Subido por Jose Luis Huincho Escalante

CLASES DE PARABOLA ELIPSE E HIPERBOLA

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PARÁBOLA
DEFINICIÓN: Una parábola P es un conjunto de puntos Q(x, y) cuya distancia a
un punto fijo F (llamado foco) es igual a su distancia hacia una recta fija L (llamada
directriz).
P = Q(x,y) / d(Q,F)=d(Q, L )
https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQw6xjd9BT7OdoYNPlNPCDJT5E9dOWNTMdHt_oE5M7v6dFwH9gk
ELEMENTOS
1. EJE FOCAL: Es el eje de simetría
de la parábola, que pasa por el
foco y el vértice.
2. RECTA DIRECTRIZ (L): Es la
recta fija de la parábola,
perpendicular al eje focal. La recta
directriz jamás corta a la parábola.
3. FOCO: Es el punto fijo de la
parábola
4. VÉRTICE V (h, k): Punto que
pertenece a la intersección del eje
focal y de la parábola. El vértice es
el punto medio de la distancia
entre el foco y la recta directriz.
foco es el punto medio del lado
recto.
* RR  4 p
* d ( R, F )  d ( F , R)  2 p
d (F , L )  2 p
d (V , F )  d (V , L )  p ,  V P
donde : p  parámetro real.
d (F , L )  2 p
5. LADO RECTO (RR´): Segmento
perpendicular al eje focal que pasa
por el foco. Su longitud es 4 p . El
https://encryptedtbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQp9jJkulQvHXlG5
Qj_e3147luVxv_7udpWGbTMp7ukazsjsid0
ECUACIÓN
1. PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
Px :  y  k   4 p  x  h 
2
V (h, k ), F (h  p, k ), L : x  h  p
Observaciones
a) En la ecuación la variable “x” es lineal.
b) Si
Px : y 2  4 px
c) Si V(0, 0) , entonces
d) La ecuación general es:
y 2  Dx  Ey  F  0
2. PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
PY : x  h   4 p  y  k 
2
V (h, k ), F (h, k  p), L : y  k  p
Observaciones
a) En la ecuación la variable “y” es lineal.
b) Si:
c) Si V(0, 0), entonces
PY : x 2  4 py
d) La ecuación general es:
x2  Dx  Ey  F  0
EJERCICIOS (LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO,
AUTOR VENERO. PAGS 367, 356 – 357)
ELIPSE
DEFINICIÓN: Una elipse
E es un conjunto de puntos P(x, y) cuya suma de las
distancias hacia dos puntos fijos F1 y F2 (llamados focos) es constante y mide 2a,
a >0.
E = P(x,y) / d(P,F1)+d(P,F2)=2a, a>0
http://www.universoformulas.com/imagenes/matematicas/geometria/elipse.jpg
ELEMENTOS
1. EJE FOCAL: Es el eje de simetría
de la elipse, que pasa por el
centro, los focos y los vértices.
2. CENTRO C (h, k): Es el punto
medio ente las rectas directrices,
los focos, del eje mayor y del eje
menor.
3. FOCOS F1 Y F2: Son puntos fijos
de la elipse.
* d ( F1, C )  d (C , F 2)  c, c  0
*F1F 2  2c
4. VÉRTICES V1 y V2: Son puntos
que pertenece a la intersección del
eje focal y la elipse. Determina el
eje mayor de longitud 2a.
* Eje mayor  V 1V 2  2a
* d (V 1, C )  d (C ,V 2)  a
5. EJE MAYOR V 1V 2 : Segmento
que pasa por el centro y foco.
6. EJE MENOR B1B2 : Segmento
perpendicular al eje mayor, que
pasa por el centro. Su longitud es
2b.
* Eje menor  B1B 2  2b, b  0
* d ( B1, C )  d (C , B 2)  b
Observación:
* d ( B1, F1)  d ( B1, F 2)  a
** d ( B 2, F1)  d ( B 2, F 2)  a
7. RECTAS DIRECTRICES (L1 Y
L2):
Son
rectas
fijas
correspondientes a los focos F1 y
F2,
respectivamente,
perpendicular al eje focal. La recta
directriz jamás corta a la elipse
* d (C , L1 )  d (C , L2 ) 
9. LADOS RECTOS ( RR y SS  ):
a2 a

c e
Segmentos perpendiculares al eje
focal que pasa por los focos F1 y
F2, respectivamente. Su longitud
es 2b2/a. El foco es el punto medio
del lado recto.
2a 2 2a

c
e
donde : e  excentricidad .
* d (L1 , L2 ) 
8. EXCENTRICIDAD (e): Está dado
por:
* RR 
d ( P, F1)
d ( P, F 2)
e
,  P E.
d ( P, L1 )
d ( P, L2 )
2b 2
 SS 
a
b2
* d ( R, F1)  d ( F1, R) 
a
b2

* d ( S , F 2)  d ( F 2, S ) 
a
NOTA:
* 0  e 1
* Si e  0 : Elipse  Circunferencia.
La distancia entre los focos tiende a cero.
la "e" de una circunferencia es cero.
* Si e  1: Elipse es más al arg ada.
http://gc.initelabs.com/recursos/files/r145r/w1139w/Archivos_U9/22.jpg
NOTA:
Toda elipse cumple la relación: a  b  c , a  b, a  c
2
2
2
https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTH8uuVKtZEPsXuRGClwyfilqF2dMwAqX8SUaagzewmMseBiXlNIg
ECUACIÓN
1. ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
Ex
 x  h
:
a2
2
y k

