RESUMEN CAPITULOS 1 – 5 Metodos fundamentales de economía matemática

“AÑO DEL BICENTENARIO DEL PERÚ:
200 AÑOS DE INDEPENDENCIA”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Faculta de Economía
CURSO:
ECONOMIA MATEMATICA
DOCENTE:
LILIAN NATHALS SOLIS
SEMESTRE:
2020-II
TEMA:
RESUMEN CAPITULOS 1 – 5: Metodos fundamentales de economía
matemática
ESTUDIANTE:
ALBÁN MAURICIO, PABLO ALEJANDRO.
AÑO:
2021
1.
2.
INDICE
CAPÍTULO I Naturaleza de la economía matemática ....................................................... 7
1.1.
Economía matemática versus economía no matemática ............................................... 7
1.2.
Economía matemática versus econometría .................................................................. 7
Capitulo II Modelos económicos ...................................................................................... 8
2.1.
Elementos de un modelo matemático .......................................................................... 8
2.1.1.
3.
Variables, constantes y parámetros ...................................................................... 8
2.2.
Sistema de numero reales ........................................................................................... 9
2.3.
Concepto de conjuntos ............................................................................................. 10
2.3.1.
Notación de conjuntos....................................................................................... 10
2.3.2.
Relación entre conjuntos ................................................................................... 10
2.3.3.
Operaciones con conjuntos:............................................................................... 11
2.3.4.
Leyes de operaciones con conjuntos .................................................................. 11
Capitulo III Analisis de equilibrio en economía ............................................................... 12
3.1.
El significado de equilibrio ...................................................................................... 12
3.2.
Equilibrio de mercado parcial................................................................................... 12
3.2.1.
3.3.
Equilibrio de mercado parcial: un modelo no lineal ................................................... 13
3.3.1.
3.4.
Construcción del modelo................................................................................... 12
Forma cuadrática .............................................................................................. 14
Equilibrio general de mercado .................................................................................. 14
III
4.
Capítulo IV Modelos lineales y algebra de matrices ........................................................ 16
4.1.
4.1.1.
Matrices como arreglos..................................................................................... 16
4.1.2.
Vectores como matrices especiales .................................................................... 16
4.2.
Operaciones con matrices......................................................................................... 17
4.2.1.
Suma y resta de matrices ................................................................................... 17
4.2.2.
Multiplicación de matrices ................................................................................ 17
4.3.
La división .............................................................................................................. 18
4.4.
Notas sobre operaciones con vectores ....................................................................... 18
4.4.1.
Multiplicación de vectores ................................................................................ 18
4.4.2.
Interpretación geométrica de operaciones con vectores....................................... 18
4.4.3.
Dependencia lineal............................................................................................ 19
4.4.4.
Espacio Vectorial.............................................................................................. 19
4.5.
5.
Matrices y vectores .................................................................................................. 16
Leyes conjuntivas, asociativa y distributiva .............................................................. 20
4.5.1.
Suma de matrices.............................................................................................. 20
4.5.2.
Multiplicación de matrices ................................................................................ 20
4.6.
Transpuestas e inversas ............................................................................................ 21
4.7.
Cadenas de Márkov finitas ....................................................................................... 21
Capítulo V Modelos lineales y algebra de matrices (continuación) ................................... 22
5.1.
Condiciones de la no singularidad de una matriz ....................................................... 22
IV
5.2.
Condiciones de no singularidad ................................................................................ 23
5.3.
Rango de una matriz ................................................................................................ 23
5.4.
Prueba de no singularidad mediante el uso del determinante ...................................... 23
5.5.
Propiedades básicas de los determinantes.................................................................. 24
5.6.
Obtención de la matriz inversa ................................................................................. 24
5.7.
Regla de Cramer...................................................................................................... 26
7
1.
CAPÍTULO I
Naturaleza de la economía matemática
La economía matemática una herramienta en el análisis económico, del cual se usan
métodos matemáticos basándose en teoremas matemáticos para poder demostrar el razonamiento.
De acuerdo al análisis, comprende desde la teoría micro o macroeconómica, finanzas públicas, etc.
En el sentido universal el uso del término economía matemática se puede referir a todo libro
elemental de economía, incluyendo desde las matemáticas más simples hasta las más complejas.
1.1. Economía matemática versus economía no matemática
La economía matemática es un método de análisis por lo que no difiere del método no
matemático del análisis económico, teniendo como objetivo de ambos alcanzar las conclusiones o
teoremas mediante el razonamiento. En la “economía matemática” el desarrollo y resultados se
expresan en símbolos y ecuaciones, mientras que la “economía literaria” emplea teoremas
matemáticos en el razonamiento. Siendo los símbolos los que le dan el carácter conciso y preciso
a los enunciados.
La economía matemática presenta varias ventajas dado que la teoría es una abstracción del
mundo real, su estudio es conciso y preciso, una cantidad de teoremas a disposición, el uso de su
lenguaje es necesario para expresar los teoremas matemáticos y da solución al trato de n variables.
1.2. Economía matemática versus econometría
La econometría principalmente se refiere a la medición de datos económicos, basándose
en observaciones empíricas a través de métodos estadísticos, de estimación y prueba de hipótesis.
Mientras que la economía matemática es más básica dedicándose al tratamiento de aspectos
teóricos del análisis económico. Considerando que el estudio empírico y el análisis teórico son
complementarios y se refuerzan entre sí.
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
8
2.
