Unidad Iii calculo diferencial vectorial
Introducción al cálculo vectorial- Baltazar mena
Ejercicio 1
Determinar las coordenadas del punto P, contenido en la curva
representada por la función vectorial:
𝑟(𝑡) = (2𝛼𝑡 − 𝛼)𝑖 + (𝛼𝑡 + 1)𝑗 + (3𝑡 2 )𝑘
𝛼∋ ℝ
Las ecuaciones de la recta tangente en P son:
𝑥 = −3𝛼 + 𝛼𝑡
𝑦 = −1 + 𝑡
𝑧 = 3 − 3𝑡
Solución:
La dirección de la curva tangente a la curva está dada por:
𝑟 ′ = (2𝛼𝑡 − 𝛼)𝑖 = 2𝑎𝑖
𝑟 ′ = (𝛼𝑡 + 1)𝑗 = 𝑎𝑗
𝑟 ′ = (3𝑡 2 )𝑘 = 6𝑡𝑘
𝑑𝑟
= 2𝛼𝑖 + 𝛼𝑗 + 6𝑡𝑘
𝑑𝑡
Ya que debe ser paralela a la dirección de la recta:
𝑢 = 𝑎𝑖 + 𝑗 − 3𝑘
Donde:
2𝛼 = 𝛼𝜆
𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝑢 ⟹ 𝑑𝑡 𝜆𝑢 ⟹ { 𝛼 = 𝜆
𝑑𝑡
6𝑡 = −3𝜆
Resolviendo se obtiene que:
𝜆=2
𝛼=2
𝑡 = −1
Por lo tanto, sustituyendo valores:
𝑟(𝑡) = (2𝛼𝑡 − 𝛼)𝑖 + (𝛼𝑡 + 1)𝑗 + (3𝑡 2 )𝑘
𝑃 = 𝑟(−1) = [2(2)(−1) − 2]𝑖 + [2(−1) + 1]𝑗 + [3(−1)2 ]𝑘
𝑃 = −6𝑖 − 𝑗 + 3𝑘
𝐏 = (−𝟔, −𝟏, 𝟑)
Hwei psu
Ejercicio 2
Hallar un vector unitario n normal en (1,1,1) a la superficie
“representada por:
Solución:
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧 − 1 = 0
𝜕
= (𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 − 1) = 2𝑥
𝜕𝑥
𝜕
= (𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 − 1) = 2𝑦
𝜕𝑦
𝜕
= (𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 − 1) = −1
𝜕𝑧
𝑢 = √2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 12 = √4𝑥 2 + 4𝑦 2 + 12 = √9 = 3
𝑛 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙 /|𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙|
𝑛 = (2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 𝑘)/3 𝑒𝑛 (1,1,1)
𝒏 = (𝟐𝒙𝒊 + 𝟐𝒚𝒋 + 𝒌)/𝟑
𝜕
𝜕
𝜕
Donde 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙 = 𝜕𝑥 = (𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 − 1) ∗ 𝑖 + 𝜕𝑦 = (𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 − 1) ∗ 𝑗 + 𝜕𝑧 =
(𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 − 1) ∗ 𝑘
Nota: 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 − 1 = 0
Ejercicio 3
Hallar las pendientes de una superficie en las direcciones de
#x# y de “y”
𝑓(𝑥, 𝑦) = −
𝑥2
25
− 𝑦2 +
2
8
𝜕
𝑥2
25
2𝑥
= (− − 𝑦 2 + ) = −
= −𝑥
𝜕𝑥
2
8
2
Ejercicio 3.82
Ejercicio 3.77
Hallar el vector unitario tangente (T) a las curvas
representadas por los siguientes funciones vectoriales en los
puntos especificados.
