NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
DAVID R. RIVEROS
Estas notas sirven como complemento al curso Mate 1203.
1. Funciones reales.
1.1. Representación de funciones.
Definición 1. Una función es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto D
exactamente un elemento y = f (x) en un conjunto E.
Nota. El conjunto D (respectivamente E) de la definición anterior se denomina Dominio
de f (resp Rango de f ). En este curso consideraremos que D, E ⊆ R.
Definición 2. Dada una función f : D → E, la gráfica de la función f es un subconjunto
de D × E definido de la siguiente forma
Graf (f ) = {(x, f (x) : x ∈ D} ⊆ D × E.
Es decir que en el caso particular que nos concierne
Graf (f ) ⊆ R2 .
Ejemplo. Bosquejar la gráfica de la función g(x) =
x2 − 1
y hallar su dominio e imagen.
x+1
Solución Teniendo en cuenta que x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) podemos concluir que
g(x) =
x2 − 1
(x + 1)(x − 1)
=
.
x−1
x−1
La siguiente pregunta es si g(x) = x + 1?, la respuesta es no, ya que la función f (x) = x + 1
está definida para todo número real, mientras que la función g(x) no está definida en
x = 1, sin embargo f (x) = g(x) para todo x 6= 1, la gráfica de g(x) coinciden excepto en
x = 1 donde g no está definida. Al observar la grafica (Figura 1) se puede concluir que
Dom(g) = R \ {1}, mientras que Im(g) = R \ {2}.
Ejemplo. Dado f (x) = 2x2 − 5x y h 6= 0, evalué y simplifique la siguiente expresión.
f (a + h) − f (a)
.
h
Date: Enero del 2016.
1
2
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y
2
1
Figure 1. La gráfica de g(x) =
x
x2 − 1
.
x−1
Solución. Consideremos la expresión f (a+h) = 2(a+h)2 −5(a+h) = 2a2 +4ah+h2 −5a−5h,
remplazando en la expresión original se tiene
f (a + h) − f (a)
2a2 + 4ah + h2 − 5a − 5h − 2a2 + 5a
=
h
h
4ah + 2h2 − 5h
= 4a + 2h − 5
h
Ejemplo. Una caja rectangular sin tapa tiene un volumen fijo de 10mt3 . La longitud de
su base es el doble que su ancho. El costo del material de la base es de 10 unidades por
metro cuadrado, mientras que el costo del material para los lados es de 6 unidades por
metro cuadrado. Exprese el costo del material en termino del ancho de la base.
Solución. Mediante un simple dibujo, establecemos las variables a usar (ver Figura 2).
Como la función costo depende del area de la caja, la misma depende de las variables l
(longitud de la base), w (ancho de la base) y h (alto de la caja).
. El costo de la caja (C) es igual a
C = 10lw + 6(2lh + 2wh) = 10lw + 12h(l + w)
Deseamos entonces poder expresar a las variables l y h en función de w, para esto recordamos de el enunciado que ”la longitud de su base es el doble de su ancho”, es decir l = 2w,
mientras que el volumen de la caja es 10mt3 o de forma similar lwh = 10. De lo anterior
obtenemos que 2w2 h = 10 o h = 5/w2 remplazando estos valores en la equación de C se
NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
3
h
w
l
Figure 2. La figura de la caja.
obtiene que
C(w) = 10w(2w) + 12(5/w2 )(2w + w)
= 20w2 + 180/w.
Ejemplo. Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones.
√
a) f (x) = x + 2.
1
b) g(x) = 2
.
x −x
Solución.
√
a) Claramente la expresión x + 2 está definida si x + 2 ≥ 0, lo que es equivalente a
x ≥ −2. Por lo que se concluye que Dom(f ) = [−2, ∞).
b) En este caso debemos eliminar los valores de x para los que el denominador se hace
zero. Consideremos la equación x2 − x = x(x − 1) = 0 cuya solución es x = 0 o
x = 1, por lo que se concluye que Dom(g) = R \ {0, 1}.