Capitulo II
Modelos económicos
Siempre que hablemos de teoría, estamos necesariamente hablando de una abstracción de
la realidad. En la economía real es muy complicado comprender todas las interrelaciones y mucho
si tenemos en cuenta que no todas tienen el mismo nivel de importancia para el estudio de un
fenómeno económico particular. Así que lo más pertinente es escoger según nuestro criterio cuales
son los más importantes del problema y debemos enfocarnos solo en esos. Esta clase de marco
analítico, se llama Modelo Económico.
2.1. Elementos de un modelo matemático
Un modelo económico es simplemente un marco teórico, y no hay razón de por qué debe
ser matemático. Aunque si el modelo en mención si lo es, este estará compuesto por un conjunto
de ecuaciones. Cuando relacionamos variables entre sí, las ecuaciones dan forma matemática al
conjunto de suposiciones adoptadas. Y con elementos lógicos y operacionales se obtiene las
conclusiones que deduzcan nuestras suposiciones.
2.1.1. Variables, constantes y parámetros
1. Variable: Magnitud que puede tomar valores diferentes.
2. Constante: Magnitud que no cambia, es antítesis de la variable.
3. Parámetro: Constante especial.
Las variables más utilizadas en Economía son precio, ganancia, costo, entre otros. Entonces
si hablamos de un modelo económico, este se puede resolver, para encontrar los valores de
solución de cierto conjunto de variables. A estas variables cuyos valores se buscan desde el modelo
se les conoce como variables endógenas, mientras que las variables que están determinadas por
fuerzas externas al modelo de denomina, variable exógena. Cuando hablamos de una constante,
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
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un coeficiente puede ser simbólico en vez de numérico. Mientras que los parámetros se representan
en lo común por los símbolos como los a, b, c, o sus contrapartes griegas ∝. 𝛽, 𝜃.
2.2. Sistema de numero reales
Si hablamos de un modelo matemático, los ingredientes fundamentales son los números y
las variables y en vista que las variables económicas toman por lo general valores numéricos, es
pertinente hablar de los números reales. Entonces:
1. Enteros positivos: Se usan con mayor frecuencia en el conteo (1,2, 3…).
2. Enteros negativos: Contraparte de los enteros positivos ( -1,-2,-3…).
La unión de estos dos nos da como resultado el conjunto de números enteros. Sin embargo,
esto no agota todos los posibles números. También tenemos:
1 2 4
1. Fracciones positivas: Si las pondríamos en una regla, estarían entre los enteros ( , , , … )
2 3 5
−1 −2 −4
2. Fracciones negativas: Es la contraparte de las fracciones positivas (
2
,
3
,
5
,…)
Al igual que el conjunto de números enteros, la unión de las fracciones positivas y negativas
da origen al conjunto de las fracciones. Mientras que la unión del conjunto de números enteros y
el de números fraccionarios se les denomina conjunto de los números racionales. Con esto surge
de manera natural el concepto de números irracionales, los cuales no se pueden expresar como
razones de un par de enteros como, por ejemplo: √2 = 1.4142 …
Si cada uno de estos números irracionales los colocamos en una regla, estarían entre dos
nueros racionales, por ende, junto con las fracciones que llenan los espacios de los números
racionales. Con este continuo proceso se constituye el conjunto de números reales, el cual
denotamos con el símbolo 𝑅.
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
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2.3. Concepto de conjuntos
2.3.1. Notación de conjuntos
Un conjunto simplemente es una colección de objetos distintos, los cuales poseen una
característica en común. Los objetos de un conjunto se llaman elementos del conjunto. Estos se
pueden escribir de dos formas:
1. Por numeración: S representa el conjunto de tres números (1,2,3) → 𝑆 = (1,2,3)
2. Por descripción: I denota el conjunto de números enteros positivos. 𝐼 = {𝑥⁄𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜}.
Respecto a la cantidad de elementos tenemos, conjunto finito: Conjunto con una cantidad
finita de elementos como el conjunto S, conjunto infinito: conjunto con una cantidad infinita de
elementos, por ejemplo, el conjunto de números naturales.
La pertenencia en un conjunto se indica mediante el símbolo ∈, este se lee “es un elemento
de”. Mientras que si no es elemento se utiliza el símbolo ∉.
2.3.2. Relación entre conjuntos
Cuando dos conjuntos de comparan entre sí, se puede observar varios tipos de relaciones.
De los cuales:
1. Conjuntos iguales, si dos conjuntos tienen elementos idénticos, decimos que son iguales.
𝑆1 = {2,7, 𝑎, 𝑓} y 𝑆2 = {2,7, 𝑎, 𝑓} → 𝑆1 = 𝑆2
2. Subconjunto, se dice que un conjunto es subconjunto de otro cuando algunos o todos sus
elementos se encuentran dentro del otro conjunto. 𝑆1 = {1,3,5,7,9} y 𝑇 = {3,7} →
entonces 𝑇 es un subconjunto de 𝑆 → 𝑇 ⊂ 𝑆
3. Subconjunto propio, cualquier subconjunto que no tiene a todos los elementos de S se llama
subconjunto propio de S.
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
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4. Conjunto nulo o vacío, se denomina conjunto nulo a aquel que no posee elementos. Se
denota {} o ∅.
5. Conjuntos disjuntos, cuando dos conjuntos no poseen elementos en común se denomina,
conjuntos disjuntos.
