5

Capitulo 5
Integrales
Xk - 1
x
xz
Xk
'------v---'
X n _\
Xn =
b
X~I;
III
En este capitulo En los dos ultimos capltulos analizamos las definiciones, propiedades y aplicac ion es de la derivada. Ahora pasaremos del calculo diferencial al calculo integral. Leibniz
denom in6 calculus summatorius a esta segunda de las dos divisiones mas importantes del
cal cul o. En 1696, persuadido par el matematico suizo Johann Bernoulli, Leibniz cambi6 el nombre a calculus integralis. Como sugieren las palabras latinas originales, el concepto de sum a
desem pena un papel importante en 81 desarrollo completo de la integral.
En el capitulo 2 vimos que el problema de la tangente conduce de manera natural a la
deriva da de una funci6n. En el problema de area, el problema motivacional del calculo
inte gral, deseamos encontrar el area acotada por la gratica de una funci6n y el eje x. Este
pro bl ema lIeva al concepto de integral definida.
5. 1 La integral indefinida
5.2 Integracion par sustitucion u
5.3 EI problema de area
5.4 La integral definida
5. 5 Teorema fundamental del calculo
Revision del capitulo 5
267
268
CAPITULO 5 Integ rales
5.1
La integral indefinida
I Introduccion
En los capftulos 3 y 4 solo abordamos e l problema basico:
• Dada una funcion.f: encontrar su derivadaf' .
En este capItulo y en los subsecuentes veremos cuan importante es el proble ma de:
• Dada una funcionf, encontrar una funcion F cuya derivada sea !
En otras palabras, para una funcion dadaf, ahora pensamos enfco mo una derivada. Desearnos
encontrar una funcion F cuya derivada seaf; es decir, F'(x) = f(x) para toda x en algun interva_
10. Planteado en terminos generales, es necesario diferenciar en reversa.
Empezamos con una definicion .
Definicion 5.1.1
Antiderivada
Se dice que un funcion F es una antiderivada de una funcion
F '(x) =f(x) para toda x en 1.
Ij):@4(.1'
f
sobre algun intervalo I si
Una antiderivada
Una antiderivada def(x) = 2x es F(x) = x 2 , puesto que F'(x) = 2x.
•
Una funcion siempre tiene mas de una antiderivada. As!, en el ejemplo anterior, F\ (x) =
= x 2 + 10 tambien son antiderivadas de f(x) = 2x, puesto que Fi(x ) =
x 2 - I Y F 2 (x)
F 2(x) = 2x.
A continuaci6n del11ostraremos que cualquier antiderivada de f debe ser de la forma
G(x) = F(x) + C; es decir, dos antiderivadas de La misma funci6n pueden diferir a 10 mas ell
una constante. Por tanto, F(x) + C es La antiderivada mas generaL def(x).
Teorema 5.1.1
Si G '(x)
=
Las antiderivadas difieren 120r una constante
F'(x) para toda x en algun intervalo [a, b], entonces
G(x)
=
F(x)
+
C
para toda x en el intervalo.
Suponga que se define g(x) = G(x) - F(x). Entonces, puesto que G'(x) =
= G'(x) - F'(x) = 0 para toda x en [a , b]. Si x \ YX2 son dos numeros cualesquiera que satisfacen a ::; x\ < X 2 ::; b, por el teorema del valor medio (teorema 4.4.2)
se concluye que en el intervalo abierto (x\, X2) existe un nUl11ero k para el cLlal
DEMOSTRACION
F'(x) , se concluye que g'(x)
o
Pero g'(x) = 0 para toda x en [a, b]; en particular, g'(k) = O. Por tanto, g(X2) - g(x\) = 0 0
g(X2) = g(x\). Luego, por hipotesis, x\ Y X2 son dos nUl11eros arbitrarios, pero diferentes, en el
intervalo. Puesto que los valores funcionales g(x\) y g(X2) son iguales, debe concluirse que la
funcion g(x) es una con stante C. Por tanto, g(x) = C il11plica G(x) - F(x) = C 0 G(x) ==
F(x) + C.
•
5.1 La integral indefini da
269
La nOlac ion F(x) + C representa una f anlilia de f unciones; cada miembro tiene una deriva, i"ual a/(.I") , Volviendo al ejemplo I, la antiderivada mas general de f(x) = 2x es la familia
~~.r)c =o r" + C. Como se ;~ en la F~GURA 5.1.1, la grafica de la antiderivada de f(x ) = 2x es una
'l'IL'i6n vertical de la graflca de x .
tr a ~ ,
1!1@IQon
Antiderivadas mas generales
a) Una antiderivada de f(x ) = 2x + 5 es F(x) = x 2 + Sx puesto que F'(x) = 2x + S. La
antiderivada mas general def(x) = 2x + 5 es F(x) = x 2 + Sx + C.
2
2
b ) Una antiderivada def(x) = sec x es F(x) = tan x puesto que F'(X) = sec x. La anti de2
ri vada mas general de f(x) = sec x es F (x) = tan x + C.
•
FIGU RA 5.1 .1 Algunos miembros
de la familia de antiderivadas de
f(x) = 2x
I Notaci 6n de la integral indefinida
Por conveniencia, se introducira la notacion para una antideri vada de una funcion , Si F'(X) = f(x) , la antiderivada mas general de f se representa por
ffCX) dx
= F(x) + c.
EI sfm bolo J fue introducido por Leibniz y se denomina signo integral. La notacion Jf(x) dx
se denomina integral indefinida def(x) respecto a x. La funcionf(x) se denomina integrando.
EI proceso de encontrar una antiderivada se denomina antidiferenciacion 0 integracion. El
numero C se denomina constante de integracion. Justo como
! ()
denota la operacion de dife-
renciacion de ( ) con respecto a x, el simbolismo J ( ) dx denota la operacion de integracion de
) COI1 respecto a x.
La diferenciacion y la integracion son fundamentalmente operaciones inversas. Si Jf(x) dx =
F(x) + C, entonces F es la antiderivada de f; es decir, F'(x) = f(x) y asi
(
f F'(x) dx
F(x)
=
df f(x) dx = dx
d (F(x)
dx
Ademas,
+
+
C)
(1)
C.
(2)
= F'(x) = f(x)
En palabras, (1) Y (2) son, respectivamente:
• Una antiderivada de Ja derivada de una funcion es esa funcion mas una constante.
• La derivada de una antiderivada de una funci on es esa funcion.
A partir de 10 anterior se concluye que siempre que se obtiene la derivada de una funcion, al
mi smo tiempo se obtiene una formula de integracion. Por ejemplo, debido a (1), si
d xl/ + I
-
- -==x ll
dx n + 1
d xl/ + I
1 dx =
entonces
f dx n +
entonces
f !lnlx l dx=
dx sen x = cos x
entonces
f
1
-d tan - I x = - dx
1 + x2
entonces
d
-dx Inlxl =
1
-
x
d
!
sen x dx =
X,, +I
x" dx = ;+I
+
<III Este
primer res u ltado s6 10 es
va lido si II * - 1.
C,
f~dx=lnlxl+C'
Jcos x dx = sen x + C,
!!... tan- I x dx =
f dx
f
f __l - dx = tan - I x
J + x2
+
C.
De esta manera es posible construir una formula de integracion a partir de cada formula de
deri vada. En la TABLA 5.1.1 se resumen algunas formulas de derivadas importantes para las funciones que se han estudiado hasta el momento, asi como sus formulas de integracion analogas .
270
CAPITULO 5 Integrales
F6rmul a de integraci6n
l.
d
x=1
dx
Jx"dx = - - + C
d
1
3. - Inlxl = -
J~dX =
d X"+ I
dxn+l
x
d
4. dx sen x = cos x
d
5. dx cos x = - sen x
d
6. dx tan x
d
7. -d x cot x
= sec 2 x
2
= - csc X
d
8. dx sec x = sec x tan x
9.
!
esc x = - esc x cot x
X" +
I
I
I
11+1
d
- I
11 • - tan x
dx
Inlxl + C
d
_ I
_
12. -d _ sec x -
J cos x dx
x
+
C
13. ull F
GX
sen x dx = - cos x
(b
+C
14.
sec 2 x dx
= tan x + C
!
1
- dx = tan-I x
l+x 2
, ~
Ixl V x "
1
-
= bX(ln b),
0, b oF 1)
eX
=
eX
d
15. dx senh x = cosh x
Icsc X dx = -cot x + C
d
+
esc x cot x dx = -esc x
GX
C
x
x2
1
-
dx
bX
bXdx
= -
eXdx
=
Inb
+C
= sec - I[x[ + C
+
C
eX + C
= senh x +
C
+
C
senh x dx = cosh x
16. -I cosh x = senh x
sec x tan x dx = sec x
I~
I
I
I
I
cosh x dx
2
I
I
= sen- I x + C
1__
1
>
1
d
X
vi - x
, ~
2
1= -1 + x2
x
= sen
I
d
_I
_
1
10. -d sen x - , ~2
x
vi - x
JdX=X+C
2. - - - = xl/ (n oF - 1)
dx
F6rmula de integraci6n
+C
Con respecto a la entrada 3 de la tabla 5.1.1, es cierto que las f6rmulas de derivadas
.iL In x
dx
=
d I d 10g b x
dxlnlxl =~,
dx ~
1..
x'
x
significan que una antiderivada de l / x = X - I puede tomarse como In x, x > 0, In lx l, x -:f- 0, a
10gb x/ In b, x > O. Pero como resultado mas general y util escribimos
I~dx =
In lx l + C.
Observe tambien que en la tabla 5 .1.1 s6lo se proporcionan tres f6rmulas que implican funciones trigonometricas inversas. Esto se debe a que, en forma de integral indefinida, las tres f6rmulas restantes son redundantes. Por ejemplo, de las derivadas
d
- sen
dx
_ I
x
=
1
~
- cos
dx
o
Ih
observamos que es posible tomar
Ih
1 - x2
dx
= sen- I x + C
d
y
_ I
x =
1 - x2
- 1
~
dx
=
-COS- I X
+
C.
Observaciones semejantes se cumplen para la cotangente inversa y la cosecante inversa.
U!JiMQ!'.'
Una antiderivada simple pero importante
La f6rmula de integraci6n en la entrada 1 en la tabla 5 .1.1 se inc1uye para recalcar:
J dx
=
I
1 . dx = x
+ C ya que
!
(x
+ C) = 1 + 0 = 1.
Este resultado tambien puede obtenerse a partir de la f6rm ula de integraci6n 2 de la tabla S.!.I
•
con n = O.
A menudo es necesario volver a escribir el integrandof(x) antes de realizar la integraci6n .
5. 1 La integra l indefinida 271
dl§MR!... .e C6mo volver a escribir un integrando
Eval uc
a)
LI,
dx
y
b)
I
vX
n
Solucio
a ) Al volver a escn·b·Ir
dx.
II X"S como x - 5e·1d entl·f·lcar n = - 5 , por Ia t·ormu
,
Ia d e 1I1tegraclOn
.
., 2
de la tab la 5.1.1 tenemos:
I
x-5 dx =
b)
X -H I
-5 + 1
+
4
Primero volvemos a escribir el radical
grac ion 2 de la tabla 5 .1.1 con n = ~:
I
XI /2
x 3/2
~/2
=
d,x
4
= _x- + C = _ _1_ + C.
C
4X4
vX como XI / 2 y luego se usa la formula de inte-
+
2
C
= 3"X 3/2 +
•
C.
Debe tomarse en cuenta que los resuLtados de La integraci6n siempre pueden comprobarse
por diferenciaci6n; por ejemplo, en el inciso b) del ejemplo 4:
.!i(lx3/2 +
~
3
3/ =
c) = l.lx
= vX
32·
2- 1
X I/2
En el siguiente teorema se proporcionan algunas propiedades de la integral indefinida.
Teorema 5.1.2
Sean F'(x)
Propiedades de la integral indefinida
= f(x)
i) f kj(x) dx
Y G'(x)
= g(x) . Entonces
= k ff(X) dx = kF(x) +
C, donde k es cualquier constante,
I
ii) f [f(x) ::!:: g(x) ] dx = f f(x) dx ::!:: g(x) dx = F(x) ::!:: G(x)
+
C.
Estas propiedades se concluyen de inmediato a partir de las propiedades de la derivada. Por
ejemplo, ii) es una consecuencia del hecho de que la derivada de una suma es la suma de las derivadas.
Observe en el teorema 5.1.2ii) que no hay razon para usar dos constantes de integracion ,
puesto que
I
[f(x) ::!:: g(x)] dx = (F(x)
= F(x)
+ C1)
::!:: (G(x)
+ C2)
+ (C I
::!:: C2 )
::!:: G(x)
= F(x)
::!:: G(x)
+
C,
donde C I ::!:: C 2 se ha sustituido por la simple constante C.
Una integral indefinida de cualquier suma infinita de funciones la podemos obtener al integrar cad a termino.
D@t!lgr'''j
Evallie f ( 4x -
Uso del teorema 5.1.2
~ + 5 sen x ) ~.
Soluci6n Por los incisos i) y ii) del teorema 5.1.2, esta integral indefinida puede escribirse
como tres integrales:
I(
4x -
~ + 5 sen x) dx =
4 f x dx - 2
I~
dx
+ 5 f sen x dx.
272
CAPITULO 5 Integral es
Debido a las f6rmulas de integraci6n 2, 3 y 5 en la tabl a 5.1.1 , entonces tenemos
I(4X - ~
+ 5 sen
x) d.x = 4· ~;2 - 2 . In Ixl + 5 . (-cos x ) + C
= 2X2 - 2 In Ix I - 5 cos x +
•
C.
I Uso de la division
Escribir un integrando en forma mas manejable algunas veces conlleva a
una divisi6n. La idea se ilustra con los dos ejemplos siguientes.
'!I3\~IQ!"iI Divisi6n terminG por terminG
Evalue
Si el concep to de comlln denolllinador
~
c
5
-
x
dx.
Solncion Por la divisi6n termino por termino, el teorema 5.1.2 y las f6rmulas de integraci6n 2
y 3 de la tabla 5.1.1 tenemos:
(/
-+
-b = -a +- b
c
I
6x3
I6x x3
c
5 dx =
se Ice de derecha a izquierda, se
est,\ reali zando " di vision termin o
port erl1lin o".
=
I(6;3- ~) dx
I
(6X2 -
~) dx = 6· ;3- 5· Inlxl
+C=
2x3 - 51nlxl
+
C.
•
Para resolver el problema de evaluar ff(x) dx, dondef(x) = p(x)/ q(x) es una funci6n racional, a continuaci6n se resume una regia practica que debe tomarse en cuenta en esta subsecci6n
y en la subsecci6n subsecuente.
Integraci6n de una funci6n racional
Suponga que f(x) = p(x)/ q(x) es una funci6n racional. Si el grado de la funci6n polinomiai p(x) es mayor que 0 igual al grado de la funci6n polinomial q(x), use divisi6n
larga antes de integrar; es decir, escriba
p(x)
.
.
rex )
-qx
( ) = un pOill10mlO + -qx
( )'
donde el grado del polinomio rex) es menor que el grado de q(x) .
U!!3MQ!.WJ
Divisi6n larga
X2
Evalue
JI+x
-
-
-2
dx.
Solncion Puesto que el grado del numerador del integrando es igual al grado del denominador,
se efectua la divisi6n larga:
x2
- - 2 =1 - - -2
1+x
1+x '
Por ii) del teorema 5.1 .2 Y las f6rmulas de integraci6n 1 y 11 en ia tabla 5.1. 1 obtenemos
1+x
J~
2
I Ecuaciones diferenciales
dx
=
J(l -__
1_7)
+
I
x-
d.x = x - tan- I x + C.
•
En varios conjuntos de ejercicios en el capitulo 3 se pideicomprobar que una funci6n dada satisface una ecnacion diferenciaI. En terminos generales, una ecuaci6n diferencial es una ecuaci6n que implica las derivadas 0 el diferencial de una funci6n desconocida. Las ecuaciones diferenciales se clasifican segun el orden de la derivada mas alta que
5.1 La integ ral illdefi nida
273
.. , en 1<1 eeuacion. EI objetivo consiste en resolver eeuaci ones diferenciales . Una ecuacion
apalCll:
.
diferencial de pruner orden de la forma
dy
dx
(3 )
= g(x)
pu eae resolverse usando integracion indefinida. Por (1) se ve que
f(:)
dx
=
y.
Asi. la solueion de (3) es la antiderivada mas general de g; es decir,
y
eMilY!":'
=
f
(4)
g(x) dx.
Resoluci6n de una ecuaci6n diferencial
Encuent re una funcion y = f(x) cuya grafiea pase por el punto (1 , 2) Y tambien satisfaga la ecua2
cion diferencial dy/dx = 3x - 3.
Solucion
Por (3) y (4) se concluye que si
dy
dx
- =
y
Es deci r,
?
3x- - 3
=
entonees
f (3x 2
-
3)dx = 3·
y
=
;3-
f (3x 2
3 ·x
-
3)dx.
+C
o bien, \' = x 3 - 3x + C. As!, euando x = 1, y = 2, de modo que 2 = I - 3 + Co C = 4. Por
tanto, -" = x 3 - 3x + 4. Entonees , de la familia de antiderivadas de 3x 2 - 3 que se muestra en
la FIGU RA 5.1.2, se ve que solo hay una euya grafica (mostrada en rojo) que pas a por (l , 2).
•
Al resolver una eeuaeion difereneial como dy/ dx = 3x 2 - 3 en el ejemplo 8, la eondiei6n
lateral espeeifieada de que la grafiea pase por (I, 2), es decir,f(l) = 2, se denomina condicion
inicial. Una condicion inicial como esta suele escribirse como y(l) = 2. La solucion y = x 3
- 3x + 4 que fue determinada por la familia de soluciones y = x 3 - 3x + C por la condicion
inicial se denomina solucion particular. EI problema de resolver (3) sujeto a una condicion inicial,
dy
dx
= g(x),
se denomina problema con valor inicial.
Observamos que una ecuacion diferencial de orden n-esimo de la forma d"y/ dx" = g(x)
plIede resolverse al integrar n veces eonseeutivas la funeion g(x). En este easo, la familia de soluciones eontiene n eonstantes de integraeion.
U1MJ!Q!'I!'
Resoluci6n de una ecuaci6n diferencial
EnCllentre una funeion y
=
d 2y
f(x) tal que - 2
dx
=
l.
Solucion La ecuaeion difereneial dada se integra dos veees eonseeutivas. Con la primera integracion se obtiene
dy
dx
=
fd.2~
dx =
dx-
Can la segunda integraeion se obtiene y
=
fl. dx = x + c
1•
f(x) :
•
FIGURA 5. 1.2 La curva roj a es la
grafica de la so luci6n del
problema en el ejemplo 8
274
CAPiTULO 5 Integ rales
f
NOTAS DESDE EL AULA
......................................................................................................................................... ............................
A menudo, a los estudiantes se les dificulta mas calcul ar antiderivadas que deri vadas. Do~'"
palabras de advertencia. Primero, debe tenerse mucho cuidado con el procedimiento algebrai_
co, especialmente con las leyes de los exponentes. La seguncla advertencia ya se ha pl antea_
do, aunque vale la pena repetirla: tenga en cuenta que los resultados de la integraci6n indeli_
nida siempre pueden comprobarse . En un cuestionario 0 en un examen vale la pena que
cledique unos minutos de su valioso tiempo para comprobar su respuesta al tomar la deriva_
da. A veces esto pu ede hacerse mentalmente. POl' ejemplo,
[
inlegracion
A- ..
ICE dX = li~ ~s
comprucbe pOl'
dii'erenci ac ion
Ejercicios 5.1
La s respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-1B.
=
Fundamentos
En los problemas 1-30, evalue la integral indefinida dacla.