1.2. Funciones definidas por casos. En todos los ejemplos anteriores las funciones han
sido definidas por expresiones algebraicas, pero esto no es siempre el caso.
Ejemplo. Consideremos la siguiente expresión para la función f (x)
(
1 − x2 si x ≤ 1
f (x) =
x2
si x > 1,
hallar la grafica de f (x).
Solución. Primero consideramos la función 1 − x2 en el intervalo (−∞, 1] (la gráfica se ve
en la figura 3 en rojo), finalmente consideramos la gráfica de la función x2 en el intervalo
(1, ∞) (la gráfica se ve en la figura 3 en azul).
Definición 3. Una función real f se dice:
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y
x2
1 − x2
x
Figure 3. Una gráfica de una función por casos.
a)
b)
c)
d)
función
función
función
función
par si f (−x) = f (x),
impar si f (−x) = −f (x),
creciente si f (a) < f (b) siempre que a < b.
decreciente si f (a) > f (b) siempre que a < b.
1.3. Algunos Ejercicios.
(1) Dada la función f (x) = 1/x calcule
f (x) − f (a)
.
x−a
Solución.
1 1
a−x
−
f (x) − f (a)
= x a = ax
x−a
x−a
x−a
a−x
−1
=
=
(x − a)ax
ax
(2) Hallar el dominio de la función h(x) =
√ 1
.
x2 −5x
Solución. Para que la expresión tenga sentido, se debe satisfacer que: x2 − 5x =
x(x − 5) > 0. Evaluemos esto por casos
NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
5
• Si x < 0 entonces x − 5 < 0 por lo que x(x − 5) > 0.
• Si 0 < x < 5, se sigue satisfaciendo que x − 5 < 0, por lo que x(x − 5) < 0.
• Si x > 5 se tiene que x − 5 > 0, entonces x(x − 5) > 0.
De lo anterior se deduce que Dom(h) = (−∞, 0) ∪ (5, ∞).
2. Algunas funciones elementales.
Una lista de funciones elementales son:
i) (Funciones polinomiales) f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a + 0.
ii) (Funciones racionales) f (x) = P (x)/Q(x) donde P (x) y Q(x) son polinomios y
Q(x) 6= 0.
iii) (Funciones Algebraicas) Estas son funciones que se pueden obtener aplicando operaciones algebraicas
a polinomios, como ejemplos de estas tenemos:
√
a) f (x) =
3 2
1x
.
1+2x+x
q3
1
2−x
x +
3−x .
b) f (x) =
iv) (Funciones Trigonométricas) sen(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), cos(x) por mencionar algunas.
v) (Funciones exponenciales) f (x) = ax donde a es una constante estrictamente positiva.
2.1. Ejercicios.
i) Hallar una expresión para una función cubica f (x) que satisface f (1) = 6 y
f (−1) = f (0) = f (2) = 0.
Solución.
Note que el hecho que f (1) = 6 y f (−1) = f (0) = f (2) = 0 implica que
f (x) = Kx(x + 1)(x − 2) donde K es una constante, para calcular el valor de la
constante usamos el hecho que f (1) = 6 = K(1)(1 + 1)(1 − 2) = −2K, es decir que
K = −3 y por lo tanto
f (x) = −3x(x + 1)(x − 2).
ii) Suponga que el gerente de una fabrica halla que el costo por dı́a al fabricar 100
sillas es de $2200, mientras que el costo por dı́a al fabricar 300 sillas es de $4800.
a) Exprese el costo como función del número de sillas, asumiendo que este es
lineal y esboce su gráfica.
b) Que representa la pendiente de esta función?.
c) Que representa el intercepto de la gráfica y = f (x) con el eje y?.
Solución.