2.3.3. Operaciones con conjuntos:
Al igual que con los números, con los conjuntos también se realizan operaciones
matemáticas en ellos. Las 3 operaciones principales a analizar son:
1. Unión, la unión de dos conjuntos A y B significa f ormar un nuevo conjunto que contiene
los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, se denomina 𝐴 ∪ 𝐵. Ejemplo:
Si 𝐴 = {3,5,7} 𝑦 𝐵 = {2,3,4,8} → 𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3,4,5,7,8}
2. Intersección, en los conjuntos A y B existen elementos que pertenecen tanto a 𝐴 como a 𝐵,
se simboliza 𝐴 ∩ 𝐵 . Ejemplo: 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}
3. Complemento de un conjunto, decimos que es lo que le falta al conjunto 𝐴 o B para ser
igual al conjunto universal y se denomina 𝐴′. Si 𝑈 = {5,6,7,8,9} 𝑦 𝐴 = {5,6} → 𝑒𝑙 𝐴′ =
{7,8,9}
2.3.4. Leyes de operaciones con conjuntos
1. Ley Conmutativa: se tiene que:
𝐴∪𝐵 = 𝐵 ∪𝐴𝑦𝐴∩ 𝐵 = 𝐵 ∩𝐴
2. Ley Asociativa: 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶 ) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶, 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶 ) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶
3. Ley Distributiva: 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶 ) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
12
3.
Capitulo III
Analisis de equilibrio en economía
3.1. El significado de equilibrio
Según definición, un equilibrio es un conjunto de variables seleccionadas e
interrelacionadas, los cuales están tan ajustadas entre sí que ninguna tendencia inherente a cambiar
prevalece. Estas deben ser:
➔ Seleccionadas: El analista deberá escoger variables que estén acorde con su estudio, por
ende, algunas no serán incluidas, debido a que el equilibrio en un estudio puede tener
relevancias solo en un contexto particular. Si las variables se extienden, pued e que ya no
se tenga el mismo equilibrio que el modelo pequeño.
➔ Interrelacionadas: Para que ocurra el equilibrio, las variables deben estar en reposo, y este
ser compatible con el de todas las demás variables. Si una cambia, todas cambian.
➔ Inherente: Para definir un equilibrio, las variables deben estar al mismo tiempo en estado
de reposo, solo en el balance interno, suponiendo fijos factores externos.
Un equilibrio en un modelo especifico, es una situación caracterizada por la falta de
tendencia al cambio (Análisis estático), sin embargo, con esto podríamos decir que constituye
un estado ideal de asuntos.
3.2. Equilibrio de mercado parcial
3.2.1. Construcción del modelo
Suponiendo tres variables: Cantidad 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 (𝑄𝑑 ), Cantidad 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 (𝑄𝑜 ) y el
Precio(𝑃). La suposición estándar es que el equilibrio se da cuando el excedente es cero, es decir
cuándo: (𝑄𝑑 − 𝑄𝑜 = 0) Entonces decimos: Para efectos del análisis por conexión matemática, la
variable dependiente se encuentra en el eje vertical.
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
13
Figura 01: Equilibrio de mercado, oferta y demanda
En expresiones matemáticas:
𝑄𝑑 = 𝑄𝑠
𝑄𝑑 = 𝑎 − 𝑏𝑃 → (𝑎, 𝑏 > 0)
𝑄𝑠 = −𝑐 + 𝑑𝑃 → (𝑐, 𝑑 > 0)
Donde –b
y
d
son las
pendientes de las ecuaciones de
demanda y oferta respectivamente
Recalcando que –c es una intersección
vertical negativa en c.
Nota: Elaboración propia, Figura 3.1 (Chiang & Wainwright)
De esta manera se fuerza a la curva de oferta a tener una intersección positiva en 𝑃1 y con
ello satisface la condición de que el suministro no llegará a menos que el precio sea positivo y
suficientemente alto.
3.3. Equilibrio de mercado parcial: un modelo no lineal
Supongamos un modelo en que utilicemos coeficientes numéricos en vez de parámetros,
asumamos este modelo: 𝑄𝑑 = 𝑄𝑠 → 𝑄𝑑 = 4 − 𝑃 2 ; 𝑄𝑠 = 4𝑃 − 1
Estas ecuaciones se pueden reducir a una sola ecuación mediante un proceso de eliminación
de variables: 𝑃 2 + 4𝑃 − 5 = 0 Siendo esta una ecuación cuadrática porque la expresión de la
izquierda es una función cuadrática de la variable 𝑃. En esta se tienen dos soluciones, encontramos:
𝑃1∗ = 1 y 𝑃2∗ = −5 Sin embargo, como en la economía no hablamos de precios negativos,
automáticamente descartamos el -5, siendo el precio 1 admisible desde un punto de vista
económico.
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
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3.3.1. Forma cuadrática
En forma general una ecuación cuadrática tiene la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 → (𝑎 ≠ 0)
Hay dos raíces que se pueden obtener mediante la resolución general de la ecuación cuadrática.
𝑥1∗ , 𝑥2∗ =
−𝑏 ± √−𝑏 ± (𝑏 2 − 4𝑎𝑐)
2𝑎
Donde la parte positiva se obtiene en 𝑥1∗ y la parte negativa se produce 𝑥 ∗2, observando que
−𝑏 ± (𝑏 2 − 4𝑎𝑐) > 0 (también conocido como discriminante), diferirían los valores 𝑥1∗ , 𝑥 ∗2 de
modo que se obtienen dos números reales distintos como raíces. En caso el discriminante sea igual
a cero, se encontraría que las raíces son iguales.
