Vectores en R3

Vectores en R3
MOISES VILLENA
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Definición
Enfoque geométrico
Igualdad
Operaciones
Aplicaciones
Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
•
•
•
•
•
Represente geométricamente un vector de R 3
Determine magnitud y dirección de un
vector.
Sume vectores, multiplique por un escalar a
un vector, obtenga el productor escalar y el
producto vectorial entre vectores
Obtenga el área de un paralelogramo
sustentados por dos vectores.
Obtenga el volumen del paralelepípedo
sustentado por tres vectores.
1
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Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienen
definiciones y propiedades de los vectores en el espacio.
1.1 DEFINICIÓN
Un vector de R 3 es una terna ordenada de
números reales. Denotada de la siguiente manera:
→
v = ( x, y , z )
1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
Geométricamente a un vector de R
como un segmento de recta dirigido.
3
se lo representa en el Espacio
Suponga que se tienen los puntos P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) . Si
trazamos un segmento de recta dirigido desde P1
→
hacia P2 tenemos una
⎯
⎯→
representación del vector v = P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z1 − z 2 )
z
P2 = ( x2 , y 2 , z 2 )
→
v
P1 = ( x1 , y1 , z1 )
y
x
Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en
el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza
ubicando al vector con el origen como punto de partida.
z
P ( x, y , z )
→
v
y
x
2
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1.2.1 Magnitud o norma
→
Sea v = ( x, y, z ) . La magnitud o norma de v
→
→
denotada como v , se define como:
→
v = x2 + y2 + z 2
Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el
vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.
→
Para v = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) sería:
→
v =
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2
1.2.2 Dirección
→
La dirección de v = ( x, y, z ) está definida por la
medida de los ángulo que forma la línea de acción
del segmento de recta con los ejes x , y , z
z
→
γ
α
v
β
y
x
Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores.
3
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Observe que:
Cosα =
x
→
=
v
y
Cosβ =
→
y
→
x2 + y2 + z2
y
=
x + y2 + z2
2
v
Cosγ =
x
y
=
x2 + y2 + z2
v
Ejercicio.
Demostrar que cos
2
α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
1.2.3 Sentido
→
El sentido de v lo define la flecha dibujada sobre
el segmento de recta.
1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE R
3
→
→
Dos vectores v1 = (x1 , y1 , z1 ) y v2 = (x2 , y 2 , z 2 ) son
iguales si y sólo si x1 = x2 , y1 = y2 y z1 = z 2
1.4 OPERACIONES
1.4.1 Suma
→
→
3
Sean v1 y v2 dos vectores de R tales que
→
→
v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) entonces la
→
→
→
→
suma de v1 con v2 , denotada como v1 + v2 , se
define como:
→
→
v1 + v2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z 2 )
4
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1.4.1.1 Propiedades
→
→
→
Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3 , entonces:
→
→
→
→
1.
v1 + v2 = v2 + v1
2.
→
→
→
→
→
→
v1 + ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = ⎛⎜ v1 + v2 ⎞⎟ + v3
⎠
⎠ ⎝
⎝
→
3.
la suma es conmutativa
→
→
la suma es asociativa
→
→
∃ 0 ∈ R , ∀ v ∈ R tal que v + 0 = v ,
3
3
→
Donde 0 = (0,0,0 ) es llamado Vector Neutro
→
⎛− →
⎞=→
⎛ − →v ⎞ ∈ R 3
+
v
v
∃
∀v∈R , ⎜ ⎟
⎜
⎟ 0
tal que
⎝ ⎠
⎝
⎠
→
4.
3
⎛
⎝
→
⎞
⎠
→
Donde ⎜ − v ⎟ es llamado Vector Inverso Aditivo de v
Geométricamente:
v
+
v1
→
v1 = ( x1 , y1 , z1 )
→
2
→
z
→
v2 = (x2 , y 2 , z 2 )
y
x
→
→
Los vectores v1 y v2 sustentan un paralelogramo, el vector de la
diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es el
Vector Diferencia.
