Universidad Simón Bolívar TF6332 – Procesos de Separación (Postgrado) TEMA 2 Cascadas: Procesos de Separación de múltiples etapas Parte III: Grados de libertad y especificaciones para cascadas a contracorriente Carlos A. Castillo Octubre de 2006 ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD La regla de las fases de Gibbs La descripción de un sistema de una etapa en equilibrio físico involucra variables intensivas y extensivas. El número de variables independientes es la varianza o número de grados de libertad F del sistema. Si C es el número de componentes, y P el número de fases en equilibrio, el número de variables intensivas es: V = (CP + 2) Ya que CP es el número total de fracciones molares para los C componentes distribuidos en P fases. El número 2 se refiere a la presión y la temperatura. TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #2 1 ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD (Cont.) El número de ecuaciones que relacionan las variables intensivas es E = P + C(P – 1) El primer término P refiere al requerimiento de que la suma de las fracciones molares en cada fase debe sumar 1; y el segundo término C(P-1) al número de ecuaciones para K (coeficiente de partición). Por tanto, los grados de libertad (el número de variables intensivas, V, menos el número de ecuaciones, E) es: F = V – E = (CP+2) – [P + C(P – 1)]= C – P + 2 Cuando se especifican F variables intensivas, las restantes P+C(P–1) variables se determinan de las P+C(P–1) ecuaciones. TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #3 ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD (Cont.) Por ejemplo, para el caso de equilibrio líquido-vapor (P=2): yi Ecuaciones independientes: C i =1 ∑x i =1 Ki = yi xi ∑y T, P i =1 C i =1 xi para i = 1 a C Si se tienen tres componentes (C=3), la ecuación da: (F=3-2-2): F=3 grados de libertad. Las variables intensivas son: T, P, x1, x2, x3, y1, y2, y3. Si se especifica T, P y una fracción molar, se pueden calcular las fracciones molares restantes. TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #4 2 ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD (Cont.) La regla de las fases es limitada porque no maneja las corrientes enviadas a la etapa de equilibrio ni las variables extensivas usadas cuando se diseñan o analizan operaciones de separación. La regla se puede extender para aplicaciones de procesos agregando la alimentación y las variables extensivas, y ecuaciones independientes adicionales. V yi F zi TF PF Ecuaciones independientes: •Las mismas de antes más: T, P •Fzi = Vyi + Lxi , i=1 a C •FhF + Q = VhV+ LhL Q L xi TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #5 ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD (Cont.) Las variables adicionales son: zi, TF, PF, F, Q, V, L , un total de C+6 nuevas variables. En general, para P fases las variables adicionales son C+P+4. Las ecuaciones independientes adicionales son los C balances de masa de los componentes, y el balance de energía, para un total de C+1 ecuaciones. Para el análisis general de grados de libertad con C componentes P fases y una alimentación de una fase, la ecuación se ajusta con los nuevos valores de E y V: V = (CP + 2) + (C + P + 4) E = P + C(P – 1) + (C + 1) = P + CP + 1 F=V–E= C+ 5 TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #6 3 ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD: UNA ETAPA Consideremos el caso de una etapa simple no adiabática: Variables: Etapa con 4 corrientes y adición de calor Lin Vout C composiciones para cada corriente T y P para cada corriente (4x2=8) Flujo total para cada corriente Transferencia de calor en la etapa TOTAL Etapa Q 4C 8 4 1 -----------------NV = 4C+13 Ecuaciones: Lout Vin C-1 porque también contamos el balance global Igualdad de presiones en salidas 1 Igualdad de temperatura en salidas 1 Equilibrio de fase entre corrientes de salida C Balance de masa para cada componente C-1 Balance de masa total 1 Balance de energía 1 Restricción de fracción molar, cada corriente 4 ----------------TOTAL NE = 2C+7 El número de grados de libertad es el número de variables menos el número de ecuaciones: ND = (4C + 13) - (2C - 7) = 2C + 6 TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #7 ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD: UNA ETAPA (Cont.) Para este caso se deben especificar 2C+6 variables de diseño. Son posibles varios conjuntos de datos. Un conjunto típico incluye la especificación completa de las corriente de entrada así como la presión y la transferencia de calor: Especificación: Etapa con 4 corrientes y adición de calor Lin Q Vout Etapa Lout Fracciones molares en Lin Flujo total Lin Fracciones molares en Vin Flujo total Vin Temperatura y presión de Lin Temperatura y presión de Vin Presión de la etapa (PVin o PVout) Transferencia de calor en la etapa Vin TOTAL C-1 1 C-1 1 2 2 1 1 -----------------ND = 2C+6 La especificación de estas 2C+6 variables permite el cálculo de las restantes variables. TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #8 4 GRADOS DE LIBERTAD EN CASCADA A CONTRACORRIENTE Consideremos el caso de una cascada de N etapas a contracorriente de una sóla sección. Las variables: Variables totales: Lin Qi-1 Vout Etapa i–1 Lout Vin Lin Qi Vout Etapa i Lout Vin Lin Qi+1 Vout Etapa i +1 Lout C composiciones para cada corriente T y P para cada corriente (4x2=8) Flujo total para cada corriente Transferencia de calor en la etapa Número de etapas Vin TOTAL 4C 8 4 1 1 -----------------N(4C+13)+1 Variables redundantes: C comp. para cada corriente redundante CNR T y P para cada corriente redundante 2NR Flujo total para cada corriente redundante NR -----------------TOTAL NR(C+3) NV=N(4C-13) – NR(C+3) + 1 Corrientes redundantes: Por cada par de etapas conectadas, dos corrientes son redundantes. Como hay N-1 pares de etapas conectadas, el número de corrientes redundantes es NR = 2(N – 1). Entonces: NV = 7N + 2NC + 2C + 7 TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #9 GRADOS DE LIBERTAD EN CASCADA A CONTRACORRIENTE Las ecuaciones (cascada de N etapas a contracorriente de una sóla sección): Ecuaciones (para cada etapa): Lin Qi-1 Etapa i–1 Lout Lin Qi Vin Vout Etapa i Igualdad de presiones en salidas 1 Igualdad de temperatura en salidas 1 Equilibrio de fase entre corrientes de salida C Balance de masa para cada componente C-1 Balance de masa total 1 Balance de energía 1 Restricción de fracción molar, cada corriente 4 ---------------TOTAL N(2C+7) Ecuaciones redundantes: Lout Lin Qi+1 Vout Vin Vout Balance para cada corriente redundante NR NE = N(2C+7) – NR = 5N + 2NC + 2 Etapa i +1 Grados de libertad: Lout Vin ND = NV – NE = (7N + 2NC + 2C + 7) - (5N + 2NC + 2) ND = 2N + 2C + 5 TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #10 5 GRADOS DE LIBERTAD EN CASCADA A CONTRACORRIENTE Para esta cascada se deben especificar variables de diseño. Una posibilidad es: Lin Lout Vout Vin 2N+2C+6 Especificación: Fracciones molares en Lin C-1 Flujo total Lin 1 Temperatura y presión de Lin 2 Fracciones molares en Vin C-1 Flujo total Vin 1 Temperatura y presión de Vin 2 Presión de cada etapa N Transferencia de calor en cada etapa N Número de etapas 1 -----------------TOTAL 2N+2C+5 La especificación de estas 2N+2C+5 variables permite el cálculo de las restantes variables. TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #11 CASCADA A CONTRACORRIENTE DE DOS SECCIONES Para cascadas a contracorriente de dos secciones puede haber no sólo elementos de etapas (como los presentados), sino también otros tipos de elementos, tales como: rehervidores parciales y totales, condensadores parciales y totales, etapas con salidas laterales, mezcladores y divisores. Estos diferentes elementos pueden combinarse en cualquier cascada compleja aplicando las mismas técnicas que vimos antes, teniendo en cuenta que habrá NR corrientes redundantes. Esto da para la unidad: (NV)u = Σ(NV)e - NR(C+3) + 1 (NE)u = Σ (NE)e - NR (ND)u = (NV)u - (NE)u TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #12 6 ELEMENTOS PARA OPERACIONES DE SEPARACIÓN Grados de libertad para elementos y unidades de operaciones de separación (Tabla 5.1 de S-H). Parte 1 (de 2) TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #13 ELEMENTOS PARA OPERACIONES DE SEPARACIÓN (Cont.) Grados de libertad para elementos y unidades de operaciones de separación (Tabla 5.1 de S-H). Parte 2 (de 2) TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #14 7 ESPECIFICACIONES DE VARIABLES TÍPICAS Especificaciones de variables típicas para caso de diseño. (Tabla 5.2 de S-H). Parte 1 (de 4) TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #15 ESPECIFICACIONES DE VARIABLES TÍPICAS (Cont.) Especificaciones de variables típicas para caso de diseño. (Tabla 5.2 de S-H). Parte 2 (de 4) TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #16 8 ESPECIFICACIONES DE VARIABLES TÍPICAS (Cont.) Especificaciones de variables típicas para caso de diseño. (Tabla 5.2 de S-H). Parte 3 (de 4) TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #17 ESPECIFICACIONES DE VARIABLES TÍPICAS (Cont.) Especificaciones de variables típicas para caso de diseño. (Tabla 5.2 de S-H). Parte 4 (de 4) TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #18 9 EJEMPLO DE CASCADA A CONTRACORRIENTE Ejemplo 5.5 (S-H) Consideremos la columna de destilación de la figura. Tiene una alimentación, una salida lateral, un condensador total y un rehervidor parcial. Se desea determinar el número de grados de libertad y un conjunto razonable de especificaciones. TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #19 EJEMPLO DE CASCADA A CONTRACORRIENTE (Cont.) EL separador se ensambla a partir de los elementos y unidades marcados con círculos punteados, los cuales están todos en las tablas presentadas antes. Las variables totales se determinan sumando las variables (NV)e de cada elemento de la tabla, y luego se le restan las variables redundantes debidas a flujos de interconexión. También las ecuaciones redundantes (de suma de fracciones molares) se restan del valor encontrado para la suma de los elementos, (NE)e. En la página siguiente se muestran las variables y ecuaciones para los elementos. Luego se calcula el número de grados de libertad. TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #20 10 EJEMPLO DE CASCADA A CONTRACORRIENTE (Cont.) Elemento (NV)e (NE)e Condensador total 2C+7 C+3 Divisor reflujo 3C+10 2C+5 (N-S) etapas 7(N-S)+2(N-S)C+2C+7 Etapa salida lateral Etapas (S-1)-F Etapa alimentación Etapas (F-1)-1 Rehervidor parcial 5(N-S)+2(N-S)C+2 5C+16 3C+9 7(S-1-F)+2(S-1-F)C+2C+7 5C+16 7(F-2)+2(F-2)C+2C+7 3C+10 5(S-1-F)+2(S-1-F)C+2 2C+8 5(F-2)+2(F-2)C+2 2C+6 ------------------------------------------------------------ Σ(NV)e= 7N+2NC+18C+59 Σ(NE)e= 5N+2NC+4C+22 TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #21 EJEMPLO DE CASCADA A CONTRACORRIENTE (Cont.) Para la unidad (restando C+3 variables redundantes para 13 corrientes de interconexión), el número de variables es: (NV)u =(7N+2NC+18C+59) – 13(C+3) = 7N+2NC+5C+20 Y el número de ecuaciones para la unidad se consigue restando las 13 ecuaciones redundantes: (NE)u = (5N+2NC+4C+22) – 13 = 5N+2NC+4C+9 Por lo tanto el número de grados de libertad son: ND = (7N+2NC+5C+20) – (5N+2NC+4C+9) = 2N+C+11 TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #22 11 EJEMPLO DE CASCADA A CONTRACORRIENTE (Cont.) Un conjunto de posibles especificaciones de variables de diseño es: Especificación: Variables 1. Presión en cada etapa, incluyendo en rehervidor) N 2. Presión salida divisor de reflujo 1 3. Presión a la salida del condensado total 1 4. Transferencia de calor en cada etapa N-1 5. Transferencia de calor para divisor 1 6. Frac. molar de alimentación y flujo de alimentación C 7. Temperatura de alimentación 1 8. Presión de alimentación 1 9. Temperatura del condensado 1 10. Número total de etapas 1 11. Ubicación de la alimentación 1 12. Ubicación de la salida lateral 1 13. Flujo total de la salida lateral 1 14. Flujo total de destilado 1 15. Flujo del reflujo o relación de reflujo 1 ----------TOTAL ND= 2N+C+11 TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #23 RESUMEN Hoy hemos visto: Regla de las fases de Gibbs. Grados de libertad para una etapa. Grados de libertad para una cascada a contracorriente de una sola sección. Grados de libertad para cascada a contracorriente de dos secciones. Grados de libertad para elementos de operaciones de separación. Ejemplo de determinación de grados de libertad para cascadas a contracorriente con más de una sección. TF6332 Oct2006 - CC D8-GdeL #24 12