3.4. Equilibrio general de mercado
La condición de equilibrio de un modelo de mercado de mercado de n artículos requerirá
de n ecuaciones, una para cada artículo, de tal forma:
𝐸𝑖 ≡ 𝑄𝑑𝑖 − 𝑄𝑠𝑖 = 0 (𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛)
Si existe una solución, habrá un conjunto de precios 𝑃1∗ y cantidades correspondientes 𝑄1∗
de modo que las n ecuaciones en la condición de equilibrio se satisfagan simultáneamente.
➔ En un modelo de mercado de dos artículos:
𝑄𝑑𝑖 − 𝑄𝑠𝑖 = 0
→
𝑄𝑑𝑖 = 𝑎 0 + 𝑎1 𝑃1 + 𝑎 2 𝑃2
𝑄𝑠𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑃1 + 𝑏2 𝑃2
𝑄𝑑2 − 𝑄𝑠2 = 0
→
𝑄𝑑2 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑃1 + 𝛼2 𝑃2
𝑄22 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑃1 + 𝛽2 𝑃2
Donde los coeficientes a y b pertenecen a las funciones de la oferta y la demanda del primer
artículo, mientras que 𝛼 𝑦 𝛽 a los del segundo. La solución de este modelo, se puede
recurrir a la eliminación de variables, de tal manera que:
(𝑎 0 − 𝑏0 ) + (𝑎1 − 𝑏1 )𝑃1 + (𝑎 2 − 𝑏2 )𝑃2 = 0 → 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐 = 𝑎1 − 𝑏1
(𝛼0 − 𝛽0 ) + (𝛼1 − 𝛽1 )𝑃1 + (𝛼2 − 𝛽2 )𝑃2 = 0 → 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐 = 𝛼1 − 𝛽1
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
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Estas representan las funciones de la oferta y la demandas que se sustituyeron en las
condiciones de equilibrio. De tal manera que: 𝑃2 = −(𝑐0 + 𝑐1 𝑃1 )/𝑐2 sustituyendo:
𝑃1∗ =
𝑐2 𝑦0 − 𝑐0 𝑦2
𝑐1 𝑦2 − 𝑐2 𝑦1
El precio de equilibrio del segundo artículo es:
𝑃2∗ =
𝑐0 𝑦1 − 𝑐1 𝑦0
𝑐1 𝑦2 − 𝑐2 𝑦1
Una vez encontrados los precios de equilibrio, las cantidades de equilibrio se calculan
sustituyendo estas expresiones en el modelo original.
➔ Para un caso de n artículos:
Pasamos de una situación de equilibrio parcial a un equilibrio general, a más artículos, más
variables y más ecuaciones además de que estas se volverán más grandes y complicadas.
En general con n artículos en total, se pueden expresar las funciones de la oferta y la
demanda así:
𝑄𝑑1 = 𝑄𝑑1 (𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 , … , 𝑃𝑛 )
𝑄𝑠1 = 𝑄𝑠1 (𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 , … , 𝑃𝑛 )
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 → 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
Además, la condición de equilibrio está compuesta de un conjunto de n ecuaciones
𝑄𝑑1 − 𝑄𝑠1 = 0
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 → 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
Si en realidad existe una solución, al resolver de forma simultánea estas n ecuaciones se
determinan los n precios de equilibrio 𝑃1∗. Luego 𝑄1∗ se puede deducir las funciones de
oferta y demanda.
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
16
4.
Capítulo IV
Modelos lineales y algebra de matrices
El algebra de matrices brinda una forma alternativa de escribir un sistema de ecuaciones,
puede ser uno pequeño o hasta uno muy grande, y es una forma de explicar la existencia de un
determinante para su solución y proporciona métodos para lograr hallar una solución sin las
limitaciones del sistema de ecuaciones que su análisis estático y estático comparativo no permiten.
Considerando que el algebra de matrices es solo para ecuaciones lineales.
4.1. Matrices y vectores
4.1.1. Matrices como arreglos
Una matriz esta definida como el arreglo rectangular de números, parámetros o variables.
Los elementos de la matriz se encuentran entre corchetes y pocas veces entre paréntesis o líneas
verticales dobles ( [], ( ), || || ) Los elementos de la matriz se separa por espacios, y la ubicación de
cada elemento se fija por un subíndice generando un conjunto ordenado.
Ejemplo:
6𝑥1 + 3𝑥 2 + 𝑥 3 = 22
𝑥1 + 4𝑥 2 − 2𝑥 3 = 12
4𝑥1 − 𝑥 2 + 5𝑥 3 = 10
Se puede escribir →
6 3
𝐴 = [1 4
4 −1
1
−2] 𝑥 =
5
𝑥1
22
𝑥
[ 2] 𝑑 = [12 ]
𝑥3
10
𝑖 = 1,2, … , 𝑚
)
Y de forma simple como: 𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗 ] → (
𝑗 = 1,2, … , 𝑛
4.1.2. Vectores como matrices especiales
Las matrices poseen un numero de renglones y columnas los cuales definen la dimensión
de estas. Se expresan como m renglones y n columnas, se conoce como la dimensión m*n, el
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
17
número de renglones precede al número de columnas siempre. El uso de matrices de forma
compacta se expresa: 𝐴𝑥 = 𝑑 siendo un conjunto de matrices definidas puestas en un sistema de
ecuaciones. Al ser de connotación compacta implica que tienen bloqueos completos de números,
siendo necesario tener nuevas reglas con las que se puedan operar.
