Espacio vectorial de..

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En el espacio
R e vectorial real C (1; e), se de…ne el producto escalar
(f; g) = 1 (log x) f (x) g (x) dx
p
(a) Calcula la norma de la función x:
(b) Encuentra un polinomio lineal g (x) = a + bx que sea ortogonal a la
función f (x) = 1:
Solución:
(a)
La
p de la función se de…ne como
p norma
j xj = (x; x)
así
Re
p que
2
j xj = (x; x) = 1 (log x) xdx = 41 e2 + 14
por
p tantop
j xj = 12 e2 + 1 = 1: 45
(b)
El producto escalar
de 1 con el polinomio g (x) = a + bx está dado por
Re
(1; a + bx) = 1 (log x) (a + bx) dx = a + 41 b + 14 be2
Si queremos que sean ortogonales, debemos tener
(1; a + bx) = 0
o sea
a + 14 b + 41 be2 = 0
que tiene como solución
a = 14 1 + e2 b
El polinomio requerido es entonces
p (x) = 14 1 + e2 b + bx
con b arbitrario
1
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