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a) podemos calcular la pendiente de la función lineal f (x) como:
4800 − 2200
m=
= 13,
300 − 100
por lo que se puede concluir que f (x) = 13(x − 100) + 2200 o de forma equivalente f (x) = 13x + 900.
b) m = 13 es el costo de producir una silla más.
c) $900 es el costo de abrir la fabrica un dı́a, sin producir ninguna silla.
3. Algebra de funciones.
Nos concentraremos en estas notas, en lo relevante a la composición de funciones y
dejamos a los estudiantes la lectura de las otras operaciones.
Definición 4. Dadas dos funciones f : R → R y g : R → R denotamos la composición de
f con g como la función f ◦ g : R → R y se define de la siguiente manera:
f ◦ g(x) = f (g(x)).
A continuación calcularemos varios ejemplos.
Ejemplo. Hallar expresiones para las siguientes composiciones
2
a) Dadas f (x) = x
√ y g(x) = x√− 3, calcular f ◦ g(x) y g ◦ f (x).
b) Dadas f (x) = x y g(x) = 2 − x, calcular f ◦ g(x), g ◦ f (x), f ◦ f (x) y g ◦ g(x).
x
c) Dadas f (x) = x+1
, g(x) = x10 y h(x) = x + 3, calcular f ◦ g ◦ h(x).
Solución. Usando la definición anterior se obtiene:
a) i)
f ◦ g(x) = f (g(x)) = f (x − 3) = (x − 3)2 .
ii)
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(x2 ) = x2 − 3.
b)
i)
√
f ◦ g(x) = f (g(x)) = f ( 2 − x) =
q
√
2−x=
√
4
2 − x.
ii)
√
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g( x) =
q
√
2 − x.
iii)
√
f ◦ f (x) = f (f (x)) = f ( x) =
q
√
x=
√
4
x.
iv)
√
g ◦ g(x) = g(g(x)) = g( 2 − x) =
q
2−
√
2 − x.
NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
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c)
f ◦ g ◦ h(x) = f (g ◦ h(x)) = f (g(x + 3)) = f (x + 3)10 =
(x + 3)10
.
(x + 3)10 + 1
Ejemplo. Hallar expresiones para f ◦ g(x), g ◦ f (x) y g ◦ g(x), donde f (x) =
√
g(x) = 3 1 − x.
√
x y
solución. De nuevo usamos la ultima definición y obtenemos:
i)
q
√
√
√
3
3
f ◦ g(x) = f (g(x)) = f ( 1 − x) =
1 − x = 6 1 − x.
ii)
√
g ◦ f (x) = f (g(x)) = g( x) =
q
√
3
1 − x.
iii)
√
3
q
√
3
g ◦ g(x) = g(g(x)) = g( 1 − x) = 1 − 3 1 − x.
√
Ejemplo. Dadas f (x) = x − 3, g(x) = x2 y h(x) = x3 + 2, hallar la expresión para
f ◦ g ◦ h(x).
Solución. Una ves más usamos la definición y obtenemos que
p
f ◦ g ◦ h(x) = f (g ◦ h(x)) = f g(x3 + 2) = f (x3 + 2)2 = (x3 + 2)2 − 3.
3.1. Algunos Ejercicios.
(1) Gráficar la función f (x) = |x2 − 2x|.
Solución. Consideremos la función elemental g0 (x) = x2 , operaremos algebraicamente g0 hasta lograr la funcı́on f .
i) Sea g1 (x) = g0 (x − 1) = (x − 1)2 .
ii) Sea g2 (x) = g1 (x) − 1 = (x − 1)2 − 1 = x2 − 2x.
iii) Finalmente f (x) = |g2 (x)|.
Gráficaremos las cuatro funciones en la Figura 4, notese que al tomar valor absoluto
el resultado sobre la gráfica de la función g2 (x) es reflejar sobre el eje x todo lo que
está por debajo del eje x.
(2) Gráficar la función f (x) = 1 +
√
3
x − 1.
Solución.