1.4.2 Multiplicación por escalar
→
Sea α ∈ R y v = ( x, y, z ) un vector de R 3
entonces:
→
α v = (αx, αy, αz )
5
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1.4.2.1 Propiedades
→
→
→
→
⎤
⎡
⎛
⎞
1. ∀α ∈ R, ∀ v1 , v2 ∈ R ⎢α ⎜ v1 + v2 ⎟ = α v1 + α v2 ⎥
⎠
⎦
⎣ ⎝
→
→
→
→
3⎡
⎤
2. ∀α , β ∈ R, ∀ v ∈ R ⎢(α + β ) v = α v + β v ⎥
⎣
⎦
→
→
3⎡ ⎛
⎞ = (αβ ) →v ⎤
α
,
β
R
,
v
R
α
β
v
∀
∈
∀
∈
3.
⎥⎦
⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎠
→
Cualquier vector de
→
3
→
v = ( x, y, z ) , puede ser expresado en
R3 ,
→
→
combinación lineal de los vectores i = (1,0,0) , j = (0,1,0) y k = (0,0,1)
→
→
v = ( x, y, z ) = x(1,0,0 ) + y (0,1,0 ) + z (0,0,1)
→
→
→
→
v = x i + y j+ z k
1.4. 3. Producto Escalar. Producto Punto o Producto Interno
→
→
Sean v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) vectores
→
→
de R 3 . El Producto escalar de v1 con v2 denotado
→
→
como v1 • v2 se define como:
→
→
v1 • v2 = x1 x2 + y1y2 + z1 z 2
Ejemplo
→
→
Si v1 = (3,1,−2) y v 2 = (− 1,4,0) entonces
→
→
v1 • v 2 = (3)(− 1) + (1)(4) + (− 2)(0) = −3 + 4 + 0 = 1
1.4.3.1 Propiedades
→
→
Sean v1 y v2 vectores de R 3 . Entonces:
→
→
→
→
1. v1 • v2 = v2 • v1
6
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2. v1 • ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = v1 • v2 + v1 • v2
→
→
→
⎝
→
→
→
→
⎠
⎛ α v ⎞ • ⎛ β v→ ⎞ = αβ⎛ v→ • v→ ⎞
3. ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎜ 1 2⎟
⎠
⎝
⎠
⎠ ⎝
⎝
→
→
Si v = ( x, y, z ) entonces:
→
→
v • v = ( x, y , z ) • ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 .
→
→
→ 2
Por lo tanto v • v = v
→
→
o también v =
→
v• v
1.4. 4. Producto Vectorial. Producto Cruz
→
→
Sean v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) vectores
de R 3 . El Producto Vectorial de
→
→
→
v1 con v2
→
denotado como v1 × v2 se define como:
→
→
v1× v2 = ( y1 z 2 − z 1 y2 ,−( x1 z 2 − x2 z1 ), x1 y2 − y1 x2 )
Una manera práctica para obtener el resultado de la operación Producto
Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera
fila:
i
j
k
v1 × v2 = x1
y1
z1
x2
y2
z2
→
→
Ejemplo.
→
→
Sea v1 = (1,2,−1) y v 2 = (2,−1,0 ) entonces
i
v1 × v 2 = 1
→
→
j
2
2 −1
k
− 1 = −i − 2 j − 5k
0
7
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1.4.4.1 Propiedades.
→
→
→
Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3
1. El vector ⎛⎜ v1× v2 ⎞⎟ es tanto perpendicular a
⎝
⎠
→
→
→
→
v1 como a v 2
2. El sentido del vector ⎛⎜ v1 × v2 ⎞⎟ se lo puede
⎝
⎠
obtener empleando la mano derecha.
→
→
→
Mientras los dedos se dirigen desde v1
→
hacia v2 , el pulgar indica la dirección de
→
→
⎛⎜ v × v ⎞⎟ .