(7T 2-
1. I 3 dx
2. I
3. I x 5 dx
4. I 5X 1/4 dx
5. I+dX
6. I
Vx
7. I (1 -
[ - 052)
9. I (3x 2
+ 2x -
11. I vX(x 2
-
dt
- t - :2) dt
Vs2
w
14. I(vX-l)2C!x
15. I(4W - I?dW
16. I (5u - 1)(3u 3
I r2 - lOr
r
3
+ 4 dr
3
19. I X-I - XX-22 + x - dx
21. I(4 senx - 1
+ 8x- 5 )dx
23. I csc x(csc x - cot x) dx
25. I2
18.
rx
20. I t
-
+ 2) du
+4
33. I
sen 2x
I
6
30. I -x--2 dx
l +x
32. I cos
1dx
2
~
dX = v'2X+T + C
2x + 1
34. I (2x 2 - 4x)9(x - 1) dx
=
= J...(2x 2 - 4X)1 0 +
40
+
±sen 4x
I
? x +
= '2sen-
C
37. I x sen x-? dx
- '2I cos x-?
+
C
=
2 sen2x
39. I In x dx
= X In x - x +
40. I xe' dx
= xe X -
C
C
36. I sen x cos x dx
+c
C
2
sec x) dx
eX
+
C
24. I sen2 t dt
cos t
En los problemas 41 y 42, efectue las operaciones indicadas.
26. I(40 - _ 2 )de
sec e
41.
2
+ 3 sen x dx
+ ~x + 4 dx
+ x-
2
38. I cos3 x dx =
sen x
8t + 1 dt
(2t)4
22. I(-3 cos x
x
35. I cos 4x dx
+ 1)2
vX dx
3
-
3
28. I (15x - 1 - 4 senh x) dx
En los problemas 33-40, use cliferenciacion y la regIa de la
cadena para comprobar el resultaclo cle integracion dado.
12. I ( -5- + -2-) ds
2) dx
I - ge X) dx
31. I tan 2 x dx
Vx2 dx
10. I ( 2 Vi
+
En los problemas 31 y 32, use una identiclad trigonometrica
para evaluar la integral indefinida clada.
13. I (4x + 1)2dx
17.
29. I 2x
1) dx
8. I lOwVw dw
1) dx
27. I (8x
c~ I (x
2
-
4x
+ 5) dx
42. I
1
(x 2 - 4x
+ 5) dx
5.1 La integral indefinida
secci6n transversal del Jfqllido giratorio en el plano xy
esta determinada por
. 11rohlcmas 43-48, res uelva la ecuaci6n diferencial dada.
En Ios
dV
til' ( . 2 + 9
44. -=- = l Ox + 3vX
43. -'- == 1.\
dx
dl
-dr - .r-,
46.
45. dl
dy
dx
(2 +
X
275
dy
w2
=-x
dx
g '
X )2
S
Con ejes de coorde nadas como se muestra en la FIGURA
5.1.5, e ncuentre y =j(x).
dy
dr
48.
47. -d.1 - I - 2x + sen x
dx
cos-? X
49. Encuentre una funci6n y = f(x ) cuya gnifica pase por el
pu nta (2, 3) y que tambie n satisfaga la ecuaci6n diferencial dl'/ dx = 2x - 1.
50. Encuentre una funci6n y = f(x ) de modo quel dy / dx
I/V;: Yj(9) = 1.
=
51. Si f"(x) = 2x, e ncuentre1'(x) y f(x).
52. Encuentre una funci6nftal quef"(x) = 6,1'(- 1) = 2 Y
/(- 1)=0.
53. Encuentre una funci6nftal que f"(x) = 12x2 + 2 para la
cualla pendiente de la recta tangente a su grafica en (1, I)
es 3.
FIGURA 5.1.5
Cubo en el problema 57
58. Los extremos de una viga de longitud L estan sobre dos
soportes como se muestra en la FIGURA 5. 1.6. Con una carga
uniforme sobre la viga, su forma (0 curva elastica) esta
determinada a partir de
54. Sill/ I(x) = 0, l,cmll esf?
En los problemas 55 y 56, la grafica de la funci6n f se muestra en azul. De las gnificas de las funciones F, G y H cuyas
gn:ificas se muestran en negro, verde y rojo, respectivamente,
i,cual func i6n es la grafica de una antiderivada de f? Justitiq lle su razonamiento.
donde E, I Y q son constantes. Enclle ntre y
f(O) = 0 y 1'(L/ 2) = o.
1=
55.
=
f (x) si
viaa
/
it
-zs:
b
) x
f+-I·--L - - ·I
F
FIGURA 5.1.6
Viga en el problema 58
=
Piense en ella
En los problemas 59 y 60, determine f
FIG URA 5.1.3 Gnlficas para el probl ema 55
59. ff(X) dx = In llnxl + C
56.
--y = f(x)
60.
f
f(x) dx = x 2e' - 2xe X
+
2e X
+
C
61. Encuentre una funci6n f tal que f'(x) = x 2 Y y = 4x
sea una recta tangente a la grafica de f
+7
62. Simplifique la expresi6n e4Jdx/x tanto como sea posible.
63. Determine cmU de los dos resultados siguientes es correcto :
H
o
FI GURA 5.1.4
Graficas para el probl ema 56
=
Ap licaciones
57. U n cubo que contiene un Uquido gira alrededor de un eje
vertical a velocidad angular constante w. La forma de la
64. Dado que
!
sen
TTX
=
7T
cos
7TX,
encuentre una antideri-
vada F de COS7TX que tenga la propiedad de que
Fm=
O.
276
CAPITULO 5 Integral es
5.2
Integracion por sustitucion u
I Introduccion
En la ultima seccion se anali zo el hecho de qu e para cad a f6rmula para la deri vada de una funcion hay una formula de antiderivada 0 integral indefinida correspondiente. Po r
ejemplo, al interpretar cada una de las funciones
'*
x" (n
-1),
cos x
y
como una antiderivada, se encuentra que la " revers a de la derivada" correspondiente es una fa milia de antiderivadas:
x" + 1
x"dx= - - + C
n + 1
J
.
R e\ ' l se
I
.,
a SCCC IOIl
(n
'*
J~dx =
- 1),
Jcos x dx =
In lx l + C,
sen x
+
C.
( I)
) ..... En la siguiente exposicion se analiza la "revers a de la regia de la cadena" . En este amlli sis el
4( ....
.•
./
.
'
concepto de dlferencml de una funclOn desempena un papel Importante. Recuerde que si u ==
g(x) es una funci6n diferenciable, entonces su diferencial es du = g'(x) dx .
Se empieza con un ejemplo.
I Potencia de una funcion
Si deseamos encontrar una funcion F tal que
J(5x + 1)1 /2 dx = F(x) + C,
F'(x)
debemos tener
=
(5x
+
1)1 /2.
Al razonar "hacia atras", podemos argumentar que para obtener (5x + 1)1 /2 necesitamos haber
diferenciado (5x + 1)3/2. Entonces, pareceria que es posible proceder como en la primera formula en (1); a saber: incrementar la potencia por 1 y dividir entre la nueva potencia:
(5x
J
+
1)1/2 dx
(5x
=
+
1)3/2
3/ 2
+
C
2
= - (5x + 1)3/2 + c.
(2)
3
Lamentablemente, la "respuesta" en (2) no concuerda, puesto que con la regIa de la cadena, en
la forma de la regIa de potencias para funciones, se obtiene
!!..-[l(5X
d.x3
+
1)3/2 +
c] =
l.2(5x
32
+
1)1 /2 . 5
= 5(5x + 1)1/2 '* (5x + 1)1/2
.
(3)
Para tomar en cuenta el factor 5 faltante en (2) usamos el teorema 5.1.2i) y un poco de pel'spicacia:
J(5x + 1)1 /2 dx = J(5x + 1)1 /2 [ ] dx ..... ~
=
tJ
=
1 2
'5'
'3(5x +
!c5x
+
J )1 /2 51 dx
.....
1)3/2 + C .....
=
I
deri vacla de
~(5X + I) ' ~
pOi (3 )
2
= 15 (5x + 1?/2 + c.
Ahora, usted debe comprobar por diferenciaci6n que la ultima funci6n es, en efecto, una anti derivada de (Sx + 1)1/2.
La clave para evaluar integrales indefinidas como
J(5x + 1)1 /2 dx,
y
Jsen lOx dx
(4)
reside en el reconocimiento de que los integrandos en (4),
x
y
sen lOx
son resultado de diferenciar una funci6n compuesta por medio de la regIa de la cadena. Para
hacer este reconocimiento es uti! realizar una sustituci6n en una integral indefinida.
5.2 Integraci6n par sustituci6n u 277
Teo rema 5.2.1
Re la de la sustituci6n u
Si II 0= g (x) es una func i6n di fe re nciab le cuyo ra ngo es un inte rva [o I , f es una f unci6n continua sobre I y F es una anti de ri vada de f sobre I, entonces
f fC(?( X»g'(X) dx
DEM OSTRACION
=
f fC U) du o
(5)
Por ia reg ia de la cadena,
=
(,1' F (g(x»
(,x
F '(g (x»g'(x )
y cntonces por la defi nici6n de antiderivada tenemos
f F'(g(x»g'(x) dx
=
F(g(x »
puesto que F es un antiderivada de j; es dec ir, si F'
f f(g(X»g'(X) dx
= F(g(x» +
C
+
C.
= ,f, entonces la lfnea
= F (u) +
C
=
f F '(u) dL!
=
precedente se vuelve
f f( U) duo
(6)
.
La interpretaci6n del resultado en (6) y su res umen en (5 ) es sutil. En la secci 6n 5. 1, el slmbolo dx se us6 simple mente como un indicador de que la integraci 6n es con respecto a la vari able x. En (6) observamos que es permisible interpretar dx y du como d(ferenciales.
u L a idea basi ca consiste en poder reconocer un a integral indefinid a en
una variable x (como [a proporcionada en (4» que sea la reversa de la reg ia de la cadena al converti rl a en una integral indeflllid a diferente en la variable it por medio de la sustituci6n u = g(x) .
Par conveni encia, a continuaci6n se enumeran al gunas directri ces para evaluar f f(g(x»g'(x) dx
al efectuar una sustituci 6n u.
I Uso de la sustituci6n
Directrices para efectuar una sustituci6n u
i) En la integral ff( g(x»g '(x) dx identifique las funciones g(x) y g'(x ) dx.
ii) Exprese la integral totalmente en tenninos del slmbolo u al sustituir u y du por g(x )
y g'(x) dx respectivamente. En su sustituci6n no debe haber variables x ; dejelas en la
integral.
iii) Efectue la integraci6n con respecto a la variable u.
iv) F inalmente, vuelva a su stituir g(x) por el sfmbol o u .
Integral indefinida de la patencia de una funci6n La derivada de la potencia de una funci6n
era un caso especial de la regia de la cadena. Recuerde que si F (x ) = x " + I/ (n + 1), donde 11 es
un numero real, n =1= -1 y si u = g(x) es una funci6n diferenciable, entonces
F (g(x»
=
[ g(X) ] " + I
n + 1
d
-d F (g (x » = [ g (X)]"g'(X).
y
x
Entonces, por el teorema 5.2. 1 de inmediato se deduce que
f
[ g(x) ]"g'(x) dx
=
[ g(X) ] " + 1
11 +
[
+ C.
(7)
En term inos de sustituciones
u
=
g(x )
du
y
=
g'(x) dx,
(7 ) puede resllmirse como sigue:
f
U"+I
u"du = ~
+
C,
En e l si guiente ejemplo se evalua la segunda de las tres integrales indefinidas en (4).
(8)
278
CAPITULO 5 Integra les
'i!§Ml4!.I'
Evalue
J(4x
Solucion
--
Usa de (8)
2X
+ 3)
dx.
6
La integral vuelve a escribirse como
y se hace la identificaci6n
u
= 4x 2 + 3
Luego, para obtener la forma precisa
dividir entre 8:
J
(4x 2 + 3) -6 X dx
du = 8xdx.
y
f u- 6 du es necesario ajustar el integrando al multiplicar y
till
(f ~()
J
~J
2
~------= "8I (4x
+ 3) -6 (8x elx)
=
6
u- elu
<- sli stitli cio n
<- ahora li se ( 8)
5
=
!. u- + C
8 -5
=
Comprobacion por diferenciacion:
![ -;0
'ili@ij!••J
Evalue
J(2x -
(4x
2
+ 3)-5 +
-;0
(4x 2
+
3)- 5 + C. <- Olr<l Sli stilllc io n
Por Ja regIa de potencias para funciones,
c] = ( -
1
4 0)( - 5)(4x
2
+ 3) - 6(8x) =
(4x 2 :
3t
•
Usa de (8)
5) II dx.
Solucion Si u = 2x - 5, entonces du = 2 dx. La integral se ajusta al multiplicar y dividir entre
2 para obtener la forma correcta de la diferencial elu:
J(2x -
5)11 dx
="2IJ~~
(2x - 5)11 (2 elx)
=
~J u11elu
1
U
<- ahorall sc(8)
l2
="2'12+
=
C
~(2x - 5)1 2 + C
24
<- Sli stitllc i6n
.
<- otra SlIslitli cion
•
En los ejemplos 1 y 2, el integrando se "arregI6" 0 ajust6 al multiplicar y dividir por una
constante a fin de obtener la elu id6nea. Este procedimiento funciona bien si de inmediato se
reconoce g(x) en ff(g(x)) g'(x) dx y que a g'(x) dx simplemente Ie falta un multiplo constante id6neo . EI siguiente ejemplo ilustra una tecnica algo diferente.
'iliMIij!.W'
Evahie
Usa de (8)
Jcos x sen x dx.
4
Solucion Para recalcar, volvemos a escribir el integrando como f (cos X)4 sen x dx. Una vez
que se hace la identificaci6n u = cos x, se obtiene elu = -sen x dx. Al despejar el producto sen x
elx de la ultima diferencial obtenemos sen x dx = -duo Luego,
5.2 Integ rac i6n par sustituci6n u 279
I
(cos xt sen x dx =
I~ (~)
-I
4
u du
<- SLislilLicitill
<- ailora Lise
(~)
US
- 5+
C
1
sx + C
--cos
5
.
+- otra sllsrilucioll
•
De nuevo, se solicita que ellector diferencie el ultimo resultado.
En los ej emplos que restan en esta secci6n se alternani entre los metodos empleados en los
ejemplos I Y 3.
En un nivel pnictico no siempre es evidente que se esta tratando con una integral de la forma
J[ g(x) J"g'(X) dx. Cuando trabaje cada vez mas problemas, observara que las integrales no siempre son 10 que parecen a primera vista. Por ejemplo, usted debe convencerse de que al usar sustituciones en u la integral f cos2 x dx no es de la forma f [g(x) lng,(x) dx. En un sentido mas general, en ff(g(x ))g'(x) dx no siempre es evidente que funciones deben escogerse como u y duo
I Integrales indefinidas de funciones trigonometricas
Si u
=
g(x) es una funci6n diferencia-
ble, entonces las f6rmulas de diferenciaci6n
d
du
dx senu = cosu dx
d
- (- cos u)
dx
y
=
du
senudx
conducen, a su vez, a las f6rmulas de integraci6n
I
I
y
Puesto que du = g'(x) dx =
~: dx,
du
cosu dx dx
=
senu + C
du
senu dx dx
=
-cosu
+
(9)
C.
(9) y (10) son, respectivamente, equivalentes a
I
I
cosu du = senu + c,
senu du = -cosu +
1+l3mag.M'
Evalue
I
Solucion
(10)
c.
(11)
(12)
Usa de (11)
cos 2x dx.
Si u = 2x, entonces du = 2 dx Y d.x =
~
II
cos 2x dx
I
=
=
duo En consecuencia, escribimos
ldll
cos 2x (dx)
I
~
I
cos u du
<- sllstilLiCiti ll
<- ailora lise ( I I)
1
= 2'sen u + C
1
= 2'sen 2x + C.
<- (lIra slI slilllcion
•
280
CAPITULO 5 Integrales
Las f6rmulas de integraci6n (8), (11) Y (12) son los amllogos de la regIa de la cadena de las
f6rmulas de integraci6n 2, 4 Y 5 en la tabla 5.1.1. En la tabla 5.2.1 que se muestra a continua_
ci6n se resumen los amllogos de la regia de la cadena de las J6 f6rmulas de integraci6n de la
tabla 5.1.1.
F6rmulas de
1.
3.
s.
7.
9.
11.
Idu = u + C
I1u du = In Iu I + C
Isen u du = -cos u + C
Icsc du = -cot u + C
Iesc ucot u du = -esc u + C
I__
du = tan~l u + C
1+u
2.
4.
6.
2
8.
10.
12.
l_2
Iu"du = -
n
(n
Icos u du = sen u + C
Isec u du = tan u + C
Isec u tan u du = sec u +
I ~dU
= sen~l u
1- u
2
2
I~
du = sec~llu
u
1
2
U
lt
l
- +C
+1
U" +
-
13.
IH'du = -Inb-b + C
14.
Ie" du = elf + C
15.
Icosh u du = senh u + C
16.
Isenh
U
du = cosh u
+C
En otros libros de texto, f6rmulas como 3, 10, 11 Y 12 en la tabla 5.2.1 suelen escribirse con
el diferencial du como numerador:
I
dU,
u
I
I
du
~'
IuW-=-!'
du
du
1 + u-7 '
Pero como a 10 largo del tiempo hemos encontrado que estas ultimas f6rmulas a menudo se
malinterpretan en un entorno de aula, aquf se prefieren las formas proporcionadas en la tabla.
U!!MJlij!.4j
Evalue
I
Usa de la tabla 5.2.1
sec 2(l - 4x) dx.
Solucion Reconocemos que la integral indefinida tiene la forma de la f6rmula de integraci6n
6 en la tabla 5.2.1. Si u = 1 - 4x, entonces du = -4 dx. Ajustar el integrando para obtener la
forma correcta de la diferencial requiere multiplicar y dividir entre -4:
I
1 sec-? u du
-4
1
-4tan u
<-
formula 6 en la tab la 5.2. 1
+C
1
-4tan(1 - 4x) + C.
•
5.2 Integraci6n par sustituc i6n u 281
d1#IQ !'~ Usa de la tabla 5.2.1
c
" ~ dx.
Eva luc .r .r ' + 5
Si u = x
Solucio"
1
?
+ 5, entonces du = 3[ dx Y x
x +
J~
5
2
dx =
31 duo Por tanto,
dx = J 3 _1_ (x 2 dx)
x + 5
= lJ1du
3 u
1
31n Iu I +
=
C
<- forl11u la 3 ell l a tab la 5.2 . I
•
d I3\W!'.' Vuelta a escribir y usa de la tabla 5.2.1
Evalue J
I
dx.
I + e
-2
x
Solucio" La integral dada no se ve como ninguna de las formulas de integracion en la tabla
5.2. 1. No obstante, si el numerador y el denominador se multiplican por e2x , obtenemos
2x
1
dx
l+e-- x
J
Si
II
=
e"l + 1, entonces du = 2e
2x
JeX+l
e
dx.
=
---?-
2
dx, de modo que por la formula 3 de la tabla 5.2.1,
1
dx=lJ 2x 1
(2e 2X dx)
2 e + 1
J I + e- 2x
= lJ1du
2 u
1
"21nlu l +
=
C
= ~ln(e2X + 1) +
C.
Observe que el sfmbolo de valor absoluto puede eliminarse porque e2x
val ores de X.
1¥I3MQ!.':i
Evalue
+
> 0 para todos los
•
Usa de la tabla 5.2.1
Je5x dx.
Sea u = 5x de modo que du = 5 dx. Entonces
Solucion
5x
J e dx =
=
t
5X
J e (5 dx)
tJ
e" du
+--- fonnu la 14 ell la tabl a S.2. I
1
5
= -e" + C
=
D1MIIQI••,
5x
le
+
5
•
C.
Usa de la tabla 5.2.1
e4jx
Evalue
7
J
Solucion
dx.
Si hacemos u = 4/ x, entonces du = (- 4/ x 2 ) dx y (1/ x 2 ) dx =
-±
duo
282
CAPITULO 5 Integ rales
De nuevo a partir de la f6rmula 14 de la tabla 5 .2. 1 observamos que
~±
I
e"du
~l. e" + C
4
~ ± e4/X +
•
C.
'JI3MQ!e'["
EvalUe
Usa de la tabla 5.2.1
Ctan - Ix)2
2 dx .
1+x
I
Como en el ejemplo 7, a primera vista la integral dada no se ve como ninguna de las
f6rmulas en la tabla 5 .2.1. Pero si la sustituci6n u se intenta ca n u = tan- I x y du = _~l_ dx
I + x" '
entonces
Solucion
I
u 2 du
<-- 1'6 nll ul a 2 en la tabl a 5.2. 1
3
=~+c
3
= ~Ctan - I X)3 +
'ii!!I3MQ!e'"
EvalUe
IV
•
c.
