Universidad de Santiago de Compostela Facultad de Biologı́a Matemáticas para Biologı́a Grado en Biologı́a Curso 2019-20 Boletı́n de ejercicios 4 1. A continuación se presenta una lista de algunas ecuaciones diferenciales, junto con alguno de los campos en los que se aplican. Clasifica cada una de ellas como ecuación diferencial ordinaria (EDO) o ecuación en derivadas parciales (EDP), proporciona el orden e indica las variables dependientes e independientes. Si la ecuación diferencial es ordinaria, señala si es lineal o no lineal. dp = kp, k > 0 dt (Ecuación de Malthus. Dinámica de poblaciones) a) dp = ap − bp2 , a > 0, b > 0 dt (Ecuación logı́stica. Epidemiologı́a) b) dx = −kx, k > 0 dt (Ley de la desintegración radiactiva. Determinación de edades arqueológicas) c) dT = −k(T − M ), k > 0, M ∈ R dt (Ley de enfriamiento de Newton. Medicina forense) d) dL = k(L∞ − L), k > 0, L∞ > 0 dt (Ecuación de von Bertalanffy. Determinación de longitudes de peces) e) dx = α(p − x)(q − x), α > 0, p > 0, q > 0 dt (Velocidad de una reacción quı́mica de orden 2. Cinética quı́mica) ( ( )2 ) dy g) y 1 + = c, c > 0 dx (Problema de la braquistócrona. Cálculo de variaciones) f) d2 y dy +b + ky = F0 cos γt, m > 0, b > 0, k > 0, F0 ≥ 0, γ ≥ 0 dt2 dt (Ecuación de las vibraciones mecánicas forzadas. Mecánica, circuitos eléctricos) ( 2 ) ∂u ∂ u ∂2u ∂2u i) −k + + = 0, k > 0 ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (Ecuación del calor. Dinámica de fluidos, fenómenos de difusión de calor y de contaminantes) ( 2 ) ∂2u ∂ u ∂2u ∂2u 2 j) 2 − c + 2 + 2 = 0, c ∈ R ∂t ∂x2 ∂y ∂z (Ecuación de ondas. Elasticidad, fenómenos de propagación de ondas acústicas o electromagnéticas) h) m ∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 ∂x2 ∂y ∂z (Ecuación de Laplace. Teorı́a del potencial, fenómenos calorı́ficos o de propagación de ondas estacionarios) k) 2. En cada uno de los siguientes casos comprueba que la función dada es solución de la correspondiente ecuación diferencial. Determina luego un valor de la constante C de modo que la solución satisfaga la condición inicial dada: a) y(x) = Ce−x , y ′ + y = 0, (0, 2) b) y(x) = Ce2x , y ′ = 2y, (0, 3) c) y(x) = Ce−x + x − 1, y ′ = x − y, (0, 10) d) y(x) = Ce−x , y ′ + 3x2 y = 0, (0, 7) 3 e) y(x) = ln(x + C), ey y ′ = 1, (0, 0) f) y(x) = (x + C) cos x, y ′ + y tg x = cos x, (π, 0) 3. Prueba que f (x) = Ce3x + 1 es solución de la EDO y ′ − 3y = −3 para cualquier elección de la constante C. Determina el valor de C para que se satisfaga la condición inicial en los siguientes casos: a) y(0) = 2 b) y(1) = 1 4. Prueba que f (x) = C1 e−3x + C2 e2x es solución de la EDO y ′′ + y ′ − 6y = 0 para cualquier elección de las constantes C1 y C2 . Determina los valores de C1 y C2 para que se satisfagan las condiciones iniciales en los siguientes casos: a) y(0) = 2, y ′ (0) = 1 b) y(1) = 1, y ′ (1) = 0 5. Obtén la solución general de las siguientes EDOs: a) y ′ = y 2 b) y ′ = y 5 4 d) y ′ = 3x2 (1 + y 2 ) e) y ′ = −x2 2y c) y ′ = (3 − y)(2 − y) f) y ′ = 8x3 e−2y 6. En los casos siguientes, resuelve el PVI indicado: a) y ′ = y 2 , y(1) = 2 c) y ′ = −x2 , y(0) = 2 2y b) y ′ = (3 − y)(2 − y), y(1) = 3 d) y ′ = 8x3 e−2y , y(1) = 0 7. Obtén la solución general de las siguientes EDOs: a) y ′ = 3x2 y b) y ′ = −2y + 3ex d) y ′ = −4y + e−x e) x3 y ′ + 3x2 y = x y + xex x f) y ′ cos x + y sen x = 2x cos2 x c) y ′ = 8. En los casos siguientes, resuelve el PVI indicado: 4 y + xex , y(1) = e − 1 b) y ′ = −4y + e−x , y(0) = x 3 c) x3 y ′ + 3x2 y = x, y(2) = 0 d) y ′ cos x + y sen x = 2x cos2 x, y(0) = 3 a) y ′ = 9. Resuelve los PVIs, cuyas ecuaciones surgen en genética, siguientes: dv v =k , siendo k ̸= 0; v(0) = 1 dt 2−v ( )m dy y−1 b) =L 1− , siendo L > 0, M > 0, m = 1, 2, 3; y(0) = 1 dx M a)