⎝ 1 2⎠
→
→
v1× v2
→
v2
•
•
→
v1
3. v1 × v2 = −⎛⎜ v2 × v1 ⎞⎟
⎝
⎠
→
→
→
→
→
→
→
4. v1 × v1 = 0
→
→
→
→
→
5. Si v1 // v 2 entonces v1 × v 2 = 0
→
→
→
→
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
6. ⎜ α 1 v1 ⎟ × ⎜ α 2 v2 ⎟ = α 1α 2 ⎜ v1 × v2 ⎞⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
→
→
→
→
→
→
→
7. v1 × ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = ⎛⎜ v1 × v2 ⎞⎟ + ⎛⎜ v1 × v3 ⎞⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
2
2
2
2
→
→
→
→
→
→
8. v1 × v 2 = v1 v 2 − ⎛⎜ v1 • v 2 ⎞⎟
⎝
⎠
De la última expresión, empleando la propiedad del producto escalar, se
obtiene un resultado muy importante:
8
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→
→ 2
v1 × v 2
→ 2 → 2
= v1
v2
→ 2 → 2
= v1
v2
→ 2 → 2
= v1
v2
→ 2 → 2
= v1
→
→ 2
v1 × v 2
v2
⎛→ →⎞
− ⎜ v1 • v 2 ⎟
⎝
⎠
2
⎛ → →
⎞
− ⎜ v1 v 2 cos θ ⎟
⎝
⎠
→ 2 → 2
− v1
v2
2
cos 2 θ
[1 − cos θ ]
2
→ 2 → 2
= v1
v 2 sen 2θ
Finalmente:
→
→
→
→
v1 × v 2 = v1 v 2 senθ
1.5 APLICACIONES
1.5.1
→
CALCULO
DEL
ÁREA
DEL
PARALELOGRAMO
SUSTENTADO POR DOS VECTORES.
→
Sean v1 y v2 dos vectores, no paralelos. Observe la figura:
→
v1
→
v1
h
θ
→
→
v2
v2
→
Tomando como base a v2 , tenemos:
Area = base • altura
→
= v2 h
Observe que senθ =
h
→
→
→
entonces Area = v 2 v1 senθ
v1
Y por la propiedad del producto cruz:
→
→
Area = v1 × v 2
9
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Ejemplo 1
→
Hallar el área del triángulo sustentado por los vectores v1 = (1, 2,−1) y
→
v 2 = (2,−1, 0 )
SOLUCIÓN:
→
→
El área del triángulo sustentado por dos vectores v1 y v 2 es la mitad del área del
paralelogramo sustentado por los vectores, es decir:
→
→
v1 × v 2
Area Triángulo =
→
i
→
j
2
k
Como v1 × v 2 = 1 2 − 1 = −i − 2 j − 5k
2 −1 0
entonces
→
→
v1 × v 2
Area Triángulo =
=
2
(− 1)2 + (− 2)2 + (− 5)2
2
=
30
2
Ejemplo 2
Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los puntos (1,−2,0 ) , (1,1,1) y
(− 2,0,1)
SOLUCIÖN:
Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el
orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado
anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo.
P2 (1,1,1)
→
v1
P1 (1,−2,0 )
→
P3 (− 2,0,1)
→
v2
→
En este caso, v1 = P1 P2 = (1 − 1, 1 − (−2), 1 − 0 ) = (0,3,1)
→
→
v 2 = P2 P3 = (− 2 − 1, 0 − (−2), 1 − 0 ) = (− 3,2,1)
Entonces,
i
v1 × v 2 = 0
→
→
j k
3 1 = i − 3 j − 9k
−3 2 1
→
→
v1 × v 2
Area Triángulo =
2
=
(1)2 + (− 3)2 + (9)2
2
=
91
2
10
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1.5.2
→
CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO
SUSTENTADO POR TRES VECTORES
→
→
Sean v1 , v2 y v3 tres vectores. Observe la figura.