b2
2
1
a2
C (h, k ), V (h  a, k ), F (h  c, k ), B (h, k  b), L : x  h 
c
a
L :x  h 
e
Observaciones
a) En la ecuación la constante mayor (a) está en denominador de
variable “x”.
b) La elipse es horizontal
c)
la
x2 y 2
Si V(0, 0), entonces: Ex : 2  2  1
a b
2. ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
EY
 x  h
:
b2
2
y k

a2
2
1
a2
C (h, k ), V (h, k  a), F (h, k  c), B(h  b, k ), L : y  k 
c
a
L :y  k 
e
Observaciones
a) En la ecuación la constante mayor (a) está en denominador de la
variable “y”.
b) La elipse es vertical.
c)
x2 y 2
Si V(0, 0), entonces: EY : 2  2  1
b a
EJERCICIOS (LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO,
AUTOR VENERO. PAGS 391, 392)
HIPÉRBOLA
DEFINICIÓN: Una elipse H es un conjunto de puntos P(x, y) cuyo valor absoluto
de la diferencia de las distancias hacia dos puntos fijos F1 y F2 (llamados focos,
la distancia entre los focos es 2c, c>0) es constante y mide 2a, a >0, c >a.
H = P(x,y) / d(P,F1) - d(P,F2) =2a, a>0
https://armandogk.files.wordpress.com/2011/04/img00024-20110410-1444.jpg
https://armandogk.files.wordpress.com/2011/04/img00026-20110410-1444.jpg?w=245&h=300
ELEMENTOS (FIG. 02)
1. EJE FOCAL: Es el eje de simetría
de la elipse, que pasa por el
centro, los focos y los vértices.
2. CENTRO C (h, k): Es el punto
medio de las rectas directrices, las
rectas asintóticas, los focos, del
eje transverso y del eje conjugado.
3. FOCOS F1 Y F2: Son puntos fijos
de la elipse.
* d ( F1, C )  d (C , F 2)  c, c  0
*F1F 2  2c
4. VÉRTICES V1 y V2: Son puntos
que pertenece a la intersección del
eje focal y la hipérbola. Determina
el eje transverso de longitud 2a.
* Eje transverso  V 1V 2  2a
* d (V 1, C )  d (C ,V 2)  a
5. EJE
TRANSVERO
V 1V 2
:
También llamado Eje Real, es un
segmento que pasa por el centro.
6. EJE
CONJUGADO
B1B2
:
También llamado Eje Imaginario,
es un segmento perpendicular al
eje transverso, que pasa por el
centro. Su longitud es 2b.
* Eje conjugado  B1B 2  2b, b  0
* d ( B1, C )  d (C , B 2)  b
7. RECTAS DIRECTRICES (L1 Y
L2):
Son
rectas
fijas
correspondientes a los focos F1 y
F2,
respectivamente,
perpendicular al eje focal. La recta
directriz jamás corta a la hipérbola.
* d (C , L1 )  d (C , L2 ) 
hipérbola. Es decir a medida un
punto de la hipérbola tiende al
infinito, la distancia entre la recta y
el punto tiende a cero. Forman las
diagonales (se intersectan en el
centro) del rectángulo (o cuadrado:
a = b) de área (2a) (2b).
a
e
2a
e
donde : e  excentricidad .
* d (L1 , L2 ) 
8. EXCENTRICIDAD (e): Está dado
por:
d ( P, F1)
d ( P, F 2)
e
,  P H.
d ( P, L1 )
d ( P, L2 )
* e 1
* En toda Hipérbola Equilátera la e  2.
9. LADOS RECTOS ( MN y RS ):
Segmentos perpendiculares al eje
focal que pasa por los focos F1 y
F2, respectivamente. Su longitud
es 2b2/a. El foco es el punto medio
del lado recto.
2b 2
* MN 
 RS
a
b2
a
b2
* d ( R, F 2)  d ( F 2, S ) 
a
* d ( M , F1)  d ( F1, N ) 
10. ASÍNTOTAS ( A1 y A2 ): Son
rectas
asintóticas
que
se
intersectan en el centro de la
LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO,
AUTOR VENERO. PAG. 404)
NOTA:
1. Toda elipse cumple la relación:
c2  a2  b2 , , c  a  0, c  b  0
2. Se puede presentar 3 casos: a > b,
a = b , a < b. Si a = b, la hipérbola
es equilátera. En toda hipérbola
equilátera la excentricidad es
2.
ECUACIÓN
1. HIPÉRBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
Hx
 x  h
:
2
a2
y k

2
1
b2
C (h, k ), V (h  a, k ) , F (h  c, k ), B (h, k  b),
a
b
L : x  h  , A : y  k   ( x  h)
e
a
Observaciones
a) En la ecuación la constante positiva (a2) está
en denominador de la variable “x”.
b) Si V(0, 0), entonces: H x :
x2 y 2

1
a 2 b2
c) La ecuación de la recta asintótica se obtiene,
reemplazando el 1 por cero en la ecuación.
LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS
MATEMÁTICO, AUTOR VENERO. PAG. 407
2. HIPÉRBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
HY
y k
:
a2
2
 x  h

b2
2
1
C (h, k ), V (h, k  a) , F (h, k  c), B(h  b, k ),
a
a
L : y  k  , A : y  k   ( x  h)
e
b
Observaciones
a) En la ecuación la constante positiva (a2) está
en denominador de la variable “y”.
b) Si V(0, 0), entonces:
y 2 x2
HY : 2  2  1
a b
c) La ecuación de la recta asintótica se obtiene,
reemplazando el 1 por cero en la ecuación.
LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS
MATEMÁTICO, AUTOR VENERO. PAG. 408
EJERCICIOS (LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO,
AUTOR VENERO. PAGS. 422, 423, 434)
ACTIVIDAD
PARÁBOLA
ELIPSE
HIPÉRBOLA
Autor Moisés Villena Muñoz, Cónicas.
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