De
cuantas maneras se puede formar dicho equipo.
Solución:
(n + 1)E = C n0+1+ C n1 +1+ C n2+1 + C n3+1........ + Cnn++11 - 1
(n + 1)E = 2n +1 - 1
Por lo tanto: E =
2 n +1 - 1
n +1
Obsérvese que la selección de los jugadores no
implica orden alguno, en consecuencia se trata
de una combinación.
2. Hallar el termino independiente de de x, en:
1 ö
æ3 2
ç x ÷
3x ø
è2
9
Además tenemos que de los 8 varones se
considera 6 y para tener 11 jugadores se
completan con 5 damas:
Resolución: De la formula general :
æn ö
Tk +1 = çç ÷÷xn -k yk
èk ø
jugadores
Varones
15
Calcularemos el término que ocupa el lugar k+1
æ 9 ö æ 3 ö9-k æ 1 ök 18-3k
Tk +1 = çç ÷÷ ç ÷
ç - ÷ (x )
è 3ø
èk øè 2 ø
Para que el término sea independiente el grado
de la variable debe ser igual a cero. Entonces:
18 - 3k =0
C57
Por complementarios
C28
.
C27
Entonces el número de
8.7
formar el equipo es:
1.2
maneras que se puede
7.6
.
= 588
1.2
æ 9 ö æ 3 ö9-6 æ 1 ö6
T 6+1 = çç ÷÷ ç ÷
ç- ÷
è 3ø
è 6ø è 2 ø
E=
æ 9 ö æ 3 ö3 æ 1 ö6 9.8.7
1
T 7 = çç ÷÷ ç ÷ ç - ÷ =
.
1.2.3 33.23
è 6ø è 2 ø è 3 ø
E=
E=
193
7
.
Solución:
7
18
Damas
C68
5. Simplificar: E =
entonces k = 6 , luego calculando el término
independiente :
y
8
Equipo
æ 9 ö æ 3 ö 9-k æ 1 -1 ök
Tk +1 = çç ÷÷ ç x2 ÷
ç- x ÷
è 3
ø
èk øè 2 ø
T7 =
n = 10
Þ
(8! )8!+1.( 7! )9! .( 9! )8!
[9(7! ) .(8! ) ]
2 8!
9
(8! )8!+1.( 7 ! )9! .( 9.8! )8!
98!( 7! )9.8! .(8! )2.8!
(8! )8!+1 .(7! )9! .98!.8!8!
98! (7! )9.8! .(8! )2.8!
(8! )2.8!+1 .(7! )9! .98!
98! (7! )9! .(8! )2.8!
=8!
Radi c aci ón en R
RADICACIÓN
am
Es la operación matemática que consiste en
hallar una expresión llamada RAIZ de tal manera
que se cumpla, que al ser elevado esta a un número
llamado
INDICE
resulta
otra
expresión
denominado RADICANDO o cantidad subradical; es
decir:
5
4
= - 2 porque (-2) 5 = - 32
625
=5
porque
(10)
(5)4
b)
SIGNOS DE UNA RAÍZ
Si n Î Z + y r es la raíz, se presentan los
siguientes casos en n A :
Par # negativo
= # imaginario
Im par
# positivo
= +r
# negativo
= -r
Im par
3.
c) Raíz de un producto:
Sean
d) Raíz de un cociente:
p
a.b =
b
5
ab ;
aquellos
son homogéneos
x+6
3
4 3
7 ab ; 10 x y xz2
7
homogéneos de índice 3
3
5 xy ;
son
24
6
x3y7z5 ; - 13
6
x3y7z5 ;
8 6 3 7 5
x y z
5
a ³ 0
n
n
n
y n, p Î Z + :
n m
a
= r
Þ
np mp
a
= r
Para homogenizar radicales con índices diferentes,
se calcula el M.C.M. de los índices, el cuál será el
nuevo índice y luego se utiliza el principio
fundamental.
n
æn m ö
ç a ÷ = am p
è
ø
n a =
6xz
HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES:
p
n p
n
a =a
n
;
PRINCIPIO FUNDAMENTAL
y m,n Î Z + , entonces se tiene:
b) Potencia de una raíz:
a
RADICALES SEMEJANTES: Son aquellos
radicales que son homogéneos y tienen misma
cantidad subradical.
Ejemplo:
11 3
a) - 6 3 28 ;
28 ; 721 3 28
4
b)
TEOREMAS DE RADICACIÓN EN R
a) Raíz de una potencia:
5
16 ;
Si
Sean a,b Î R0+
n.m
de índice 5
= 625
= +r
3 xy
;
30xy
5
a)
= 100
Par # positivo
am.nb
2. RADICALES HOMOGÉNEOS: Son
radicales que tienen igual índice.
Ejemplos
Ejemplo :
= 10 porque
a =
n
1. RADICALES HETEROGÉNEOS: Son aquellos
radicales que tienen diferentes índices.
Ejemplo :
Donde: “r” es la raíz,
“n” es el índice,
“A” es el radicando ó cantidad subradical
100
b=
CLASIFICACIÓN DE LOS RADICALES
n
2
n m
f) Raíz de raíz:
si "n" es par Ù A ³ 0 entonces A = r « A = r n " n Î Z+
5 - 32
n
Ejemplo: Homogenizar:
5
n
a. b
Solución :
a
b
x2 y ;
194
y3 z 4
;
9
x 4 z5
MCM (5, 6, 9) = 90
90 x36 y18
e) Introducción de un factor a un radical
6
;
90 45
y
z60
;
90 40
x
z50
Ejemplo :
¿Cuál de los radicales
2 ;
54 ;
78
d) Se eleva al cuadrado el término obtenido y se
le cambia de signo, escribiéndolo debajo de su
correspondiente semejante en el polinomio.
posee
menor valor aritmético?
e) Se baja el primer periodo, a continuación se
duplica la raíz obtenida hasta el momento.
Solución : Hallamos el MCM (2, 5, 7) = 70
Homogenizamos:
70 2 35
Luego, el radical
70
;
2 28 =
70 2 28 ;
54
70 2 30
f)
posee menor
valor aritmético
Se divide el primer término del resto obtenido
hasta ese momento, entre el primer término
de la raíz que se duplicó.
g) El valor obtenido, es el segundo término de la
raíz que se esta obteniendo. Se procede los
pasos e,f,g.
RAIZ DE UN MONOMIO
h) El resto debe ser de grado menor que la raíz
obtenida.
Para extraer la raíz enésima de un monomio, se
extrae la raíz del coeficiente y luego se dividen los
exponentes de las partes literales entre el índice
de la raíz.
Ejemplo : Hallar la raíz cuadrada de:
x 4 - 10 x3 + 29 x 2 - 20 x + 4
Ejemplo :
3 27 x6 y81 =
3 27 . x6 / 3 y81 / 3
Solución
= 3x2y27
x 4 - 10 x 3 + 29 x 2 - 20 x + 4
RAIZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
- 10 x 3 + 29x 2
- 4 x 2 + 20 x - 4
RESTO
manera que: P( x) = q ( x) + R( x)
Esquema:
P(x)
R(x)
)
(2 x 2 - 5 x)(5 x) = 10 x3 - 25 x 2
4 x 2 - 20 x + 4
2
)=
2( x 2
- 10 x3 ¸ 2 x 2 = - 5 x
10 x3 - 25 x2
Dado un polinomio P(x) de grado par. Hallar su raíz
cuadrada. Consiste en hallar otros dos polinomios
llamados raíz cuadrada q(x) y residuo R(x) de tal
RAÍZ
x 2 - 5x + 2
2( x 2
- x4
0
2 ( x 2 - 5 x ) = 2 x 2 - 10 x
4 x 2 ¸ 2 x2 = 2
(2x 2 - 10x + 2) (-2) = -4x 2 + 20x - 4
Por tener resto cero se dice que es raíz cuadrada
q(x)
exacta.
Propiedades:
Sean r(x) la raíz del polinomio P(x) y
resto, entonces:
Donde: P(x) : es el polinomio radicando
q(x) : es la raíz
R(x) : es el residuo
Para extraer la raíz cuadrada de un polinomio, se
debe tener presente:
Grado de la Raíz =
a) El polinomio radicando generalmente debe ser
completo y ordenado en forma descendente y si
faltase algún término se puede completar con
ceros.
R(x) el
Grado del Radicando
Indice de la raíz
Grado de Rmáx = Grado de la Raíz – 1 ,
donde R es el resto.
En
b) Se divide en periodos de dos en dos empezando
por la derecha.
a)
n P(x) se presentan dos casos:
Si n P(x) es exacta, entonces
P( x) = rn ( x)
c) Se extrae la raíz cuadrada del primer término,
que viene a ser el primer término de la raíz
cuadrada obtenida.
b)
y R(x) = 0
Si n P(x) es inexacta, entonces
P( x) = rn (x) + R( x) , donde: R(x) ¹ 0
195
Donde:
RADICALES DOBLES
Se llama así a aquellos radicales que dentro de un
radical se encuentre otros radicales relacionados
mediante adiciones o sustracciones, por lo general
son de la forma
A ±
B
;
A ±
B ±
C ±
2 ab = B ,
E = 21 - 8
a)
E
B
donde C =
Calculamos el valor de C
11 + 7
+
2
11 - 7
= 9+ 2
2
B = 2 a
Solución:
11 - 6 2 =
n
b
9 +2
por lo tanto se descompone en
11 - 6 2 = 9 -
2 18 =
A ±
B ±
B ±
C ±
C ±
D =
2
E=
D
a ±
b ±
xm
E=
3x
4
3
x 5 y2
Solución:
Primero se debe simplificar el denominador ya
que el exponente de x es mayor que el índice de
la raíz. Luego:
F.R.
II. RADICALES DE LA FORMA
A ±
N
x n-m , donde ( n > m ).
Ejemplo : Racionalizar
9x 2
2 = 3 -
n
Nota: Cuando (n < m) se debe simplificar el
radical del denominador
11 - 6 2
11 -
5 -2 3
El F.R. del denominador es de la forma:
Ejemplo:
Transformar a radical simple:
= 2+
12
1. FRACCION DE LA FORMA :
B = a + b ± 2 a b = a ± b, a > b
y
5 -
5 x 12
CASOS
Segundo Método (Forma Práctica):
A =a+b
+
5x 4
FACTOR RACIONALIZANTE (F.R)
Es la expresión irracional por la que hay que
multiplicar a otra expresión irracional, para
convertirla en racional.
49 = 7
11 + 72 = 3 + 2
Donde:
4
4 x 12
Se denomina racionalización Aquel proceso que
permite transformar una fracción con denominador
irracional
en otra fracción equivalente cuyo
denominador sea racional.
entonces:
A ±
21 - 2 48 + 2 20 - 2 60
RACIONALIZACIÓN
C = 112 - 72 = 121 - 72 =
b)
=
A2 - B
Ejemplo: Transformar: 11 + 72
11 + 72 =
15
21 - 8 3 + 4 5 - 4 15
A - C
2
Ademàs " A2 - B" debe ser un Cuadrado perfecto
Solución:
5 -4
=
=
E
A + C
±
2
B =
3 +4
(4 + 5 + 12)
Primer Método:
A ±
2 bc = D
Solución:
D
A ±
2 ac = C ,
Ejemplo: Hallar la raíz cuadrada de:
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A
SIMPLES
I. RADICALES DE LA FORMA
a + b + c = A,
4x
E=
c
196
3
3x
2
2
x ×y
3x
3
x×y
4x y
=
=
4x
3
3
3
3x
2
x ×y
x×y
4y
2
×
3
x×y
3
x×y
N
2. FRACCION DE LA FORMA:
A ±
estará relacionado con los cocientes notables
exactos.