En este caso tomamos g0 (x) =
funciones;
√
3
x y definimos a partir de esta las siguientes
8
DAVID R. RIVEROS
y
y
(x − 1)2
x2
(x − 1)2 − 1
|x2 − 2x|
x
x
Figure 4. La gráfica de la función |x2 − 2x|.
y
√
3
x−1
√
3
x
√
3
x−1
1+
x
Figure 5. La gráfica de la función −e−x + 2.
• g1 (x) = g0 (x − 1).
• f (x) = 1 + g1 (x).
La gráfica de estas funciones se pueden ver en la figura 5.
4. La función Exponencial.
La función exponencial es de la forma f (x) = ax donde a es una constante estrictamente
positiva.
Podemos recordar las siguientes propiedades
Propiedad 1. Dados a, b ∈ R+ se sigue que:
NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
e−x
y
9
ex
x
−e−x + 2
−e−x
Figure 6. La gráfica de la función −e−x + 2.
i)
ii)
iii)
iv)
ax+y = ax ay .
ax−y = ax /ay .
(ax )y = axy .
(ab)x = ax by .
Suponga que deseamos gráficar la función f (x) = −2−x + 2.
Solución. Consideramos como función elemental g0 (x) = ex y la transformamos de la
siguiente forma:
• Sea g1 (x) = g0 (−x) = e−x , en este caso la gráfica de g1 (x) es la reflejada respecto
al eje y de la gráfica de g0 (x).
• Sea g2 (x) = −g1 (x) = −e−x , en este caso la gráfica de g2 (x) es la reflejada respecto
al eje x de la gráfica de g1 (x).
• Finalmente denotamos por f (x) = g2 (x) − 1 = −e−x + 2, en este caso la gráfica de
f (x) se obtiene desplazando 2 unidades verticalmente la gráfica de g2 (x).
Remitasé a la Figura 6.
4.1. Ejercicios.
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DAVID R. RIVEROS
(1) Hallar el Dominio de las siguientes funciones.
a) f (x) = sin(e−t ).
p
b) g(x) = 1 − 2t .
Solución.
a) Claramente Dom(f ) = R.
b) En este caso debemos tener en cuenta que 1 − 2t ≥ 0 o de forma equivalente
1 ≥ 2t , de donde se concluye que t ≤ 0, es decir que Dom(g) = (−∞, 0].
(2) Dada f (x) = 5x hallar una expresión para
f (x + h) − f (x)
.
h
Solución.
5x+h − 5x
f (x + h) − f (x)
=
h
h
h
5x 5h − 5x
x 5 −1
=
=5
.
h
h
(3) Un cultivo de bacterias (bajo condiciones ideales) tiene una población inicial de 500
y dobla su población cada media hora.
i) Cual es la población para la tercera hora?.
ii) Cual es la población luego de t horas?.
iii) Cual es la población luego de 40 minutos?.
Solución.
Todas la preguntas se pueden responder si tomamos la función popbación P (t)
en terminos del número de horas t. Note que P (0) = 500 y que P (1/2) = 2P (0),
en general P (t) = P (0)22t = 500 × 22t , las respuestas al item i) e ii) se obtiene
remplazando t = 3 y t = 2/3 en la anterior expresión.
5. La función inversa y funciones Logarı́tmicas.
Lo primero que se debe mencionar, es que no toda función real tiene una función inversa,
solo las funciones inyectivas tienen esta cualidad.
Definición 5. Dada f : R → R, la función se dice inyectiva o 1 − 1 si para todo x, z ∈
Dom(f ), f (x) = f (z) implica x = z.
Ejemplo 1.
a) Sea f (x) = x3 , como Dom(f ) = R, si a, b ∈ R satisfacen f (a) = f (b),
3
es decir a = b3 , queremos probar que esta última igualdad implica a = b o de forma
NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
11
equivalente que f (x) = x3 es una función 1-1. Note que a3 = b3 implica a3 − b3 = 0
sin embargo 0 = a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) luego a2 + ab + b2 = 0 o a − b = 0,
no es difı́cil probar que a2 + ab + b2 > 0 por lo que a − b = 0, lo cual demuestra que
la función f es inyectiva.
b) Ahora consideremos f (x) = x2 , en este caso usaremos un contra ejemplo para
demostrar que f No es inyective, dicho contra ejemplo es el siguiente:
f (1) = (1)1 = 1 = (−1)2 = f (−1)
1 6= −1.