Usa de la tabla 5.2.1
I
dx.
100 ~ x 2
Al factorizar 100 del radical e identificar u
obtiene a partir de la f6rmula 10 de la tabla 5.2.1:
Solucion
= I~ x
10 + C.
= sen-
I X
Y du
=
110 dx, el resultado se
•
I Tres formulas alternas
Por razones de conveniencia, las f6rmulas de integraci6n 10, 11 Y 12
en la tabla 5.2.1 se extienden como sigue. Para a > 0,
I Va
I
I
d
2 ~
"
a-
u2
U
= sen-
I I
+u
2
du
= ~ tan
a
I U
~
a
- I
+ C
u
~
a
+C
(1 3)
(1 4)
(1 5)
5.2 Integraci6n par sustituci6n
, '1
u 283
adqui ri r pnlctica, compruebe estos resultados por diferenciaci6n . Observe que la integral
II puede evaluarse nipidamente al identificar u = x y a = 10 en (13).
r~~~tjnida en el ejemplo
I Integral es trigonometricas especiales
Las f6rmulas de integraci6n que se proporcionan en
'e(Tuida, que relacionan algunas funciones trigonometricas con el logaritmo natural, a menudo
~c~rren en la pnictica, por 10 que merecen atenci6n especial:
Jtan x dx = -inlcos x l + C
Jcot x dx = In lsen x l + C
Jsec x dx In lsec x + tan x l + C
(16) <III E n lab la s de fo rmul as de
inl egra les a mc nudo obsc rv,llllos
( 16) cscri la C0 l110
(17)
(18)
=
JCSCXdX = Inlcscx - cot xl
+
(19)
C.
Para encontrar (16) escribimos
J
tan xdx
y se identifica u
= cos
=-
x, du
=
senx
~-dx
cos x
J
(20)
sen x dx, de modo que
J
tanxdx =
J
sen x dx - cos x
J
- 1 - (-senxdx)
cos x
-J~
du
+
-ln lul
-lnlcos
C
xl +
C.
Para obtener (18) escribimos
sec x
+
tan x d
Jsec x dx = Jsec x sec x + tan x
x
sec2 x + sec x tan x dx.
sec x + tan x
J
Si hacemos u = sec x
+ tan
J
x, entonces du = (sec x tan x
sec xdx= J
sec x
~ tan x (sec
2
+ sec2 x)
dx y as!,
x+secxtanx)dx
J~dU
= In lu l
+ C
= Inlsec
x
+
tan xl
+
C.
Tambien, cad a una de las f6rmulas (16)-(19) podemos escribirlas en una forma general:
Jtan
u dx = -Inlcos ul
+
(21)
C
Jcot u du = In Isen u I + C
Jsec u dx = In Isec u + tan u I + C
Jcsc u du = lnlcsc u -
cot ul
+
C.
(22)
(23)
(24)
fla n x dx = In lsee x l
+ c.
Por las pro piedades de lo s
10garill11 os
- In leos x l = In leDs .If
In lsec x l.
'=
284
CAPITULO 5 Integ rales
I Identidades (ltiles
Cuando se trabaja con funciones trigonometricas, a menudo es necesario
usar una identidad trigonometric a para resolver un problema. Las f6rmulas de la mitad de un
angulo para el coseno y el seno en la forma
cos 2 x =
I
2(1
+ cos 2x)
sen2 x
y
I
2(1
-
=
cos 2x)
(25)
son particularmente Miles en problemas que requieren antiderivadas de cos 2 x y sen 2 x .
'¥i3I1IQ!.lfJ
Evalue
Uso de la f6rmula de la mitad de un angulo
Jcos x dx.
2
Solucion Es necesario comprobar que la integral no es de la forma
f6rmula de la mitad de un angulo cos 2 x = ~ (l + cos 2x), obtenemos
Jcos x dx J~(l + cos 2x) dx
~[J dx + ~ Jcos 2x(2 dx) ]
2
I u2 duo
Luego, al usar la
=
=
=
+- yea el cjc lllplo 4
Mx + ~sen2x] + C
1
1
= 2x + 4sen2x+
•
c.
Por supuesto, el metodo ilustrado en el ejempl0 12 funciona igualmente bien para encontrar antiderivadas como J cos 2 5x dx y J sen 2 ~ x dx. Con x sustituida por 5x y luego con x
sustituida por ~ x, las f6rmulas en (25) permiten escribir, respectivamente,
1
I
I
Jcos 5x dx = J2(1 + cos lOx) dx = 2x + 20 sen lOx + C
1
1
1
1
sen- x dx = - (1 - cos x) dx = -x - -sen x + C
2
2
2
.
2
J
J
2
?
En la secci6n 7.4 abordaremos antiderivadas de potencias mas complicadas de funciones
trigonometricas.
f
NOTAS DESDE EL AULA
EI siguiente ejemplo ilustra un procedimiento comun, pero totalmente incorrecto, para evaluar una integral indefinida. Ya que 2xj2x = 1,
2
J(4 + X )1 /2 dx J(4 + X2)1/22x2x dx
=
= ~J(4 + X2) 1/22x dx
2x
= ~JUI/2 du
2x
=
;x .~(4 +
2
X )3/2
+
c.
Usted debe comprobar que la diferenciaci6n de la ultima funci6n no produce (4 + X 2)1/2. EI
error esti en la primera lfnea de la "soluci6n". Las variables, en este caso 2x, no pueden
sacarse del sfmbolo de la integral. Si u = x 2 + 4, entonces al integrando Ie falta la funci 6n
du = 2x dx; de hecho, no hay ninguna forma de arreglar el problema para adecuarse a la forma
dada en (8). Con las "herramientas" con que contamos en este momenta, simplemente no es
posible evaluar la integral I (4 + X 2 )1/2 dx.
5.2 Integraci6n por sustituci6n u 285
Las respuestas de los problemas impares se leccionados com ienza n ell la pag ina RES- 1B.
Ejercicios 5.2
::: Fu ndam entos
43.
44. f v b df)
1 - f)4
En los proble mas I-50, evalue la integral indefini da dacla
L1sando una sustituc i6 n u icl6nea.
I.
3.
I
2.
V\=4x dx
j.
I
d
+
(5x
1)3
4.
X
5. JI VX 2 + 4dx
7.
9.
II.
I
I
se n) 3x cos 3x dx
2
2
tan 2x sec 2x dx
Isen 4x dx
15.
ICv'2r I
17.
Jr
19.
I
13.
21.
23.
27.
29.
cos 61)
dt
2
2
3
sec x dx
esc vX cot vX dx
vX
5cos
16.
18.
20.
I
dx
+
I
I-X
X
+- d
I_l_dX
1
x
x In x
sen (In x)
31.
I
Ie
33.
Ix e- ' dx
x
lOx
dx
dx
2
26.
28
.
30.
32.
37.
34.
39.
41.
I
I
In dX
- - dx
vX
36.
eX - e- x
e
\.
+
\. dx
e .
5 -r
f
I
2
+ 125x2
I
I
I
I
I
I
I
x2
csc (0. Ix) dx
tan 5v sec 5v dv
(5x + 6)- 1 dx
a)
+8G
(x + 3 )2
X + 2 dx
b)
I - sen f) ,if)
f) + cos f)
c)
U
dx
38.
40.
42.
I
X4
fW
e
f
eX cot eX dx
2
52.
f
cos
2
7T X
dx
fsen2~ x dx
56. f +
2
54.
(I
cos 2X)2 dx
Isen x cos x dx = ~sen2 x + C
f
f
sen x cos x dx =
_~COS2 x
I
+ C2
sen x cos x dx = -±cos 2x + C 3 ·
a) Compruebe que la cleri vad a de cada respuesta e n los
incisos a), b) y c) es sen x cos x.
b ) Use un a identidad tri gonometrica para demostrar que
e l resultado en el inciso b ) puede obte nerse a partir
de la res puesta en el inciso a).
c) Sume los res ultados de los inci sos a) y b) para obte ner e l resultado e n el inci so c).
dx
dx
=
dx
I ,y
IY9 ~
3
f
62. E n el probl e ma 6 1:
I ? dx
x (In x)-
-
1
.Jsen- x dx
I - x2
E n los proble mas 57 y 58, res uel va la ecuac i6n dife rencial
dada.
( I - tan X) 5
dy
57. dy = VT--=-x
58. -I
?
dx
GX
cos- x
59. Encuentre una fu nci6n y = I(x) cuya gnifica pase por e l
punto (7T , - I ) Y tambi en satis faga dy/dx = 1 - 6 sen 3x .
60. E ncue ntre una funci o n I tal que f "(x) = ( 1 + 2x)5 ,
teO) = 0 y f'( 0 ) = o.
61. De muestre que :
Ix
X2
5x3
f
f e~'
sen
sen
dx
?
f x dx
53. f
4x dx
.:xl dx
55. f (3 - 2
cos
dx
ell, '
2X
e - v.;
35.
I
sec xdx
dx
E n los prob le mas 5 1-56, use las iclenticlacles e n (25) para
evaluar la integral inclefi nicl a dacla.
51.
2
14. I Sen (2 - 3x) dx
24.
t
sen 2f) cos 4 2f) df)
x
50.
I
49.
- 8
r-·x-,--
. J x" + 2
48.
2
I
I ~ dt
12.
tan 5x dx
tan- I
47.
dx
X)49
10.
22.
2
(7 -
I
I~
8.
I7x ~ 3 dx
- -'-
+
(8x
f
x
- - dx
f +x
46
v i -r
2) 1/ 3 dx
cos (I /x)
2
x sen ..1 dx
x
25.
6.
I
I
2x - 3
, ~ dx
45.
1
Aplicaciones
+
2e
3x
dx
16x 2 dx
f 2 +19r
?
dx
63. Con sidere el pe nclulo pl ano mostrado en la FIGURA 5.2.1,
que oscila e ntre los puntos A y C. Si B es el punto medi o
entre A y C, es posible demostrar q ue
dt \II
ds =
L
g(s~ - S2)'
doncle g es la aceleraci o n debida a la graveclad .
286
CAPITULO 5 Integrales
= 0, demuestre que el tiempo neeesario para
que el pendulo vaya de B aPes
a) Si teO)
t(s)
=
~~sen-I(;J.
En los problemas 65 y 66, use las identidades en (25) para
evaluar la integral indefinida dada.
65. I cos4 x dx
66. I sen4 x dx
b) Use el resultado del ineiso a) para determinar el
tiempo de reeorrido de B a C.
c) Use b) para determinar el periodo T del pendulo; es
deeir, el tiempo para haeer una oseilaei6n de A a C
y de regreso a A.
En los problemas 67 y 68, evalue la integral indefinida dada.
67.
I II
V
x X4
-
16
dx
68.
2x
e
-x--l
dx
+
e
En los problemas 69 y 70, evalue la integral indefinida dada.
/1\
/ )
1
1
1
j
\
69. I 1 - 1cos x dx
\
;,/1: \ \
z
1
/
1
1
1
\
I
\
1
\
A<--fi~~
C=sc
70. I 1
+ sen
1 2x dx
En los problemas 71-74, evalue la integral indefinida dada.
Suponga que f es una funci6n diferenciable.
72. I xf'(5x 2 ) dx
71. I f'(8x) dx
73.
FIGURA 5.2.1 Pendula en el problema 63
vf(2x)
I
f(2x)f'(2x) dx
=
75. Evalue If"(4X) dx sif(x) =
64. Eneuentre una funei6n y = f(x) para la eual fCrr /2) = 0
76. Evalue I {I sec 3x dX} dx.
74.
If'(3X
f(3x
+ 1)
+ 1) dx
~.
Piense en ello
2
dy
y dx = eos 3 x. [Sugerencia: eos 3 x = eos 2 x cos x.]
5.3
EI problema de area
I Introduccion
As! como la derivada es motivada por el problema geometrieo de construir una
tangente a una curva, el problema hist6rico que conduce a la definici6n de integral definida es el
problema de encontrar un area. En especffico, tenemos interes en la siguiente versi6n de este
problema:
• Encontrar el area A de una regi6n acotada por el eje x y la grafica de una funci 6n no
negativa continua y = f(x) definida sobre un intervalo la, b].
EI area de esta regi6n se denomina area bajo la gratica defsobre el intervalo [a, b]. El requerimiento de que f sea no negativa sobre [a, b] significa que ninguna parte de esta grafica sobre
el intervalo esta por abajo del eje x. Yea la FIGURA 5.3.1.
y
~----~----~--~X
a
b
FIGURA 5.3.1 Area baja la gnifica
de f sabre [a. bI
5.3 EI prob lema de area 287
Antes de continuar con la soluci6n del problema de area es necesario hacer una breve digresian para an alizar una notaci6n util para una sum a de numeros como
y
]2 + 22 + 32 + ... + n 2
1 + 2 + 3 + .. . + n
I Notacion sigma
Sea
a"
un numero real que depende de un entero k. La suma
a l
+ a2 + a3
+ ... + ({II se denota por el sfmbolo 2,Z ~ I ak; esto es,
11
~
ak
=
+
al
+
Cl2
(t,
+ ... +
(I)
all"
k~ 1
puesto que 2, es la letra griega mayuscul a sigma, (1) se denomina notacion sigma
de suma. La variable k se denomina Indice d e la suma. Asf,
0
notacion
lerl11 ina con eSle valor de"
_>
cl sil11bolo L indica
la SlIllla de ill,
..s-t
L.,; Cl"
k~ 1
t
el11p ieza con el valor
indicado de "
es la suma de todos los numeros de la forma
k 2, . . . , y termina con k = n.
a" cuando k asume los valores
sucesivos k
=
1,
0=
1!I3M1iJ !.I'
Usa de la nataci6n sigma
La su ma de los diez primeros enteros pares
2
+ 4 + 6 + .. . + 18 + 20
pllede escribirse de manera abreviada como 2, ;~ 12k. La suma de los diez enteros positivos impares
1
+ 3 + 5 + .. . + 17 + 19
•
pllede escribirse como 2,~~1(2k - 1).
EI fndice de la suma no necesita empezar en el valor k = 1; por ej emplo,
5
~ 2k = 23
+ 24 + 25
5
= 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25.
~ 2k
y
k~3
k~O
Observe que la sum a de los diez enteros positivos impares en el ejemplo 1 tambien puede escribirse como 2,~~ 0(2k + 1). Sin embargo, en un analisis general siempre se supone que el indice
de la suma empieza en k = I. Esta suposici6n responde mas a razones de conveniencia que de
necesidad. EI indice de la suma a menu do se denomina variable ficticia , puesto que el sfmbolo
en sf carece de importancia; 10 que importa son los valores enteros sucesivos del fndice y la suma
correspondiente. En general,
II
11
n
n
~ a k = ~ ai = ~ a j = ~all1.
i= 1
j~ 1
111= 1
Por ejemplo,
10
10
10
~ 4k = ~ 4i = ~ 4 j = 4 1 + 42
k~
1
i~ 1
+ 4 3 + .. . + 410.
j~ 1
I Prop iedades A continuaci6n se presenta una lista de algunas propiedades importantes de la
notaci6n sigma.
288
CAPITULO 5 Integrales
Teorema 5.3.1
Propiedades de la notaci6n sigma
Para enteros positivos m y n,
"
i)
/I
L cak = c L ak> donde c es cualquier constante
k~
I
k~
I
ii)
11
11
11
L (ak ± bk) = L ak +
Lbk
k~ 1
k~1
11
L
iii ) Lak = Lak +
k~ 1
k~ 1
k~ 1
11
11/
ak> m < n.
k= lIl + I
La demostraci 6n de la f6rmul a i) es una con secuencia inmediata de la ley distributiva. Por
supuesto, ii) del teorema 5.3 .1 se cumple para la suma de mas de tres terminos; por ejempl o,
II
II
/I
1/
L (ak + bk + Ck) = L ak + L bk + L Ck'
k~
I
k~
I
k~
I
k~
I
I Formulas de sumas especiales Para tipos especiales de sumas indicadas, particularmente
sumas que implican potencias de enteros positivos del indice de la suma (como sumas de enteros positivos con secutivos, cuadrados sucesivos, cubos sucesivos, etc.) es posible encontrar L1na
f6rmula que proporcione el valor numerico verdadero de la suma. Para efectos de esta seccion,
centraremos la atenci6n en las cuatro f6rmulas siguientes.
Teorema 5.3.2
F6rmulas de sumas
Para n un entero positivo y
cualquier con stante,
C
11
i)
11
LC = nc
k~1
11
iii) L e =
n(n
ii) Lk =
+
1)(2n
+
iv)
6
k ~1
2
11
1)
I)
2
k~ 1
n(n
+
Lk 3 =
n (n
+
1)2
4
k~ 1
Las f6rmulas i) y ii) pueden justificarse facilmente. Si C es una con stante, es decir, independiente del indice de la suma, entonces L: ~ ~ I c significa c + c + c + ... + c. Puesto que hay II
c, tenemos L: ~ ~ I C = n' c, que es i) del teorema 5.3 .2. Luego, la suma de los n primeros enteros
positivos puede escribirse como L:~ ~ Ik. Si esta suma se denota por la letra S, entonces
En formaequivalente,
S = 1
+
2
+
+ ... +
S = n
+
(n - 1)
3
+
(n - 2)
(n - 2)
+
(n - 1)
+ .. . +
3
+
2
+
n.
(2)
+ I.
(3)
Si sumamos (2) y (3) con los primeros terminos cOITespondientes, luego los segundos terminos, y asi sucesivamente, entonces
2S
=
(n
,
+
1)
+
(n
+
1)
+
(n
+
I)
+
+
(n
+
1)
=
n(n
+
1).
~-----------------/
II
tcrillinos de
II
+I
Al despejar S obtenemos S = n(n + 1)/2, que es ii). Usted debe poder obtener las f6rmulas iii)
y iv) con las sugerencias que se proporcionan en los problemas 55 y 56 en los ejercicios 5. 3.
1¥J3MQI••j
Usa de f6rmulas de suma
Encuentre el valor numerico de L: ;~ I (k
+
5l
5.3 EI problema de area
Soluci6n
289
AI desarrollar (k + 5)2 y usaI' i) y ii) del teorema 5.3.1, podemos escribir
20
20
2: (k
+
2: (k
5)2 =
k= I
k= 1
20
2: k
=
2
+
~
L.J (k
=
+- sc c!e,' a al cuadrado e l l1 illtllni o
20
+ J02: k +
2: 25.
k= I
(- i) y ii) del I.;o rema 5.3 .1
k= I
20, por las f6rmulas de sumas iii), ii) Y i) del teorema 5.3.2, respecti-
+
k= 1
25)
20
2
k= I
Con la identificaci6n n
vamenle . se concJuye
+
10k
?
20(2 1)(41)
5)- = ---'----'-'----'6
+
20(21)
10- 2
+
•
20·25 = 5470.
La notaci6n sigma y las f6rmulas de sumas anteriores se usan"in de inmediato en el siguienIe aniilis is .
I Area de un triangulo Suponga pOI' el momento que no se conoce ninguna f6rmula para
calcul ar el area A del triangulo rectangulo proporcionado en la FIGURA 5.3.2a). Al superponer un sis-
lema rectangular de coordenadas sobre el triangulo, como se muestra en la figura 5.3.2b), se ve
que el problema es el mismo que encontrar el area en el primer cuadrante acotada por las lfneas
reclas.r = (h/ b )x, y = 0 (el eje x) y x = b. En otras palabras, deseamos encontrar el area bajo la
grMica de y = (h/ b)x sobre el intervalo [0, b] .
AI usar rectangulos, la FIGURA 5.3.3 indica tres formas diferentes de aproximar el area A. Por
conveniencia, seguiremos con mayor detalle el procedimiento sugerido en la figura 5.3.3b).