4.2. Operaciones con matrices
4.2.1. Suma y resta de matrices
La suma de matrices solo puede suceder si ambas matrices tienen la misma dimensión o
sea los valores de renglones y columnas son los mismos en amb as matrices. Realizando la suma
paralela de cada elemento.
Ejemplo:
a) [
b) [
6 2
2 7
8 9
]+[
]= [
]
5 3
1 4
6 7
15 12
6
4
9
]−[
]= [
5
9
−7 −3
12
8
]
12
4.2.2. Multiplicación de matrices
Multiplicación escalar: Se da al multiplicar un número, o terminología algebraica, el cual
multiplica cada elemento de la matriz la cual también es afectada por el signo.
Multiplicación de matrices: para que pueda existir la multiplicación matricial de A y B
(AB) tiene que cumplir la condición de conformabilidad la dimensión columna A (matriz primaria
en AB) debe ser igual a dimensión renglón de B (matriz secundaria). Y para poder efectuarla se
toma el primer renglón en A (puesto que i=1) y la segunda columna en B (puesto que j=2) y se
calcula la suma indicada de productos, como a continuación:
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
18
𝐴(1𝑥2) = [𝑎11
𝑎12 ],
𝑏
𝐵(2𝑥3) = [ 11
𝑏21
𝑏12 𝑏13
]𝑎
𝑏22 𝑏23 𝑖𝑗
→
𝐴𝐵 = 𝐶 = [𝑐11
𝑐12
𝑐13 ]
donde:
𝑐11 = 𝑎11 ∗ 𝑏11 + 𝑎12 ∗ 𝑏21 ; 𝑐12 = 𝑎11 ∗ 𝑏12 + 𝑎12 ∗ 𝑏22 ; 𝑐13 = 𝑎11 ∗ 𝑏13 + 𝑎12 ∗ 𝑏23
4.3. La división
Las matrices no se pueden dividir de la forma convencional 𝐴/𝐵 esta se puede expresar
como 𝑎𝑏 −1 o 𝑏 −1 𝑎, donde 𝑏 −1 es la inversa de 𝑏. Teniendo cuidado que también se puede
representar 𝑎𝑏 −1 = 𝑏 −1 𝑎 pero puede que una de las expresiones esté no definida, en cualquier
caso, puede no representar el mismo producto.
4.4. Notas sobre operaciones con vectores
4.4.1. Multiplicación de vectores
El vector columna 𝑢 de 𝑚 × 1 y un vector renglón 𝑣 ′ de 1 × 𝑛 producen una matriz
producto 𝑢𝑣′ de dimensión 𝑚 × 𝑛. Existe una correspondencia entre los escalares y el conjunto de
matrices 1 × 1 cuyos elementos son escalares.
3
𝑈 = [ ] 𝑦 𝑉 ′ = [1 4 5 ]
2
se obtiene: 𝑈𝑉 ′ = [
3(1) 3(4) 3(5)
] = [ 3 12
2(1) 2(4) 2(5)
2 8
15
]
10
4.4.2. Interpretación geométrica de operaciones con vectores
Un vector columna o renglón con n componentes se puede considerar como un punto 𝑈 =
3
[ ] o el vector 𝑈′ = [3 2 ] ambos indican en este contexto el mismo par ordenado. Se traza flecha
2
llamado radio vector, que parte del origen, al punto con una longitud y dirección definida,
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
19
3
Figura 1: 2𝑈 = [ ]
2
En la figura el vector resultante
de multiplicar el vector por un escalar,
tiene el mismo trazo de su anterior
3
resultado (𝑈 = [ ])..
2
Lo
que
al
multiplicar por un escalar, cambia la
longitud del vector, siempre que sea
positivo, si es negativo cambia la
dirección.
Nota: Elaboración propia, utilizando herramienta wxMaxima.
4.4.3. Dependencia lineal
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si cualquiera de ellos se puede
expresar como combinación lineal de los demás vectores, de lo contrario, son linealmente
independientes.
Ejemplo:
2
1
4
Los vectores 𝑣1 = [ ] , 𝑣2 = [ ] 𝑦 𝑣3 = [ ] son linealmente dependiente porque 𝑣3 es una
5
7
8
6
2
4
combinación lineal de 𝑣1 y 𝑣2 : 3𝑣1 − 2𝑣2 = [ ] − [ ] = [ ] = 𝑣3
5
21
16
4.4.4. Espacio Vectorial
La totalidad de los vectores en dos dimensiones generados mediante las distintas
combinaciones lineales de dos vectores independientes u y v constituye el espacio vectorial
bidimensional. Sin embargo, con un solo vector bidimensional no se puede generar un espacio
vectorial, debido a que se originan de una sola recta. Se dice que los vectores lineales linealmente
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
20
independientes u y v generan el espacio bidimensional, constituyéndose una base para el espacio
bidimensional. Por analogía el espacio vectorial de tres dimensiones es la totalidad de vectores en
tres dimensiones y debe ser generado exactamente de tres vectores tridimensionales LI.
