Módulo 3. OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO DIFUSA (Fuzzy Multiobjective Optimization) Patricia Jaramillo A. y Ricardo Smith Q. Instituto de Sistemas y Ciencias de la Decisión Facultad de Minas Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia La lógica difusa Es básicamente una lógica que permite valores intermedios para poder definir evaluaciones convencionales como sí/no, verdadero/falso, negro/blanco, etc La lógica difusa se inició en 1965 por Lotfi A. Zadeh, profesor de ciencia de computadoras en la Universidad de California en Berkeley. 1 En Japón la investigación sobre lógica difusa es apoyada ampliamente con un presupuesto enorme. En Europa y USA se están realizando esfuerzos para alcanzar al tremendo éxito japonés. Por ejemplo, la NASA emplea lógica borrosa para el complejo proceso de maniobras de acoplamiento. Conjuntos Booleanos Definamos un subconjunto A de X con todos números reales en el rango entre 5 y 8. A = [5,8], X ∈[0,10] función característica: asigna un número 1 o 0 al elemento en X, dependiendo de si el elemento está en el subconjunto A o no. 2 Conjuntos difusos B = {conjunto de gente joven} B = [0,20] ¿ por qué alguien es en su 20 cumpleaños joven y al día siguiente no? Operaciones con conjuntos difusos Sea A un intervalo difuso entre 5 y 8, y B un número difuso en torno a 4. Operación AND (Y) (intersección) del A y B A AND B = Min {A,B} 3 Operación OR (O) (unión) del A y B A OR B = Max {A,B} Operación NEGACION (A) A=1-A Análisis multiobjetivo Max Z(x)=(Z1(x),Z2(x)......Zq(x)) sujeto a: g1 (x) < b1 S(x) g2 (x) < b2 gk (x) < bk 4 Solución Pareto Optima Se dice que una solución x* es Pareto óptima si y solo si no existe otra x ∈ S, tal que Zi(x) ≥ Zi(x*) para todo i y Zj(x) ≠ menos un j Zj(x*) para alZ (x) 1 Producción económica ($) A Zmax c a d Zmin S B Hectáreas preservadas en estado satisfactorio I. Problema MO con Metas difusas La meta difusa se refiere a desear alcanzar una solución sustancialmente mayor o igual a un valor Zi1 respecto al objetivo Zi Para cada función objetivo existe una función de pertenencia µi(x). Por ejemplo: µi(x) 0, 0 Zi ( x) − Zi , µi ( x ) = 1 0 Zi − Zi 1, 1 0 Zi0 Zi ( x ) < Zi 0 0 Zi < Zi ( x ) < Zi Zi ( x ) > Zi 1 1 Zi1 5 Otros Tipos de metas Zi(X) debe estar en la vecindad de ri (llamada “meta difusa de igualdad”) 2. Zi(X) debe ser sustancialmente mayor o igual a pi (llamado “meta difusa máxima”) 3. Zi(X) debe ser sustancialmente menor o igual a pi (llamado “meta difusa mínima”) 1. µij µij 1 µij 1 0 1 0 ri 0 pi Zij meta difusa de igualdad pi Zij meta difusa máxima Zij meta difusa mínima Solución Pareto Optima difusa Se dice que una solución x* es Pareto óptima difusa si y solo si no existe otra x ∈ S, tal que µi(x) ≥ µi(x*) para todo i y µj(x) ≠ µj(x*) para al menos un j A c µ2 d B µ1 6 La resolución del problema multiobjetivo será: Maximizar µD = µD(µ1(x),µ2(x),...,µq(x)) Por ser funciones difusas, esto es equivalente a: Maximizar Mínimo(µ1(x),µ2(x),...,µq(x)} Sujeto a las restricciones originales Maximizar Mínimo(µ1(x),µ2(x),...,µq(x)} Sujeto a las restricciones originales Equivalente a: Sujeto a: Max λ µ(Zi (x)) ≥ λ, ∀i =1,...q x∈S 7 II. Programación Multiobjetivo difusa Maximizar ( Z1 ( x, a~1 ), Z 2 ( x, a~2 ),..., Z q ( x, a~q )) ~ Sujeto a g ( x, b j ) ≤ 0 ~ a~i , b j son vectores de parámetros difusos µij Cada parámetro difuso tiene su propia función de pertenencia.por ejemplo: 1 0 aij Conjunto α-nivel El conjunto α-nivel de los números ~ son definidos como difusos a~ y b ~ los conjuntos ordinarios ( a~, b )α para los cuales el grado de sus funciones de pertenencia exceden el nivel α. µij 1 α 0 aij 8 Conjunto α-nivel ( a , b) / µa~ ir ( a~ir ) ≥ α , i = 1,..., q; ~ ( a~, b )α = ~ µb~ js (b js ) ≥ α , j = 1,..., m De ese conjunto infinito de posibilidades, el decisor desea encontrar los valores que maximicen la función objetivo. El problema queda ahora como Maximizar ( Z1 ( x, a1 ), Z 2 ( x, a2 ),..., Z q ( x, aq )) Sujeto a g ( x, b j ) ≤ 0 ~ (a , b) ∈ (a~i , b j )α Donde (ai, bj, x) son variables de decisión Redefinición del concepto de Optimo de Pareto α-nivel Se dice que una solución x* es Pareto óptima~ α-nivel si y solo si no existe otra y x ∈ X ( b ) ~ ( a~, b )α tal que: Z i ( x, a~i ) ≥ Z i ( x*, a~i ), i = 1,...q donde los correspondientes valores de a* y b* son llamados parámetros óptimos α-nivel 9 Cuando el problema es lineal Maximizar ( c~1 x, c~2 x,..., c~q x ) ~ ~ Sujeto a A x ≤ b ~ ~ c~, A, b son parámetros difusos Cada parámetro difuso tiene su propia función de pertenencia.por ejemplo: µij 1 0 cij Redefinición del concepto de Conjunto α-nivel Para PL ~ ~ El conjunto α-nivel de los parámetros A, b y c~ ~ ~~ se define como el conjunto ( A, b , c )α para el cual el grado de función de pertenencia excede el nivel α µij 1 α 0 aij 10 Conjunto α-nivel problemas lineales De ese conjunto infinito de posibilidades, el decisor desea encontrar los valores que maximicen la función objetivo. El problema queda ahora como Maximizar ( c~1 x, c~2 x,..., c~q x ) Sujeto a Ax ≤ b ~ ~ ( A, b, c ) ∈ ( A, b , c~ )α Donde (A, b, c, x) son variables de decisión ⇒ NO LINEAL Si µi(x) es la función de pertenencia de Zi(x) Maximizar ( µ1 (c~1α x), µ 2 (c~2α x),..., µ q (c~qα x)) Sujeto a Ax ≤ b ~ ~ ( A, b, c ) ∈ ( A, b , c~ )α 11 Si consideramos los puntos extremos de cada valor α [A α L , Aα R ] [b L α , bα R ] [c iα L , ciα R ] Maximizar(µ(c~1Rα x), µ(c~2Rα x),...,µ(c~qRα x)) µij 1 Sujeto a AαL x ≤ bαR α 0 cijL cijR cij Aplicaciones Ha sido aplicado en: Problemas de regulación de la contaminación del aire (Lotov et al, 1997) Problemas de transporte (Verdegay, 1984) Planificación mediambiental (Sakawa and Yano, 1985) Planificación del sistema de suministro de agua (Slowinski, 1986) Job Shop scheduling (Sakawa and Kubota, 2000) Gestión de aguas residuales (Duckstein et al, 1994) Otros...... 12