B
Se racionaliza utilizando el criterio de la
conjugada, para transformar el denominador en
una expresión racional.
Ejemplo:
M=
M=
12
3- 2
12 3
( 3-
=
a) Si el denominador es de la forma: n A - n B
tendrá como factor racionalizante a
12 3
Racionalizar: M =
3
Veamos los siguientes casos:
3 -
n
2
( 3 + 2)
2) ( 3 + 2)
(
6
N
A ± 3 B
ó
∓√
√
)
n
√
.
√
∓√
√
√
A
n -2 n
n
B+
A
n -3 n
3
B + ...... +
n
B
n -1
A
n -1
-
n
A
n -2 n
B+
n
A
n -3 n
3
B - ...... +
n
B
n -1
Resumen:
a) Si “n” es par entonces
√
Se aplicará lo representado en el cuadro:
√
n
+
tendrá como factor racionalizante a
3. FRACCIÓN DE LA FORMA:
3
n -1
b) Si el denominador es de la forma n A + n B
.
36 + 12 6
= 12 3 +
3 - 2
A
b)
Si “n” es impar entonces
√
√
∓√
√
√
Ejemplo: Hallar el denominador racionalizado de:
6
√
∓√
√
.
√
√
√
√
√
24
√
Solución:
24
Ejemplo : Racionalizar
E =
5
35 -
æ 3 2 3
5.4 +
ç 5 +
=
×è
3
5 - 3 4 ( 3 5 - 3 4 ) æç 3 5 2+ 3 5.4 +
è
5
5 ( 3 25
E=
+
3
3 53 -
E= 5
(
3 25 +
3
20 +
34
3
IV. FRACCIÓN DE LA FORMA:
ø
25
F.R
25
28 25 F.R
6 F.R.
6 (F.R.) 2 (F.R.)
=
=
=
28 - 25
3
1
=
6
24
.
24
Ejemplo: Hallar el denominador racionalizado de:
3 4 2ö
÷
ø
25
27
35 +
27
5
Solución:
)
25
27
N
n
24
el denominador racionalizado es 1
3 4 2ö
÷
16 )
3 20 + 3 16
28 -
24
34
Solución:
5
6
28 -
A ± n B
Cuando el denominador irracional es un binomio
cuyos radicales son índices mayores que 3, en este
caso el factor racionalizante depende del índice y
35 +
27
5
=
25
F .R.
35 + 5 F .R.
25 ( F .R.) 25 ( F .R.)
=
=
35 + 5
40
5 ( F .R.)
=
8
27
27
.
el denominador racionalizado es 8
197
EJERCICIOS RESULTOS
1) Descompner en radicales simples:
E = 3x - 1 + 2 2x 2 + x - 6
Solución :
Factorizando:
Entonces:
E = 2x - 3 + x + 2
x + x2 - 1 +
4
x +1 +
2
x + x2 - 1 +
4 2
A=
2
x - ( x - 1)
Haciendo : M = x +
Entonces:
2
x2 - 1 +
x - x2 - 1
2
2
2
M = x + x -1 + x -
A=
M2 = 2x + 2
2
2
Agrupando
2)
2+ 3 + 5
2)
(2 + 3 ) - 5
E = 42
=
3) Hallar el valor de :
M
=
=
; el
de
manera
conveniente
el
17 + 6 8 +
4 17 + 2 ( 3) ( 8 ) +
·
2+ 3 + 5
(2 + 3 ) + 5
(2 + 3 + 5 ) 2
2 ( 2 3 + 1)
·
=
(2 + 3 + 5 )2
(2 + 3 )2 - 5
27 - 10 2
Respuesta
27 - 2(5 ) ( 2 )
198
2
2 3 - 1 (2 + 3 + 5 ) 2 ( 2 3 - 1)
=
22
2 3 -1
Luego el dominador es 22
Solución :
M
2+ 3 - 5
denominador, se reconoce el F.R.
2 ( x +1 +
4
2+ 3 + 5
c
Solución :
Factorizando tenemos :
( x +1 +
32xFR1 x FR2 FR1 x FR2
=
(32)(4)
4
denominador de la fracción resultante es:
a) 22
b) 12
c) 14
d) 16
e) 32
Reemplazando en “ E2 ” :
x +1 +
(5 + 3 )(5 -1)
=
3
5) Después de racionalizar:
Entonces : M = 2 x + 1
2
32xFR1 xFR2
Por lo tanto el denominador es 4
Respuesta
2
x - 1 + 2 x - (x - 1)
x +1 +
FR1 x FR2
32
(3 5 + 3)(3 5 - 1) . FR1 x FR2
2
FR2 = 3 5 + 3 5 + 1
Elevando al cuadrado :
E2 =
M=6
v Donde: FR1 = 3 5 - 3 3 5 + 32 y
2
x - x2 - 1 + 2
x +1 +
2
2
a 2 + 2a - 3 = (a + 3 )(a - 1) ; entonces:
x - x -1 + 2
x +1 +
E2 =
2 +1 + 5 -
v El denominador tiene la forma:
2
2
x + x -1 +
2
=
luego un cambio de variable: a = 3 5
x - x2 - 1
Solución :
Elevando al cuadrado :
E2 =
( 2 + 1) 2 + 5 - 2
2
Solución : Hacemos lo siguiente: 3 25 = 3 5 y
2) Simplificar :
E2 =
=
2
2)
simplificado que se obtiene es:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 16
e) 32
(2x - 3) + (x + 2) + 2 (2x - 3)(x + 2)
E=
(5 -
4) Al racionalizar la expresión:
32
A=
el denominador entero
3 25 + 2 3 5 - 3
La suma de estos factores es:
(2x - 3 ) + (x + 2) = 3x - 1
4
3+ 2 2 +
entonces
2x 2 + x - 6 = (2x - 3 )(x + 2 )
E=
=
a
Matrices
y
Determinantes
·
MATRIZ
Una matriz es un arreglo rectangular de números
reales ordenados en filas y columnas.
Matriz Columna.
La matriz de m filas y una columna recibe el
nombre de matriz columna de orden m x 1.
Ejemplo:
é 2
ê
1
A =ê
ê 0
ê
ëê - 1
Columnas
a12
a22
a32
M
am2
........
Es una matriz columna de orden 4 x 1
a13 L a1n ö
a23 L a2n ÷
÷
a33 L a3n ÷
÷
M
M ÷
am3 L amn ÷øm×n
·
Filas
æ a11
ça
ç 21
A=ç a31
ç
ç M
ça
è m1
Matriz Cuadrada.
Una matriz es cuadrada si el número de filas
es igual al número de columnas (m =n)
Ejemplo:
é1 3 1ù
A = ê 3 2 -5 ú
ê
ú
êë -2 0 4 úû3 x 3
Notación: Las matrices se denotan con letras
mayúsculas, tal como A, B, C, D,........... etc.
En forma abreviada una matriz se denota por:
A = éë ai j ùû
m xn
Diagonal principal:
Está formada por todos los elementos de
igual subíndice de la matriz A.
; i = 1, 2,3,...m
j = 1, 2, 3,...n
a11 = 1 ;
Orden de una matriz
El orden de una matriz está dado por el producto
indicado m x n , donde “m” indica el número de
filas y “n” el número de columnas.
;
é4
ê
B= ê8
ê4
ë
4
1
5
6ù
ú
0ú
1 úû
Traz (A) =
n
å ai i
i =1
= a11 + a22 + a33 + L + ann
Propiedades de la traza
Si A y B son matrices cuadradas del mismo
orden y
Tipos de matrices
m ¹ n , recibe
el nombre de matriz rectangular.
Ejemplo.
é1 - 3 1 ù
A= ê
ú
ë 2 0 8 û2 x 3
·
; a 33 = 4
Traz (A) = 1 + 2 + 4=7
3x3
A es una matriz de orden 2x3
B es una matriz de orden 3x3.
· Matriz Rectangular.
La matriz de orden m x n, con
a 22 = 2
Traza de una matriz. Se define como la
suma de los elementos de la diagonal
principal.
Esto es :
Ejemplos:
é5 2 6 ù
A= ê
ú
ë 2 5 8 û2 x 3
ù
ú
ú
ú
ú
ûú
l escalar entonces se tiene:
·
Traz (A + B) = Traz (A) + Traz (B)
·
Traz (A - B) = Traz (A) - Traz (B)
·
Traz (l A) = l Traz (A)
·
Traz ( AB) = Traz (B A)
MATRICES CUADRADAS ESPECIALES
Matriz Fila.
La matriz de orden 1x n, se denomina matriz
fila o vector fila.
Por ejemplo.
1. Matriz Triangular Superior.
Si los elementos ubicados por debajo de la
diagonal principal son ceros, decimos que, A es
una matriz triangular superior, esto es:
ai j = 0; "i > j
A = (2
1
5 6),
Es una matriz fila de orden 1 x 4.
199
Ejemplo:
é5
ê
A = ê0
ê0
ë
3
7. Transpuesta de una Matriz ( A T ).
Es la matriz que se obtiene, al intercambiar
filas por columnas.
1ù
ú
2ú
7 úû
4
0
Ejemplo:
2. Matriz Triangular Inferior.
Si los elementos ubicados sobre la diagonal
principal son ceros, decimos que, A es una
matriz triangular inferior, esto es:
ai j = 0
Sea:
Propiedades.
Sea A y B matrices conformables en la adición
y multiplicación, entonces se tiene:
; " i <j
Ejemplo:
é3
ê
A = ê2
ê1
ë
0
0ù
ú
0ú
1 úû
-5
7
3. Matriz Diagonal.
Es aquella matriz cuadrada donde al menos un
elemento de la diagonal principal no es cero y
los demás son todos ceros, es decir:
Ejemplo:
0
0
;
é2 0ù
N= ê
ú
ë0 0û
·
( A - B )T = A T - BT
·
( A T )T = A
·
(k A )T = K A T
·
( AB ) T = B T A T
·
( I n )T = I n
Ejemplo:
5
æ2
ç
= ç5
4
ç
è 11 17
11 ö
÷
17 ÷
÷
6ø
A = - AT , es decir:
Donde: k escalar.
a j i = - ai j ; "i ¹ j
ì
í
î
Ejemplo:
é2 0ù
; S= ê
ú
ë0 2û
a ji = 0
; "i = j
Ejemplo:
æ0
ç
A = ç4
ç
è9
5. Matriz Identidad.
Es toda matriz escalar cuyos elementos de la
diagonal principal es igual a 1.
-4
-9 ö
÷
- 16 ÷ Þ
÷
0ø
0
16
T
A
4
æ 0
ç
= ç- 4
0
ç
9
16
è
9ö
÷
16 ÷
÷
0 ø
Como A = - A , entonces A es una matriz
Antisimétrica.
T
Ejemplo:
é1
ê
I3 = ê0
ê0
ë
AT
9. Matriz Antisimétrica.
Una matriz A es Antisimétrica si y solo si:
ai j = k , "i = j
æ k 0 0ö
ç
÷
R = ç 0 k 0÷
ç0 0 k ÷
è
ø
, k : escalar
A = AT , es decir:
a j i = ai j ; "i, j
5 11 ö
æ2
ç
÷
A = ç5
4 17 ÷ Þ
ç
÷
6ø
è 11 17
Luego, A es simétrica.