4.5. Leyes conjuntivas, asociativa y distributiva
4.5.1. Suma de matrices
➔ Ley conmutativa: 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
3
𝐴=[
0
1
6
] 𝑌𝐵=[
2
3
2
9 3
], se encuentra que: 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 = [
]
4
3 6
➔ Ley asociativa: (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)
3
9
2
12
2
10
𝑣1 = [ ], 𝑣2 = [ ], 𝑣3 = [ ] → (𝑣1 + 𝑣2 ) − 𝑣3 = [ ] − [ ] = [ ]
4
1
5
5
5
0
3
7
10
𝑣1 + (𝑣2 − 𝑣3 ) = [ ] + [ ] = [ ]
4
−4
0
4.5.2. Multiplicación de matrices
La multiplicación de matrices es no conmutativa: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴
1
Sea: 𝐴 = [
3
2
0 −1
12
]y𝐵 =[
], entonces 𝐴𝐵 = [
4
6 7
24
13
−3 −4
] 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝐵𝐴 = [
]
25
27 40
➔ Ley asociativa: Al formar el producto, ABC, debe satisfacer la condición de
conformabilidad, que el nivel columna sea igual al nivel renglón de cada dimensión.
𝑥1
𝑎
0
],
Si 𝑋 = [ 𝑥 ] 𝑦 𝐴 = [ 11
0 𝑎 22
2
𝑎11 𝑥1
Entonces:𝑋′ 𝐴𝑋 = 𝑋′ (𝐴𝑋) = [ 𝑥1 𝑥 2] [ 𝑎 𝑥 ] = 𝑎11 𝑥12+𝑎 22 𝑥22
22 2
𝑥1
Lo mismo se obtiene para: 𝑋′ 𝐴𝑋 = (𝑋′ 𝐴)𝑋 = [𝑎11 𝑥1 𝑎 22 𝑥2 ] [𝑥 ] = 𝑎11 𝑥12+𝑎 22 𝑥22
2
➔ Ley distributiva: 𝐴(𝐵 + 𝐶 ) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 → multiplicado ambos factores por 𝐴
(𝐵 + 𝐶 )𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴 → multiplicados ambos factores por 𝐴 (En ambos casos se debe
tener pendiente las condiciones de conformabilidad para la suma y la multiplicación).
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
21
4.6. Transpuestas e inversas
El intercambio de entre renglones y columnas de la matriz A, en forma que el primer
renglón se convierte en la primera columna, se obtiene la matriz transpuesta 𝐴′ o 𝐴𝑡 .
3 8
𝐴=[
1 0
3 1
−9
3 4
3 1
] 𝑦𝐵 =[
] , 𝑠𝑢 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝐴′ = [ 8 0] 𝑦 𝐵′ = [
]
4
1 7
4 7
−9 4
La inversa de la matriz 𝐴, denotada por 𝐴−1 , se define solo si 𝐴 es una matriz cuadrada, en
cuyo caso el inverso es la matriz que satisface la condición:
𝐴𝐴−1 = 𝐴 −1 𝐴 = 𝐼
4.7. Cadenas de Márkov finitas
Los procesos de Márkov se emplean para medir o estimar movimiento en el tiempo. Esto
requiere el uso de una matriz de transición de Márkov, donde cada valor en la matriz es una
probabilidad de pasar de un estado a otro estado. También incluye un vector que contiene la
distribución inicial en los distintos estados. Al multiplicarlos se estiman los cambios en los estados
con el tiempo.
Sea 𝐴𝑡 y 𝐵𝑡 las poblaciones de Abbosford y Burnaby, respectivamente, en algún instante,
𝑡. Además, defina las probabilidades transicionales como sigue.
𝑃𝐴𝐴 ≡ 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝐴 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝐴
𝑃𝐴𝐵 ≡ 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝐴 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝐵
𝑃𝐵𝐵 ≡ 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝐵 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝐵
𝑃𝐵𝐴 ≡ 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝐵 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝐴
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
22
Si la distribución de empleados en los lugares en el tiempo 𝑡 se denota como un vector
𝑥 ′𝑡 = [𝐴𝑡
𝐵𝑡 ] ya las probabilidades de transición en forma de matriz 𝑀 = [
𝑃𝐴𝐴
𝑃𝐵𝐴
𝑃𝐴𝐵
] entonces
𝑃𝐵𝐵
la distribución de empleados en estos lugares en el siguiente periodo (𝑡 + 1) es:
𝑥 ′𝑡 (1×2)𝑀(2×2) = 𝑥 ′𝑡+1(1×2)
[𝐴𝑡
𝑃
𝐵𝑡 ] [ 𝐴𝐴
𝑃𝐵𝐴
𝑃𝐴𝐵
] = [( 𝐴𝑡 𝑃𝐴𝐴 + 𝐵𝑡 𝑃𝐵𝐴 ) (𝐴𝑡 𝑃𝐴𝐵 + 𝐵𝑡 𝑃𝐵𝐵 )] = [𝐴𝑡+1
𝑃𝐵𝐵
Para hallar la distribución de dos periodos: [𝐴𝑡+1
En general: [𝐴𝑡
𝑃
𝐵𝑡 ] [ 𝐴𝐴
𝑃𝐵𝐴
𝑃𝐴𝐵 𝑛
] = [𝐴𝑡+𝑛
𝑃𝐵𝐵
𝐵𝑡+1 ] [
𝑃𝐴𝐴 𝑃𝐴𝐵
] = [𝐴𝑡+2
𝑃𝐵𝐴 𝑃𝐵𝐵
𝐵𝑡+1 ]
𝐵𝑡+2 ]
𝐵𝑡+𝑛 ] La matriz probabilidad 𝑀 conocida como
matriz de transición de Márkov. donde n es exógena, el proceso se conoce como una cadena finita
de Márkov.