→
→
v1 × v 2
→
h
v3
→
h
v2
•
→
v1
→
→
Tomando como base el paralelogramo sustentado por v1 y v2 , la altura
→
→
→
h del paralelepípedo será la proyección escalar v3 sobre v1 × v2 ,
entonces:
Volumen = Area base × altura
→
→
Donde Area base = v1 × v 2
altura = h = Pr oy →
→
v1 ×v2
⎛→ →⎞ →
⎜ v1 × v 2 ⎟ • v3
→
v3 = ⎝ → ⎠→
v1 × v 2
Por tanto.
⎛ v→ × v→ ⎞ • v→
2 ⎟
3
→
→ ⎜ 1
⎝
⎠
Volumen = v1 × v2
→
→
v1 × v2
Finalmente, simplificando resulta:
→
→
→
Volumen = ⎛⎜ v1 × v 2 ⎞⎟ • v3
⎝
⎠
Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO
→
→
→
ESCALAR de los vectores v1 , v 2 y v3 , y su interpretación es el volumen del
→
→
→
paralelepípedo sustentado por los vectores v1 , v 2 y v 3 . Observe además que
no importa el orden de operación de los vectores, ¿por qué?.
11
Vectores en R3
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Ejemplo
→
Hallar el volumen del paralelepípedo sustentado por los vectores v1 = (1,−2,1) ,
→
→
v 2 = (2,0,−1) y v3 = (1,2,3) .
SOLUCIÖN.
Por lo definido anteriormente,
1 −2 1
⎛→ →⎞ →
Volumen = ⎜⎜ v1 × v 2 ⎟⎟ • v3 = 2 0 − 1 = 2 + 14 + 4 = 20u 3
⎝
⎠
1 2
3
Ejercicios propuestos
→
→
1. Sean los vectores V1 = 3iˆ − 2 ˆj + 4kˆ y V2 = 3iˆ + 3 ˆj − 2kˆ .
→
→
a) Determinar la proyección vectorial de V1 sobre el vector V2 .
→
→
b) Calcular la componente de V1 perpendicular a V2 .
⎯
⎯→
→
(
Resp. a) Pr oy → V1 = − 15
,− 15
, 10
22
22 22
V2
→
)
b)
→
2. Sean los vectores A = Ax iˆ − 5 ˆj + 2kˆ y B = −3iˆ + 2 ˆj − B z kˆ . Calcule los valores de Ax y
→ →
Bz para los cuales A× B es paralelo a:
a) al eje
Resp. a) Ax =
x
Bz =
15
2
b) al eje
y
b) Ax = 15
2
4
5
Bz =
4
5
3. Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6)
Resp. Area =
174
2
4. Dados tres vectores V1 = (5,2,6) , V2 = (−1,8,3) , V3 = (2,−7,4) forman un tetraedro con
Resp. h =
vértice en el origen. Determinar su altura desde el origen.
77
746
5. Un tetraedro tiene por base el triángulo de vértices (3.-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vértice
opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura.
Resp. h = 938
5459
6. Sean u
w3 =
1
2
→
y
vectores no nulos, diferentes tales que: w1 = u + v , w2 = u − v ,
v
(u + v ) . Hallar
w1 • (w2 × w3 )
Resp. 0
→
7. Sea V un vector diferente de cero, entonces, demostrar que si U es un vector cualquiera, el
→
→
vector W = U −
→ →
U•V
→
2
→
→
V es ortogonal a V .
V
→
→
→
→
→
→
8. Demuestre que si U es ortogonal a V y a W , entonces U es ortogonal a c V + d W para
escalares cualquiera
cyd.
→
→
9. Demostrar que el área del triángulo, cuyos vértices son los extremos de los vectores A , B y
→
1 ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞
C , es ⎜⎜ B − A ⎟⎟ × ⎜⎜ C − A ⎟⎟
2⎝
⎠
⎠ ⎝
→ →
→
→
→
→
10. Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas A + B , B + C y C + A y es el doble
→
→
→
del volumen del tetraedro de aristas A , B y C .
11. Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son
perpendiculares.
12