Ahora definimos la función inversa para una función inyectiva.
Definición 6. Dada f : R → R inyectiva, denotamos por f −1 : R → R a la función inversa
de f , la cual definimos por:
para todo y ∈ Im(f ), f −1 (y) = x si, y solo si, f (x) = y
Pregunta 1. Hallar una expresión para f −1 (x) dado que:
a) f (x) = x.
b) f (x) = √
1/x.
c) f (x) = x.
Pregunta 2. Como se comporta la gráfica de f −1 (x) con respect a la gráfica de f (x)?.
Propiedad 2. Directamente de la definición se siguen las siguiente propiedades
i) Dom(f −1 ) = Im(f ).
ii) Dom(f ) = Im(f −1 ).
iii) f ◦ f −1 (y) = y para todo y ∈ Im(f ).
iv) f −1 ◦ f (x) = x para todo x ∈ Dom(f ).
Nota. Recuerde que f −1 denota la inversa de f , luego no es cierto que
1
.
f −1 (x) 6=
f (x)
Las funciones Logarı́tmicas son entonces las funciones inversas de las funciones exponenciales.
Dado a > 0 si f (x) = ax , entonces f −1 (x) = Loga (x), dicho de otra forma
Loga (x) = y ⇐⇒ ay = x.
Propiedad 3. Dado a, x, y > 0 y r ∈ R se tiene que:
a)
Loga (xy) = Loga (x) + Loga (y).
b)
x
= Log( x) − Loga (y).
Log
y
12
DAVID R. RIVEROS
c)
Loga (xr ) = rLoga (x).
5.1. Algunos ejercicios.
(1) Hallar una formula para la inversa de la función f (x) =
Dom(f −1 ) e Im(f −1 ).
4x−1
2x+3 .
De ser posible hallar
Solución. Note que Dom(f ) = Im(f −1 ) = R \ {−3/2}, ahora procedemos a
calcular una expresión para f −1 de forma algoritmica.
4x + 6 − 7 2(2x + 3) − 7
4x − 1
=
2x + 3
2x + 3
2x + 3
7
=2−
2x + 3
7
2−y =
2x + 3
1
2x + 3
=
2−y
7
7
= 2x + 3
2−y
7
7 − 3(2 − y)
1 + 3y
2x =
−3=
=
2−y
2−y
2−y
1 + 3y
.
x=
4 − 2y
y=
Despejando x
1+3y
De donde se concluye que f −1 (x) = 4−2y
y claramente Dom(f −1 ) = R \ {2}.
(2) Resuelva las siguientes ecuaciones para x.
a)
ln(x) + ln(x + 1) = 1.
b)
Ln(5 − 2x) = −3.
c)
e2x+3 − 7 = 0.
Solución.
a) Usando propiedades de los logaritmos tenemos que ln(x)+ln(x+1) = Ln(x(x+
1)) por lo que la ecuación a solucionar es ln(x2 + x) = 1. Usamos ahora que la
función ex y la función ln(x) son inversas la una de la otra para concluir que
x2 + x = e, la última ecuación es una cuadratica y el lector puede solucionarla
NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
de varias maneras, acá presentamos una de ellas.
x2 + x = e
x2 + x + 1/4 = e + 1/4 completando cuadrados
4e + 1
(x + 1/2)2 =
√ 4
x + 1/2 = ± 4e + 12 tomando raı́z
√
−1 ± 4e + 1
x=
2
b)
Ln(5 − 2x) = −3
5 − 2x = e−3
2x = 5 − e−3
x=
5 − e−3
.