5.
Capítulo V
Modelos lineales y algebra de matrices (continuación)
5.1. Condiciones de la no singularidad de una matriz
En economía solemos utilizar la “condición suficiente” y “la condición necesaria”. Una
condición necesaria tiene el carácter de prerrequisito: suponga que una afirmación p es cierta sólo
si otra afirmación 𝑞 es verdadera; entonces 𝑞 constituye una condición necesaria de 𝑝. Se simboliza
de esta forma, 𝑝 ⟹ 𝑞 La manera más común de leer esto es, 𝑝 entonces 𝑞, sin embargo, es correcto
también decir 𝑝 solo si 𝑞.
Un tipo diferente de situación es una en la que una afirmación es verdadera si 𝑞 lo es, pero
𝑝 puede ser verdadera también cuando 𝑞 no lo es. En este caso, se dice que 𝑞 es una condición
suficiente para 𝑝. La verdad de 𝑞 es suficiente para establecer la verdad de 𝑝, pero no es una
condición necesaria para p. Se representa de la siguiente manera: 𝑝 ⟸ 𝑞 .
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
23
5.2. Condiciones de no singularidad
La condición principal es que sea una matriz cuadrada, la cual representa una condición
necesaria mientras que la condición suficiente es la no singularidad de una matriz (las columnas
son LI). Ejemplo:
3
𝐴 = [0
6
𝑉1′
4 5
1 2 ] = [𝑉2′ ]
8 10
𝑉3′
Como podemos expresar que el tercer renglón es una Lineal del 1er renglón, por ende, son
linealmente dependientes, por ende, concluimos que no existirá una solución única.
5.3. Rango de una matriz
El rango de una matriz de dimensiones 𝑚 × 𝑛 puede ser 𝑚 𝑜 𝑛, cualquier que sea el más
pequeño, mientras que si hablamos de una matriz de dimensión mayor una inspección visual podría
no ser lo más óptimo, se requiere un método más formal. Un método para hallar el rango de una
matriz A, es decir, para determinar el número de renglones independientes en A, implica
transformar en una matriz escalonada mediante operaciones en los renglones.
➔ Operaciones elementales en los renglones de una matriz:
•
Intercambio de dos renglones cualesquiera en la matriz.
•
Multiplicación (o división) de un renglón por algún escalar k
•
Suma de “k veces cualquier renglón” a otro renglón.
5.4. Prueba de no singularidad mediante el uso del determinante
El determinante de una matriz cuadrada A, es un escalar. Haciendo aclaración en que el
determinante solo se puede hallar en matrices que sean de orden 𝑛 × 𝑛, es decir que sean
cuadradas. Para una matriz 2x2 su determinante se define:
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
24
𝑎
|𝐴| = [ 11
𝑎 21
𝑎12
𝑎 22 ] = 𝑎11 𝑎 22 − 𝑎 21 𝑎12 = 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
Si se tienen renglones linealmente dependientes, la determinante será cero. El valor de un
determinante no puede ser no solo un criterio para probar la independencia lineal de los renglones,
sino puede ser una entrada al cálculo de la inversa, si es que existiera.
5.5. Propiedades básicas de los determinantes
•
Propiedad I: El intercambio de renglones y columnas no afecta el valor de un determinante.
[
•
𝑎
𝑎 𝑏
]= [
𝑏
𝑐 𝑑
𝑐
] = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑑
Propiedad II: El intercambio de dos renglones cualesquiera modificará el signo, pero no el
valor numérico del determinante.
[
𝑎
𝑐
𝑏
] = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑑
𝑐
[
𝑎
•
𝑑
] = 𝑐𝑏 − 𝑎𝑑 = −(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)
𝑏
Propiedad III: La multiplicación de cualquier renglón (o columna) por un escalar k
cambiará el valor del determinante k veces.
𝑘𝑎
[
𝑐
•
𝑘𝑏
𝑎
] = 𝑘𝑎𝑑 − 𝑘𝑏𝑐 = 𝑘(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) = 𝐾 [
𝑑
𝑐
𝑏
]
𝑑
Propiedad IV: Si un renglón es un múltiplo de otro renglón, el valor del determinante será
cero.
2𝑎
[
𝑎
2𝑏
] = 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏 = 0
𝑏
5.6. Obtención de la matriz inversa
❖ La expansión de un determinante por cofactores ajenos, siempre produce un valor de cero.
Ejemplo.
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
25
4
El determinante de: 𝐴 = [5
1
1 2
2 1]
0 3
|𝐶21 | = − [ 1 2] = −3
0 3
|𝐶22 | = − [ 4 2] = 10
1 3
|𝐶23 | = − [ 4 1] = 1
1 0
Obtenemos:
4(−3) + 1(10) + 2 (1) = 0
Esta propiedad es válida para determinantes de todos los órdenes y se aplica cuando se
desarrolla un determinante por cofactores ajenos de cualquier renglón o columna.