4. Matriz Escalar.
Es
una
matriz diagonal donde todos los
elementos de la diagonal principal; son iguales a
un número diferente de cero;
Es decir:
( A + B)T = A T + BT
su transpuesta
0ö
÷
0÷
÷
17 ø
5
·
8. Matriz Simétrica.
Una matriz A es simétrica si y solo si es igual a
ai j = 0; "i ¹ j
æ1
ç
M= ç 0
ç
è0
æ8 3 ö
ç
÷
æ 8 5 3ö
÷÷
Q = çç
Þ QT = ç 5 4 ÷
3
4
2
è
ø 2 x3
ç3 2 ÷
è
ø 3x 2
0
1
0
0ù
ú
0ú
1 úû
é 1 0ù
I2 = ê
ú
ë0 1 û
;
IGUALDAD DE MATRICES
Se dice que dos matrices A y B son iguales cuando
son del mismo orden y sus elementos
correspondientes son iguales.
6. Matriz Nula.
Es la matriz cuyos elementos son ceros, esto es:
Ejemplo:
Dadas las matrices
é x + y x - y z ù é 7 3 - 1ù
, Luego:
=
ê 0
x - 2y x úû êë 0 1 x úû
ë
x + y = 7 , x - y = 3 , z = -1 .De donde se deduce
que:
x = 5, y = 2, z = -1
ai j = 0; "i , j
é0
ê
S = ê0
ê0
ë
0
0
0
0ù
ú
0ú
0úû
200
Ejemplo:
OPERACIONES CON MATRICES
1. ADICIÓN DE MATRICES
Sean las matrices
A = ( ai j )
m xn
;
B = ( bi j )
Definimos a la matriz suma de A y B como:
A +B=
(a
ij
+ bi j )
Si l = 5
m xn
·
æ9 10 5ö
æ 8+ 1 5+5 3 + 2ö
A + B = çç
÷ = ç
÷
ç9 8 2÷÷
è3+ 6 4+4 2+ 0ø
è
ø 2x3
·
·
En la adición de matrices se tiene en cuenta lo siguiente:
·
Las matrices a sumar deben ser del mismo orden
·
Se suman los elementos correspondientes
" A , A + ( -A) = 0
2
ù
ú
ú
úû
-1 5
·
Conmutativa
Asociativa
Elemento Neutro
Elemento inverso
Aditivo.
+ B
) = (l
A + l B)
(Distributiva respecto a la adición de matrices).
(l + k ) A = l A + kA ,
(Distributiva respecto a la suma de escalares)
(l k ) A = l A(k ) = k ( l A )
Multiplicación de Matrices
Dadas las matrices:
A = (ai j )m x p y B
el elemento
ci j
= (bi j ) p x n
A B = ( ci j ) m x n .
Donde
se calcula multiplicando la
i-ésima fila de A por la j-ésima columna de B.
n
ci j = ai 1 b1 j + ai 2 b2 j + ..... + ai p bp j = åai p bp j
p =1
i = 1, 2,3,...m
j = 1, 2,3,...n
Ejemplo: Sean las matrices
æ 1 0ö
ç
÷
y B =ç 2 1÷
ç- 1 2÷
è
ø3 x2
æ c11 c1 2 ö
÷
AB = ç
ç c21 c22 ÷
è
ø2 x2
æ 1 2 3ö
÷÷
A = çç
è - 1 0 1 ø 2 x3
Ejemplo:
é 10 - 11
A- B = ê
ë 0 - ( -12)
é 10 - 11
A- B = ê
ë0 - ( -12)
(A
Definimos la matriz
m xn
é10 8ù
Dadas las matrices A = ê
ú ,B
ë 0 2û
l
4. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
2. DIFERENCIA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B del mismo orden
m x n, la diferencia entre A y B es otra matriz
C
del
mismo
orden,
tal
que
C = ( ai j - bi j )
4
(Asociativa escalar)
· 1.A = A
( Elemento Neutro)
Propiedades de la adición de matrices
Dadas las matrices A, B y C del mismo orden,
entonces se cumple:
A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
"A , A + 0 = 0 + A = A
3
Propiedades del producto de un escalar por
una matriz
Dadas las matrices A y B de orden m x n y
escalares l , k Î R , entonces se tiene:
æ1 5 2ö
B = çç
÷÷
è6 4 0ø 2x3
Nota:
·
·
·
·
2
æ 5.2
5.3 ö
æ 2 3ö
æ 10 15 ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
Þ 5 ç 4 2 ÷ = ç 5.4
5.2 ÷ = ç 20 10 ÷
çç
÷÷
ç
÷
ç
÷
è-1 5 ø
è - 5 25 ø
è 5.( -1) 5.5 ø
Ejemplo:
Dadas las matrices:
Þ
y
Hallar l A.
m xn
æ 8 5 3ö
÷÷
A = çç
è 3 4 2 ø 2 x3
é
ê
A= ê
êë
é 11 5 ù
ê
ú
ë- 12 2 û
Þ
8 - 5ù
2 - 2 úû
8 - 5ù
2 - 2 úû
Donde:
c11 = 1(1) + 2(2) +3(-1) = 2
c12 = 1(0) + 2 (1) + 3 (2) = 8
c21 = -1(1) + 0(2) + 1(-1) = -2
c22 = -1(0) + 0( 1) + 1( 2) = 2
3. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR
UNA MATRIZ
æ 2 8ö
÷
Luego, A . B = çç
÷
è - 2 2 ø 2 x2
Dada
una matriz A
y un escalar l , el
producto de l por A se define por:
¡NO OLVIDAR!
l A = l (ai j )m x n = (l ai j )m x n ,
*Para multiplicar dos matrices se debe tener en cuenta:
# de columnas de la primera matriz = # de filas de la segunda matriz.
Esto significa que la matriz es conformable respecto al producto.
Cada componente de A se multiplica por el
escalar l .
*El orden de la matriz producto será: # de filas de la primera matriz
# de columnas de la segunda matriz.
201
x
·
æ 120 -205 ö
÷
Si A = çç
÷
è 130 - 320 ø
Multiplicación de una Matriz fila por una
Matriz columna.
A = (a1
a2
æ b1 ö
ç ÷
ç b2 ÷
; B = ç b3 ÷
ç ÷
ç M ÷
çç b ÷÷
è nø
a3 L an )
Definimos:
A = 120 ( - 320 ) - 130 (- 205 ) = - 11750
DETERMINANTE DE UNA
ORDEN
Ejemplo: Sean las matrices:
0
-1
æ 1
ç
ç 2
B = ç
0
ç
ç- 6
è
y
2) 1 x 4
A = ( ai j )
Sea
A . B = ( a1b1 + a2 b2 + a3 b3 + ... + an bn )
A = (1
|A|=
·
·
·
·
·
A. A = A
a12
a31
a32
a21
Ejemplo:
Sea
= A C + B C
AB ¹ B A
AB= 0, no implica que A = 0 Ú B = 0
AA = A2
A B = A C , no implica que B = C
1+ n
A
n
a13
a22
a23
a33
a12
a13
a22
a23
æ 1 2 3ö
A = ç -1 0 4 ÷ .
ç
÷
ç -2 1 5 ÷
è
ø
= 1 (0) (5) + 2 (4) (-2) + (-1) (1) (3) –
De la estrella
·
A
=
El determinante de una matriz es la función que
aplicada a una matriz cuadrada de orden “n” la
transforma en un número real, esto es:
* **
* **
* **
+
* **
* **
* **
(i)
det : Mn x n ® R
( ii )
i) El producto de sus valores salen con sus
mismos signos
ii) El producto de sus valores se le cambian de
signos.
A a det A = A
MATRIZ
a32
= -13
m+ n
DETERMINANTE
DETERMINANTE DE UNA
ORDEN
a13 ö
÷
a23 ÷
a33 ÷ø
3x 3
(-2) (0) (3)-(-1) (2) (5) - (1) (1) (4)
y A .A = A
m
a12
a22
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 - a31
a22 a13 – a11 a32 a23 - a21 a12 a33
A
A (B + C ) = A B + A C
n
a11
a21
A (B C ) = ( A B)C
AI = IA
3x3
a11
Si A, B y C son matrices conformables
respecto de la suma y producto, entonces se
tiene:
·
æ a11
ç
A = ç a21
ça
è 31
DE 3°
Regla de Sarrus
·
Propiedades de la multiplicación de matrices
( A + B ) C
MATRIZ
Reglas prácticas para su cálculo
ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø 4 x1
A . B = 1 (1) + 0(2) + ( -1) ( 0) + 2( -6) = -11
·
·
·
Þ
DE 2°
El determinante
valores.
æ a11 a12 ö
÷
Sea A = ç
ç a21 a22 ÷
è
ø
a11 a12
Þ A =
= a11 .a22 - a21 . a12
a21 a22
resulta
la suma
de sus
· Regla de Laplace (Menores Complementarios)
Menor
complementario:
El
complementario de un elemento
Ejemplo:
menor
ai j
de la
matriz A es el determinante de la matriz que
202
resulta al eliminar la fila i y la columna j de la
matriz A.
3.
4.
Ejemplo:
Sea
æ 1 2 3ö
A = ç -1 0 4 ÷
ç
÷
ç -2 1 5 ÷
è
ø
5.
6.
El menor complementario del elemento
a12 es:
-1 4
=3
-2 5
Para calcular el determinante de un matriz de
orden 3 usando la Regla de Laplace se procede
de la siguiente manera:
A. B = A . B = B . A
8.
AT = A
9.
An = A n
l A = ln A ;
l
escalar
Matriz singular
Una matriz es singular si su determinante es cero
Si su determinante es diferente de cero entonces
es no Singular.
æ1 2 ö
÷
Ejemplo: Sea la matriz A = çç
÷
è 6 12 ø
b) Se toma cada elemento de la fila o columna
elegida y se multiplica por su menor
complementario.
Calculando su determinante: A =12-12= 0
Entonces A es singular.
c) El determinante es la suma algebraica de los
resultados obtenidos en el paso b).
Ejemplo: Calcular el determinante de
éa11 a12 a13 ù
ê
ú
A = êa21 a22 a23 ú
êa31 a32 a33 ú
ë
û
Ejemplo: Si
æ 1 3ö
÷
A = çç
÷
è - 1 2ø
Como su determinante es: A = 2+ 3=5
Entonces A es no singular.
Solución:
MATRIZ INVERSA
Eligiendo la primera fila, se tiene que:
= a11
7.
10. Sea A una matriz de orden n ; se cumple
a) Se elige una fila o columna y se le antepone
signos de acuerdo al siguiente esquema:
+ - +
- + + - +
A
Si todos los elementos de una fila (ó columna)
son ceros, entonces el determinante es cero.
Si todos los elementos de una fila (o columna)
se multiplican por un escalar k ¹ 0, entonces el
determinante queda multiplicado por el escalar.
Si a todos los elementos de una fila (o columna)
se le suma el múltiplo de otra fila (o columna),
entonces el determinante no altera.