Empezamos al dividir el intervalo [0, b] en n subintervalos del mismo ancho Llx = b/ n. Si el
punto fronte rizo derecho de estos intervalos se denota por xi, entonces
x'/' = Llx = f!..
n
xi'
=
2Llx
=
FI GURA 5.3.3
Y
It
Y =t;X (b. 11)
~~---------4~ x
2(~)
(b, O)
b) Triallgulo rectallgulo en
un sistema de coordelladas
FIGURA 5.3.2 Ellcuentre el area
A de l triangulo rectangulo
y
y
b
a) Triallgu lo rectangulo
A
x~' = 3Llx = 3(~)
y
b
b
b)
a)
AI
I~b-I
* x :):
2
a) n rectangulos
XI
c)
Aproximaci6n del area A usalldo tres rectallgulos
y
Como se muestra en la FIGURA 5.3.4a}, ahora construimos un rectangulo de longitudf(xk) y ancho
Llx sobre cada uno de estos n subinterval os. Puesto que el area de un rectangulo es largo X
Qncho, el area de cada rectangulo esf(xk') Llx. Yea la figura 5.3.4b) . La suma de las areas de los
1/ rectangulos es una aproximaci6n al numero A. Escribimos
A
e l area es
.f(x~) Ll X
= f(xDLlx + f(x i')Llx + ., . + f(x ;;')Llx,
o en notaci6n sigma,
b) Area de un rectangulo general
1/
A
=
2:f(xk')Llx.
k= l
(4)
FIGURA 5.3.4 El area A del triangu lo es aproximada por la suma
de las areas de n rectangulos
290
CAPiTULO 5 Integrales
Parece valido que reduzcamos el error introducido por este metoda de aproximacion (el are
de cada rectangul o es mayor que el area bajo la grafica sobre un subintervalo [ Xk - I , xd) al divi~
dir el intervalo [0, b] en subdivisiones mas finas. En otras pal abras, esperamos que un a Inejor
aproximacion a A pueda obtenerse usando mas y mas rectangulos (n ~ (0) de anchos decrecien_
tes (~x ~ 0). Luego,
~x,
f(x) =
*=
Xk
k(t)
t(xt)
n '
.
=!!:.n . k
b
~x
y
= n'
de modo que con ayuda de la fonnula de suma ii) del teorema 5.3 .2, (4) se vuelve
~ ~ (h- ·k ) -b -_ 2
bh L"
~ k_ bh '
2
A ~ L"
k= 1
11
11
11
k= 1
n(11
+
I) _ bh (
1)
- - 1+-.
2
11
2
(5)
n
Finalmente, al hacer 11 ~ 00 en el miembro derecho de (5), obtenemos la formula conocida para
el area de un triangulo:
A
= 1.2 bh .
lfm
11->00
(I + 1.) = 1.
2
11
bh.
I EI problema general
Ahora pasaremos del ejemplo precedente especffico a l problema general de encontrar el area A bajo la grafica de una funcion y = f(x) que es continua sobre un intervalo [a, b]. Como se muestra en la FIGURA 5.3.5a) , tambien suponemos que f(x) 2': 0 para toda x en
el intervalo [a , b] . Como sugiere la figura 5 .3.5b), el area A puede aproximarse al sumar las areas
de 11 rectangulos que se construyen sobre el intervalo. A continuacion se resume un procedimiento posible para determinar A:
• Divida el intervalo [a, b] en
=
a
Xo
<
11
subintervaloss
<
XI
X2
xd, donde
[ Xk - I ,
< .. . <
x
ll _
I
<
XII
= b,
de modo que cada subintervalo tiene el mismo ancho ~x = (b - a)/n. Esta coleccion de
numeros se denomina particion regular del intervalo [a, b].
xt
n
• Escoja un numero
en cada uno de los subintervalos [Xk- I , Xk] Y forme los 11 productosf(xn~x. Puesto que el area de un rectangulo es largo X ancho,f(x%')~x es el area del
rectangulo de largo f(x%') y ancho ~x construido sobre el k-esimo subintervalo [Xk - b xd.
Los 11 numeros x'!" x3', x:l', ... , x~' se denominan puntos muestra.
• La suma de las areas de los
11
rectangulos
II
L f(x'l')~x
=
f(x'n~x
+ f(x1')~x + f(xn~x + ... + f(x;~)~x,
k= 1
representa una aproximacion al valor del area A bajo la grMica de f sobre el intervale
[a , b] .
Con estas notas preliminares, ahora ya es posible definir el concepto de area bajo una grafica.
y
y
Y = f{x)
A
x =b
x=a
-+---L--------------------------------~~ X
a
FIGURA 5.3.5
b
a) Area A baj o la grafica
Encuentre el area A bajo la gnlfica de fsobre el intervalo [a, b]
k-I
Xl
b)
17
x" xk
~
I'u
rectangulos
Xn - 1
5.3 EI problema de area
291
Definicion 5.3.1 Area ba'o una grafica
~
Sl!a/colltinua sobre [a, b] y t(x) 2: 0 para toda x en el interva[o. E[ area A bajo la gratica
de (sobre el intervaJo se def1l1e como
.
"
A = Ifm Lf(xn~x.
(6)
II~ OO k =
J
Es posib[e demostrar que cuando / es continua, el lfmite en (6) siempre existe sin importar
e! lll ctodo llsado para dividir [a , b] en sllbintervalos; es decir, [os sllbintervalos plleden tomarse
no de modo que su ancho sea el mismo, y los puntos Xk' pueden escogerse en forma arbitraria
en los subinterva[os [Xk- I, Xk]' No obstante, si los subintervalos no tienen el mismo ancho,
entoll ces en (6) es necesario un tipo diferente de Ifmite. Necesitamos sustituir n -+ 00 por el
requerimiento de que la longitud del subintervalo mas ancho tienda a cero.
°
Para usar (6), suponga que escogemos x%' como se hizo en el analisis de la Figura 5.3.4; a saber: sea
el punto fronterizo derecho de cada subintervalo. Puesto
que el ancho de cada uno de los n subintervalos de igual ancho es ~x = (b - a)/ n, tenemos
I Una forma practica de (6)
xt
xZ'.,. = a + kAuX = a + kb
- -- a.
n
Luego, para k
= 1, 2,
... , n tenemos
x'l'
=a+
xl'."
=
a
~x
= a + -b -n- a
A
X3',. = a + 3 uX
x .'.;;' = a
(b - a)
= a + 3 (b-n-- a)
A
+ 2ux
=a+
2 -n-
(b - a)
A
+ nux
= a + n - n - = b.
y=x+2
y
AI sustituir a + k(b - a)/n por x2' y (b - a)/ n por ~x en (6), se concluye que el area A tambien esta dada por
A
= lim ~
LJ
1/->00
(a
It
Solucion
a) . -b -- a.
(7)
n
-+ 00 implica
~x
A
-+ O.
Area usa ndo (7)
+
Encuentre el area A bajo la grMica de/ex) = x
a '" 0 y b
k -b -It
Observamos que puesto que ~x = (b - a)/ n,
PUMA!'.'
+
k= 1
a)
2 sobre el intervalo [0, 4] .
EI area esta acotada por el trapezoide indicado en la
FIGURA 5.3.68).
Al identificar
y
,/
= 4, encontramos
/
4-0
~x=-n
r.1
4
[7[71:~
=-.
It
I~
/
Asf, (7) se vuelve
A
= lim
L/
11
11---+00 k= 1
(
L/ (4k)
-
4)4
0 + k- = Ifm -4 11
n n
11->00 It k=1
L (4k
-n + 2 )
4[4- L k + 2 L I
Ifmlim -4
11---+ 00 11
n k= 1
k=1
i'
I'll
x~ ---
-
~x =±11
l1->ool1 k =1
11]
/
/
It
11
1/
V
x
x~ = 4
b)
.
~
par las prop iedade s i) y ii) dcl teorClllll 5.3 . 1
FIGURA 5.3.6 Area bajo la grafica
en el ejemplo 3
292
CAPITULO 5 Integra les
Luego, por las formulas de suma i) y ii) del teorema 5.3.2, tenemos
/ -4 [4
A = 11m
-. n(n
11-> 00
n
11
+ I) +
2
2n ]
+ 8]
11m [ 16 n(n : 1)
2
n-
se divide en tre II'
<--
J/~ OO
l) +
+ l) +
Ifm [ 8 (I
II~ OO
= 811m (I
1/.----+00
+
n
8]
8 Ifm I
n
11--+ 00
= 8 + 8 = 16 unidades cuadradas.
U!!3\M4K'I'
y
Area usando (7)
Encuentre el area A bajo la grafica de f(x) = 4 - x 2 sobre el intervalo [- 1, 2].
Solucion
EI area se indica en la FIGURA 5.3.7 a). Puesto que a
LlX =
2 - (- 1)
n
= -1
Yb
= 2, se conc1uye que
3
=-.
n
A continuacion se revisaran los pasos que Bevan a (7). El ancho de cada reetangulo esta dado por
LlX = (2 - ( - 1»/ n = 3/ n. Luego, empezando en x = - 1, el punto fronterizo derecho de los n
subintervalos es
a)
y
3
x·1" = -1 + n
xi: =
X3*
-1 +
= - I
2(~) =
- 1 +.2.
n
+3(~) =- 1
9
+ 11
3
~ x=n
x~'=
b)
FIGURA 5.3.7 Area bajo la gnifica
en el ejemplo 4
-1
+
n(~) = 2.
Entonees, la longitud de cada reetangulo es
f(x'f) =f(-1 +
l) = 4- f-I + l]2
n
n
L
f(xj) = f( -)
+ ~) =
4 - [- I
+~
f(xi) = f( - 1
+
~) =
4 - [- 1
+~
f(x;;) = f( - 1 +
~;) = f(2)
r
r
= 4 - (2)2 =
o.
El area del k-esimo rectangulo es largo X ancho:
f(x*)l
=
k n
(4 - [-1+ kl]2)l = (3 + 6! _9k2 )1.
n
n
n
n2 n
AI sumar las areas de los n rectangulos obtenemos una aproximacion al area bajo la grafica sobre
el intervalo: A = L ~= If(x;' )(3/ n). A medida que el numero n de rectangulos crece sin Ifmite,
obtenemos
5.3 EI problema de area
AI usar las fo rmulas de sumas i), ii) Y iii) de l teore ma 5.3.2 obtene mos
A
,
3[
= lim 11 ..... 00
n
+
Ifm [ 9
11 ..... 00
=
+
9
6
+- .
311
11(11
+
9 (1
9 - 9
=
+
I)
2
n
9
- 2 .
+
1/.(11
1)(211
6
n
1) n
*_ (1
+
l11 )( 2
+
+
293
I)]
1)]
n
•
9 unidades c uad radas.
xt No hay nada e n espec ial si xi' se escoge como el punto fronte ri zo
de recho de eada subintervalo . Volve mos a recalcar que x~' puede tomarse como cualquier 11l1mero convenie nte en [ Xk- I, xd. E n caso de que se elij a x%' como e1 punto fronterizo izquierdo de
cada sub intervalo, e ntonees
I Otras el ecciones para
xt'
=
=
a + (k - l )Lh
b -a
a + (k - 1) - - ,
n
k
=
1,2, .. . ,
11,
y
y (7) 5e volverfa
A
=
b -
a) b -
[{
Ifm ~f a + (k - I ) - . - -.
k=I n n
II
(
(8)
11 -,;00
En el ejempl o 4 , los rectllngul os correspondie ntes serfan como se observa en la FIGURA 5.3.8. En
este easo se hubiera te nido xi' = - 1 + (k - 1)(3/ n). En los proble mas 45 y 46 de los ejercicios
5.3 se Ie pide resolve r el problema de area en el eje mplo 4 escogie ndo Xk' como primer punto
fronterizo izquierdo y punto medio de eada subinte rvalo [ Xk- I, xd . Al elegir xt como el punto
medi o de cada [Xk- I, Xk J, entonces
xt= a + (k - ~)LlX'
Ejercicios 5.3
14. 2 + 6 + 10 + 14 +
Fundamentos
En los problemas 1- 10, desarrolle la suma indieada.
5
5
2.
:L k= k
4.
~TOY
6.
:L
k=
I
10
S.
( _ I )k
:L
k= 12k + 5
4
( 3
10
( _1)k- 1
?
k-
I
5
±
11/ = 0
5
:L
10.
eos h r
k= 1
13. I
+
+
+
5
4
4
+
+
+
7
8
7
+
+
+
+ 11 + 13 +
+ 32 + 64
10 + ... + 37
9
16
15
I
3456
17. 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6
18. 1 + V2 + v'3 + 2 + v5 + ... + 3
71"
I
271"
1
371"
I
471"
19. cos - x - - cos - x + -cos - x - -cos - x
4
p
p
9
1"( 1)
sen (hr/ 2)
k=1
1
38
?
20. f'(l )(x - I ) - - 3- (x - 1)k
En los proble mas 11-20, use notaci6 n sig ma pa ra eseribir la
suma dada .
12. 2
2
8. :L (m + 1)2
j=2
II. 3
16.
I
p
4
7. ~ (/ - 2j)
9.
(2k - 3)
k= 1
1
+
2+3- 4+5
_l + l _ l + .± _ ~
15. 1 -
:L
~ 3k
k=1
4 2k
3.
Rectanglli os usando
los puntos fronterizos izqlli erdos
de los intervalos
(9)
Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES- l B.
=
1.
FIGURA 5.3.8
k = 1, 2, . . . , n.
f (4)(I)
- - 7 - (x - 1)
4
1 (5)( I )
+-
16
P
r (I)
+ - 5- (x -
1)3
-
9 - (x - I ?
E n los problemas 21-2 8, encue ntre el valor numeri co de la
suma dada.
20
21. ~ 2k
k= 1
50
22. ~ ( - 3k )
k= O
294 CAPiTULO 5 Illtegraies
10
23.
1000
L (k +
24.
I)
k= 1
L (k" + 3)
26.
k=1
10
27.
I)
40()
L (VI< -
k=1
:;
6
25.
b) Use el inciso a) para encontrar el valor numeric\) de
L (2k L (6k
2
-
k= 1
10
L (p' + 4)
28.
55. a) Use el inciso a) del problema 54 para demostrar que
L (2i
3
-
5i
+ 3)
i=1
1'=0
v'f(-=-T).
k=1
k)
II
L
r(k +
If - k 2 ] = - I
+
(n
+
1)2
=
11"
+ 211.
k=1
En los problemas 29-42, use (7) y el teorema 5.3.2 para
encontrar el area bajo la grMica de la funcion dada sobre el
intervalo indicado.
29. f(x) = x , [0, 6]
30. f(x) = 2x, [ I , 31
+
31. f(x) = 2x
33. f(x)
=
x
2
I,
Xl
+
40. f(x) = x' - 3x 2
=
42. f(x) =
[-2 , I]
2
{ x' + L,
{x~x++2, 1,
/I
II
L[(k + 1)2-k 2 1 = n + 2Lk .
c) Compare los resultados de los incisos a) y b) para
obtener la formula de suma iii) del teorema 5.3.2.
5.3.2.
[0,2]
O:::;x < I
L:::; x :::; 4
O:::;x
1 :::;
<
x:::;
3
[t
n AI
dividir el intervalo en cuatro subintervalos del mismo
ancho, construya rectangulos que aproximen el area A
bajo la grMica sobre el intervalo. Primero use el punto
fronterizo derecho de cada subintervalo, y luego use el
punto fronterizo izquierdo.
44. Repita el problema 43 para y
[-7T/2,7T/2 ].
=
cos x sobre el intervalo
45. Yuelva a trabajar el ejemplo 4 escogiendo
xt
46. Yuelva a trabajar el ejemplo 4 escogiendo
xl'
23
FIGURA 5.3.9
33
Arrcglo para el problema 56
57. Obtenga la formula para el area del trapezoide proporcionado en la FIGURA 5.3.10.
como el
punto fronterizo izquierdo de cada subintervalo. Yea (8) .
como el
punto medio de cada subintervalo. Yea (9).
En los problemas 47 y 48, dibuje la region cuya area A esta
dada por la formula. No intente evaluar.
= lfm
11-+00
±)
k=I
4 -
I para de-
[0, I]
43. Trace la grafica de y = I /x sobre el intervalo
47. A
= 2k +
FIGURA 5.3.9 puede
usarse para inferir la formuLa de suma iv) del teorema
[0,2 ] 39. f(x) = x 3 ,
+ 4,
1)2 - k 2
56. Muestre como el patron ilustrado en La
[1 ,2]
2x,
+
[2,4]
[ - 3, - I]
38. f(x) = (x - I)l,
41. f(x)
3x - 6,
[-1, I]
36. f(x) = 2Xl + 3,
=
=
34. f(x) = Xl,
[0,2]
,
35. f(x) = I - x 2,
37. f(x)
32. f(x)
[ I, 5]
b) Use el hecho de que (k
mostrar que
4~2
l
n- n
48. A = lfm
11-+00
±
(sen k7T) 7T
k= I n n
=Piense en ello
T
"2
T
1
,---------A --'
I--b-I
FIGURA 5.3.10
1
Trapezoide en el problema 57
58. En un supennercado, 136 latas se acomodan en forma
En los problemas 49 y 50, escriba el numero decimal dado
usando notacion sigma.
49. 0.1111 I I I I
triangular como se muestra en la FIGURA 5.3.11. i,CUantas
latas puede haber en la parte inferior de la pila?
50. 0.3737373737
51. Use la formula de suma iii) del teorema 5.3.2 para encontrar el valor numerico de L~~ 21k2.
+ 7 + 8 + 9 + to + II + 12 usando notacion sigma de modo que el fndice de la s uma
empiece con k = O. Con k = I. Con k = 2.
52. Escriba la suma 8
53. Despeje x: L~ = I(Xk -
x? =
O.
54. a) Encuentre el valor de L~ = I[f(k) - f(k - I)]. Se
dice que una suma de esta forma es teLescopica.
FIGURA 5.3.11
Pila de laras en el problema 58
5.4 La integral definida
59.
63. Una formula de suma para la suma de los n terminos de
una sucesion geometrica finita a, ar, ar2, ... , ({ r,, - I esta
dada por
Use (7) y la formula de suma
3
2
i k4 = n(n + 1)(611 + 9n + n - I)
k= 1
30
para encontrar el area bajo la grafica de f (x)
sobre I -2,2].
=
16 -
6t. Encuentre el area bajo la grafica de y = -\YX sobre3 [0, 8]
al considerar el area bajo la grafica de y = x sobre
o :=; x :=; 2.
°
62. a) Suponga que y = ax + bx + c :2: sobre el interva10 [0, xo] . Demuestre que el area bajo la grafica sobre
[0, xo] esta dada por
b) Use el resultado en el inciso a) para encontrar el area
bajo la grafica de y
10 [2,5].
5.4
=
"
Lar" - I = a
X4
sobre [0, I]
60. Enc ue ntre el area bajo la grafica de y = Vx
al considerar el area bajo la grafica de y = x 2 sobre [0, 1].
Lleve a cabo sus ideas.
2
295
6x 2 + 2x + 1 sobre el interva-
k=1
(I -=..r.").
I
I
Use esta formula de suma, (8) de esta secc ion , y la regia
de L'H6pital para encontrar el area bajo la grafica de
y = eX sobre [0, I] .
64. Un poco de historia En un curso de ffsica para principiantes todo mundo sabe que la distancia de un cuerpo
que cae es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. Galileo Galilei (1564-1642) fue el primero en
descubrir este hecho. Galileo encontro que la distancia
que se mueve una masa hacia abajo en un plano inclinado es proporcional a un entero positivo impar. Por tanto,
la distancia total s que una masa se mueve en n segundos,
con n un entero positivo, es proporcional a I + 3 + 5 +
... + 2n - 1. Demuestre que esto es 10 mismo que afirmar que la distancia total que se mueve una masa hacia
abajo en un plano inclinado es proporcional al tiempo
transcurrido n.
La integral definida
I Introducci6n En la seccion previa vimos que el area bajo la grafica de una funcion continua
no negativa fsobre un intervalo [a, b] se definia como ellfmite de una suma. En esta seccion
vent que elmismo tipo de proceso limite conduce al concepto de integral definida.
Sea y = f(x) una funcion definida sobre un intervalo cerrado [a, b].
Considere los siguientes cuatro pasos :
• Divida el intervalo [a, b] en n subintervalos [Xk donde
j,
xd de anchos LlXk
=
Xk - Xk - I,
a = Xo < XI < X2 < ... < X,, _ ] < Xn = b.