❖ Inversión de matriz
Suponga que se tiene la matriz no singular A de 𝑛 × 𝑛
𝑎11 𝑎12
𝑎 21 𝑎 22 ⋯
[
𝐴=
⋮
⋱
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 ⋯
𝑎1𝑛
𝑎 2𝑛
⋮ ]
𝑎 𝑛𝑛
(|𝐴| ≠ 0)
Puesto que cada elemento de A tiene un cofactor, se puede formar una matriz de cofactores
al sustituir cada elemento por su cofactor
|𝐶11 | |𝐶21 |
⋯
|𝐶12 | |𝐶22 |
[
𝐶′ ≡ 𝑎𝑑𝑗𝐴 ≡
⋮
⋱
|𝐶1𝑛 | |𝐶2𝑛 | ⋯
|𝐶𝑛1 |
|𝐶𝑛2 |
]
⋮
|𝐶𝑛𝑛 |
Las matrices A y C' son conformarles en relación con la multiplicación, y su producto AC’
es otra matriz de n x n, en la cual cada elemento es una suma de productos.
𝑛
𝑛
𝑛
∑ 𝑎1𝑗 |𝐶1𝑗 | ∑ 𝑎1𝑗 |𝐶2𝑗 |
𝑗=1
𝑛
𝐴𝐶 ′ =
𝑗=1
𝑛
∑ 𝑎1𝑗 |𝐶𝑛𝑗 |
⋯
𝑗=1
𝑛
∑ 𝑎 2𝑗 |𝐶1𝑗 | ∑ 𝑎 2𝑗 |𝐶2𝑗 |
∑ 𝑎 2𝑗 |𝐶𝑛𝑗 |
𝑗=1
𝑗=1
𝑛
𝑗=1
⋮
𝑛
⋱
∑ 𝑎 𝑛𝑗 |𝐶1𝑗 | ∑ 𝑎 𝑛𝑗 |𝐶2𝑗 | ⋯
[𝑗=1
𝑗=1
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
𝑛
⋮
∑ 𝑎 𝑖𝑗 |𝐶𝑛𝑗 |
𝑗=1
]
26
=
|𝐴|
[0
0
0
|𝐴|
⋮
⋯
⋱
⋯
0
0
1 0
⋯
0] | | 0 1
= 𝐴 [
⋮
⋱
⋮
|𝐴|
0 0 ⋯
0
0] = |𝐴|𝐼
𝑛
⋮
1
Como el determinante |𝐴| es un escalar no nulo, es correcto dividir ambos lados de la
ecuación 𝐴𝐶 ′ = |𝐴| 𝐼 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 |𝐴| → 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠:
𝐴𝐶′
=𝐼
|𝐴|
Si se pre multiplican ambos lados de la última ecuación por 𝐴 −1 y se utiliza el resultado
𝐴−1 𝐴, se obtiene:
𝐴−1 =
1
𝑎𝑑𝑗𝐴 → 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴
|𝐴|
5.7. Regla de Cramer
Dado un sistema de ecuaciones 𝐴𝑥 = 𝑑, donde A es de 𝑛 × 𝑛, la solución se puede escribir
como:
𝑥 ∗ = 𝐴 −1 =
1
(𝑎𝑑𝑗𝐴 ) 𝑑
|𝐴|
Siempre que A no sea singular
𝑛
∑ 𝑑𝑖 |𝐶𝑖1 |
|𝐶11 |
𝑥1∗
∗
1 |𝐶12 |
𝑥
[ 2] =
[
|𝐴|
⋮
⋮
|𝐶1𝑛 |
𝑥 ∗𝑛
|𝐶21 |
|𝐶22 |
𝑖=1
𝑛
|𝐶𝑛1| 𝑑1
⋯
1 ∑ 𝑑𝑖 |𝐶𝑖2 |
|𝐶𝑛2| 𝑑2
][ ] →=
⋮
|𝐴| 𝑖=1
⋱
⋮
|𝐶2𝑛 | ⋯ |𝐶𝑛𝑛 | 𝑑𝑛
⋮
𝑛
∑ 𝑑𝑖 |𝐶𝑖𝑛|
[ 𝑖=1
]
Al igualar los elementos correspondientes en ambos lados de la ecuación, obtenemos los
valores solución
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
27
𝑛
𝑥1∗
1
=
∑ 𝑑𝑖 |𝐶𝑖1 |
|𝐴|
𝑛
𝑥 ∗2
𝑖=1
1
=
∑ 𝑑𝑖 |𝐶𝑖2 | , (𝑒𝑡𝑐).
|𝐴|
𝑖=1
Reemplazando por el determinante |𝐴1 | obteniendo:
𝑥1∗ =
1
|𝐴 |
|𝐴| 1
De tal forma que la solución al sistema 𝐴𝑥 = 𝑑 se expresa como:
𝑎11
|
|
𝐴
1
𝑎
𝑗
| 21
𝑥𝑗∗ =
=
|𝐴| |𝐴|
⋮
𝑎 𝑛1
𝑎12 ⋯
𝑎 22 ⋯
⋱
⋮
𝑎 𝑛2 ⋯
𝑑1
𝑑1
⋮
𝑑1
⋯
⋯
⋱
⋯
𝑎1𝑛
𝑎 2𝑛
|
⋮
𝑎 𝑛𝑛
(𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑
Mientras el método de inversión de matriz produce los valores solución de todas las
variables endógenas a la vez (x* es un vector), la regla de Cramer sólo nos da el valor solución de
una variable endógena a la vez (x* es un escalar); por esta razón puede no ser eficaz.
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)
28
6.
Referencias
Chiang, A., & Wainwright, K. (2007). Metodos fundamentales de economía matemática. Mexico:
McGraw-Hill Interamericana editores.
Resumen parafraseado cap1 – cap5 (Chiang & Wainwright, 2007)