2
c)
e2x+3 − 7 = 0
e2x+3 = 7
2x + 3 = Ln(7)
2x = Ln(7) − 3
x=
Ln(7) − 3
.
2
(3) Hallar el valor exacto de
a)
Log3 (100) − Log3 (18) − Log3 (50).
b)
e−2ln(5) .
Solución.
a)
100
18 × 50
1
= Log3
9
= −Log3 (9) = −2.
Log3 (100) − Log3 (18) − Log3 (50) = Log3
13
14
DAVID R. RIVEROS
b)
−2 )
e−2ln(5) = eLn(5
= 5−2 =
1
.
25
(4) Demostrar que:
Loga (x) =
Ln(x)
.
Ln(a)
Solución.
Denotemos por y = Loga (x), ası́ que ay = x y tomamos Ln a ambos lados de
esta última igualdad, de donde se obtiene
Ln(ay ) = yLn(a) = Ln(x)
y=
Ln(x)
.
Ln(a)
5.2. Funciones trigonométricas inversas. Esta subsección está escrita en forma de
taller, por lo que muchas de las pregunta se dejan como ejercicio para el lector.
Pregunta 3.
a) Como podemos restringir el Dominio de la función f (x) = sen(x)
de tal forma que esta sea inyectiva? [−π/2, π/2].
Cual es el Dominio e Imagen de f −1 (x)? Dom(f −1 (x)) = [−1, 1] mientras que
Im(f −1 (x)) = [−π/2, π/2].
Bosquejar la gráfica de f −1 (x).
y
π/2
sen−1 (x)
1
−π/2 −1
sen(x)
1
π/2 x
−1
−π/2
b) Realizar el mismo ejercicio ahora con la función g(x) = cos(x).
c) Realizar el mismo ejercicio una ves más para la función h(x) = tan(x)
NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
Pregunta 4. Calcular las siguientes expresiones:
a)
b)
c)
d)
√
sen−1 ( 3/2) = π/3.
√
sen−1(− 3/2 = −π/3.
√
cos−1 ( 2/2) = π/4.
√
cos−1 ( 2/2) = 3π/4.
e)
tan−1 (1) = π/4.
f)
tan−1 (0) = 0.
g)
h)
√
tan−1 ( 3) = π/3.
√
tan−1 (− 3) = −π/3.
Pregunta 5. Resolver las siguientes expresiones:
a)
sen−1 (sen(7π/3)) = π/3.
b)
sen(2sen−1 (3/5)) = 24/25.
c)
tan(sec−1 (4)) =
√
15.
Pregunta 6. Simplicar las siguientes expresiones:
a)
tan(sen−1 (x)) = √
x
.
1 − x2
b)
cos(2tan−1 (x)) = cos2 (tan−1 (x)) − sen2 (tan−1 (x)) =
c)
cos(sen−1 (x)) =
p
1 − x2 .
1
x1
1 − x2
−
=
.
1 + x2 1 + x2
1 + x2
15
16
DAVID R. RIVEROS
y
ex + 4
y=7
x
Figure 7. La gráfica de la función ex + 4.
6. Limites.
6.1. Calculo de limites.
Definición 7 (Definición intuitiva.). Dada una función real f de notamos por
Limx→a f (x) = L,
si los valores de f (x) se pueden tomar arbitrariamente cercanos a L, al tomar x suficientemente cerca a a (pero nunca x = a).
Tratemos de hacernos una idea de esta definición.
Ejemplo 2. Consideremos la función f (x) =
e2x +ex −12
,
ex −3
la pregunta es hallar
Limx→ln(3) f (x)
(ex + 4)(ex − 3)
e2x + ex − 12
=
= ex +4 de donde concluimos que
ex − 3
ex − 3
f (x) y ex + 4 coinciden en todo punto excepto cuando x = ln(3), podemos entonces hallar
la gráfica de f (veasé Figura 7) y concluir que
Solución. Notemos que
Limx→ln(3) f (x) = Limx→ln(3) ex + 4 = 7.