El determinante de una matriz triangular es el
producto de los elementos de la diagonal
principal.
a 22
a 32
+ a13
a 23
a 33
a 21
a 31
- a12
a 21
a 31
Sea A una matriz cuadrada no singular, si existe
una única matriz B cuadrada del mismo orden, tal
que A. B =B .A = I. Entonces definimos a B como
a 23
a 33
matriz inversa de A y lo denotamos por A-1 .
a 22
a 32
Teorema
Una matriz cuadrada posee inversa si y sólo si es
no singular.
PROPIEDADES
1.
Si se intercambian dos filas (ó columnas),
entonces el determinante cambia de signo.
2.
Si los elementos de dos filas (ó columnas), son
proporcionales, entonces el determinante es
cero.
$A -1 Û A ¹ 0
Teorema
Sea A una matriz invertible, entonces la matriz
inversa está dada por:
A -1 =
203
1
Adj ( A )
A
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Adj ( A ) : Es la adjunta de la matriz A.
·
Cálculo
1.
de la matriz inversa de orden 2
æ a11
Sea la matriz A = ç
ç a21
è
a12 ö
÷ ; A
a22 ÷
ø
æ a22 - a12 ö
Adj ( A ) = ç
a11 ÷ø
è -a21
1 æ a22
-1
Þ A =
A çè -a21
æ2
ç
ç11
ç
è5
¹0
Þ A- 1 =
1 æ -9 -10 ö
ç
5 ÷ø
-15 è 3
=
Ù
A = -15
æ -9
ç
ç - 15
ç 3
ç
è - 15
-10 ö
÷
- 15 ÷
5 ÷
÷
- 15 ø
c - 21 = 7
a - 10 = 18
y
c = 28 .
æ1
ç
2. Si : A = ç 3
ç
è9
Solución:
1
1 ö
÷
4 5 ÷
÷
16 25 ø
Calcular : A
El determinante se puede escribir así:
A =
1
1
1
3
4
5
32
42 52
(Determinante de Vandermonde)
A = ( 4 - 3) (5 - 3) (5 - 4) = 2
(A . B )-1 = B-1 . A-1
·
A.A-1 = A-1 . A = I
·
(l .A )-1 = l-1 . A-1
3). Si la matriz A =
(A ) = A
Adj ( A) = A
n -1
é 1 - 42
ê
ê6 x 20
êë 0
1
y - 3xù
ú
1
ú
30 úû
Es simétrica, calcular E = 18x2 + y2
-1 -1
·
a ö
æ c - 21
ç
÷
a - 10÷
ç b
ç
÷
c ø
è c - 15
Entonces tenemos: a + b - c = 26
-1
·
·
21ö
÷
14 ÷ =
÷
19ø
b = 26
Donde se obtiene:
a = 28 b = 26
Propiedades de la inversa de una matriz
Sean A y B matrices cuadradas no singulares y
l un escalar distinto de cero, entonces se tiene:
A -1 = A
7ö
æ5
÷
ç
4÷ + ç15
÷
ç
9ø
è8
æ 2 +5 7 +21 ö æ 7 28 ö
æc -21 a ö
ç 11+15 4 +14÷ = ç26 18 ÷ = ç b a -10÷
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç 5+8 9 +19 ÷ ç13 28 ÷
çc -15 c ÷
è
ø è
ø
è
ø
-a12 ö
a11 ÷ø
2ö
æ 3
ç
5
3÷
A-1 = ç
÷
ç-1 -1÷
ç
÷
è 5
3ø
·
a + b – c : si
Solución:
Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz
æ 5 10 ö
÷
A = çç
÷
è - 3 - 9ø
Solución:
-(10) ö
æ -9
Adj ( A ) = ç
5 ÷ø
è -( -3)
Calcular
Solución: Por definición: aij = aji
, donde n es el orden
de la matriz A.
Luego:
Determinante de la matriz de Vandermonde
1
1
a1
a2
2
a1
a22
M
M
n-1
a1
a2n-1
K
ïì6x = - 42 ® x = -7
í
ïî0 = y - 3x ® y = 3( -7) = -21
1
K an
K an2 = Õ ( ai - a j )
1£ j<i£n
O M
K ann-1
Entonces: E = 18(-7)2 + (-21)2 = 1323
204
Solución:
Aplicaremos la propiedad 5 de determinantes a
4. Considere f ( x) = 1 + x + x 2 + x 3 + ..... ; x < 1
Hallar la traza de f( A) .
las filas (
Solución:
f( x ) =
1
1 -x
-2f2 + f3 :
Û f ( x ) = ( 1 - x ) -1
-1
=
1
14 - 12
æ 7
çç
è- 4
-3 ö
÷
2 ÷ø
1
5
æ 7 2 - 3 2ö
f ( A) = ç
1 ÷ø
è -2
matriz
Solución:
La matriz será de la forma:
æ a11 a12
A = ç a21 a22
ç
ça
è 31 a32
a13 ö
a23 ÷
÷
a33 ÷ø3 x 3
0
0
a32 = 2 ( 3 ) + 2 = 8
1 2
0 0
æ 3 4 5ö
A = çç 5 6 7 ÷÷
ç 7 8 9÷
è
ø3 x 3
6. Calcular:
1
1
1
25
1
1
1
25
1
1
50 -1
150 -2
1
20
1
20
1
-4
0 0 50 -1
0 1 150 -2
fila
-2 f 2 + f 3
¾¾¾¾
®
-3 f 2 + f 4
¾¾¾¾
®
-5 f1 + f 2
¾¾¾¾
®
1
-4
0
20
-4
= 0 50 -1
1 150 -2
-4
20 -4
-1 =
= 180
50 -1
1 150 -2
0
=0
Donde la sumatoria de los elementos de la
matriz es: 54
1
25
la
Ahora usaremos la Regla de Laplace:
a33 = 2 ( 3 ) + 3 = 9
2
10
a
0 0 50 -1
0 1 150 -2
a22 = 2 ( 2 ) + 2 = 6
a13 = 2 ( 1 ) + 3 = 5
1
5
0
1
1 2
0 0
a 23 = 2 ( 2 ) + 3 = 7
Luego,
2
10
1 2
5 10
Donde sus elementos se calculan de la siguiente
manera:
a11 = 2 ( 1 ) + 1 = 3
a12 = 2 ( 1 ) + 2 = 4
a31 = 2 ( 3 ) + 1 = 7
1
25
0 0 50 -1
15 31 225 1
luego determine la suma de los elementos de la
matriz.
a21 = 2 ( 2 ) + 1 = 5
2
10
1
5
A = éëaij ùû ; cuyos
3´3
elementos satisfacen la relación aij = 2i + j ;
la
que
10 20 100 1
15 31 225 1
7
9
\ Traz éëf (A ) ùû = + 1 =
2
2
5. Construir
significa
2
la
multiplicaremos por -2 y la sumaremos a la
tercera.
El resultado será almacenado en la fila 3. El
propósito es obtener la mayor cantidad de
elementos nulos.
æ 1 0ö
÷÷
f ( A ) = ( I - A ) -1 , con I = çç
è0 1 ø
æ2 3ö
÷÷
f ( x ) = çç
è4 7ø
así:
fi )
1
1
10 20 100 1
15 31 225 1
205
20
50
Ecuaciones
Sus soluciones o raíces son: x=4 y x=-3
IGUALDAD
Es la comparación entre dos expresiones matemáticas
la cual indica que éstas tienen el mismo valor numérico
o que deben adquirir el mismo valor numérico.
Siendo A y B dos expresiones matemáticas se tiene
que:
A=B
Donde: A; primer miembro
B; segundo miembro
El C.S. de una ecuación siempre es subconjunto de su
CVA.; luego el C.S= -3, 4
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES
POR SUS SOLUCIONES.- Pueden ser:
1. Ecuación compatible.- Es aquella que admite
solución. A su vez puede ser
a.- Determinada.- Si presenta un número limitado
de soluciones.
CLASES DE IGUALDADES
-
Ejemplo: x
Soluciones:
Igualdad absoluta o Identidad: (Incondicional)
Es aquella que se verifica para cualquier valor
asignado a la variable.
Así :
*
( a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2 )
Resolver:
1
1
2
=
x - 1 x + 1 x2 - 1
Conjunto de valores admisibles CVA= R -{-1}
( x 2 + 2 x + 1) - ( x 2 - 2 x + 1)
4x
= 2
2
x -1
x -1
Por la identidad de Legendre resulta:
4x
4x
=
x2 - 1
x2 - 1
Cancelando denominadores se tiene que:
4x = 4x
Por lo tanto la ecuación es COMPATIBLE
INDETERMINADA para todo x ¹ ±1
SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN
Es el conjunto de valores que verifican la ecuación.
Ejemplo:
x=4Þ 3
4 -1
x=9Þ3
9 -1
=
x
+6
3
4
+ 6......( F )
3
9
= + 6......(V )
3
=
2. Ecuación incompatible (Absurda).- Es aquella que
no admite solución.
Ejemplo:
Resolver: (x - 1) 2 + 4x = (x + 4)( x - 2)
Solución: Efectuando paréntesis:
x 2 - 2x + 1 + 4x = x 2 + 2x - 8
Transponiendo términos se obtiene:
1 = -8
Como 1 ¹ -8 entonces la ecuación es
incompatible
Entonces x = 9 es una solución.
CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S.):
Es el conjunto que reúne a todas las soluciones de una
ecuación y se le denota por C.S. Ejemplo:
x 2 - x - 12 = 0 ;
x +1
x -1
4x
= 2
x -1
x +1
x -1
( x + 1) 2 - ( x - 1) 2
4x
= 2
2
x -1
x -1
Así :
5 x - 3 = 3x + 1
Es una igualdad que sólo se cumple cuando: x = 2
x -1
y
Solución: Dando MCM en el primer miembro y
efectuando resulta
Igualdad Relativa o Ecuación: (Condicional)
Es una igualdad que sólo verifica para
determinados valores numéricos asignados a sus
variables.
Sea la ecuación: 3
; x2 = - 2 : x3 = - 5
b.- Indeterminada.- Si presenta un número
ilimitado de soluciones. Así por ejemplo:
Es absoluta, cualquiera sea el valor de “x” la
igualdad siempre se verifica
-
x1 = 2
\ Es una
ecuación compatible
determinada (tiene tres soluciones)
Es una identidad se verifica para cualquier
valor asignado a sus variables.
**
3 + 5 x 2 = 4 x + 20
POR LA NATURALEZA DE LAS EXPRESIONES
Pueden ser:
206
a.- Ecuación algebraica racional entera.-
misma expresión entera E(x), o en particular un
número, se obtiene otra ecuación equivalente.
2
3x - 2 = x - 6
b.- Ecuación algebraica racional fraccionaria
3
x +2 = 4 +
x
c.- Ecuación algebraica irracional.- La incógnita se
Encuentra afectada del radical.
A(x) ± E(x) = B(x) ± E(x)
Ejemplo:
Sea la ecuación:
x+8=5
Restando 8 a ambos miembros x + 8 - 8 = 5 – 8
Se obtiene una ecuación equivalente
x = -3
2
2x + 1 = 3 2x + 3 - x
2.
d.- Ecuaciones trascendentes: (logarítmicas,
trigonométricas, exponenciales).
POR EL NUMERO DE INCÓGNITAS
Una ecuación puede tener una, dos o más incógnitas
Una incógnita
Dos incógnitas, etc...