(1)
La coleccion de numeros (1) se denomina particion del intervalo y se denota por P.
Sea IIPII el mayor numero de los n anchos de los subintervalos LlXI, LlX2, .. . , Llx//, EI
numero IIPII se denomina norma de la particion P.
o
Escoja un numero x'!: en cada subintervalo [Xk-I, xd como se muestra en la FIGURA 5.4.1.
Los n numeros x'j', xt
x;;' se denominan puntos muestra en estos subintervalos.
• Forme la suma
o
xt .. . ,
L" f(Xk')Llxk'
XiI I
I
I
.
I I
FIGURA 5.4.1 Punto ll1uestra
en [Xk-I, xkl
I
x1'
(2)
k=1
Sumas del tipo proporcionado en (2) que corresponden a varias particiones de [a, b] se
denominan sumas de Riemann en honor del famoso matematico aleman Georg Friedrich
Bernhard Riemann .
Aunque el procedimiento anterior parece muy semejante a los pasos que llevan a la definicion de area bajo una grafica dada en la seccion 5.3, hay algunas diferencias importantes.
Observe que una suma de Riemann (2) no requiere que f sea continua 0 no negativa sobre el
intervalo [a , b]. Asi, (2) no necesariamente representa una aproximacion al area bajo una grafica. Tenga en cuenta que "area bajo una grafica" se refiere af area acotada entre fa grafica de una
fUllcion continua no negativa y ef eje x. Como se muestra en la FIGURA 5.4.2, sif(x) < para alguna x en [a , b], una suma de Riemann puede contener terminos f(XZ')Llxb donde f(x'!:]) < 0. En
este caso, los productos f(Xk')Llxk son numeros que son los negativos de las areas de rectangulos
trazados abajo del eje x.
°
FIGURA 5.4.2 La funci6n f es
positiva y negativa sobre el
intervalo [a, b I
296
CAPITULO 5 Integrales
'¥13MR!.I'
Una suma de Riemann
----
Calcu le la suma de Riemann paraf(x) = X2 - 4 sabre [-2, 3 ] can cinco subintervalos deterl11ina_
das par Xo -- - 2 , XI -- - 2,
I
7
- 3
.* I
X2 -- 0 , X3 -- I , X4 -- 4,
Xs YXI
- - 1, X2* -- -4'1 X3.* -- 2,
x:j'.,. "" *
x~ = ~ . Encuentre la norma de la particion.
-'
Solucion En la FIGURA 5.4.3 se muest:ra 9ue los numeros x}, k = 0, 1, .. . , 5 determinan cinco
subintervalos [-2, -~] , [ -~, 0] , [0,1], ll , Y [~, 3] del intervalo [- 2,3] Y un punta I11Uestra
xi' (en roj o) dentro de cada subintervalo.
n
I
x l =-- x2 = O
7
x4 = -
x3=1
~= - 2,-__~~__~_2~~tr-~~~tr-~~t~4__~~__'~Xs=3
""'I
",
I
'"
x[ = FIGURA 5.4.3
X
t i ,-' 3=2:I
2= - 4
" t3
. ts
X4 = 2:
Xj =2:
I
'X
Cinco subintervalos y puntos muestra en el ej emplo I
Luego, evalue la funcionf de cad a punta muestra y determine el ancho de cada subintervalo:
f(x'/')
= f( -
I)
= -3,
f(x D
= f(-
±) =
-
f(xj') = f(±) =
f(X 4') =
f( xD
=
LlXI = XI - Xo = - =
~~,
~,
LlX2 = X2 - XI = 0 -
f(~) = ~,
LlX4 = X4 - X3 =
f{%) = ~,
LlXs =
'24 -
X4 = 3 -
Xs -
2"1 -
(-2) =
2"3
(-±) = ±
1=
1.4
7
5
4 = 4'
Entonces, la suma de Riemann para esta particion y esa eleccion del punto muestra es
fex,/,)LlXI
=
+ f(XnLlX2 + f(xD LlX3 + f(X n
LlX4
+ f(xnLlXs
(-3)(~) + ( - ~~)(±) + (- ~)c1) + (-~)(~) + (~)(~) =
279
-32= - 8 .72 .
AI analizar los valores de los cinco LlXk observamos que la norma de la particion es
IIPII
=~. •
Para una funcionfdefinida sobre un intervalo [a , b] , hay un numero finito de posibles sumas
de Riemann para una particion dada P del interval0, puesto que los numeros x%' pueden escogerse arbitrariamente en cada subintervalo [ Xk - ], xd .
hMiMQ!.Wj
Otra suma de Riemann
Calcule la suma de Riemann para la funcion del ejemplo I si la particion de [ - 2, 3] es la misma
xj' = x~' = ~ y x~' = 2.1.
pero los puntos muestra son xi = -~, xi' =
-i,
t
Solucion Solo es necesario calcular f en los nuevas puntos muestra, puesto que los numeros
LlXk son los mismos que antes:
f(x'f) =
f(xD
f(-~) = ~
= f(
-t) = 2651
f(xn = f(~) =
~~
f(x1') = f(~) =
~
f(xD = f(2.1) = 0.41.
5.4 La integral definida
AI101,.,\ 1'\' .suma de Riemann es
'(.r'i' ) ~.rl + I(xD6. x 2 + f(x j')6. X3
j
=
297
+ f(x1')6. X4 + f(X~')6.X5
(-~)(~) + (-2~1)(~) + (-~~}l) + (-~)(~) + (0.41)(~) = -8 ,85 , •
Tcnc\1l0S interes en un tipo especial de lfmite de (2), Si las sumas de Riemann L~ = d(Xk')6.Xk
es tan proximas a un numero L para toda partici6n P de [a, b] para la cual la norma IIPII este
cerca de cero, entonces escribimos
/I
lim Lf(Xk') 6.Xk
IIPII--+O k =
=
L
(3)
\
Yse dice que L es la in~egral definida d,e f sobre el intervalo [a , b], En la siguiente definici6n
se introduce un nuevo sllnbolo para el numero L.
Defini cion 5.4.1 La inte,gral definida
Sea/una fu nci6n definida sobre un intervalo cerrado [a , b], Entonees la integral definida de
j de a a b, que se denota por I:;I(x) dx, se define como
I>
I"
/I
f(x) dx = lim Lf(xt)6.Xk'
I PII--+Ok =
(4)
I
Si el lfmite en (4) existe, se dice que la funci6njes integrable sobre el intervalo, Los numeros a y b en la definici6n precedente se denominan limite inferior y limite superior de integl'acion, respectivamente. La funci6n f se denomina integrando. EI slmbolo integral I, segun 10
lI saba Leibniz, es una S alargada que representa la palabra suma. Tambien observe que IIPII --+ 0
siempre implica que el numero de subintervalos n se vuelve infinito (n --+ (0). No obstante,
como se muestra en 1a FIGURA 5.4.4, el hecho de que n --+ 00 no necesariamente implica IIPII --+ O.
I Integrabilidad
En los dos teoremas siguientes se plantean condiciones que son suficientes
para que una funci6nfsea integrable sobre un intervalo [a , b]. No se proporcionan las demostraci ones de estos teoremas.
Teorema 5.4.1
Continuidad implica integrabilidad
Si fes conti nua sobre el intervalo cerrado [a, b] , entonces I(~f(x) dx existe; es decir,f es integrable sobre el intervalo.
Hay funciones definidas para cada valor de x en [a , b] para las cuales el limite en (4) no
existe. Tambien, si la funci6nfno esta definida para todos los valores de x en el intervalo, la integral definida puede no existir; por ejemplo, despues se vera por que una integral como
J~P/x) dx no existe. Observe que y = l /x es discontinua en x = 0 y no esta acotada sobre el
intervalo. Sin embargo, a partir de este ejemplo no debe conc1uirse que cuando una funci6n f
tiene una discontinuidad en [a , b],
f(x) dx necesariamente no existe. La continuidad de una
funci6n sobre [a , b] es condici6n s~ficiente pero no necesaria para garantizar la existencia
de t'f(x) dx. El conJ'unto de funciones continuas sobre [a , b] es un subconjunto del conjunto de
"
fllnciones
que son integrables sobre el intervalo.
EI siguiente teorema proporciona otra condici6n suficiente para integrabilidad sobre [a , b ].
r
Teorema 5.4.2
Condiciones suficientes para integrabilidad
Si una funei6n f esta acotada sobre el intervalo cerrado [a, b], es decir, si existe una constante positiva B tal que - B ~ j(x) ~ B para toda x en el intervalo y tiene un numero finito
de discontinuidades en [a , b], entonces f es integrable sobre el intervalo.
IIPII
~
a
~ II
I
I
t
•
b
el numero de intervalos
se vuelve una infinidac1
FIGURA 5.4.4 Una infin idac1 de
subintervalos no implica IIPII-- 0,
•
CAPITU LO 5 Integ rales
298
Cuando una funcion f esta acotada, su gnifica completa debe estar entre dos rectas hori zo
- n·
tales, y = B YY = -B . En otras palabras, If(x) I :S B para toda x en [ a, b ] . La funcion
y
y = f(x)
f(x )
-t--+--t--+--
x
FIGURA 5.4.5 La integral definida
de f sabre [0, 3] existe
Y= f(x )
0 :Sx<2
2 :Sx:s3
mostrada en la FIGURA 5.4.5 es di scontinua en x = 2 pero esta acotada sobre [0, 3] , puesto qUe
If(x)1 :S 4 para toda x en [0, 3]. (Para el caso, I :S f(x) :S 4 para toda x en [0, 3] muestra que f
esta acotada sobre el intervalo.) Por el teorema 5.4.2 se concluye que f 6'l(x) dx exi ste. La FIGU_
RA 5.4.6 muestra la grMica de una funcion f que no esta acotada sobre un intervalo l ({, b I. Sin
importar cuan grande sea el numero B escogido, la grMica de f no puede estar confinada a la
region entre las rectas horizon tales y = B YY = - B.
Si se sabe que una integral definida exi ste (por ejemplo, el integrando f es
continuo sobre [a , b J), entonces:
I Partici6n regular
y
Y=8
a
{~:
=
b
--~-~--~-_x
V=
-8
FIGURA 5.4.6 La funci 6n f no
est,] acotacla sabre [a, b]
• Ellimite en (4) existe para cualquier forma posible de particion [a, b] y para toda forma
posible de escoger xl' en los subintervalos IXk- h xd .
En particular, al escoger los subintervalos del mismo ancho y los puntos muestra como los puntos fronterizos derechos de los subinterval os [Xk - I, xd , es decir,
Llx
b-a
= -n
.'.
x,,' = a
y
+
b - a
k- n
,
k = 1, 2, ... , n,
la expresion (4) puede escribirse en forma alterna como
b
f(x) dx
J
a
=
11
(
Ifm 2-f a
11-4 00
a
+ kb -- -a)b-- -.
n
k= 1
n
(5)
Recuerde por la seccion 5.3 que una particion P de [a , b) donde los subintervalos tienen el
mismo ancho se denomina partidon regular.
I Area
Tal vez usted concluya que los planteamientos de rf(x ) dx dados en (4) y (5) son
exactamente los mismos que (6) y (7) de la seccion 5.3 para el ~aso general de encontrar el area
bajo la curva y = f(x) sobre [ a, b]. En cierta forma esto es correcto; no obstante, la definicion
5.4.1 es un concepto m:is general puesto que, como ya se observo, no estamos requiriendo que f
sea continua sobre [a, b 1 0 que f(x) 2:: 0 sobre el intervalo, Por tanto, una integral definida no
necesita ser un area . Entonces, ~que es una integral definida? Por ahora, acepte el hecho de que
una integral definida es simplemente un numero real. Compare esto con la integral indefinida,
que es una funcion (0 una familia de funciones) . EI area bajo la grafica de una funcion continua
no negativa, ~ es una integral definida? La respuesta es sf,
Teorema 5.4.3
EI area como integral definida
Sif es una funcion continua sobre el intervalo cerrado [a, b 1y f(x) 2:: 0 para toda x en el intervalo, entonces el area A bajo la grafica sobre [a, b 1 es
I>
A =
I f(x) dx,
(6)
a
'=!I3f'!IR!'W'
y
r--?
I y = 'JI -x"
EI area como integral definida
Considere la integral definida
f ~ I ~ dx.
EI integrando es continuo y no negativo, de
modo que la integral definida representa el area bajo la grMica de f(x) = ~ sobre el
intervalo [-1, 1]. Debido a que la grafica de la funcion f es el semicirculo superior de
x 2 + / = I, el area bajo la grMica es la region sombreada en la FIGURA 5.4.7. Por geometrfa sabemos que el area de un cfrculo de radio r es 7Tr2, y asf con r = 1 el area del semicfrculo y, por
-+-----+----~x tanto, el valor de la integral definida, es
- I
FIGURA 5.4.7
ejemplo 3
Area en el
•
5.4 La integra l defini da
En la secci6n 6.2 volveremos a la cuesti6n de encontrar areas por medio de la integral defi nida.
I!I ""r
Integral definida usando (5)
y
y = x3
tcnt' 1ll0S
f(
- 2
+
~:) = ( - 2 + ~:Y = -S + 36(~) - 54(:~) + 27(:: ).
Luego. par (5) y las f6rmulas de suma i), ii), iii) Y iv) del teorema 5.3.2 se concluye que
f
I
,
x ' dx
,
,11
.(
3k)3
= lim
"".:£1 -2 + II -,>OO k= I n n
3
(k)
- 54 (k2
2 ) + 27 (k3" )]
II-,>oo n k= I n n
n
lim -3 "".:£
.II [ - S
+
36 -
Ifml[-sn + 36 . n(n +
II-,>oo n
1) _ 54. n(n
n2
2
n
}~![ - 24 + 54( I +;) =
- 24 + 54 - 27(2) +
+
27( 1
1)(2n
FIGURA 5.4.8 GnHic<l de la
fun ci6n en e l ejemplo 4
+ I) +
6
+ ~)( 2 + ;) +
2
27. n (n
+ 1)2]
n3
4
~1 (1 + ~)( I + ;)]
15
Sl
4 = - 4'
En la FI GURA 5.4.8 se muestra que no se esta considerando el area bajo la gr<ifica sobre [ - 2, 1] .
1,IMI14!'Xi
•
Integral definida usando (5)
Los val ores de las sumas de Riemann en los ejemplos I y 2 son aproximaciones al valor de la
integral definida f~ 2 (X2
4) dx. Se deja como ejercicio demostrar que (5) da
-
3
f
(x 2
4) dx
-
=
25
-3 =
- S.33.
-2
•
Yea el problema l6 en los ejercicios 5.4.
I Propiedades de la integral definida
A continuaci6n se analizaran algunas propiedades
importantes de la integral definida que se defini6 en (4).
Las dos siguientes definiciones son utiles cuando se trabaja con integrales definidas.
Definicion 5.4.2 Lfmites de integraci6n
i) Igualdad de limites
Si a esta en el dominio de f, entonces
a
f
f(x ) dx
=
O.
(7)
(/
ii) Inversion de limites
Si f es integrable sobre [a, b], entonces
( ~f(x) dx
Jh
= - f bf(X) dx.
(S)
(/
La definici6n S.4.2i) puede motivarse por el hecho de que el area bajo la grafica de f y por
arri ba de un solo punto a sobre el eje x es cero.
En la definici6n de rf(x) dx se supuso que a < b, de modo que la direcci6n de "costumbre" de la integraci6n defi~ida es de izquierda a derecha. EI inci so ii) de la definici6n 5.4.2 establ ece que invertir esta direcci6n, es decir, intercambiar los Hmites de integraci6n, resulta en la
negativa de la integral.
299
300
CAPITULO 5 integra ies
1!1#14!"\I
Definici6n 5.4.2
Por el inci so i) de la defini cion 5.4.2,
1o..; limitc . . de
1!I3MI4!'.'
inl l'~ral· i(lIl
~
r (X 3+ 3x) dx = O.
•
Otro repaso al ejemplo 4
En el ejemplo 4 vimos que
J~2 X3 dx = -.If. Por el inci so ii) de la definicion 5.4.2 se conclu; ;
2
f
3
x dx
= -
I
II
3
x dx
15
15
= - (- 4) = 4'
•
-2
En el siguiente teorema se enumeran algunas de las propiedades basicas de la integral cletinida.
Estas propiedades son analogas a las propiedades de la notacion sigma proporcionadas en el teare_
ma 5.3.1 , aSI como a las propiedades de la integral indefinida que se analizaron en la secci6n 5. 1.
Teorema 5.4.4
Propiedades de la integral definida
Si f y g son funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a, b], entonces
i) ( bkf (x) dx
= k ( "f(x) dx , donde k es cualquier constante
Ja
Ja
= ( hf(X) dx::t
Ja
ii) ( " [f(x) ::t g(x)] dx
J,
( "g(x) dx.
Ja
El teorema 5.4.4ii) se extiende a cualquier suma finita de funciones integrables sobre el intervalo [a, b) :
J(" [.fI(x) + f 2(X) +
... + Ux)] dx =
J(".fI(x) dx + L(I'.f2(x) dx +
a
G
{/
... +
L("f ,(x ) d.r.
It
La variable independiente x en una integral definida se denomina variable ficticia de integracion. El valor de la integral no depende del sfmbolo usado. En otras palabras,
J(bf (x) dx =
I"fe r) dr = II>f(s) ds = I"f( r) dt
(/
(/
a
(9)
(/
y aSI sucesivamente.
t!I3M4!" :'
Otro repaso al ejemplo 4
POI' (9), no importa que slmbolo se use como la variable de integracion:
•
15
4'
Teorema 5.4.5
Propiedad aditiva del intervalo
Si f es una funcion integrable sobre un intervalo cerrado que contiene a los numeros a, b y
C, entonces
b
I f (x) dx Ief(x) dx + I"f(x) dx.
=
y
a
II
I
I
b
Jc f (x) dx
a
I
:
= -----'-.-x
c
b
'-----~v---_/
b
a f (x ) dx
J
FIGURA 5.4.9
aditivas
Las areas son
(10)
c
Resulta facil interpretar la propiedad aditiva del intervalo dada en el teorema 5.4.5 en el casa
especial en que f es continua sobre [a , b) y fCx ) 2: 0 para toda x en el intervalo. Como se ve en
la FIGURA 5.4.9, el area bajo la grafica de f sobre [a, c) mas el area bajo la grafica del interval o
adyacente [c, b) es la misma que el area bajo la grafica de f sobre todo el intervalo [a, b].
Nota: La conclusion del teorema 5.4.5 se cllmple cuando a, b y c son tres numeros cualesq/liera en un intervalo cerrado. En otras palabras, no es necesario tener el orden a < c < b como se
muestra en la figura 5.4.9. Ademas, el resllitado en (10) se extiende a cualquier numero tinito de
numeros a, b, C I , Cb .. . , c" en el intervalo. POI' ejemplo, para un intervalo celTado que contiene
a los numeros a, b, CI Y C2,
fiCX) dx = fj·CX) dx + fICX) dx + fi(X) dx.
{/
a
(" I
1":
5.4 La integral definida 301
para Lill a particion P dada de un intervalo [a, b], tiene sentido afirmar que
/I
Ifm ~
I PI-->O k = I
aXk
= b - a,
(11)
l)'llabras, el Ifmite lim L;'=I ax/, es simplemente el ancho del intervalo. Como una conen 0 (fa .S '
11P11.... o "
secuencia de ( II) , tenemos el siguiente teorema.
,...--Teo rema 5.4.6
Integral definida de una constante
y
1:'--
y= k
Para cLialquier con stante k,
(b
(b
J k dx = k J
=
dx
b
k(b - a).
fc,k dx
a
(f
-+--~----------~~ x
a
Si f.: > 0, entonces el teorema 5.4.6 implica que flJk
dx es simplemente el area de un rectana
gulo de ancho b - a y altura k. Yea Ia FIGURA 5.4.10.
dWJiQ!'1i1 Integral definida de una constante
Por el teorema 5.4.6,
r r
5 dx = 5
I!I8MQ!.I !e'
Evalue
f2 +
Soluci6n
(x
3
dx = 5(8 - 2) = 30.
•
Uso de los ejemplos 4 y 9
5) dx.
