Operaciones con Matrices Matriz Inversa Matrices CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Una Matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos horizontalmente en filas y verticalmente en columnas. CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Una Matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos horizontalmente en filas y verticalmente en columnas. a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n = aij m×n A= . . .. .. am1 am2 . . . amn CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Una Matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos horizontalmente en filas y verticalmente en columnas. a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n = aij m×n A= . . .. .. am1 am2 . . . amn Conjunto de Matrices Mm×n (R) = {A/A es una matriz de orden m × n con elementos reales} Mn (R) = {A/A es una matriz (Cuadrada) con elementos reales} CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Tipos de Matrices Matriz Fila CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Tipos de Matrices Matriz Fila Matriz Columna CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Tipos de Matrices Matriz Fila Matriz Columna Matriz Diagonal CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Tipos de Matrices Matriz Fila Matriz Columna Matriz Diagonal Matriz Antidiagonal CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Tipos de Matrices Matriz Fila Matriz Columna Matriz Diagonal Matriz Antidiagonal Matriz Triangular Superior CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Tipos de Matrices Matriz Fila Matriz Columna Matriz Diagonal Matriz Antidiagonal Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Tipos de Matrices Matriz Fila Matriz Columna Matriz Diagonal Matriz Antidiagonal Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior Matriz Traspuesta CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Tipos de Matrices Matriz Fila Matriz Columna Matriz Diagonal Matriz Antidiagonal Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior Matriz Traspuesta Matriz Simétrica CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Tipos de Matrices Matriz Fila Matriz Columna Matriz Diagonal Matriz Antidiagonal Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior Matriz Traspuesta Matriz Simétrica Matriz Antisimétrica CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Tipos de Matrices Matriz Fila Matriz Columna Matriz Diagonal Matriz Antidiagonal Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior Matriz Traspuesta Matriz Simétrica Matriz Antisimétrica Matriz Identidad CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Tipos de Matrices Matriz Fila Matriz Columna Matriz Diagonal Matriz Antidiagonal Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior Matriz Traspuesta Matriz Simétrica Matriz Antisimétrica Matriz Identidad Matriz Nula CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Dos matrices Am×n y Bp×q se dice que son iguales si y solo si m = p, n = q, y aij = bij , con i = 1, ..., m; j = 1, ..., n CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Dos matrices Am×n y Bp×q se dice que son iguales si y solo si m = p, n = q, y aij = bij , con i = 1, ..., m; j = 1, ..., n Ejercicios En cada caso hallar los valores de a, b, c y d, si existen, constantes reales, tales que: 2 −3 −1 a + 2a −1 1 = , en M2 (R) b 2 1+a 2 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Dos matrices Am×n y Bp×q se dice que son iguales si y solo si m = p, n = q, y aij = bij , con i = 1, ..., m; j = 1, ..., n Ejercicios En cada caso hallar los valores de a, b, c y d, si existen, constantes reales, tales que: 2 −3 −1 a + 2a −1 1 = , en M2 (R) b 2 1+a 2 2 a + 2a −1 3 −1 2 = , en M2 (R) b 2 1+a 2 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Dos matrices Am×n y Bp×q se dice que son iguales si y solo si m = p, n = q, y aij = bij , con i = 1, ..., m; j = 1, ..., n Ejercicios En cada caso hallar los valores de a, b, c y d, si existen, constantes reales, tales que: 2 −3 −1 a + 2a −1 1 = , en M2 (R) b 2 1+a 2 2 a + 2a −1 3 −1 2 = , en M2 (R) b 2 1+a 2 2 2 a + 2a + b −1 a + 1 2c 3 = , en M2 (R) a+b+c 2 b d CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Suma de Matrices Sean A = [aij ] y B = [bij ] matrices de orden m × n, entonces la suma de A y B es la matriz definida por: A + B = [aij + bij ] = [cij ] = C , donde C es una matriz de orden m×n CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Suma de Matrices Sean A = [aij ] y B = [bij ] matrices de orden m × n, entonces la suma de A y B es la matriz definida por: A + B = [aij + bij ] = [cij ] = C , donde C es una matriz de orden m×n Ejercicios Calcular 2 3 4 −7 2 −1 1 + 1 0 2 2 −3 0 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Suma de Matrices Sean A = [aij ] y B = [bij ] matrices de orden m × n, entonces la suma de A y B es la matriz definida por: A + B = [aij + bij ] = [cij ] = C , donde C es una matriz de orden m×n Ejercicios Calcular 2 3 1 1 0 9 2 −5 0 4 2 1 2 2 8 −7 2 −1 + 2 −3 0 1 − 3 −3 6 0 2 3 + 0 −4 5 2 1 1 −4 0 3 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Propiedades Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces: 1 (A + B) + C = A + (B + C ) CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Propiedades Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces: 1 (A + B) + C = A + (B + C ) 2 A+B =B +A CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Propiedades Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces: 1 (A + B) + C = A + (B + C ) 2 A+B =B +A 3 A+0=A CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Propiedades Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces: 1 (A + B) + C = A + (B + C ) 2 A+B =B +A 3 A+0=A 4 A + (−A) = 0, matriz nula de orden m × n. CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Propiedades Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces: 1 (A + B) + C = A + (B + C ) 2 A+B =B +A 3 A+0=A 4 A + (−A) = 0, matriz nula de orden m × n. 5 k(A + B) = kA + kB CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Propiedades Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces: 1 (A + B) + C = A + (B + C ) 2 A+B =B +A 3 A+0=A 4 A + (−A) = 0, matriz nula de orden m × n. 5 k(A + B) = kA + kB 6 (k + t)A = kA + tA CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Multiplicación por escalar Sean k ∈ R y A = [aij ] ∈ Mm×n (R), entonces: k · A = A · k = k[aij ] CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Multiplicación por escalar Sean k ∈ R y A = [aij ] ∈ Mm×n (R), entonces: k · A = A · k = k[aij ] Ejercicios Calcular 1 1 2 · 3 3 4 2 3 0 − 12 −2 0 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Multiplicación por escalar Sean k ∈ R y A = [aij ] ∈ Mm×n (R), entonces: k · A = A · k = k[aij ] Ejercicios Calcular 1 1 2 · 3 2 2 3 0 − 12 3 0 4 −2 1 5 √π (−5) · 0 13 3 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Multiplicación Sean Am×n = [aij ] y Bn×q = [bij ], definimos el producto entre A y n X B como la matriz: A · B = [cij ]m×q , donde cij = aik bkj k=1 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Multiplicación Sean Am×n = [aij ] y Bn×q = [bij ], definimos el producto entre A y n X B como la matriz: A · B = [cij ]m×q , donde cij = aik bkj k=1 Ejercicios Calcular, si es posible: 2 −2 1 2 3 1 · 1 0 6 5 4 3 1 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Multiplicación Sean Am×n = [aij ] y Bn×q = [bij ], definimos el producto entre A y n X B como la matriz: A · B = [cij ]m×q , donde cij = aik bkj k=1 Ejercicios Calcular, si es posible: 2 −2 1 2 3 1 · 1 0 6 5 4 3 1 2 −2 1 2 3 2 1 0 · 6 5 4 3 1 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Multiplicación Sean Am×n = [aij ] y Bn×q = [bij ], definimos el producto entre A y n X B como la matriz: A · B = [cij ]m×q , donde cij = aik bkj k=1 Ejercicios Calcular, si es posible: 2 −2 1 2 3 1 · 1 0 6 5 4 3 1 2 −2 1 2 3 2 1 0 · 6 5 4 3 1 2 −1 5 0 −1 5 3 · 2 2 1 7 21 3 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Diremos que las matrices A y B conmutan si y solo si AB = BA CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Diremos que las matrices A y B conmutan si y solo si AB = BA Teorema Si cada suma y producto existe, se cumple: 1 A(BC ) = (AB)C CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Diremos que las matrices A y B conmutan si y solo si AB = BA Teorema Si cada suma y producto existe, se cumple: 1 A(BC ) = (AB)C 2 (A + B)C = AC + BC CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Diremos que las matrices A y B conmutan si y solo si AB = BA Teorema Si cada suma y producto existe, se cumple: 1 A(BC ) = (AB)C 2 (A + B)C = AC + BC 3 D(E + F ) = DE + DF CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Diremos que las matrices A y B conmutan si y solo si AB = BA Teorema Si cada suma y producto existe, se cumple: 1 A(BC ) = (AB)C 2 (A + B)C = AC + BC 3 D(E + F ) = DE + DF 4 AIn = A, Im A = A, A ∈ Mm×n CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Ejercicios −2 31 Dadas A = −π 0 1 −3 2 C = 2 0 −6 1 √ 3 0 −1 3 2 , √ , B = 2 1 − 2 0 5 Calcular, si es posible: 1 (A + B)C 2 AC 3 CB CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Si A es una matriz cuadrada de orden n. Se define, por recurrencia, la potencia de una matriz A0 = In Ak+1 = Ak · A , k ∈ N0 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Si A es una matriz cuadrada de orden n. Se define, por recurrencia, la potencia de una matriz A0 = In Ak+1 = Ak · A , k ∈ N0 Ejercicios Dada la matriz 1 2 , calcular A0 , A1 , A2 , A3 , A4 0 −1 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Si A es una matriz cuadrada de orden n y p(x) = m X ai x i un i=0 polinomio con coeficientes en R, entonces se define p evaluado en A como m X p(A) = ai Ai i=0 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Definición Si A es una matriz cuadrada de orden n y p(x) = m X ai x i un i=0 polinomio con coeficientes en R, entonces se define p evaluado en A como m X p(A) = ai Ai i=0 Ejercicios Dada la matriz A = 1 2 0 −1 y el polinomio p(x) = x 3 + 3x + 1. Calcular p(A). CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Ejercicio Matriz Inversa Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si: AB = BA = In CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Ejercicio Matriz Inversa Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si: AB = BA = In Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y solo si existe su inversa. CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Ejercicio Matriz Inversa Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si: AB = BA = In Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y solo si existe su inversa. Si existe una inversa de A ella es única. CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Ejercicio Matriz Inversa Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si: AB = BA = In Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y solo si existe su inversa. Si existe una inversa de A ella es única. Teorema 1 Si A es regular, entonces su inversa es única. CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Ejercicio Matriz Inversa Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si: AB = BA = In Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y solo si existe su inversa. Si existe una inversa de A ella es única. Teorema 1 Si A es regular, entonces su inversa es única. 2 Si A es regular, entonces A−1 es regular y (A−1 )−1 = A CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Ejercicio Matriz Inversa Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si: AB = BA = In Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y solo si existe su inversa. Si existe una inversa de A ella es única. Teorema 1 Si A es regular, entonces su inversa es única. 2 3 Si A es regular, entonces A−1 es regular y (A−1 )−1 = A Si A y B son regulares, entonces AB es regular y (AB)−1 = B −1 A−1 CCBB Matrices Operaciones con Matrices Matriz Inversa Ejercicio Ejercicio 0 1 3 −1 −1 Si A = . Verifique que A = −1 3 1 0 CCBB Matrices