2x + 4 = 6x - 12
3x - 2y = 8
POR EL GRADO
2x2 + x + 3 = 0 Ecuación con dos soluciones
Las ecuaciones pueden ser:
ax + b = 0
Primer grado o lineal
ax2 + bx + c = 0
3
Si K = 2 , entonces 4x2 + 2x + 6 = 0
Ecuación Equivalente (2 soluciones).
Segundo grado o cuadrática
2
ax + bx + cx + d = 0
Si K = x2 , entonces : 2x 4 + x3 + 3x2 = 0
Ecuación con 4 soluciones. Se han infiltrado dos
soluciones extrañas.
Tercer grado o cúbica, etc.
CRITERIOS DE SOLUCION
1)
Si la ecuación presenta a la incógnita en el
denominador. Se deberá cuidar que su solución no
anule el denominador.
Ej. Resolver
3.
x + 1 x + 5 2x2 - x - 11
+
=
x - 3 x - 2 x2 - 5x + 6
Antes de resolver se deberá tener en cuenta que
x -3 ¹ 0 ; x ¹ 3 Ù x - 2 ¹ 0 ; x ¹ 2
2)
2n
F(x) = G(x)..........n Î N ,
2x6 - 6x 4 + 8x2 = 0
Si M = x2 entonces 2x4 - 6x2 + 8 = 0
Ecuación con 4 soluciones, se pierden
soluciones.
debe
4.
G( x) ³ 0
Ecuación con 6 soluciones
Si M = 2 entonces x6 - 3x4 + 4x2 = 0
Ecuación con 6 soluciones
cumplirse:
F( x) ³ 0 Ù
Tercer Principio .Si a ambos miembros de
una ecuación A(x) = B(x) se dividen por una misma
cantidad M ¹ 0, la igualdad no altera y se obtiene
otra ecuación equivalente. Si M contiene a la
incógnita, entonces se pierden soluciones.
Ejemplo
Si la ecuación presenta a la incógnita afectada
de algún signo radical de índice par. Se debe
proceder de la siguiente manera
Si:
Segundo Principio .- Si se multiplican los dos
miembros de una ecuación A(x) = B(x) por un
mismo número o por una expresión algebraica, tal
como K, se obtiene otra nueva ecuación que es
equivalente a la primera. Si K contiene a la
incógnita, entonces se infiltran soluciones
extrañas
K . A(x) = K . B(x)
Ejemplo
ECUACIONES EQUIVALENTES
Son aquellas que tienen las mismas soluciones.
Ejemplo :
5x – 3 = 2x + 9
4x – 1 = x + 11
Son equivalentes, porque x = 4 es solución de ambas
ecuaciones
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
1. Primer Principio .- Si a los dos miembros de una
ecuación A(x) = B(x) se le suma o se le resta una
207
2
Cuarto Principio .- Si a los dos miembros de
una ecuación se les eleva a la n-ésima potencia,
entonces la igualdad no se altera, pero se
infiltran soluciones extrañas.
A=B
Si : A
n
n -1
(A - B)(A
Þ
An = Bn
se infiltran soluciones
= Bn Þ An - Bn = 0 ,
n -2
+A
esto es:
n -3 2
B+A
B + ......... + Bn -1 ) = 0
Soluciones extrañas
Ejemplo
x 3 - x 2 + x - 1 = 0 Þ Ecuación con 3 soluciones
(x 3 - x 2 + x - 1)2 = 02 Þ Ecuación
con
6
soluciones; se han infiltrado 3 soluciones.
5.
B.
Si: a x 2 + bx + c = 0
Quinto Principio .- Si a los dos miembros de
una ecuación se les extrae la raíz n-ésima,
entonces la igualdad no altera, pero se pierden
soluciones.
Ejemplo
X=
x 2 + 2x + 1 = 16 Ecuación con dos soluciones
x2 + 2x + 1 =
(x + 1)
2
x+1
x
C.S. = { -5 , 1 }
Por Fórmula.- Se emplea la siguiente fórmula
general :
-b ±
; a ¹ 0 , entonces:
b2 - 4ac
2a
X1 =
Luego las raíces son :
16
= 16
= 4
= 3
X2 =
-b -
b2 - 4ac
2a
ecuación : X2 + 4X - 5 = 0
Solución: Utilizando la formula general
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación de primer grado en x, tiene la forma :
ax ± b = 0 ; a ¹ 0.
X1 =
DISCUSIÓN DE SUS RAÍCES:
1. Si a ¹ 0 y b ¹ 0 Þ x = - b/a
Solución única, dado por x = - b/a
Ecuación compatible determinada.
2. Si a ¹ 0 y b = 0. Solución es cero.
Ecuación compatible determinada.
3. Si a = 0 y b ¹ 0. Solución no existe
Ecuación incompatible.
4. Si a = 0 y b = 0. Infinitas soluciones.
Ecuación compatible indeterminada.
X2 =
- 4 + 42 - 4 (1) (- 5 )
2 (1)
- 4 - 42 - 4(1 ) (- 5 )
2(1 )
®
X1 = 1
®
X2 = -5
NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Si a x 2 + bx + c = 0
X=
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o cuadrática con una
incógnita, es aquella que puede reducirse a la forma :
donde:
a : coeficiente del término cuadrático o principal.
b : coeficiente del término lineal.
c : término independiente.
b2 - 4ac
2a
Ejemplo : Hallar el conjunto solución de la
Ecuación con una solución.
ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0
-b +
-b ±
; a ¹ 0 , entonces:
b 2 - 4 ac
2a
La expresión D = b2 - 4ac se designa como
DISCRIMINANTE de una ecuación de segundo grado
e indica el tipo de raíces que se obtendrán
I) Si D = b2 - 4ac > 0
Þ Las raíces x1 y x2 son reales y diferentes.
II) Si D = b2 - 4ac = 0
Þ Las raíces x1 y x2 son iguales.
III) Si D = b2 - 4ac < 0
Þ Las raíces x1 y x2 son complejas y conjugadas.
Solución de una ecuación de segundo
grado
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
A)
con raíces x1 Ù x2 entonces se cumple que :
Por Factorización.- Cuando la Factorización del
polinomio puede efectuarse
X2 + 4X - 5 = 0
Ejemplo: Resolver:
Factorizando por aspa simple
X2 + 4X - 5 = 0
X
+5
x
-1
(x + 5) (x - 1) = 0
Igualando cada factor a cero
x+5=0
® x = -5
x-1 =0
® x=1
Dada la ecuación cuadrática: a x 2 + bx + c = 0 ; a ¹ 0
b
x1 + x2 = a
1. Suma de las raíces :
2. Productos de las raíces :
3. Diferencia de las raíces:
c
x1 .x2 =
a
x1 -.x2 =
b2 - 4 ac
a2
Si x1 > x2
4. Suma de las inversas de las raíces: 1 + 1 = - b
x1
208
x2
c
5. Si las raíces son simétricas:
x =6
x1 + x2 = 0
Reemplazando el valor de x en (α) Þ y = 4
6. Si las raíces son recíprocas:
2.
x1 .x2 = 1
7. Si las ecuaciones:
ax2 + bx + c = 0
; a¹0
2
mx + nx + p = 0 ; m ¹ 0
,
tienen las mismas raíces, entonces se cumple:
a b c ; mnp ≠ 0
= =
m n p
Despejando “x” en la ecuación (β)
Þ x = y – 1 ........... (Φ)
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO
(Φ) en (α) :
Si x1 Ù x2
son las raíces de una ecuación de
segundo grado, entonces:
( x - x1 )(x - x2 ) = 0
x 2 - Sx + P = 0
Donde: S , es la suma de las raices
P , es el producto de las raíces
Ejemplo
1. Hallar la ecuación cuadrática si una de sus raíces
es 2 + 3
Solución: Cuando una de las raíces es irracional o
compleja, la otra raíz es la conjugada
x1 = 2 + 3
S = x1 + x2 = 4
P = x1 .x2 = 4 - 3 = 1
Reemplazando en:
4(y – 1) – 2y = 4
4y – 4 – 2y = 4
y=4
Reemp. el valor de y en (Φ) se obtiene: x = 3
3.
x 2 - ( x1 + x 2 ) x + x1 .x 2 = 0
x2 = 2 - 3
Por Sustitución
Se despeja el valor de una variable en cualquiera
de las ecuaciones del sistema, reemplazándolo
luego en la otra ecuación, quedando así en función
de una sola variable.
Ejemplo :
4x – 2y = 4 ........... (α)
x – y = -1 ........... (β)
Solución:
Por Igualación o Comparación
De las ecuaciones del sistema se despeja el valor
de una misma variable las cuales se igualan,
obteniéndose una ecuación con una incógnita.
Ejemplo :
5x – 4y = 28 ............. (α)
2x + 3y = 48 ............. (β)
Solución:
Despejando “x” en ambas ecuaciones :
de (α)
x=
de (β)
x=
5
8y + 56 = 240 – 25 y
x2 - 4 x + 1 = 0
4.
5
48 - 3y
2
4 y + 28
Igualando :
x2 - Sx + P = 0 , se obtiene:
4 y + 28
=
48 - 3y
2
Þ y = 8 ; x = 12
Es un conjunto de ecuaciones de primer grado que
deben verificarse para los mismos valores de las
incógnitas.
Método de los determinantes (CRAMER)
Permite resolver un sistema de ecuaciones
haciendo uso de los determinantes.
Así se tiene que al resolver el sistema:
ax + by = c
, se obtiene que:
mx + ny = p
Métodos de Solución :
Determinante del sistema
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.
Por Reducción
Consiste en buscar que la variable a eliminar,
tenga el mismo coeficiente en el sistema para lo
cual se multiplica cada ecuación por el
coeficiente que tenga la otra. Sumando o
restando las ecuaciones.
Ejemplo :
2x + y = 16
3x – 2y = 10
............ (α)
............ (β)
c
x=
p n
a b
a
Dy
Ds
=
Ejemplo:
209
b
=
c.n - p.b
a.n - m.b
m n
y=
Solución:
Multiplicando la ecuación (α) por 2, tenemos :
4x + 2y = 32
3x – 2y = 10
sumando
7x = 42
Dx
=
Ds
Ds =
c
m p
a b
m n
=
a.p - m.c
a.n - m.b
a b
m n
x + z = 2y
Resolver:
Ds =
y = 2z
x+ y+z = 1
Solución:
Además
x - 2y + z = 0
Ordenando
y - 2z = 0
1
Ds = 0
1
-2
1
1
1
Luego :
=6
5x - 2 7 x - 1 x - 1
,
=
+
3
6
2
podemos afirmar que es indeterminada
I. Al resolver:
1
-2
1
1
1
Dx 3
= ,
Ds 6
II. Si se resuelve: x - x2 - 21 = 7 ,
se demuestra que la ecuación es incompatible o
no tiene raíces
1
Dx = 0
x=
Dy ¹ 0
1. En las siguientes proposiciones, marcar verdadero
(V) o falso (F) según corresponda
Para calcular D x reemplazamos la primera
columna por los términos independientes, esto es
0 -2
Ù
EJERCICIOS RESUELTOS
Calculamos el determinante del sistema:
-2
Dx ¹ 0
Con b = 2 el sistema es incompatible, es decir, no
tiene solución.
x+ y+z =1
1
1 + 2b 5
= 4(1 + 2b) - 5(2 + b) = 0 Þ b = 2
2+b 4
=3
Þ
x=
III. La igualdad
1
2
x -3
1
,
=
(2x - 5)(x - 4) x - 4
se verifica solo para : x = 2 o x = 4
De la misma manera obtenemos los valores de las
demás variables
1 0
1
0 0 -2
1 1
1
Dy
1
y=
=
= ;
Ds
6
3
1 -2 0
0 1 0
1 1 1
Dz
1
z=
=
=
Ds
6
6
IV. Al resolver: x2 (x - 5) - 3x(x - 5) = 5x(x - 5) ,
se obtiene un único valor para “x” e igual a 8
a) VVFF
d) VVFV
b) VVVV
d) VVVF
c) VFVF
solución:
5x - 2 7 x - 1 x - 1
=
+
3
6
2
eliminado denominadores
MCM = 6 , entonces :
I. En la ecuación,
Las soluciones del sistema son:
2(5x - 2) = 7x - 1 + 3(x - 1)
Efectuando
x = 1/2; y = 1/3 ; z = 1/6
10x - 4 = 7x - 1 + 3x - 3
10x = 10x
ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN
SISTEMA DE ECUACIONES
1. Si Ds = 0
Dx ¹ 0
Dy ¹ 0
El sistema será incompatible o absurdo, no tiene
solución
2. Si Ds = Dx = Dy = 0
El sistema será compatible indeterminado, tiene
un número infinito de soluciones
3. Si Ds ¹ 0 ; Dx ¹ 0 ; Dy ¹ 0
El sistema será compatible determinado, tiene
solución única.