Por el teorema 5.4.4ii) podemos escribir la integral dada como dos integrales:
f
(X
3
+
5) dx =
2
ft
3
Luego, por el ejemplo 4 sabemos que I ~2X3 dx =
J ~25 dx = 5 [1 - ( - 2)] = 15. En consecuencia,
f2
(x
3
+ 5) dx
= ( -
dx
+
L>
dx.
- .!f, y con ayuda del teorema 5.4.6 vemos que
11) + 15 = ~.
•
Por ultimo, los siguientes resultados no son sorprendentes si Ia integral se interpreta como
un area.
Teorema 5.4.7
Propiedades de comparacion
Sean f y g funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a, b] .
i)
Si f(x ) 2': g(x) para toda x en el intervalo, entonces
ff(X) dx 2':
a
f
g(x) dx.
a
ii) Si m :5 f(x) :5 M para toda x en el intervalo, entonces
m(b - a):5 ff(X) dx :5 M(b - a).
a
Las propiedades i) y ii) del teorema 5.4.7 se entienden facilmente en terminos de area. Para
i). si se supone f(x) 2': g(x) 2': 0 para toda x en [a , b], entonces sobre el intervalo el area A I bajo
la grMica de f es mayor que 0 igual al area A2 bajo la grafica de g. En forma semejante, para ii)
si se Supone que f es continua y positiva sobre el intervalo cerrado [a , b] , entonces por el teorema
b
!---b - Cl----+j
FIGURA 5.4.10 Si k > 0, el area
bajo la gratica es k(b - a)
302
CAPITULO 5 Integrales
del valor extremo,ftiene un mlnimo absoluto m > 0 y un maximo absoluto M > 0 en el interva_
10. Entonces, el area bajo la grafica I,~f(x) dx sobre el intervalo es mayor que 0 igual al area
m(b - a) del rectangulo mas pequeno mostrado en la FIGURA 5.4.11a) y menor que 0 igual al
area M(b - a) del rectangulo mas grande mostrado en la figura 5.4.1 Ib).
'"
mfnimo
el area es
Si en i) del teorema 5.4.7 se hace g(x) = 0 y se usa el hecho de que I,;' O dx = 0, se ConcIu_
lII(h - 0)
-+-..J..a-'--------'-b- x ye 10 siguiente:
)' 1
v = I (·q
•
a)
y
Sif(x)
2:
0 sobre [a, b], entonces I,~f(x) dx
En fonna semejante, al escogerf(x)
Y
= I(.r)
,
,
• Si g(x)
= 0 en
( 12)
i) , se concluye que:
0 sobre [a, b], entonces I"g(x) dx
::5
O.
2:
{/
O.
::5
( 13)
,
I
el area es:
M(b - 0)'
+--'a-------'-b- x
I Area neta con signo Debido a que la funci6n f en la FIGURA 5.4.12 asume valores tanto positivos como negativos sobre [a, b] , la integral definida J,~f(x) dx no representa area bajo la grMica
defsobre el intervalo. Por el teorema 5.4.5, la propiedad aditiva del intervalo,
b)
FIGURA 5.4.11
+
ff(X) dx = r :l(X) dx
Motivaci6n para e l
inci so ii) del teorema 5.4.7
Debido a quef(x)
2:
0 sobre [a, CI] y
[C2>
L :l(X) dx
+
flex) dx.
(14)
b] tenemos
y
flex) dx
=
y
Al
a
d-:---.:'-b~X
FIGURA 5.4.12 La integra l
definida de f sobre [a, b] proporciona el area neta con sig no
ff(X) dx
= A 3,
C2
donde Al y A3 denotan las areas bajo la grafica defsobre los intervalos [a, cJl y [C2, b], respectivamente. Pero puesto quef(x) ::5 0 sobre [CI, C2] en virtud de (13), tenemos I «,' f(x) dx ::5 0 Y
aSI I (Ie, f(x) dx no representa area. No obstante, el valor de I CIC1(x) dx es el negativo del area verdadera A2 acotada entre la grafica de f y el eje x sobre el intervalo [ CI, C2]. Es decir,
Je':' f(x) dx = -A 2 • Por tanto, (14) es
flex) dx
= Al + (-A 2) + A3 = Al
-
Az + A 3 ·
"
y
y = x'
,.,.".+-,,--+-~__ x
Vemos que la integral definida proporciona el area neta con signo entre la grafica de f y el eje
x sobre el intervalo [a, b].
"jiMijle'"
Area neta con signo
EI resultado I ~2X 3 dx = -.if obtenido en el ejemplo 4 puede interpretarse como el area neta con
signo entre la grafica def(x) = x 3 y el eje x sobre [-2, I]. Aunque la observaci6n de que
f
ix 3f
O x 3 dx +
dx =
-2
-z
i
llS
x 3 dx = - AI + Az = -4
0
no proporciona los valores de A I Y A 2 , el valor negativo es consistente con la FIGURA 5.4.1 3 donde
resulta evidente que el area A I es mayor que Az.
•
FIGURA 5.4.13 Area neta con
signo en el ejemplo I I
• La teo ria
Seafuna funci6n definida sobre [a , b] y sea L un numero real. EI concepto intuitivo de que las sumas de Riemann estan pr6ximas a L siempre que la norma IIPII de una particion
Peste cerca de cero puede expresarse en forma precisa usando los simbolos 8-0 introducidos en
la secci6n 2.6. Al afirmar que f es integrable sobre [a , b] , se esta diciendo que para todo niimero real 8 > 0 existe un numero real 0 > 0 tal que
I ~f(XnLlXk
- L
I<
8,
( 15)
siempre que P sea una partici6n de [a , b] para la cual!!P!! < 0 Y el x%, son los numeros en los
subinterval os [Xk - I, Xk], k = 1, 2, ... , n . En otras palabras,
11
11m Lf(xnLlxk
111'11-->0 k = I
existe y es igual al numero L.
5.4 La integ ral defini da
303
I posdata: Un poco de historia Georg Friedrich Bernhard Riemann ( 1826- 1866) naci 6 en
Hanover, Alemania, en 1826. Fue hijo de un mini stro luterano. Aunque era cristiano devoto,
Riemann no se inclin6 por seguir la vocaci 6n de su padre y abandon6 el estu,~-z-,.
dio de teologfa en la Universidad de Gotinga para seguir una carrera de estudios en los que su genio era evidente: matematicas. Es probable que el concepto de sumas de Riemann hay a sido resultado de un curso sobre integral
definida que tom6 en la universidad; este concepto refleja su intento por asignar un significado matematico preciso a la integral definida de Newton y
Leibniz. Despues de presentar su examen doctoral sobre los fundamento s de
las funciones de una variable complej a al comite examinador en la
Universidad de Gotinga, Karl Friedrich Gauss, el "principe de las matemaricas", dedic6 a Riemann un elogio bastante singular: "La disertaci6n ofrece
Riem ann
pruebas concluyentes. . . de una mente creativa, activa, verdaderamente
malel1lulica . . . de fertil originalidad". Riemann, como much os otros estudiantes promisorios de
la epoca, era de constituci6n fragil. Falleci6 a los 39 afios de edad, de pleuresia. Sus originales
conlribllciones a la geometrfa diferencial, topologfa, geometrfa no eucl idiana y sus intrepidas
investigaciones concernientes a la naturaleza del espacio, la electricidad y el magnetismo anun ciaron el trabajo de Einstein en el siglo siguiente.
NOTAS DESDE EL AULA
EI procedimiento bosquejado en (5) tenIa una utilidad limitada como medio practico para
calcul ar una integral definida. En la siguiente secci6n se introducira un teorema que permite
encontra r el numero I ab f(x) dx de manera mucho mas faci!. Este importante teorema constitllye el puente entre el calculo diferencial y el calculo integral.
Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19.
Ejercicios 5.4
=
Fundamentos
En los problemas 1-6, calcule la suma de Riemann 'i'i= d(xZ')
para la partici6n dada. Especifique II P II.
tJ.,rk
I. f(x) = 3x
.\~
2.
=
1, [0, 3], cuatro subintervalos; Xo = 0, Xo = 1,
%,X 3 = ~, X4 =
l ex) = x
=
+
- I,
xi.,. =
-
3; x'i' =
~, x~' = ~, x j' =
4, [ - 2,5 ] , cinco subintervalos;
- ~,
X2 =
- 2'I X3'.'. =
0
= ~,
X3
'1'
, X4' =
X4 =
3,
x~ =
4'
X3 =
4'
X4 =
~
XI
-1,
'1'
3. f (x) = x , [- 1, I] cuatro subintervalos:
3
x'i' =
2, xs-= 4
2
I
= -2,
Xo
5;
Xs =
2, x~' =
Xo
= -1, XI =
-±,
"0·,·
1
1·,·3
; x"j' =
-4' xI
=
, x }· =
2'
I, XI
3
2'
xi' = ~
4. f(x)
.\2
S.
=
= x2 +
2' X3
lex) =
.\2
=
5
=
I , [ 1, 3], tres subintervalos;
3 .'.
5 .'.
7 .'.
;
xT
=
Xo
=
4' xI = 4' xi' = 3
sen x , [0, 27T], tres subintervalos; Xo = 0, X I =
37T/ 2, x3 = 27T; X'I'
=
7T/ 2, x'~
=
77T/ 6, x~'
=
la misma longitud. Sea xt, k = 1, 2, .. . , 5, el punto fronterizo derecho de cada subintervalo.
8. Dadaf(x) = x 2 - X + 1 sobre [0, 1], calcule la suma de
Riemann usando una partici6n con tres subintervalos de
la misma longitud. Sea x2', k = 1,2,3, el punto fronteri zo izquierdo de cada subintervalo.
En los problemas 9 y 10, sea Puna partici6n del intervalo
indicado y xt' un numero en el k-esimo subintervalo. Escriba
las sumas dadas como una integral definida sobre el intervalo
indicado .
9.
±V9
lim
Ilpll-->o k ~ I
7. Dada f(x) = X - 2 sobre [0, 5], calcule la suma de
Riemann usando una partici6n con cinco subintervalos de
[ - 2,4]
11
Ilpll-->o k~ I
[0, 7T/4]
En los problemas II y 12, sean Puna partici6n regular del
intervalo indicado y x%' el punto fronterizo de cada subintervalo. Escriba la suma dada como una integral definida.
11
(
11. Ifm ~
1
11 -->00
k~ I
11 --> 00 k ~
7T,
6. f (x ) = CoSX, [- 7T/2, 7T/2], cuatro subintervalos; Xo =
-7T/ 2, XI = - 7T/ 4, X2 = 0, X 3 = 7T/ 3, X 4 = 7T/ 2;
x';' = -7T/ 3, x~' = -7T/ 6, x 3' = 7T/ 4, x~; = 7T/ 3
(Xt) 2Llxk;
10. 11m ~ (tanxDLlxk;
+ -2k)2- ;
nn
II
(
12. Ifm ~
1
77T/ 4
+
+ -3k)3 -3 ;
Inn
[0, 2]
[1,4]
En los problemas 13-1 8, use (5) y las f6rmulas de suma en el
teorema 5.3.2 para evaluar la integral definida dada.
13.
II xdx
14.
-3
15.
f 2(X
I
f 3XdX
0
2
-
x) dx
16.
I
3
-2
(x 2
-
4) dx
304
CAPITULO 5 Integ ral es
42. f 2gCX) dx si
En los problemas 19 y 20, proceda como en los problemas
13-18 para obtener el resultado dado.
19.
f
bx
dx = 2L(b 2
a 2)
-
20.
f"
x 2dx
a
= 31 Cb3 -
a3 )
f 2f'CX) dx
= 14 Y f2 [f(x )
- 5g(x)] dx
= 24
En los problemas 43 y 44, evalue las integrales definidas
a
21. Use el problema 19 para evaluar
fiX
a) f/(X ) dx
b) fle x) dx
c) f'rcx) dx
d) fl(X) dx
e)
f {~(X) dx
f) frcx) dx
dx.
22. Use el problema 20 para evaluar flX2 dx.
a
a
b
usando la informacion en la figura dada.
En los problemas 23 y 24, use e l teorema 5.4.6 para evaluar la
integral definida dada.
24.
23. f4dX
43.
Area = 3.9
f 2C - 2)dX
En los problemas 25-38, use la definicion del teorema 5.4.2 y
los teoremas 5.4.4, 5.4.5 Y 5.4.6 para evaluar la integral definida dada. Donde sea idoneo, use los resultados obtenidos en
los problemas 2 L Y 22.
25.
r-2!. dx
J4 2
26.
27. - i - llOXdX
29.
i
I
O
x 2 dx
+ 4x
32.
- 5) dx
e
J
+
34.
x 2 dx
o
- I
35. fXdX
Area = 1.2
FIGURA 5.4.14
+
f
C9
+
44.
[6X(X -
Area = 6.8
I
- I
3
FIGURA 5.4.15
3
Jr
X3
o
38.
I
- I
dx
f.30t
3
+
5x dx -
- I
41.
[[2
/C X)
[ 7T senx dx
46.
48.
L:
51.
i\/l~ dx
f/(X) dx
fr(X) dx
= 6y
f/(X) dx
= 2.4 y
Cx
r 4( - X2
Jo
+ 4x) dx
f2 -Vx+2
dx
fr(X) dx
= -1.7
53.
= 3.4 y
55.
= 12.6
2) dx
50.
52.
f iX- 11
f3(2 + \1'9 - x )dx
dx
2
En los problemas 53-56, la integral dada representa la
siguiente area con signo entre una gratica y el eje x sobre un
intervalo. Trace esta region.
+ g(x) ] dxsi
[3 g (X) dx
+
= 8.5
fe-2X+
3
[/CX) dx
+ 3) dx
49.
4) dx
En los problemas 39-42, evalue la integral definida usando la
informacion dada.
40. f/(X) dx si
I (2x
En los problemas 49-52, la integral dada representa el ,1rea
bajo una gratica sobre un intervalo dado . Use formulas id6neas de geometria para encontrar el area.
3
39. f/(X) dx si
I
- I
dt
f. -ICx -
Gnifica para el problema 44
En los problemas 45-48, la integral dada representa el area
bajo una gratica sobre un intervalo dado. Trace esta region.
45.
- x) dx
,.,,/---"-:-,~ x
a
1) dx
1.22tdt - f.1.22tdt
Area = 9.2
y
1) dx
47.
37.
Gnltica para el prob lema 43
4
lOx dx
30. [C3x 2 - 5) dx
31. [C-3X 2
33.
r
28. [C3X
dt
- l t2
y
I
- 1/ 2x
4x
+1
6) dx
54.
fy -
x2) dx
r5,,/2
d
x
56.
J
o
cos x dx
5.5 Teorema fu ndamenta l del ca lcu lo 305
los problemas 57-60, la integral dada representa el area
En .,. "no entre una grafica y el ej e x sobre un intervalo. Use
can s ='
,
,
f6n llUl a.-; id6neas de geometna para encontrar el area neta con
sig no .
57.
f 12.r clx
58.
r(~x - 2)dX
59.
f 11(\ - ~) dx
60.
[(l - Ixl)
{(x)
=
{x'3,
(nx)
dx,
dx
71. SiJ es integrable sobre el intervalo [a, b], entonces tambien 10 esJ 2 . ExpJique por que f ,7/ 2(x) dx 2: 0.
x:::; 3
64.
63. J 'f(X) dx
II \.14+2 II ~
Piense en ello
x > 3.
62.
dx
{'x3 dx
=
dx
Use formul as idoneas de geometrfa para encontrar la integral
definida dada.
61.
{'X2 dx,
69.
70.
En 10' problemas 61-64, la funcionJse define como
.
En los problemas 69 y 70, compare las dos integrales dadas
por medio de un sfmbolo de desigualdad :::; 0 2: .
72. Considere la funcion definida para toda x en el intervalo
[ - 1, I] :
f(x) =
fJ (X) dx
{O,1,
x racional
x irracional.
Demuestre queJno es integrable sobre [-], 1] , es decir,
f~J(x) dx no exi ste. [Sugerencia: El resultado en (11)
puede ser (ttil.]
{,/(X) dx
- .j
fd Vx dx usando una particion
de [0, 1] donde los subintervalos [Xk-" xd estan definidos por [(k - 1)2/n 2, ~/n2 ] y escogiendo xi' como el
punto fronterizo derecho de cada subintervalo.
73. Evalue 1a integral definida
En los problemas 65-68, use el teorema 5.4.7 para establecer
la des igualdad dada.
65.
III eX dx :::;
- I
fO e- x dx
74. Evalue la integral definida f ; /2 cos X dx usando L1na particion regular de [0, 7T / 2] y escogiendo xt' como el
punto medio de cada subintervalo [Xk- " xd. Use los
- I
66. f 7T/.j(COS x - sen x) dx
2:
°
Il
67. I :::;
{,(x)+ 1)1 /2 dx:::; 1.42
68. - 2:::;
5.5
resultados conocidos
f(X 2- 2x)dx:::; °
sen 2n ()
()
sen
.
I) cos ()
+ cos 3() + ... + cos(2n - 1)8 = 2
..) l'1m
1
sen (7T / 4n)
II
11 ->00/1
Teorema fundamental del calculo
I Introduc cion
Al final de la seccion 5.4 se indico que hay una forma mas sencilla para evaluar llna integral definida que calculando el limite de una suma. Esta "manera mas sencilla" se
logra por medio del teorema fundamental del caIculo. En esta seccion vera que hay dos formas de este importante teorema: la primera forma, que se presenta a continuacion, permite evaluar Illuchas integraies definidas.
I Teorema fundamental del calculo: primera forma En el siguiente teorema se ve que el concepto de antiderivada de una funci6n continua constituye el puente entre el calculo diferencial y
el caiculo integral.
Teorem a 5.5.1
Teorema fundamental del calculo: forma de antiderivada
Si f es una funcion continua sobre un intervalo [a, b] y F es L1na antiderivada de J sobre el
intervai o, entonces
"J(x) dx = F(b) I
a
F(a).
(1)
4
7T
306
CAPITULO 5 Integrales
Se pl\~s~nlar~l n do s dc mos lr~ICi() - ~ DEMOSTRACION Si F es una antiderivada de 1, entonces por definici6n rex) = f(x). Puesto
ncs del lco rcma 5.5.1. En la
que F es diferenciable sobre (a, b) , el teorema del valor medio (teorema 4.4.2) garanti za que
li.::nHlslrac illn lJ Ul' se Jll"O pllrcioexiste un xi' en cad a subintervalo (Xk- I , Xk) de la partiei6n P:
na sc usa la pn:: mi sa b~lsica de
a = Xo < XI < X2 < ... < XII - I < x l1 = b
que una inl eg ral dd inida e, un
lImite de una S UI1l ~1. Dcspues
tal que
que se demu esl l'c IJ seg unda
F(Xk) - F(Xk- l) = F'(XJ')(Xk - Xk - I) 0
F(Xk) - F(Xk- l) = f(xt) t:Uk'
forma de l leo rc m:\ fund a menta l
de l cii lc ul o. se \'ol ver,j al lcorcLuego, para k = 1, 2, 3, ... , n con el ultimo resultado obtenemos
l11a 5S 1 y sc pre, e ntara una
F(xl) - F(a) = f(x'!') Llxl
de l11 os traci6n a ll crn~ l.
F(X2) - F(xl)
F(X3) - F(X2)
= fCxi)
= f(xD
LlX2
LlX3
Si sumamos las columnas precedentes,
II
+
[ F(xl) - F(a)]
+ ... +
[ F(X2) - F(x,) ]
[F(b) -
=
F(xlI_I) ]
Lf(x2') LlXk
k= 1
vemos que la suma de todos los terminos, menos los dos sin color en el miembro izquierdo de
la igualdad, es igual a 0, con 10 cual tenemos
II
FCb) - F(a)
=
(2)
Lf(xD LlXk'
k= 1
Pero !fm [F(b) - F(a)]
IPII->O
=
F(b) - F(a), de modo que el limite de (2) cuando
I PII ---+
°es
/I
F(b) - F(a) = 11m Lf(xn LlXk'
IIPII-->Ok = I
(3)
•
Por la definici6n 5.4.1, el miembro derecho de (3) es J "f(x) dx.
