UNIDAD 2 Curvas en el plano y ecuaciones paramétricas. Mario Lozano Jiménez 9 de marzo de 2020 Denición 1. Si x y y son funciones de una tercera variable t, denominada parámetro, tal que x = f (t) , y = g (t) , decimos que estas ecuaciones forman un conjunto de ecuaciones paramétricas. 3.1 Derivadas y tangentes. dy = dx d dy d2 y = = dx2 dx dx dy dt dy/dt · = dt dx dx/dt d dy dt d dy dx = ÷ dt dx dx dt dx dt 3.2 Áreas. b Z Z A= β g (t) f 0 (t) dt ydx = a α 3.2 Longitud de arco. Z b s 1+ L= a Z L= c d s dx dt dy dx 2 1 2 + dx dy dt 2 dt 3.4 Área de una supercie. Z s β 2πy S= α dx dt 2 + dy dt 2 dt 4. Coordenadas Polares. 5.1 Reglas de simetría. Regla 1. Si la sustitución de (r, −θ) por (r, θ) produce la misma ecuación, el lugar geométrico es sim'etrico con respecto al eje x. Regla 2. Si la sustitución de (r, π − θ) por (r, θ) produce la misma ecuación, el lugar geométrico es simétrico con respecto al eje y. Regla 3. Si la sustitución de (−r, θ) por (r, θ) produce la misma ecuación, el lugar geométrico es simétrico con respecto al eje polo. 7.1 Derivadas en coordenadas polares. La derivada en un punto P está relacionada con el ángulo que la línea tan- gente forma con la línea que pasa por P y el polo, de acuerdo a la fórmula para cot ψ. cot ψ = f 0 (θ) 1 dr = , f (θ) r dθ r 6= 0 7.2 Longitud de arco. La longitud de una curva con ecuación polar Z L= b s r2 + a 2 dr dθ r = f (θ) , a ≤ θ ≤ b, 2 dθ es 7.3 Áreas en coordenadas polares. Usualmente, la fórmula para el área se escribe b Z A= a donde r = f (θ). 3 1 2 r dθ 2