Ejemplo:
Para que valor de “b” el sistema
(1 + 2b) x + 5y = 7
(2 + b)x + 4 y = 8
es incompatible
Solución:
Para que el sistema sea incompatible, el
determinante del sistema debe ser igual a cero
(DS = 0)
210
La igualdad se cumple para cualquier valor
asignado a “x” también se dice que la ecuación
tiene infinitas soluciones. Por tanto la ecuación
es indeterminada.
(V)
II.
x - x2 - 21 = 7
Transponiendo términos: x - 7 = x 2 - 21
Elevando al cuadrado ambos miembros:
2
æ
ö
( x - 7) 2 = çç x 2 - 21 ÷÷
è
ø
Desarrollando
x 2 - 14x + 49 = x 2 - 21
14x = 70
x=5
Comprobación: reemplazando el valor de “x” en
la ecuación original
Para que las raíces de la ecuación sean reciprocas, su
producto debe ser igual a uno.
5 - 5 2 - 21 = 7
5- 4 =7
3¹7
III.
Como no se cumple la igualdad entonces la
ecuación es incompatible, no tiene solución. (V)
x -3
1
=
(2x - 5)(x - 4) x - 4
Multiplicando en cruz :
( x - 3)(x - 4) = (2x - 5)( x - 4)
Desarrollando :
x 2 - 7 x + 12 = 2x 2 - 13x + 20
x 2 - 6x - 8 = 0
Por aspa simple
(x - 2)( x - 4) = 0
Igualando cada factor a cero se obtiene que la
igualdad se verifica para: x = 2 y x = 4
(V)
IV.
Es decir:
n -2
= 1 , entonces n - 2 = 2n + 2
;
2n + 2
n = -4
Reemplazando el valor de n en ( α) tenemos
-( 4 - 4( -4)) -20
x1 + x2 =
=
2( -4) + 2
-6
10
x1 + x2 =
3
Alternativa
4. Hallar el valor de k para que el sistema:
x + ky = m
I) k = 0
II) k=-3
III) k = 3
a) I y II
b) I y III
c) II y III
d) I y II y III
d) Solo II
Solución:
Para que el sistema sea incompatible el
determinante del sistema debe ser igual a cero
1
k
Determinante del sistema:
=0
k - 3k
Transponiendo términos:
x 3 - 13x 2 + 40 x = 0
Factorizando “x”
x( x 2 - 13x + 40) = 0
x( x - 8)( x - 5) = 0
Igualando cada factor a cero se tiene que:
x=0 ; x=8 ;
x=5
2. Hallar el valor de “n” si las raíces de:
( n - 2)x 2 - 4x + 1 = 0 , son iguales.
luego: k (k + 3) = 0 , entonces : k = -3 y k = 0
Por tanto para
incompatible
5.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Solución:
Para que la ecuación tenga raíces iguales, el
discriminante de la ecuación debe ser igual a cero
D = b2 - 4ac > 0 ,
(-4)2 - 4(n - 2) = 0
16 - 4n + 8 = 0
n=6
Respuesta
d
3. Si las raíces son reciprocas, hallar las raíces de la
ecuación: (2n + 2)x 2 + 4x - 4nx = 2 - n
Entonces:
c) 12/5
d) 13/4
el sistema es
Si una de las raíces de la siguiente ecuación:
(2 n - 1) x2 + (5 n + 1)x - 3 = 0 ;
es – 3.
Determinar el valor de “n” y el de la otra raíz.
Solución: Si x1 = - 3 es una raíz debe verificarse
la ecuación
Luego reemplazando:
9(2n - 1) - 3(5n + 1) - 3 = 0
resolviendo:
d) 7/4
3n - 15 = 0
Þ
n=5
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
9x2 + 26x - 3 = 0
Por propiedad de raíces:
x1 + x2 =
De la ecuación se tiene:
-( 4 - 4n)
2n + 2
n-2
x1 .x2 =
2n + 2
k = -3
(2n - 1)( -3)2 + (5n + 1)( -3) - 3 = 0
Solución:
Ordenando la ecuación:
(2n + 2)x 2 + (4 - 4n)x + n - 2 = 0
x1 + x2 =
- 3k - k 2 = 0 ; k2 + 3 k = 0
Entonces:
Obsérvese que tiene 3 raíces . Por tanto ( F )
La alternativa correcta es d) VVVF
b) 10/3
sea incompatible
kx - 3ky = 3
x 2 (x - 5) - 3x(x - 5) = 5x(x - 5)
Desarrollando:
3
x - 5 x 2 - 3 x 2 + 15 x = 5 x 2 - 25 x
a) 9
b)
-26
9
entonces x2 =
……………( α)
--------( β)
211
como: x1 = - 3 ,
1
9
Desigualdades Inecuaciones
y Valor Absoluto
RELACION DE ORDEN
Es una comparación que se establece entre dos
elementos de un conjunto que pertenece al campo
de los números reales. El campo real es un campo
ordenado.
4. Si a > b y m # impar Î Â + Þ
a m > bm y
SIMBOLOS DE LA RELACION DE ORDEN
> : “mayor que”
< : “menor que”
a m > bm y
a=b
Ú
a es positivo Û a > 0
II
a es negativo Û a < 0
8. b > 0 Þ a2 < b Û 2
b ³ 0Þ a <b Û -
b <a<
b
b £a£
b
b
a<b
bx <b y Û x > y
INTERVALO
Es un subconjunto de los números reales; es decir
aquel que está formado de infinitos elementos que
representan a todos los números reales
comprendidos entre dos extremos. Llamados
extremo superior y extremo inferior.
IV. a < b < c Û a < b Ù b < c
Existen dos tipos de intervalos:
a>b Û a–b>0
1. INTERVALO ACOTADO
Son aquellos cuyos extremos son números reales
(finitos) y a su vez son:
A. INTERVALO CERRADO
Es un intervalo en el cual se consideran los
extremos finitos. Se denota así:
VI. a < b Û a – b < 0
RECTA NUMÉRICA REAL
Es una recta geométrica, donde a cada número real
se hace corresponder un único punto de la recta y
para cada punto de la recta sólo le corresponde un
único número real (correspondencia biunívoca).
TEOREMAS
FUNDAMENTALES
DESIGUALDADES
1. Si a > b y m Î Â Þ
b ó a£-
b
9. b > 1 Þ b x > b y Û x > y
III. a ³ b Û a > b Ú a = b
V.
b ó a<-
b ³ 0 Þ a2 ³ b Û a ³
Î Â
I.
Û a ; b Î Â+
7. b ³ 0 Þ a2 > b Û a >
10. 0 < b < 1 Þ
DEFINICIONES:
" a ;b ;c
a >m b
a < 0 Þ a -1 < 0 .
(Desigualdad verdadera)
(Desigualdad falsa)
Ú
m
a < b Þ a -1 > b-1 , siempre que a y b tengan el
mismo signo.
LEY DE LA TRICOTOMIA
Dados dos números reales a y b; sólo se puede
establecer una de las tres relaciones:
a >b
a >m b
6. Si a > 0 Þ a -1 > 0 .
(no estrictos)
DESIGUALDAD
Es una relación de orden que se establece entre
dos números reales. Existen dos tipos de
desigualdades.
6 > 1
5 < -2
m
5. Si a > b y m # par Î Â + Þ
(estrictos)
£ : “menor o igual que”
³ : “mayor o igual que”
a b
<
m m
3. Si a < b y m > 0 Þ am < bm y
DE
x Î [a , b] Û a £ x £ b
LAS
B. INTERVALO ABIERTO
Es un intervalo en el cual no se consideran los
extremos finitos. Se denota así:
a±m>b±m
2. Si a > b y m > 0 Þ am > bm y
/a<b
x Î < a,b > Û a < x < b
a
b
>
m m
212
/ a <b
INTERVALO SEMIABIERTO
Un extremo es abierto y el otro es cerrado. Se
denota:
Semiabierto por la derecha:
x Î [a , b > Û a £ x < b
METODO PRÁCTICO
Se transpone todos los términos que contienen a la
variable “x” al primer miembro y las constantes al
segundo miembro y luego en la recta numérica
identificar el intervalo al cual pertenece la
variable.
/a<b
Semiabierto por la izquierda:
x Î < a,b] Û a < x £ b
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son aquellas que se presentan de la siguiente
forma:
/a<b
2. INTERVALOS NO ACOTADOS
Si por lo menos uno de los extremos es
+¥ ó - ¥ . Son de la forma:
< a, + ¥ >
=
{xÎÂ/x>a}
[a, + ¥ >
=
{xÎÂ/x³a}
< - ¥, a >
=
{xÎÂ/x<a}
< - ¥, a ]
=
{xÎÂ/x£a}
< - ¥, + ¥ > =
a x2 + bx + c > 0
Para resolver una inecuación cuadrática se emplean
diversos métodos, en este texto se hará uso del
método de los puntos críticos.
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRITICOS
1. Se
{xÎÂ/xÎÂ}
intervalos
que
Ejemplo: Resolver:
críticos)
tengan
signo
“-“
si
x 2 - 3 x - 10 < 0
Solución: Encontrando los ceros, para ello:
x2 - 3 x - 10 = 0 . Factorizando resulta:
(x – 5) (x + 2) = 0 Þ x = 5 y x = -2
Ubicando los valores críticos en la recta:
ax +b <0
(+)
-∞
(+)
-2
El C.S. es:
(-)
5
+∞
x Î < -2 , 5 >
IMPORTANTE:
x > 12 11
Trazando la grafica:
-∞
(valores
a x2 + bx + c < 0 .
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
También conocida como Inecuación Lineal que,
reducida a su mínima expresión, toma la siguiente
Forma General:
2x + 6
+ 4x > x + 6
3
14x + 6
>x+6
3
14x + 6 > 3x + 18
11x > 12 Þ
ceros
a x2 + bx + c > 0 , o por los
desigualdad es:
Una inecuación es toda desigualdad condicional que
se establece entre dos expresiones matemáticas
donde existe por lo menos una variable denominada
incógnita.