Ejemplo 3. Ahora consideremos la función
√
f (x) =
x2 + 9 − 3
.
x2
Y preguntemonos por Limx→0 f (x) =?.
Con un poco de algebra (multiplicación por el conjugado) podemos reescribir nuestra función
NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
17
de la siguiente forma:
√
f (x) =
√
x2
+9−3
=
x2
=√
La última ecuación implica que:
√
Limx→0
√
x2 + 9 − 3
x2 + 9 + 3
√
x2
x2 + 9 + 3
1
.
x2 + 9 + 3
1
x2 + 9 − 3
= Limx→0 √
2
x
x2 + 9 + 3
1
=
6
Ejemplo 4. Consideremos la función f (x) = sen(x)/x y nos deseamos preguntar por
Limx→0 f (x) =?. Nos remitimos al siguiente diagram
y
x2 + y 2 = 1
sen(x)
tan(x)
x
x
Del anterior diagram se obtiene que
tan(x)
x
sen(x)
≥ ≥
.
2
2
2
Es decir que
cos(x) ≤
sen(x)
≤ 1.
x
De lo anterior se concluye que:
1 = Limx→0 cos(x) ≤ Limx→0
sen(x)
≤ Limx→0 1 = 1.
x
Ejemplo 5. Consideremos Limx→0+ x13 , se puede concluir que este limite tiende a ∞?.
18
DAVID R. RIVEROS
Definición 8. La linea x = a se denomina asimptota vertical de la curva y = f (x) si
alguna de las siguiente se satistaca
a)
Limx→a f (x) = ∞.
b)
Limx→a− f (x) = ∞.
c)
Limx→a+ f (x) = ∞.
d)
Limx→a f (x) = −∞.
e)
Limx→a− f (x) = −∞.
f)
Limx→a+ f (x) = −∞.
6.1.1. Algunos ejercicios.
(1) Gráficar la siguiente función a trozos y y usar esta para determinar todos los valores
de a para los que Limx→a f (x) existe.
2 − x
f (x) = x
(x − 1)2
Solución.
si
si
si
x < −1
−1≤x<1
1≤x
NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
Considere la gráfica
y
x
Del anterior diagrama se concluye que Limx→a f (x) existe, si a ∈ R \ {−1, 1}.
(2) Calcular el siguiente limite.
Limx→1
x6 − 1
.
x10 − 1
Solución.
Notemos que:
Limx→1
(x − 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
x6 − 1
=
Lim
x→1
x10 − 1
(x − 1)(x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
6
= Limx→1 9
= .
8
7
6
5
4
3
2
x +x +x +x +x +x +x +x +x+1
10
7. algunas reglas para el calculo de Limites.
Propiedad 4. Suponga que c es una constante y que
Limx→a f (x) = L, Limx→a g(x) = M,
entonces los siguientes limites existen.
a)
Limx→a (f (x) = g(x)) = L + M.
19
20
DAVID R. RIVEROS
b)
Limx→a (f (x) − g(x)) = L − M.
c)
Limx→a (cf (x)) = cL.
d)
Limx→a (f (x)g(x)) = LM.
e)
Limx→a
f (x)
L
=
, si M 6= 0.
g(x)
M
f)
Limx→a (f (x))n = Ln para todo n ∈ N.
g)
Limx→a c = c y Limx→a x = a.
h)
Limx→a xn = an para todo n ∈ N.
i)
√
√
Limx→a n x = n a para todo n ∈ N
en el caso que n es par, se asume a > 0.
j)
p
√
n
Limx→a n f (x) = L para todo n ∈ N
en el caso que n es par, se asume L > 0.
k) Si f (x) es un ppolinomioo una función racional y a ∈ Dom(f (x)) entonces
Limx→a f (x) = f (a).
l) Si f (x) = h(x) cuando x 6= a
Limx→a h(x) = L.