"
La diferencia FCb) - F(a) en (1) suele representarse por el sfmbolo F(x)] b es deeir,
Jf(x) dx =
b
'"
f
f(x) dx
Jb
a
'---v-------'
integral
~
defin ida
inderinida
=
F(x)
a
Jb .
a
integral
Puesto que el teorema 5.5.1 indica que F es cualquier antiderivada del, siempre es posible escoger la constante de integraci6n C como igual a cero. Observe que si C =I=- 0, entonees
(F(x)
U!!3¢@!.I'
+
" = (F(b) + C)
J
C) "
- (F(a)
+
C)
=
F(b) - F(a)
=
F(x)
Jb
u'
Usa de (1)
En el ejemplo 4 de la secci6n 5.4 se apel6 a la definici6n mas bien larga de integral definida para
demostrar que J ~2X3 dx = - J,f. Puesto que F(x) = ~X4 es una antiderivada de f(x) = x 3 , a partir
de (1) obtenemos inmediatamente
I
J
x 3 dx
-2
UIi#M4!'.J
4
= -x JI = -I -
4
- 2
4
_1 (-2)4
4
= -1
4
16
4
15
•
Uso de (1)
3
Evalue
I
J
x dx.
Solucion Una antiderivada def(x) = xes F(x) = !x2 . En consecuencia, (1) del teorema 5.5.1
proporciona
X2 ] 3
3
J
I X
dx
="2
I
9
1
= "2 - "2 = 4.
•
5.5 Teo rema fundame ntal del calculo
dl#l ~fSL-'u=-=s=-=o,---d=-e,,---,-(1'-'.)_ _ _ _ __ __ _ _ _ __
Evall1c
L
(.'Ix" - x
+
307
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
1) dx.
Solucion
Apl icamos i i) del teorema 5 . 1.2 y 1a f6rmula de integraci6n 2 de la tabla 5.1.1 a cada
tCI"Inino del integrando, y luego usamos el teorema fu ndamental:
f2 2 - X +
(3x
I) dx
~~ + x)
= (X3 -
t2
•
= (8 - 2 + 2) - (- 8 - 2 - 2) = 20.
dl#IWlII
Uso de (1)
71"
Evalue
cos x dx.
J71"/6
Solucion
Una antiderivada de f(x)
7r
J71"/6cos x dx
=
= sen x
cos x es F(x)
]7r
sen x. En consecuencia,
=
7T
= sen 7T -
sen -
I
2
•
1
2
= 0 - - = --.
6
7r/6
Suponga que f es continua sobre un intervalo l a. b l, por 10 que se sabe que la integral {~fCt) dt existe. Para toda x en el intervalo [a, b],
la integral definida
I Teorema fundamental del calculo: segunda forma
g(x)
(4)
fr(t) dt
=
~ Tenga en cuenta que una integral
clefinicla no c1epencle de la
variable de integracion I.
a
representa un solo numero. De esta forma, se ve que (4) es una funci6n con dominio [a, b l. En
la FIGURA 5.5.1 se muestra que f es una funci6n positiva sobre [a , b], y asf cuando x varfa a traves
del intervalo es posible interpretar g(x) como un area bajo la grMica sobre el intervalo [a, xl. En
la segllnda forma del teorema fundamental del calculo se demostrara que g(x) definida en (4) es
una fUIlci6n diferenciable.
g'(x)
I~'f(t) dt
DEMOSTRACION PARA h> 0 Sean x y x + h en (a, b), donde h > O. Por la definici6n de derivada,
,
g (x)
=
+ h)
,g(x
hm
1
h--:-O
- g(x)
1
.
(6)
Aillsar las propiedades de la integral definida, la diferencia g(x + h) - g(x) puede escribirse como
g(x
+ h)
- g(x) =
f +'f(t) dt -
fr(t) dt
({
a
J,X+'f(t) dt + rf(t) dt
<- pOI" (8) de la sccc io n 5.4
fX+'f(t) dt.
<- por ( 10) de la secc io n 5.4
Por tanto, (6) se vuelve
g'(x)
1 f X+h
= Ifm -I
11--:-0 1
f(t) dt.
x
I(t)
I
x
b
FIGURA 5.5.1 g(x) como area
=
(5)
f(x).
=
=
+g(x)
(/
Teorema 5.5.2 Teorema fundamental del c:ilculo: forma de derivada
Seafcontinua sobre [a, b 1 y sea x cualquier numero en el intervalo. Entonces g (x)
es contillua sobre [a, b 1 y diferenciable sobre (a, b) y
y
y
(7)
308
CAPITULO 5 Integrales
Puesto quefes continua sobre el intervalo cerrado [x, x + hl, por el teorem a del valor extremo
(teorema 4.3.1) se sabe quef alcanza un valor minimo In y un valor maximo M sobre el interva.
10. Puesto que m y M son constantes con respecto a la integraci6n sobre la variable t, pOl' el teo.
rema 5.4.7ii) se concluye que
X+h
fx
f X+h
In
dt :::;
f X+ h
f(t) dt :::;
x
Mdt.
x
(8)
Con ayuda del teorema 5.5.1,
X+h
fx
X+ 11
y
fx
melt = mt
Melt = Mt
]X+ h
x
]X+h
x
= m(x + h - x) = mh
= M(x + h - x) = Mh.
Por tanto, la desigualdad en (8) se vuelve
X+h
nth:::; fx
f(t) elt :::; Mh
m :::;
0
1 f X+h
h
f(t) dt :::; M.
(9)
x
Puesto que f es continua sobre [x, x + h 1 tiene sentido afirmar que 11---+
lfm0+ m
tomar ellfmite de la segunda expresi6n en (9) cuando h ~ 0+ obtenemos
= 11---+
Ifm
M = f( x ). Al
0+
1 f X+ h
f(x):::; lfm -,
f(t) elt :::; f(x).
h..... O+ 1
x
Esto demuestra que g'(x) existe y por f(x) :::; g'(x) :::; f(x) concluimos que g'(x) = f(x). Puesto
que g es diferenciable, necesariamente es continua. Un razonamiento semejante se cum pIe para
h < O.
•
Otra forma mas tradicional de expresar el resultado en (5) es
el ( X
elx f(t) elt
L
=
f(x ).
(10)
II
U!J3MRK'¥j
Usa de (10)
Por (l0),
a) .!!:..-fXt3 dt=X3
dx
'¥IiIMRK"ij
Encuentre
b)
-2
!
!
r
\If2+l dt = Vx2+l.
•
Regia de la cadena
r "cos t dt.
1T
Solucion Si identificamos g(x) = f~cos t dt, entonces la integral dada es la composici6n g(x 3 ) .
Realizamos Ia diferenciaci6n al aplicar la regIa de la cadena con u = x 3 :
l::
elf x' cos t dt = elu
e l (cos
f "t )
elx
elt d
1T
1T
= cos u . du = cos x 3 . 3x 2
dx
•
I Demostraci6n alterna del teorema 5.5.1
Vale la pena examinar otra demostraci6n del teorema 5.5.1 usando el teorema 5.5.2. Para una funci6n f continua sobre [a, b l, la declaraci6n
g'(x) = f(x) para g(x) = f : f(t) dt significa que g(x) es una antiderivada del integrandof Si F es
cualquier antidetivada del, por elteorema 5.1.1 sabemos que g(x) - F(x) = Co g(x) = F(x) + C,
309
5.5 Teorema fund amental del calculo
> C es una constante arbitraria. Puesto que g(x) = {' f(t) dr, para cualquier x en [a , b] se
(/.
(on(
I It: . .
concluyc que
fi(t) dt
F(x) + C.
=
(II)
{/
Si en ( I I) sustituimos x
= a, entonces
j':f(t) dt = F(a)
+
C
(/
imp li ca C
= - F(a), puesto que
f: f(t) dt = O. As!, (11) se vuelve
fict) dt
= F(x) - F(a).
a
= b, encontramos
puesto que la ultima ecuacion es valida en x
ff(t) dt
•
F(b) - F(a).
=
(/
I Funciones continuas por partes Se dice que una funcion f es continua por partes sobre un
intervalo [a, b ] si existe a 10 mas un mimero finito de puntos Ck> k = 1, 2, . . . , 11, (Ck - ] < Ck)
en los queftiene una discontinuidad fin ita, 0 saIto, sobre cada subintervalo abierto (Ck-I , Ck) ' Yea
la FIGU RA 5.5.2. Si una funcion f es continua por partes sobre [a, b], esta acotada sobre el interva10, y entonces por el teorema 5.4.2,fes integrable sobre [a , b] . Una integral definida de una funci6n continua por partes sobre [a, b] puede evaluarse con ayuda del teorema 5.4.5:
ffCX) dx = fi(X) dx + fi(X) dx + ... + ff(X) dx
a
CI
(l
y
~~0~
:
I
I
I
I
; '-,
a
t
discontinuidades finitas
FIGURA 5.5.2 Funci6n continua
pOl' partes
('II
y al tratar a los integrandos de las integrales definidas en el miembro derecho de la ecuacion
anterior simplemente como si fuesen continuos sobre los intervalos cerrados [a, CI], [cj, C2], ... ,
[ell' bj.
I,IM@!' .
Integraci6n de una funci6n continua por partes
Evalue ff(X) dx donde
f(x)
=
{
+
x,
-1::; x < 0
0 ::; x < 2
3,
2 ::; x ::; 4.
X
1,
y
Solucion La grc'ifica de una funcion f continua por partes se muestra en la FIGURA 5.5.3. Luego,
par el analisis precedente y la definicion de f:
-\
0
FIGURA 5.5.3
frCX) dx = fr(X) dx
=
=
IiI!#M4!t.:.
Evalue
r
Solucion
Ix -
fO (x +
-]
+
1) dx
)]0
1 2 + X
( -x
2
_]
+
ff(X) dx
+
{i(x) dx
r2x dx +
Jo
f\
dx
2
1]2 + 3x ]4 =
+ -x 2
2
0
2
•
-17 .
2
Integraci6n de una funci6n continua por partes
Ix - 21 dx.
Por la definicion de valor absoluto,
X -
21 =
{
2
-(x - 2)
six - 22:0
six - 2 < 0
o
Ix - 21
2
-x + 2
X {
2
4
GrMica de la
funci6n en el ejemplo 7
si x 2: 2
six < 2.
310
CAPITULO 5 Integrales
Ix - 21.Luego, debi do a ( J0 ) de l teo rema 5.4.5
En la FIGURA 5.5.4 se muestra la gr<ifica de f(x) =
podemos escribir
y
y= - x+2
y=x-2
31x I0
21 dx
•
21 dx + J31x
= I 21x -
-
21dx
0 2
---+-=-o- --t-- -----''I''------t-* x
+ 2) dx +
f e-x
3
FIGURA 5.5.4 G rafica de la
funci 6n en el ej empl o 8
=
rex -
2) dx
( _~X2 + 2x ) t + (~X2 - 2X)J~
(~- 6) - (2 -
= ( - 2 + 4) +
4) =
%.
•
• Sustitucion en una integral definida Recuerde por 1a secci6n 5.2 que al g unas veces lI sal1l0s
una sustituci6n como ayuda para evaluar una integral indefinida de la forma ff( g(x))g'(x) dx. Es
necesario tener cuidado a1 usar una sustituci6n en una integral definida f ;" f (g(x))g'(x ) dx, puesto que es posible pro ceder de dos formas.
Directrices para sustituir una integral definida
• Evalue la integral indefinida ff(g(x)) g'(x) dx por medio de la sustituci6n u = g(x) .
Vuelva a sustituir u = g(x) en la antiderivada y luego apJique el teorema fundamen tal del ca1culo usando los limites de integraci6n originales x = a y x = b.
• En forma aJterna, 1a segunda sustituci6n puede evitarse al cambiar los lfmites de
integraci6n de modo que con'espondan al valor de u en x = a y u en x = b. El ultimo
metodo, que suele ser mas rapido, se resume en el siguiente teorema.
Teorema 5.5.3
Sustituci6n en una integral definida
Sea u = g(x) una funci6n cuya derivada es continua sobre el intervalo [a , b] , y seafuna funci6n continua sobre el rango de g . Si F'(u) = feu) y c = g (a) , d = g(b) , entonces
I>
f (g(x) )g'(x) dx
Ia
DEMOSTRACION
Si u = g(x ), entonces du
Evalue
f
I g(b)feu)
f(g(x)) g'(x) dx =
'j!M!IR!.a:'
I g(bl
f eu) du
= F(d)
( 12)
- F(c).
g( £I)
b
Ia
=
= g'(x ) dx. En
I
~~ dx =
I dfeu) du
g0)
consecuenci a,
= F(u)
c
Jd=
F(d) - F(c).
c
•
Sustituci6n en una integral definida
2
"\l'2x + I x dx.
Soluci6n Primero se ilustraran los dos procedimientos presentados en las directrices que preceden al teorema 5.5.3 .
a) Para evaluar la integral indefinida J V2X2 + 1 x dx usamos u = 2x 2 + 1 y du = 4x d.\".
As!,
I
2
±IV2x
=±
I
V2x + 1 xdx =
I 2
U /
1
U 3/
2
+ 1 (4xdx)
<- sli stitli cio n
du
2
=- +C
4 3/ 2
= I (2x 2 +
6
1)3/2
+ C.
<- (lIra Sli slitllci6 n
5.5 Teorema fundamenta l del ca lculo
E ll
cOll secuencia,
pOl'
el teorema 5 .5.1 ,
2 V2X 2
Jo
+
I xdx = 1(2x2
+
1)3/2 ] 2
6
0
= J.[9 3/ 2
6 .
13/2 ]
-
= !6 [27 - I]
. = J1
3.
b)
Sill = 2X2 + I , entonces x = 0 implica u = I , mientras que con x = 2 obtenemos
II = 9 . As!, pOI' el teorema 5.5.3,
" iillliles
t
fo\hx
2 + 1 x dx
=
!f 9U' /2du <- illlcgrac it)Jl
4
COil rcspeclO a II
I
=
±~;~r
=
i [9
32
/ -
13/ 2 ]
=
•
I;.
CU<1ndo la grafiea de un a funci 6n y =f(x) es simetriea con respeeto al eje y (funei6n par) 0
al origen (funei6n imparl, entonees la integral definida defsobre un intervalo simetrico [ - a, a],
es decir, J~a f(x) dx, puede evaluarse por medio de un "atajo" .
Teorema 5.5.4
Regia de la funci6n par
Si I es una func i6n par integrable sobre [- a, a] , entonees
f
a
f(x) dx = 2
fa
f(x) dx.
(13)
0
-Q
Se demostrani el siguiente teorema, pero la demostraei6n del teorema 5.5A se dej a como
ejercl clo.
Teorema 5.5.5
Regia de la funei6n impar
Si ./ es una funci6n impar integrable sobre [-a, aJ, entonees
f!(X) dx = O.
( 14)
DEMOSTRACION Suponga que f es una funci6n impar. Por la propiedad aditiva del intervalo,
teorema 5A.5 , tenemos
f!(X) dx = f!ex)dx + fiex) dx.
En la primera integral en el miembro izquierdo, sea x = -t, de modo que dx = - dt, y euando
- a y x = 0, entonees t = a y t = 0:
.r =
f
-
a
f(x) dx
(I
=
Lrof( - t)( - dt)
a
fa
f (x) dx
<-/( ~ /) = ~I(I).f Lilla fUll cioll impar
0
a
f f(f) dt +
+
ff(X) dx
0
-fi(r) dt + ff,(X) dx
<- pOl' (8) de la sccci oll 5.4
311
312
CAPiTULO 5 Integrales
= -
l':r(X) dx + l ateX) dx
I cro, Lilla IO, r iablc de illlegro,ci "l\l "I'iclicid"
<-
•
= 0,
La euesti6n importante en el teorema 5.5.5 es esta: euando una funei6n integrable impar f
se integra sobre un intervalo simetrieo [ - a, a] , no es neeesario eneontrar una antiderivada de j ;
el valor de la integral siempre es eero,
En la FIGURA 555 se muestran motivaeiones geometrieas para los resultados en los teoremas
5.5.4 y 5.5.5 .
y = f(x)
y
y
y = I(x )
I
a
o
L a f(x ) dx
L af(x) dx
-_
~a---------r---------a~~ x
a
--~------~~--~---,~x
- a
faa f( x ) d;r:
I
I
I
a) F unc i6n par: el valor de la integral
b) Funci6 n il11par: e l valor de la integral
definida sobre [- a, OJ es el l11i sl11o
definida sobre [ - a, 0] e s el opuesto
que el valor sobre [0, a J
que el valor sobre [0, a J
FIGURA 55.5 Regi a de la funci 6n par en a); regia de la funci6n il11par en b)
'!I#MQI.I!.'
Evalue
L
(x 4
Usa de la regia de la funci6n par
+ X2) dx.
Solucion El integrando f(x) = X 4 + x 2 es una funei6n polinomial euyas poteneias son toclas
pares, de modo que f neeesariamente es una funei6n par. Puesto que el intervalo de integraei6n
es el intervalo simet:rieo [-1, 1], por el tem'ema 5.5.4 se eoncluye que es posible integral' sobre
[0, 1] Y multiplicar el resultado por 2:
f
I (x4 + x 2 )
dx
- I
= 2 (I (x4 + x 2 ) dx
Jo
2(ix5 + ~x3)I
= 2(1 + I) = .!.§.
=
5
1ii@I#MiQ!.,,,
3
15'
•
Usa de la regia de la funci6n impar
"'/2
Evalue
J- 7f/2
sen x dx.
Solucion
En este easo f( x ) = sen x es una funei6n impar sobre el intervalo simetrieo
[-ni 2, 1T12 ]. Asf, por el teorema 5.5.5 de inmediato tenemos
rr/ 2
J
- ",/ 2
b
fa
sen x dx = 0.
•
NOTAS DESDE EL AULA
.......... ,., ...............,""""",""" "" ,'"",,"" """ """""" """ ,.,',"" """""'""""""" """""""""" "" """""" ',"" "" ""
La forma de antiderivada del teorema fundamental del ealculo eonstituye una herramienta
extremadamente importante y poderosa para evaluar inte~rales definidas, LPor que molestarse con un burdo lfmite de una suma euando el valor de f a f(x) dx puede eneontrarse al ealeular f f(x) dx en los dos numeros a y b? Esto es eierto hasta eierto punto; no obstante, ya es
hora de aprender otro heeho de las matematieas, Hay funeiones eontinuas para las cuales la
5.5 Teorema fundamental del calculo
313
, Iltidcri"ada ff(x) dx no puede expresarse en terminos defitnciones elementales: sum as, prococic ntes y pote ncias de fun c iones polinomia les, trigono metricas, trigonometricas
~LlctoS.
illvcrs as , logarftmicas Y ex pone nci ales. La simple funci6n continuaf(x) = W + l no tiene
ant idcri"ada que sea una funci6n eleme ntal. Sin e mbargo, au nque pOI' el teorema 5.4. 1 es
f~ W + l dx
posibl e afirma r que la integral definida
existe, e l teore ma 5.5.1 no es de nin-
!,!Llll;i ayuda para e ncontrar su valor. La integral f ~
dx se de nomina no elemental.
Las integrales no elementales son importantes y aparece n en muchas aplicaciones como teoria de probabi lidad y 6ptica. A continuaci6 n se presentan al gunas integrales no e le me ntales :
-w-+I
f
se; x dx,
f
sen x 2 dx,
f e- I' dt
y
f ~¥'
dx .
Yea los probl e mas 71 y 72 en los ejercicios 5.5.
Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19.
Ejercicios 5.5
=
Fun dam entos
En los problemas 1-42, use el teorema fundamental del calcu10 proporc ionado en el teorema 5.5 . 1 para evaluar la integral
delinida dada.
I.
3.
5.
r
2.
dx
[(2.1 +
3) dx
f(6X 2-
4x + 5) dx
4.
roC-4) dx
f/
8.
II.
13.
J
,,/2cos 3t dt
,,/4
V4 1
- du
2
1/ 2 u
J
f
10.
o
S
36) dx
-
37.
eX
I
dx
17. [(7x 3
14.
dx
41.
-
v'3
J
2X2 + 5x - 4) dx 18.
L~ I(X2 -
20.
Vz + 4 dz
2)(x + 2) dx
4x
2
:
x-
22.
+
16
dx
YX
I
+
u3
I
(u
- I
4
?