Ejemplo:
los
2. Se ubican dichos valores sobre la recta
numérica y señala los intervalos de variación.
3. A partir del primer intervalo de la derecha se
colocan los signos “+” y “-“ en forma alternada,
comenzando con “+”.
4. El conjunto solución estará formado por los
intervalos que tengan el signo “+” si la
INECUACIONES EN Â
ó
obtienen
resolviendo a x2 + bx + c = 0 , para (a >0).
NOTA: La notación ¥, que se lee infinito, no
es número real, sino un símbolo que se utiliza
para indicar que es ilimitada por la derecha
(+¥) o por la izquierda (-¥)
ax +b > 0
a x2 + bx + c < 0
Si en un trinomio de la forma a x2 + bx + c sucede
El C. S. es:
que
+∞
12
11
xÎ<
b2 - 4 a c < 0 , entonces, se dice que dicha
expresión siempre será positiva para todo valor de
x. Luego podemos afirmar que:
12
,+ ¥ >
11
213
v En:
Procedimiento:
1. Se factorizan el numerador y el denominador.
2. Todos los factores deberán ser de la forma
( ax + b) , con “a” positivo.
a x2 + bx + c > 0 , el C.S. Â (Reales)
v En : a x2 + bx + c < 0 , el C.S. f (Vacío)
Ejemplo: Resolver: x2 - 4 x + 6 < 0
3. Se procede de acuerdo al método de los puntos
críticos.
1 - 8x
Ejemplo: Resolver
£ -1
2
x + 4x + 3
2
Como: (-4) - 4(1)(6) = -8 <0, lo que indica que:
x2 - 4 x + 6 será positivo para todo “x”.
Entonces el C.S. será el conjunto Vacío f.
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Llamadas
inecuaciones
polinomiales
representan por:
>
P ( x) = a0 xn + a1xn -1 + a2xn -2 + ....... + an 0
<
a 0 ¹ 0;
{a 0 , a1, a 2 ,.........a n } Ì Â
y
y
Solución:
1°. Utilizar una de las formas de inecuaciones
fraccionarias haciendo:
se
1 - 8x
2
x + 4x + 3
n³3
2°
Realizar operaciones y factorizar:
Para resolver inecuaciones polinómicas se puede
aplicar el método de los puntos críticos, teniendo
en cuenta lo siguiente:
1 - 8x + x 2 + 4x + 3
x 2 + 4x + 3
2
x - 4x + 4
x 2 + 4x + 3
Si uno de los factores de P(x) tiene la forma
(x - a)m y si “m” es par, los signos de los intervalos
Ejemplo: Resolver
3°.
x 4 - 9x2 + 4x + 12 < 0
(x - 2)2 (x + 1)( x + 3) < 0
(+)
-3
(+)
(-)
£ 0
El denominador debe ser diferente a cero
\ x ¹ -3 , x ¹ -1
Punto críticos:
(+)
2
-1
£ 0
(x - 2) 2
£ 0
( x + 3)( x + 1)
de variación donde figure “a” no son alternados.
-∞
+1 £ 0
x=2
x ¹ -3 , x ¹ -1
-∞
(+)
(+)
(+)
+∞
-3
-1
( -)
2
+∞
C.S. = < -3, -1 >
El conjunto solución, estará dado por los intervalos
Nótese que el intervalo [ 2, +¥ > tiene signo ( + ),
en el intervalo siguiente se repite el mismo signo
( + ) , es decir, cuando el exponente del factor es
< -3 , -1 > È { 2 }
INECUACIONES IRRACIONALES
Son aquellas en que la variable se encuentra
afectada por un radical.
par se repite el mismo signo.
Cuando el valor de “m” es impar los signos de los
intervalos de variación donde figure “ a “ si son
alternados.
PROPIEDADES
1.
INECUACIONES FRACCIONARIAS
Es una inecuación que reducida a su más simple
expresión toma la siguiente forma:
"x, y Î Â; n Î À; 2n x + 2n y ³ 0
si y solo si
2. x , y Î Â;
P ( x)
P (x )
>0 ó
<0
Q ( x)
Q ( x)
x³0
Ù
y³0
x < y , si y sólo si:
( x ³ 0 Ù y > 0 Ù x £ y2 )
Toda inecuación fraccionaria se transforma a otra
equivalente entera, tal que este es el producto del
numerador y denominador a condición que este
último sea distinto de cero.
214
3. " y < 0;
x ³ yÛx ³0
4. " y > 0;
x >yÛ x ³0
Ù
x > y2
Ejemplos:
x2 - 2x - 48 ³ 0
(x - 8)(x + 6) ³ 0 ; por puntos críticos:
2
1. Resolver:
x - 16 < 3
Campo de variación del radicando:
S1 = < -¥, -6] È [8, +¥ >
x2 - 16 ³ 0
Además:
(x - 4)( x + 4) ³ 0
x2 - 2x - 48 > x - 4
aplicando puntos críticos:
2
x - 2x - 48 > x - 8x + 16
32
x>
3
S1 : x Î < - ¥, -4] È [4, + ¥ >
Eliminando el radical:
x2 - 16 < 3
Þ
(x - 5)( x + 5) < 0
-5 < x < 5
Además se tiene que:
2
x - 2x - 48 > 0
S2 = x Î < -5, 5 >
Luego el Conjunto solución (C.S.) = S1 Ç S2
-∞
-5
-4
4
x2 - 2x - 48 ³ 0
(x - 8)(x + 6) ³ 0
x³4
Ù
x³4
32
, + ¥]
3
Ù x–4<0
Ù x<4
x ³ 8 Ú x £ -6
+∞
5
Ù x<4
S3 = x Î < -¥, -6]
Entonces: C.S. = < -5, -4] È [4, 5 >
2. Resolver:
Ù
S2 = x Î <
x2 - 16 < 9
Þ
Ù x–4³0
2
Luego el conjunto solución estará dado por:
x2 - x - 6 < 6 - x
C.S. = S1 Ç (S2 È S3)
Tenemos que: x2 - x - 6 ³ 0 Ù 6 – x > 0
( x – 3)( x + 2 ) ³ 0 Ù x < 6
( x ³ 3 Ú x ³ -2 )
Ù x <6
-∞
\ S1 = x Î < - ¥, -2] È [3, 6 >
-6
8
C.S. = x Î < -¥ , - 6] È <
Eliminando el radical :
32
3
+∞
32
,+¥ >
3
x2 - x - 6 < 6 - x
x2 - x - 6 < 36 - 12x + x2
42
11 x – 42 < 0 Þ x <
11
\
S2 =
INECUACIONES EXPONENCIALES
Las inecuaciones exponenciales toman la siguiente
forma:
42
< -¥ ,
>
11
b P ( x) > b Q ( x)
La gráfica S1 Ç S2
ó
b P ( x) < b Q (x)
bP ( x) > bQ ( x)
Û P (x) > Q(x)
Primer Caso:
-∞
-2
3
\ C.S. S1 Ç S2 = < -¥, -2 ] È [3,
42
11
Si: b > 1
6 +∞
b
42
>
11
P ( x)
< b
Q (x)
Ejemplo:
16 ( 2 x -2 ) x <
3. Resolver:
Û P (x ) < Q (x )
x2 - 2x - 48 > x - 4
2
24 (2 x -2x ) < 23 - (x -3)
Analizando el radicando:
2
2 x -2 x + 4 < 2 6 - x
215
8
2 x -3
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
x2 - 2x + 4 < 6 - x
(x - 2)( x + 1) < 0
x Î< -1 , 2 >
Þ
Caso 1:
y³0 Ù
Segundo Caso:
x £ y
Caso 2:
Si: b < 1
bP ( x) > bQ (x)
Û P (x) < Q(x)
bP ( x ) < bQ ( x )
Û P ( x) > Q( x)
x ³ y Û x ³ y ó x £ -y
Ejemplos:
1. Resolver:
Ejemplo:
-y £ x £ y
Û
2x -1
x +2
( 0.5) 6
( x + 8 ³ 0) Ù ( 2x + 3 = x + 8 Ú 2x + 3 = -x - 8)
> (0.25) 18
x ³ - 8 Ù ( x = 5 Ú x = -11 / 3)
2 (x +2)
2x -1
(0.5) 6
> ( 0.5) 18
2x - 1
x+2
<
6
9
2x + 3 = x + 8
Luego se establece que :
x<
Þ
C.S. = { - 11 / 3, 5 }
7
4
2. Resolver:
VALOR ABSOLUTO
2x - 5 > 3
Solución:
Definición: El valor absoluto de un número real “x”
se denota por x y se define de la siguiente
ó
2x - 5 > 3
2x - 5 < - 3
x > 4
manera:
x <1
x Î < -¥ , 1 > È < 4 , + ¥ >
x =x
si : x ³ 0
x = -x
Teoremas:
x 2 = x2
1. " x Î Â :
3. " x Î Â :
x
x2 - x + 4 > - 6
x2 - x - 2 < 0
Ù
x 2 - x + 10 > 0
( x - 2) ( x + 1) < 0
:
x
y
=
x
y
E=
x Î < -1 , 2 >
x
Escojamos
E=
Caso 1:
x = y Û ( y ³ 0 ) Ù ( x = y Ú x = -y )
x = 0,5
4( 0.5) + 1 - 0.5 - 1
3 - 0.5
E=
0.5
Caso 2:
E =5
ó
"x Î Â
4x + 1 - x - 1
x+y £ x + y
x=y
Ù
4. Resolver :
Si x Î < 0 , 1 > , hallar el valor de :
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Û
Ù
C.S. :
(Desigualdad triangular)
x = y
"x Î Â
x Î < - 1, 2 >
x . y
=
5. " x , y Î Â Ù y ¹ 0
6. " x , y Î Â :
Ù
-x
=
4. " x , y Î Â : x . y
x2 - x + 4 < 6
Punto críticos: x = 2 y x =-1
x2
2. " x Î Â : x =
x2 - x + 4 < 6
2. Resolver:
si : x < 0
x = -y
216
0.5
"x Î Â
5. Resolver la siguiente ecuación:
El conjunto de solución se obtiene intersectando el
x - 4 x = 2x - 8
conjunto
2
x - 4x = 2x - 8
Û [ x 2 - 4 x = 2 x - 8] Ú [ x 2 - 4 x = -(2 x - 8)]
Conclusión: El conjunto de solución de la inecuación
dada es:
Û ( x 2 - 6 x + 8 = 0) Ú ( x 2 - 4 x = -2 x + 8)
Û ( x 2 - 6 x + 8 = 0) Ú ( x 2 - 2 x - 8 = 0)
Û [( x - 4)( x - 2) = 0] Ú [( x - 4)( x + 2) = 0]
é1 1 é é1
é
Cs = S1 È S 2 = ]-¥, 0[ È ê , ê È ê , +¥ ê
ë5 2ë ë2
ë
é1
é
Cs = ]-¥, 0[ È ê , +¥ ê
ë5
ë
Los puntos críticos x=4, x=2, x=-2
Por tanto el conjunto de solución es:
Cs = {-2, 2, 4}
Resolver
x
en
R
la
siguiente
inecuación:
7. Resolver en R:
3< x-2 £ 4Û 3< x-2 Ù x-2 £ 4
Û x-2 > 3Ù x -2 £ 4
2x -1
£3
2 x - 1 ³ 0 entonces
x
1
2x -1
x ³ entonces
-3£ 0
2
x
1
2 x - 1 - 3x
A = x ³ entonces
£0
2
x
- x -1
£0
x
x +1
B=
³0
x
Û [( x - 2 > 3) Ú ( x - 2 < -3)] Ù (-4 £ x - 2 £ 4)
Û [( x > 5 Ú x < -1)] Ù (-2 £ x £ 6)
Cs = x Î [ -2, -1[ È ]5, 6 ]
8. Resolver:
3x - 8
3x - 8
3x - 8
³4Û
³ 4Ú
£ -4
2
2
2
é1
é
S1 = x Î ê , +¥ ê
ë2
ë
-2 x + 1
£3
2 x - 1 < 0 entonces
x
1
-2 x + 1
x < entonces
-3£ 0
2
x
1
-2 x + 1 - 3 x
A1 = x < entonces
£0
2
x
-5 x + 1
£0
x
B1 =
3x - 8
³4
2
Solución:
El conjunto de solución se obtiene intersectando el
conjunto A con la solución del conjunto de B.
