Subido por Noe Cerros

2 - Antiderivaciòn, Tecnicas De Integraciòn

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Función
Derivada
función
Antiderivada
F(x)= 𝑥 4
F´(x)= 4𝑥 3
F(x)= 4𝑥 3
F(x)= 𝑥 4
F(x)= ln x
F´(x)=
F(x)= sen x
F´(x)= cos x
1
𝑥
F(x)=
1
𝑥
F(x)= cos x
F(x)= ln x
F(x)= sen x
Ejercicio: calcular la antiderivada de f(x)= 3x²
Solución: la función es f(x)= x³ porque f´(x)= 3x²
Nota: Para una función dada la antiderivada no es única, en
el ejercicio anterior se puede observar que para f(x)= 3x²
también son antiderivadas las siguientes funciones
Puesto
que al
derivar
cualquiera
de estas
se obtiene
3x²
x³ + 1
x³ + 3
x³ + 12 etc.
La antiderivada más general de
f(x)= 3x² es x³ + c donde c es una
constante cualquiera llamada
constante de integración.
Ejercicio: calcular la antiderivada más general de f(x)= 𝑥 5
Solución: la función es f(x)=
𝑥6
6
+c
NOTACIÓN: La antiderivada recibe también el
nombre de integral indefinida y para indicarla
se usa la notación: 𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 donde:
𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑓 𝑥 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 recibe el nombre de integral indefinida de f(x)
respecto a x, dx indica que la variable de integración es x
Ejemplo: calcular
solución:
4𝑥 3 𝑑𝑥
4𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥 4 + 𝑐
Ejemplo: calcular cos 𝑥 𝑑𝑥
solución: cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen x + 𝑐
Ejemplo: calcular
1/𝑥 𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
𝑥
= ln x+𝑐
solución:
TÉCNICAS DE INTEGRACIÒN
Método de sustitución (cambio de variable)
Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variables. Por
ejemplo u llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la
derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias,
para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna
expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina
cambio de variable (sustitución).
Luego de hacer efectiva la sustitución por lo general se obtienen
integrales más sencillas que la original, las cuales se resuelven
aplicando lo aprendido por medio de las reglas básicas.
Es importante señalar que el resultado de la integración debe estar en
función de la variable original por lo que se acostumbra a emplear el
término “devolviendo el cambio de variable” para reseñar el proceso
mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta
definitiva.
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟:
12𝑥 2 4𝑥 3 + 2 5 𝑑𝑥
U= 4x³ + 2
du= 12x² dx
=
12𝑥 2 4𝑥 3 + 2 5 𝑑𝑥
𝑢5 𝑑𝑢
=
𝑢6
6
+c
=
6
3
4𝑥 +2
6
+c
Calcular
2𝑥𝑑𝑥
𝑥2 + 5
U= 𝑥 2 + 5
du= 2xdx
4
=
𝑑𝑢
𝑢 4
=
𝑢
−4
𝑑𝑢
2𝑥𝑑𝑥
𝑥 2 +5 4
=
𝑢−3
−3
+c
=-
=-
1
3𝑢3
+𝑐
1
3 𝑥 2 +5 3
+𝑐
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟:
4𝑥 + 1𝑑𝑥
U= 4x + 1
du= 4dx
𝑑𝑢
= dx
4
=
𝑢
𝑑𝑢
4
1
=
4
1
𝑢2
=
4𝑥 + 1𝑑𝑥
3
𝑢2
1
+𝑐
𝑑𝑢 =
3
4
2
1
6
3
2
4𝑥 + 1 + c
=
1
6
3
2
𝑢 +c
Calcular
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
U= ln x
1
𝑥
du= dx
=
𝑑𝑢
𝑢
=
𝑢−1 𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
= ln 𝑢 + 𝑐
= ln ln 𝑥 + 𝑐
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑥2
𝑒
1+4𝑥 3
U= 1 + 𝑥 3
du= 12𝑥 2 dx
𝑑𝑢
= 𝑥 2 𝑑𝑥
12
𝑑𝑥 =
𝑒𝑢
𝑑𝑢
12
=
1
12
2
𝑥 𝑒
𝑒𝑢
1+4𝑥 3
+𝑐 =
𝑑𝑥
1
12
3
1+𝑥
𝑒
+𝑐
• Método de integración por partes
2. RESOLUCION DE INTEGRACIÓN POR PARTES
De la fórmula para la derivada del producto de dos funciones, se obtiene el
método de integración por partes. Si f y g son dos funciones diferenciables,
entonces:
Dx [f(x) g(x)] = f(x)g´(x) + g(x)f´(x)
f(x)g´(x) = Dx [f(x)g(x)] – g(x)f´(x)
Ahora, si se aplican integrales a cada miembro de esta ecuación, se tiene que:
𝑓 𝑥 𝑔´ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝐷𝑥 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 −
𝑔 𝑥 𝑓´ 𝑥 𝑑𝑥
Integrando lo que es posible integrar se obtiene:
𝑓 𝑥 𝑔´ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 −
𝑔 𝑥 𝑓´ 𝑥 𝑑𝑥 (1)
La ecuación (1) se llama fórmula para integración por partes. Frecuentemente se utiliza una
expresión equivalente a (1) lo cual se obtiene al realizar los siguientes cambios de variables:
U= f(x)
y
v = g(x)
Al hacer las derivadas de u y v respectivamente se obtiene:
du = f´(x)dx y dv = g´(x)dx
Así que la ecuación (1) se transforma en:
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −
𝑣𝑑𝑢 (Ecuación 1)
Este método se utiliza cuando se desea integrar un
producto de funciones diferentes
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −
𝑣𝑑𝑢
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑥𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
u
𝑒 3𝑥
=𝑥
−
3
dv
Se deriva y se integra
U=x
du = dx
dv = 𝑒 3𝑥
v=
𝑒 3𝑥
3
𝑒 3𝑥
𝑑𝑥
3
=𝑥
𝑥𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
𝑒 3𝑥
3
−
𝑒 3𝑥
9
+c
El método de integración por partes facilito los cálculos sin
embargo se debe tener mucho cuidado al momento de asignar
u y dv pues una asignación equivocada puede complicar los
cálculos en lugar de facilitarlos
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
3𝑥
𝑥𝑒 𝑑𝑥
U =𝑒 3𝑥
du = 3𝑒 3𝑥
𝑥2
3𝑥
=𝑒
2
dv= xdx
V=
𝑥2
2
-
𝑥𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
𝑥 2 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
Existe una técnica que ayuda a identificar las funciones a
las que de manera prioritaria se les asigna la letra u esta
técnica se basa en la palabra ILATE el orden de prioridad
es casi siempre el siguiente:
I = inversa trigonométrica
L= logarítmica
A= algebraica
T= trigonométrica
E= exponencial
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