̂ 𝒆𝒏 𝒕 = 𝝅
𝒂) 𝒓̿(𝒕) = 𝐜𝐨𝐬 𝒕𝒊̂ + 𝐬𝐢𝐧 𝒕𝒋̂ + 𝒕𝒌
𝑇̂ =
̂
𝑟′(𝑡)
− sin 𝑡𝑗̂ + cos 𝑡𝑖̂ + 𝑘̂
cos 𝜋𝑗̂ + 𝑘̂ −𝒋̂ + 𝒌
=
=𝑡=𝜋=
=
|𝑟′(𝑡)| |√sin 𝑡 2 + cos 𝑡 2 + 12 |
√𝟐
√(1 + 1)
𝒃) 𝒓̿(𝒕) = (𝒕 −
𝒕𝟑
𝒕𝟑
𝟐
̂ 𝒆𝒏 𝒕 = 𝟏
) 𝒊̂ + 𝒕 𝒋 + (𝒕 − ) 𝒌
𝟑
𝟑
r ′ (t) = (1 − t 2 )î + 2tĵ + (1 − t 2 )k̂ en t = 1 = 2ĵ + 2k̂
𝑇̂ =
̂
𝑟′(𝑡)
2(ĵ + k)
𝟏
̂)
=𝑡=1=
=
(𝒋̂ + 𝒌
|𝑟′(𝑡)|
√8
√𝟐
𝒂) 𝒓̿(𝒕) = 𝒂(𝒕 − 𝐬𝐢𝐧 𝒕)î + 𝒂(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒕)𝒋̂ 𝒆𝒏 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒕
Ejercicio 3.78
Hallar un vector unitario n normal en (0,0,0) a la superficie
“s” representada por
𝑧 = 3𝑥 2 + 4𝑦 2
𝑟(𝑥, 𝑦) = xî + yĵ + (3𝑥 2 + 4𝑦 2 )k̂
𝑛̂ =
𝑟̅𝑥 𝑥 𝑟̅𝑦
|𝑟̅𝑥 𝑥 𝑟̅𝑦 |
; 𝑟̅𝑥 =
̂
𝜕𝑟̅ 2(ĵ + k)
=
= î + 6xk̂
𝜕𝑥
√8
𝑟̅𝑦 =
𝜕𝑟̅
= ĵ + 8yk̂
𝜕𝑦
𝑟̅𝑥 𝑥 𝑟̅𝑦 = k̂ − 8y𝑗̂ − 6𝑖̂
1
|𝑟̅𝑥 𝑥 𝑟̅𝑦 | = ((1 + (8𝑦)2 + (6𝑥)2 )2
−6𝑥î − 8𝑦ĵ + k̂
𝑛̂ =
1
𝑒𝑛 (0,0,0) =
((1 + (8𝑦)2 + (6𝑥)2 )2
𝑘̂
ó − 𝑘̂ ó (0,0 − 1)
1
Otra forma de resolver es:
Ejercicio 3.79
Hallar un vector 𝑛̂
representada por:
en (1,1,1) a la superficie “s”
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧 − 1 = 0
Solución:
𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 − 1 = 0
𝑛̂ =
∇𝜙
=
|∇𝜙|
2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 − 𝑘
(4𝑥 2 +
1 ; 𝑒𝑛
2
2
)
4𝑦 + 1 2
Otra forma de resolverlo:
(1,1,1) =
2𝑖 + 2𝑗 − 𝑘
22 1
=(
− )
3
33 3
Ejercicio 3.80
Hallar un vector 𝑛̂ a la superficie “s” representada por las
ecuaciones paramétricas.
𝑥 = 𝑢 cos 𝑣
𝑦 = 𝑢 sin 𝑣
𝑧 = 𝑧(𝑢)
Las ecuaciones paramétricas son:
𝑟(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣 𝑖̂ + 𝑢 sin 𝑣 𝑗̂ + 𝑧(𝑢)𝑘̂
𝑟̅𝑢 =
𝑟̅𝑢 =
̅̅̅
𝜕𝑟
= cos 𝑣 𝑖̂ + sin 𝑣 𝑗̂ + 𝑧′(𝑢)𝑘̂
𝜕𝑢
̅̅̅
𝜕𝑟
= −𝑢 cos 𝑣 𝑖̂ + 𝑢 sin 𝑣 𝑗̂ + 𝑧(𝑢)
𝜕𝑣
Ahora:
𝑟̅𝑢 𝑥 𝑟̅𝑣 = 𝑢 cos 2 𝑣 𝑘̂ + 𝑢 sin2 𝑣 𝑘̂ − 𝑢 sin 𝑣 𝑧 ′ (𝑢)𝑖̂ − 𝑢 cos 𝑣 𝑧 ′ (𝑢)𝑖̂
𝑟̅𝑢 𝑥 𝑟̅𝑣 = 𝑢𝑘̂ − 𝑢 sin 𝑣 𝑧′(𝑢)𝑖̂ − 𝑢 cos 𝑣 𝑧 ′ (𝑢)𝑖̂
𝑟̅𝑢 𝑥 𝑟̅𝑣 = 𝑢(cos 𝑣 𝑧 ′ (𝑢)𝑖̂ − sin 𝑣 𝑧 ′ (𝑢)𝑖̂ + 𝑘̂)
|𝑟̅𝑢 𝑥 𝑟̅𝑣 | = 𝑢 [(cos 𝑣 𝑧
𝑛̂ =
′ (𝑛)2
+ (sin 𝑣 𝑧
1
[(𝑧´(𝑢))2 +
1
1]2
′ (𝑛))2
1
2
1
+ 1] = 𝑢 = [(𝑧´(𝑢))2 + 1]2
= (𝒛′ (𝒖)𝒄𝒐𝒔𝒖 − 𝒛′ (𝒖)𝒔𝒆𝒏𝒖, 𝟏)