El conjunto de solución es:
. Si
3< x-2 £ 4
Solución:
£3
Solución:
.Si
B1 .
é1 1 é
S 2 = x Î ]-¥, 0[ È ê , ê
ë5 2ë
2
2 x -1
con la solución del conjunto de
El conjunto de solución es:
Solución:
6.
A1
Û (3 x - 8 ³ 8) Ú (3 x - 8 £ -8)
Û (3 x ³ 16) Ú (3 x £ 0)
Ûx³
16
Úx£0
3
é16
é
Cs = x Î ]-¥, 0[ È ê , +¥ ê
ë3
ë
5x -1
³0
x
217
Logaritmo
DEFINICIÓN
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Se denomina logaritmo de un número real positivo al
exponente al cual se deberá elevar una base
positiva y diferente de la unidad para obtener como
resultado una potencia igual al número propuesto.
A) f ( x) = log b x,
Su notación es:
Donde:
y
y = log x Þ b = x
x > 0; b > 0
Ù b ¹ 1;
Propiedades:
· Dom f = < 0 +¥ > : Ran f = < -¥ , +¥ >
·
·
·
(I)
b
35 = 243
Como:
·
Intercepta al eje X en (1,0)
f (x) es decreciente en todo su dominio:
Si
·
2-3 = 1/8
Como:
x
crece
Luego:
*)
7
2
log4 128 =
De (I):
log
x1
22a = 27
x
=x
crece
f (x)
(1,0)
x2
x
f(x2)
7
2
f ( x ) = log b x, si b > 1
B)
Propiedades:
·
Dom f = < 0 , +¥ > ; Ran f < -¥, +¥ >
y
b
f (x) decrece
f(x1)
Si sustituimos en : b = x ; el valor de “y”
Obtendremos que:
b
f ( x2 )
y=
y
Ejemplo: Hallar el logaritmo de 128 en base 4.
log4 128 = a
a=
ilimitadamente,
>
ilimitadamente.
Se lee: El logaritmo de 1/8 en base 2 es –3
Þ
f ( x1 )
log2 1/8 = -3
Þ
4 a = 128
, x1 < x2 Þ
f
Si x se aproxima a cero,
Se lee: El logaritmo de 243 en base 3 es 5
2)
es inyectiva.
ilimitadamente.
log3 243 = 5
Þ
f
" x1 , x2 Î Dom
yÎR
Ejemplo: De acuerdo con la definición de
logaritmo, podemos establecer:
1)
Si 0 < b < 1:
·
(Propiedad Fundamental)
f (x) es inyectiva.
·
Intercepta al eje X en (1,0).
·
f (x) es creciente en todo su dominio,
f si : x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 )
Si x crece ilimitadamente, f (x) crece
"x1, x2 Î Dom
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Se llama función logarítmica en base “b” a la
función que tiene por dominio al conjunto de los
números
reales positivos, cuya regla de
correspondencia está dada por:
·
ilimitadamente.
·
Si x se aproxima a cero,
f ( x2 )
ilimitadamente.
f ( x ) = log b x,
Es decir:
y=
f(x2)
f ={(x, y) / y = logb x; x > 0; b > 0 Ù b ¹1; y ÎR}
· Con frecuencia a la función logaritmo en base b
se le define como la función inversa de la
función exponencial de base b.
x1
f(x1)
218
(1,0) x2
x
decrece
PROPIEDADES GENERALES DE LA FUNCIÓN
LOGARÍTMICA
1.
* Se observa que el logaritmo de un número x
en base b es igual al inverso del logaritmo de
b en base x, es decir:
En el campo de los números reales no existe el
logaritmo para número negativo.
Cuando 0 < b < 1 :
2.
3.
·
Si 0 < x < 1, entonces
·
Si x > 1, entonces
log b x > 0
F)
.
R+-{1}
REGLA DE LA CADENA:
log b x < 0 .
Cuando b > 1:
4.
·
Si 0 < x < 1, entonces
·
Si x > 1, entonces
log b x < 0
.
Ejemplo:
log b x > 0 .
5.
PROPIEDADES AUXILIARES:
"bÎR Ùb¹1
b
A)
log
PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS
LOGARITMOS
B)
log
A)
C)
log x = log
Logaritmo de un Producto:
log (x . y) = log x + log y
b
b
D)
n
b
x =
b
1
log x
b
n
b
m
x
m
= log
2
3
nb
nx
2
5 = log 25
9
Si log x = log y Þ x = y , porque
b
b
inyectiva.
E)
Logaritmo de una Potencia:
b
n
b
x = n log x
3
æxö
log b çç ÷÷ = log b x - log b y
èyø
log x
nb
Ejemplo: log 5 = log
Logaritmo de un Cociente:
C)
Þ 4 x - 1 = 35
+
log b = 1 ,
B)
7
Þ x = 61
El logaritmo de la base es uno
b
2
log 3 (4 x - 1) = 5
" b Î R+ Ù b ¹ 1
b
Resolver
log 2 . log 7 . log (4x - 1) = 5
3
El logaritmo de la unidad es cero :
log 1 = 0 ,
E)
1
,∀x, bϵ
log x b
log b x =
= n log x
c log b x = x log b c ,∀ a, b y c ϵ
R+, b ¹ 1
COLOGARITMO:
b
CAMBIO DE BASE:
Nos permite expresar el logaritmo de un
número x en base b, en otra base p, mediante
la fórmula:
log x =
b
ANTILOGARITMO:
log x
p
log b
p
Ejemplo: Expresar
PROPIEDADES: ∀
log 3 en base 7
5
log 3 =
5
log 3
7
log 5
7
Ejemplo: Expresar el log 3 en base 3
2
log 3 =
2
log 3
3
log 2
3
=
1
log 2
3
Þ log 3 =
2
1
log 2
3
219
x, b ϵ
R+ , b ¹ 1
a)
Antilog (log x ) = x
b)
log (anti log x ) = x
c)
Co log ( anti log x ) = - x
d)
Anti log b ( co log b x ) = x -1
b
b
b
b
b
b
f
es
INECUACIONES LOGARÍTMICAS
Caso 1. Si b > 1:
M= a
·
log x > log y
Þ x > y Ù x>0Ùy>0
·
log x < log y
Þ x < yÙ x>0Ùy>0
·
log
b
b
b
b
x > N
b
Þ
x > 0 Ù x > b
logb 8
3.
Caso 2. Si 0<b<1:
·
log x > log y
Þ x < y Ùx>0Ùy>0
·
log x < log y
Þ x > y Ùx>0Ùy>0
·
log
b
x > N
b
Þ
Ejemplo: Resolver log
1.
( x - 3) < log
x -3 > 0
E = 16
log 8
9
6
log
E = 16
log
E = 16
9
2
14x2 + 29x + 12 = 225
(14x + 71) (x – 3) = 0 (Igualando a cero)
14x + 71 = 0
x=
E = 16
2.
16
16
1 + 2 log x = log( x + 2)
log 3 . log 8
9
4
= 16
log
16
Þ log 10 + log x 2 = log( x + 2)
Þ log 10 x 2 = log( x + 2)
9 . log 8
9
Þ 10 x 2 = x + 2,
Þ 10 x 2 - x - 2 = 0
Luego, las raíces son: x=-2/5, x=1/2. Pero x>-2
(para la existencia del logaritmo), por lo tanto, la
única raíz de la ecuación (*) es:
x=1/2.
E= 8
Þ
M= a
æ 1 + log a b ö
ç
÷ logb 8
ç 1 + log a ÷
b ø
è
5. Si log 2=0,301, determinar:
log [anti log (colog2)]
Solución:
log[antilog(colog2)]= colog2=-log2=-0.301
Solución:
æ loga a + loga b ö
ç
÷ log 8
ç log b + log a ÷ b
b ø
è b
a
x=3
1 + 2 log x - log( x + 2) = 0 (*)
Efectuar:
M=
x–3=0
Solución:
2
(3 ) . log 8
9
8
-71
Ù
4
Ù
-71
,3}= {3}
4
4. Hallar la suma de las raíces de la ecuación:
(regla de la cadena)
log
log (10 . 1.5)
C.S. = < -4/7, +¥ > Ù {
=
2
4
(7 x + 4)(2 x + 3) ) =
14x + 29x + 12 = 15
3
log 3
4
8
(
Ù x -3 > 6
(Se reduce de arriba hacia abajo)
log
2x + 3 > 0
x > -3/2
log 7 x + 4 + log 2 x + 3 = log 10 + log 1.5
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Reducir:
4
Ù
Ù
2°) Resolviendo la ecuación:
N
0. 5
7x + 4 > 0
x > -4/7
x > -4/7
-¥ , - 3 > È < 3 , + ¥ > ) Ù
( < -¥, - 3 > È < 3, + ¥ > )
= < -¥, - 3 > È < 3, + ¥ >
log
logb 8
M=8
Resolver:
Þ
2
2
Entonces:
Þ C.S=( <
x > 0 Ù x < b
2
0.5
loga b . logb8
a
Solución:
1°) Existencia de los logaritmos:
Þ 2x – 1 > 0 Ù 2x – 1 > 9
Þ x > ½ Ù x > 5 Þ C.S= < 5, +¥ >
b
= b
=
log 7 x + 4 + log 2x + 3 = 1 + log 1.5
5
b
élogabb ù
ê
ú logb 8
ëê logaba ûú
N
log (2x - 1) > log 9
b
a
=
æ log a b ö
÷
M = çç a
÷
è
ø
Ejemplo: Resolver
5
é 1 ù
ê log a ú
ê ab ú log 8
b
ê 1 ú
ê log b ú
ë ab û
=
a
loga (ab)
. logb 8
logb (ab)
220
BIBLIOGRAFIA
1. “Higer Algebra”.- Chrit´s collage, Cambridge, Trinity Collage, Cambridge. Inglaterra
2. Algebra y Análisis de Funciones Elementales.- Potatov. Alexandronov. Pasichenko. Editorial
Mir Moscú.
3. “Algebra y Trigonometría”.- Vance. Fondo Educativo Interamericano
4. “Algebra”.- Tomas Mendivil. Editorial algoritmo. Lima – Perú
5. “Mil Problemas de Aritmética y Algebra” José Luis Mataix Planas. Editorial Dossat
221