+
2u -
1
32.
v:rrtlx csc
JV7T74
(x - cos 1TX) d.x
34.
f
I
U
+
r
_
I
du
1o
8 dx
+
8) dx
x 2 cot x 2 dx
cos \!'X d.x
4
2\!'X
I
7T/ 3
Vcos xsen x dx
36.
sen x cos x dx
J
7T/ 6
I
7T/2
J
+ cos f)
?
+ sen f))-
sen2
Jo
1TX
df)
38.
I
I
I
,,/4 (sec x + tan X)2 dx
- 7T/ 4
40.
dx
,,/2 cos 2 X dx
-,,/2
s
J
I
1
-'-1-+--=--C:-2-x dx
42.
tan x dx
I
- I
En los problemas 43-48, use el teorema fundamental del
calculo proporcionado en el teorema 5.5.2 para encontrar la
derivada indicada.
d JX
44. dx
I In t dt
43. -,d I XteI dt
GX 0
45. -d
dt
.
II
f
(3x 2 - 2x) 6 dx
2
46.
.!!...f9
\Yu 2+ 2 du
dx
x
I
6X
-
-v'4t+9 dt
GX 3
GI
48. dx
v;:
I
sen
?
t - df
7T
24.
En los problemas 49 y 50, use el teorema fundamental del
calculo proporcionado en el teorema 5.5.2 para e ncontrar
F '(x). [Sugerencia: Use dos integrales.]
26.
49. F(x) =
f
X
x
-,=:===
dx
2
• ;-
sec 2x dx
47. '£
/I'
I?
-4
I4x
2
l
- - - dx
2
l +x
I
Io'Vx
(2x - 3e X ) dx
fX(X -
\!'X
I
25.
i
x
+3
30.
3/ 4
39.
16.
J-l x - I dx
I
23.
I
d
2
o
dx
2
15. {"x (l - x) dx
21.
21TX
-3 X
- I
19.
I-!-.
x+1
2
+ 2x
7T/ 6 (f)
I
f
I
- 1/ 2
7T/ 2
fT/4cos f) df)
J sen
x
4\Yl + 4\!'X
3/2
33.
1/ 2
12.
I Vx
28.
7T/ S
-7T/ 3
9.
x
I
29.
35.
7. fr l\en x dx
f
l( 1+ -1)1ldx
1
1/ 2
31.
dt
6. L'2(12X
27.
3x
1
'-3--
t
+1
Sx
dt
50. FCx) =
i v'f2+I dt
J
se n
x
314
CAPiTU LO 5 Integrales
E n los problemas 51 y 52, compruebe el resultado dado al
evaluar primero la integral definida y luego diferenciando.
51.
!f
A(6t 2
-
8t
d ('
52. dt
Lsen "3x dx =
+
5) dt = 6x 2
8x
-
+
5
_ I
(I ~-2X
Jo e- x +
1/ v'2
1
Ii' In (2t + 1) dt. Encuentre
53. Considere la func i6n f(x) =
e l valor funcional indicado.
o
=
b) 1'(1)
d) 1"'(1)
d) d G(x 3
GX
l
2x)
55. f(x)
=
56. f( x ) =
X
, ~ dx;
V 1- [
+
2x)
satisface la ecuaci6n diferencial
dy
dx - 2xy = 2,
y que yeO)
xsO
af(x) dx, dondef(x)
= {41',
59.
I
{X2,
f(x) dx, donde f(x)
=
- 2
60.
If(X)dx, dondef(x) =
4,
x 2,
Si(x)
0s x <2
2 sxs3
58. ("'f(x) dx, donde f(x) = {sen x,
Ja
cos x,
2
= 1.
72. Otra funci6n especial definida por una integral no elemental es la funeion integral seno
x> o
1
= x2
u
a) Demuestre que erf(x) es una funci6n creciente sobre
el intervalo ( -00, (0).
b) Demuestre que la funci6n y = eX' [I + y;: erf(x) 1
x2: 0
3
I
y;: Jo
x< O
{;~ + 3,
+
71. E n matematicas apl icadas, algu nas funciones importan_
tes se definen en terminos de integrales no elementa les.
U na de estas funciones especiales se denomina funci6 n
error, que se define como
En los problemas 57-60, evalue la integral definida de la f unci6nt continua por partes.
57.
u = e- 2x
dx;
erf(x) = _ 2_ ( Xe _l, dt.
E n los problemas 55 y 56, evalue f~J(x) dx para la funci6n
f dada.
-:; x,
{ x-,
)
1
b) !{ G(x 2)
dx
+
u = tan- I x
dx;
?
Aplicaciones
54. Supo nga que G(x) = f ;;f(t) dt y G'(x) = f(x). Encuentre
la expresi6n dada.
c) G(x 3
+r
x )(l
v'2/2 (tan
70.
'"
a) f( l )
c) 1"(1)
I
69.
t
sen "3
1
I
68.
< 7T / 2
7T/ 2 s x s 7T
0s x
-2 s x
- I
I
< -]
< 1
s x
s x s 2
lxJ es la funci6n entero mayor
= (' sen t dt.
Jo
t
La funci 6n Si(x) tiene una infinidad de puntos fron terizos
relativos.
a) Encuentre los cuatro primeros nlllneros crfticos para
x> O. Use la prueba de la segunda derivada para determinar si estos numeros criticos corresponden a lin
maximo 0 a un minimo relativo.
b) Use un SAC para obtener la grMica de SiCx). [Sugerencia: En Mathematica, la funci6n integral sen e se
de nota por SinIntegral[x].J
=
Piense en ello
En los problemas 61-66, proceda como en el ejemplo 8 para
evaluar la integral definida dada.
61.
L'31xl dx
63. f sV IXI
65.
f",
62.
+
1 dx
Isen xl dx
64.
66.
r
12x - 61dx
f
lx 2
II
73. lim
L (2x%' + 5) ~Xk;
11111->0k =
-
I ldx
ficOS xl dx
En los problemas 67-70, proceda como en el inciso b) del
ejemplo 9 y evalue la integral definida dada usando la sustituci6n u indicada.
e (In 2t)5.
67.
- -- dt , u = In 2t
1/ 2
t
I
En los problemas 73 y 74, sean Puna partici6n del intervale
indicado y x~' un numero en el k-esimo subintervalo. Determine el valor del Ifmite dado.
xt'
L
cos -4 ~Xk;
IIPII ->O
,
[-1,3]
I
II
74. hm
[0, 27T]
k= I
En los problemas 75 y 76, sean Puna partici6n regul ar del
intervalo indicado y x%' un numero en el k-esimo subinterva10. Establezca el resultado dado.
II
L
75. Ifm 7T
sen
11->00 n k = I
76. lim
11-:; 00
l
±
n k= I
x%'
=
xt = 2;
0;
[0, 7T]
[-1 , 1]
5.5 Teorema fundamenta l de l ca lcu lo 315
r{J\
r
Para simular el lanzamiento de dardos hacia el blanco,
use un SAC como Mathematica y su funci6n de numeros
aleatorios para generar una tabla de N pares ordenados
(x, y), 0 < x < 1,0 < Y < 1.
a ) Sea N = SO. Trace los puntos y la grafica de / sobre el
mismo conjunto de ejes coordenados. Use la figura
para contar el numero de exitos n. Construya por 10
menos 10 tablas diferentes de puntos aleatorios y graficas . Para cada grMica calcule la razon n/ N.
h ) Repita el inciso a) para N = 100.
c) Use el SAC para encontrar el valor exacto del area A
y compare este valor con las aproximaciones obtenidas en los incisos a) y b) .
. l)I"ohkmas 77 Y 78, evalue la integral definida dada.
En 1os
/2
77.
78.
1212 dt} dx
{ f sen x dX} dt
Delll llcstre la prueba de la funcion par, teorema S. S.4.
79.
80. Suponga que / es una funci6n impar definida sobre un
intervalo [ - 4, 4]. Ademas, suponga que / es diferenciable sobre el intervalo,/( - 2) = 3.S , queftiene ceros en
_:; y :; y numeros criticos - 2 y 2.
i.ClIal esf(O) ?
Trace la grMica aproximada de f
c) Supon ga que F es una funcio n definida sobre [ - 4,4]
por F(x) = I~ J(t) dt. Encuentre F(-3) y F(3).
ti) Trace una gnifica aproximada de F.
e) Enc uentre los numeros crfticos y los puntos de inflexion de F
81. Determine si el siguiente razonamiento es conecto:
a)
b)
y
1 ~--------------,
•
•
r~:2 sen2 dt = - r::2sen t( - sen t dt)
t
WP
-
J- w/2
VI -
•
cos 2t ( - sen t dt) +--
{ If
I
=
{If
=
cos {
- sen
---+l~x
= - I\/l=-~ d = 0
u
o
u
(/'
GX
XJ2Xvf3+7 dt
. +--
{ Tcore ma 5.5.3
Dcfinici6n 5,42i)
d J4
h) dx x I vf3+7 dt
I
tiros fuera de N dardos lanzados
FIGURA 5.5.6 Blanco en el probl ema 84
11
82. Calcu le las derivadas .
a)
I
l(!
85. Derrame de petroleo en expansion Un modelo matematico que puede usarse para determinar el tiempo t
necesario para que un derrame de petrol eo se evapore
esta dado por la formula
=
-RT
P -v
Pro bl emas con calculadora/SAC
83. a ) Use una calculadora 0 un SAC para obtener las gnificas def(x) = cos 3 x Y g(x) = sen 3 x.
b ) Con base en su interpretacion de area neta con signo,
use las grMicas del inciso a) para conjeturar los valores de J~w cos 3 x dx Y J~7T sen 3 x dx.
=
Proyectos
84. Integracion por dardos En este problema se ilustra un
metodo para aproximar el area bajo una grMica al "lanzar
dardos". Suponga que deseamos encontrar el area A bajo
la grafica de/ex) = COS 3(1TX/2) sobre el intervalo [0, 1] ;
es decir, se quiere aproximar A =
cos 3 ( 1Tx/2) dx.
Si se lanza, sin ningun intento particular de ser expetto, un gran numero de dardos, por ejemplo N, hacia el
bl anco cuadrado de I X 1 mostrado en la FIGURA 5.5.6 Y n
dardos se insertan en la region roja bajo la grMica de
f (x ) = cos\ 1Tx/2), entonces es posible demostrar que la
probabilidad de que un dardo se inserte en la region esta
dada por la relacion de dos areas:
A
area de la region
area del cuadrado
I.
Id
I'-KA(u)
,,- du,
0
Yo
donde A(u) es el area del derrame en el instante u, RT/ Pv
es un termino termodinamico adimensional, K es un coeficiente de transferencia de masa y Vo es el volumen inicial del derrame.
a) Suponga que el derrame de petroleo se expande en
forma circular cuyo radio inicial es roo Yea la FIGURA
5.5.7 . Si el radio r del derrame crece a razon dr/ dt = C
(en metros por segundo), resuelva para ten terminos
de los otros sfmbolos.
6
h) Yalores tfpicos para RT/Pv y K son 1.9 X 10 (para el
tridecano) y 0.01 mm/s, respectivamente. Si C =
3
0.01m/s2, ro = 100 m y Vo = 10 000 m , determine en
cuanto tiempo se evapora el petroleo.
c) Use el resultado en el inciso b) para determinar al area
final del derrame de petrol eo.
Petr6leo en el instante I
Ademas, esta probabilidad te6rica es aproximadamente
la misma que la probabilidad empfrica n/N:
A
-
1
n
N
: : =: : : : -
o
A =~
N'
FI GURA 5.5.7
Den'arne ci rcu lar del petr6 leo en el prob lema 85
316
CAPITULO 5 Integrales
86. Proyecci6n de Mercator y la integral de sec x En terminos generales, una mapa de Mercator es una representacion de un mapa global tridimensional sobre una superficie tridimensional. Yea la FIGURA 5. 5.8. Encuent:re y
estudie el articulo "Mercator's World Map and the
Calculus", Phillip M. Tuchinsky, UMAP, Unit 206,
Newton, MA , 1978. Escriba un informe breve que resuma el articulo y por que Gerhardus Mercator (c. 1569)
necesitaba el valor de la integral definida Jgosec x dx
para llevar a cabo sus construcciones.
1
...
a) Globo
b) Mapa de Mercator
FIGURA 5.5.8 G lobo y proyeccio n de Mercator en el problema g6
Revision del capitulo 5
las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19.
A. Falso/verdadero _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
En los problemas 1-16, indique si la afirmacion dada es falsa (F)
1. Sif'(x)
2
3
= 3x + 2x, entoncesf(x) = x + x
6
2
0
verdadera (V).
. __
4
2. 2: (2k - 3) = 2: (2)
k =2
+ 1) _ _
j=O
40
20
3. 2:5 = 2:10 _ _
r
k= I
4.
k= I
Vf2+7 dt =
-
r
Vf2+7 dt _ _
5. Sifes continua, entonces ff(t) dt
+ ff(X)dX
=
0. _ _
6. Si f es integrable, entonces f es continua. _ _
7.
f
(x - x 3 ) dx es el area bajo la grafica de y = x - x 3 sobre el intervalo [0, 1]. _ _
8. Si ff(X) dx
> 0, entonces ffCX)
a
9. Si Pes una particion de [a , b] en
10. Si F'(x)
dx es el area bajo la grafica de f sobre [a , b] . _ _
a
11
subintervalos, entonces
= 0 para toda x, entonces FCx) =
11
---+ 00 implica Ilpll ---+ 0. _ _
C para toda x. _ _
11. Sifes una funcion impar integrable sobre [-7f, 7f], entonces I:7/(X) dx
12. II
Ixl dx =
- I
= 0. _ _
2!IXdX _ _
0
13.
Isen x dx = cos x + C _ _
14.
I
IS.
ff'Ct) dt
x cos x dx = x sen x + cos x + C _ _
= feb) - f(a) _ _
I
2x
16. La funcion F(x)
=
-5
Ct + 4)e- r dt es creciente sobre el intervalo [ -2,00). _ _
Revisi6n del capitulo 5 317
B.
Llene los esp acios en blanco ____________________
n los problem as 1-16, llene los espacios en blanco.
E
t.
Si G es una antiderivada de una funcionj; entonces G'(x) =
!!-r cdr =
fdr
3. Si Jf'( r) dx = ~ (In X)2 + C, entonces f(x) =
2.
d f. x
4. EI valor de dx 3 \If2+5 dt en x
5. Si g es diferenciable, entonces
!
1 es - -- - -
r
=
=
f(t) dt
g(x)
6. !!- { VIe _I! dt =
J,.
til'
., .
I
1
7. AI usar notaclOl1 sIgma, a sum a '3
2
3
+ 5' + '7 +
5
d
9'4 + IT
pue e expresarse como - - - - -
IS
8. EI valor numerico de
L (3k
2
2k) es _ _ _ __
-
k= 1
9. Si
=
1I
t2
+
.
.
1, entonces la lI1tegra1
defimda
f 4t(t 2 +
])1 /3
1
dt se vuelve '2
J-
2
I 3
U /
duo
-
10. EI area bajo la gnifica de f(x) = 2x sobre el intervalo [0, 2] es
, y el area neta
COil signo entre la grafica de f(x) = 2x y el eje x sobre [-I , 2] es _ _ _ __
II. Si el intervalo [1, 6] se parte en cuatro subintervalos determinados por
Xo
= 1,
XI
= 2,
= %, X3 = S Y X4 = 6, la norma de la particion es _ _ _ __
1'2
12. Una partici6n de un intervalo [a , b] donde todos los subintervalos tienen el mismo ancho
se denomina particion _ _ _ __
13. Si P es una particion de [0, 4] y
xt es un numero en el k-esimo subintervalo, entonces
lim 2:~ = I~' LlXk es la definic ion de la integral definida
. Por el teorema fun-
11" 11 .... 0
da mental del caJculo, el valor de esta integral definida es _ _ _ __
14. Si flex) dx
15.
L{['eI
= 11 y
dt} dx
flex) dx
=
=
16. Para t > 0, el area neta con signa
IS, entonces ff(X) dx
y
L {f'e-'
cfx
Lex3- x
2
)
=
dt} dx
=
= 0 cuando t = _____ _
dx
C. Ej ercicios _____________________ ______
En los problemas 1-20, evalue la integral dada.
1.
I
I
e4x 3
-
6x 2
+
2x - 1) dx
f9 6
2 . , r dx
_I
3.
J
(St + 1)100 dt
r/
4
5. o (sen 2x - S cos 4x) dx
7.
f(
VX
I
-2X2 + XI / 2) dx
4.
J
w 2 V3w 3 + 1 dw
6. I TT' sen vIZ dz
7r'/9
8.
vIZ
j"'/4 dx + j"'/4tan
-7r/4
-7r/4
2
X dx
318
CAPITU LO 5 Integrales
9.
11.
13.
I
I
IVx
cot 6 8x csc 2 8x dx
(4x 2
3
-
16x
X2
+ I
+
+ 7)4(X -
10.
2) dx
12.
14.
dx
csc 3x cot 3x dx
(x 2 + 2x - IOf/\5x + 5) dx
2
3
x
3x - 16
x
- --? dx
o 16 + x2
1
------,;===::2 dx
o VI6 - x
4
15.
I
I
I
+ I
+ 3x x
dx
16
1
- -- ? dx
o 16 + x4
16.
f
17.
f
18.
19.
rtan lOx dx
20.
f
fo
2
dx
X
VI6 - x 2
Jcot lOx dx
21. Suponga que ff(X) dx = -3 y ff(X) dx = 2. Evalue ff(X) dx.
r
r
0 0 )
22. Suponga que ffCX) dx = 2 Y
f(x) dx = -8. Evalue
f(x) dx.
En los problemas 23-28, evalue 1a integral dada .
23.
25.
fo3
(1
+ Ix-II) dx
{,"/2 sen 10 t.
r
_ I
f I!!.... [
0
'"/2 16t
27.
24.
7
d
+ 1
I ? dx
I + 3r
t
26.
dt
4
lOt
(2t + 6t
3
+
1)2] dt
fitS sen t 2 dt
- I
28.
r[(X) dx, dond, lex) ~ {;::
En los problemas 29 y 30, encuentre el lfmite dado.
/ 1 + 2 + 3 + ... + n
/ 12 + 22 + 32 +
29. lIm
30. lIm
3
2
11 -",00
n
11--+00
n
x~o
O<x~
x>1
... + n?
31. En la FIGURA 5.R.l se muestra un cubo con las dimensiones dadas (en pies) que se llena a razon
con stante de dV/ dt = ~ pies 3/min. Cuando t = 0, en la balanza se lee 31.2 lb. Si el agua pesa
62.4 Ib/pie 3 , ~cmil es la lectura de la balanza luego de 8 minutos? ~ Y cuando el cubo est,l
Ileno? [Sugerencia: Yea la pagina FM-2 para 1a formula para el volumen del tronco de un
cono. Tambien ignore el peso del cubo.]
FIGURA 5.R.l Cubo y balanza
en el problema 31
32. La torre de Hanoi es una pila de discos circulares, cada uno de los cuales es mas grande
que el de arriba, colocados en un mastil. Yea la FIGURA 5.R.2. Una vez, un antiguo rey ordello
que esta torre debfa construirse con discos de oro con las siguientes especificaciones: el
ancho de cad a disco debra ser un dedo mas grande que el del disco de arriba. EI hueco por
los centros de los discos debra medir un declo de ancho de diametro, y el disco superior clebfa
medir dos dedos de diametro. Suponga que el ancho de un dedo es 1.5 cm, que el oro pesa
19.3 g/cm 3 y que su valor es $14 por gramo.
Revision del capitulo 5 319
0)
Enc Lientre una f6rmula para el valor del oro en la torre de Hanoi del rey si la torre tiene
/I
di scos.
b) EI numero normal de discos de oro en la torre de Hanoi es
ell
64. l,Cual es el valor del oro
la torre?
FIGURA 5.R.2 Torre de Hanoi
en el problema 32
33. Considere la funci6n uno a uno f(x) = x 3
Sin encontrar f- l , determine el valor de
+ x sobre el intervalo
f (2 J
J
r '(x)dx.
~'( I J
y
f(2)
f(l )
-+--+--+*x
J
2
FIGURA 5.R.3 Grafica
para el problema 33
[I, 2] . Yea la FIGURA 5.R.3.