Ahora listamos tres Teoremas de gran importancia a la hora de calcular limites.
Teorema 1.
Limx→a f (x) = L si, y solo si Limx→a− f (x) = L y Limx→a+ f (x) = L.
Teorema 2. Si f (x) ≤ g(x) para todo x cercano a a (excepto posiblemente en a) y tanto
Limx→a f (x) como Limx→a g(x) existen, se tiene que:
Limx→a f (x) ≤ Limx→a g(x).
Teorema 3. Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x cercano a a (excepto posiblemente en a)
y tanto Limx→a f (x) como Limx→a h(x) existen, más aún
Limx→a f (x) = Limx→a h(x) = L,
entonces se sigue que
Limx→a g(x) = L.
NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
21
7.0.1. Algunos ejercicios. Diga si los siguientes limites existen o no, en caso de existir
calcule su valor.
a)
Limx→4
x2 − 4x
.
x2 − 3x − 4
Solución.
Limx→4
x2 − 4x
x(x − 4)
= Limx→4
2
x − 3x − 4
(x − 4)(x + 1)
4
x
= .
= Limx→4
x+1
5
b)
Limx→−1
x2 − 4x
.
x2 − 3x − 4
Solución.
Limx→−1
x2 − 4x
x(x − 4)
= Limx→−1
2
x − 3x − 4
(x − 4)(x + 1)
x
= Limx→−1
,
x+1
notamos que el anterior limite no existe, má aún
x
= ∞.
x+1
x
Limx→−1+
= −∞.
x+1
Limx→−1−
c)
√
Limx→7
Solución.
x+2−3
.
x−7
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DAVID R. RIVEROS
√
Limx→7
√
√
( x + 2 − 3)( x + 2 + 3)
x+2−3
√
= Limx→7
x−7
(x − 7)( x + 2 + 3)
x−7
√
= Limx→7
(x − 7)( x + 2 + 3)
1
1
= Limx→7 √
= .
6
x+2+3
d)
Limh→0
(3 + h)−1 − 3−1
.
h
Solución.
Limh→0
1
−1
(3 + h)−1 − 3−1
= Limh→0 3+h 3
h
h
−h
= Limh→0
3h(3 + h)
−1
1
= Limh→0
=− .
3(h + 3)
9
El anterior limite es igual a la derivada de f (x) = x−1 evaluada en 3.
e)
Limt→0
1
1
√
−
t
t t+1
.
Solución.
Limt→0
1
1
−
t
t t+1
√
√
1− 1+t
√
= Limt→0
t t+1
√
√
(1 − 1 + t)(1 + 1 + t)
√
√
= Limt→0
t t + 1(1 + 1 + t)
−t
√
= Limt→0 √
t t + 1(1 + 1 + t)
−1
1
√
= Limt→0 √
=− .
2
t + 1(1 + 1 + t)
NOTAS Y EJEMPLOS PARA CALCULO DIFERENCIAL.
23
f)
Limx→0
x
.
|x|
Solución.
En este caso observamos que la grafica de la función f (x) = x/|x| es la siguiente
y
x/|x|
x
Del gráfo anterior se obtiene de forma immediata que:
x
= −1
|x|
x
= 1,
Limx→0+
|x|
Limx→0−
por lo que Limx→0 x/|x| no existe.
g)
Limx→4 g(x),
donde la función g(x) está dada por casos, de la siguiente forma:
(√
g(x) =
x−4
8 − 2x
si x > 4
si x < 4
Solución.
De nuevo consideramos la gráfica de la función g(x), que en este caso se ve de la
24
DAVID R. RIVEROS
siguiente forma
y
x
De lo anterior se concluye que Limx→4 g(x) = 0, sin embargo se también se puede
ver que
Limx→4− g(x) = Limx→4 8 − 2x = 0
√
Limx→4+ g(x) = Limx→4+ x − 4 = 0.
Por el Teorema 1 se concluye de igual forma que Limx→4 g(x) = 0.
