Subido por YOVER KJUIRO HUAMAN

algebra (2)

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Semana 4
Álgebra
semana
04
Academia ADUNI
Material Didáctico
División de polinomios
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Esquema de Horner
Dados dos polinomios de grados no nulos llamate en hallar otros dos únicos polinomios llamados
cociente y residuo, de tal manera que cumplan la
siguiente identidad denominada identidad fundamental de la división.
D(x) ≡ d(x) · q(x) + R(x)
coef divisor
dos dividendo y divisor. Efectuar la división consis-
coeficientes del dividendo
b0
.
a0 a1 a2
– b1
cambian
de
signo
*
– b2
a3 a4
*
*
q0 q1 q2
*
*
*
r0
r1
Luego
q(x) = q0 x2 + q1x + q2 y R(x) = r0 x + r1
Propiedades
1.
º[q]= º[D] – º[d]
2.
Máx. (º[R]) = º[d] – 1
Por ejemplo, en la división algebraica
3 x5 5 x2 7 x 1
x2 2x 9
•
•
Divida
3 x3 + x2 + 2x + 5
3 x2 + x − 1
Resolución
3
º[q]= 5 – 2 = 3, entonces el grado del cociente
es 3.
Máx. (º[R])=2 –1=1, entonces el residuo puede
ser lineal: R(x) = Ax + B.
Observación
•
•
Aplicación
Si A = 0, el residuo puede ser constante: R(x) = B.
Si A = B = 0, el residuo es idénticamente nulo:
R(x) = 0.
MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
Método de Horner
Es un método general para dividir polinomios de
cualquier grado.
Sean D(x) = a0 x4 + a1x3 + a2 x2 + a3 x + a4 y
  d(x) = b0 x2 + b1x + b2
3
–1
1
2
–1
1
1
1
0
5
0
0
3
5
q(x) = x
R(x) = 3x + 5
Regla de Ruffini
Se aplica cuando el divisor es lineal.
d(x) = Ax + B, A ≠ 0
Esquema
Ax+B=0 a0
B
x= –
A
a0
÷A
q0
a1 a2 a3 a4
*
* *
*
b1 b2 b 3 R
q1 q2 q3
coeficientes de q(x)
Semestral Intensivo Virtual ADUNI
Álgebra
Resto = 4x – 3( – 2) + 2x – 1
Aplicación
Divida el polinomio
P(x) = 6x4 + x3 – x2 + 6x + 5
entre 3x – 1.
R(x) = 6x + 5
Teorema de René Descartes
Resolución
Utilizamos la regla de Ruffini.
3x – 1=0
1
x=
3
÷3
P( x )
ax − b
6 1 –1 6
5
2 1 0
2
6 3 0 6
2 1 0 2
7
Ejemplos
P( x )
3x − 2
P( x )
Entonces
q(x) = 2x3 + x2 + 2 ∧ R(x) = 7
Teorema del resto
Se utiliza para determinar el resto de una división.
2x + 2
P( x )
x
Se utiliza cuando el divisor es factorizable.
Aplicación
Halle el resto de dividir
x5 − 3 x2 + 2x − 1
Resolución
Resolución
x2 + 2 = 0
→ x2 = – 2
x4 = 4
x5 = x4 · x = 4x
→ resto = P(−1)
Algoritmo de la división
Aplicación
x +2
2
→ resto = P  
3
→ resto = P(0)
Criterios
• Igualar a cero el divisor.
• Despejar adecuadamente (no resolver).
• Reemplazar en el dividendo y el resultado, en
el resto (R(x)).
2
 b
→ resto = P  
 a
Halle el resto de dividir
x5 − x + 1
( x − 2) ( x + 1)
x 5 − x + 1 ≡ ( x − 2) ( x + 1) Q( x ) + ax
+b
resto
x = 2 31 = 2a + b
x=–1
30 = 3a
a = 10 ∧ b = 11
R(x) = 10x + 11
(–)
1 = – a + b
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Material Didáctico
Problemas resueltos
1. En la división
3
1
x 4 − 3 x 2 + mx + n
3
x − x−2
se obtuvo por residuo 2x + 3. Calcule el valor
de m + n.
x − 3x
4+2m+n=7
2m+n=3
x=–1
– 2 – m+n=1
– m+n=3
3m=0
m=0 ∧ n=3
4.
5
∴ q(x) = 2x3 + x2 – x – 2
Dado el polinomio
P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 + mx2 + nx – 2
al dividirlo entre 3x3 + x2 – 2, su cociente es
igual al residuo. Halle el valor de m · n.
Resolución
Aplicamos el método de Horner.
Por dato, Q(x) ≡ R(x)
2
Resolución
Aplicamos la regla de Ruffini.
2
coeficiente del cociente
3.
–1
coef. residuo
2x5 + x4 − 6 x3 − 2x2 + 5 x − 2
2x − 3
3
2
0 3 0 0 –1
2 –6
1 –3
–1 3
–2 6
1 –1 – 2 1
1
2
Determine el resto de la siguiente división.
Resolución
Aplicamos el método de Horner.
2
4
∴ m·n=1
(–)
2
–3
–2
0
m=1 ∧ n=1
2x2 − x + 3
4
–2
por dato son iguales
Determine el cociente en la siguiente división.
4 x5 + 3 x3 − 1
2
1
–1
1
∴ m+n=3
2.
n
coef. cociente
+ mx + n ≡ ( x 2 − x − 2) Q( x ) + 2 x + 3
x=2
m
2
0
–2
–3
Resolución
Aplicamos el algoritmo de la división.
2
5
0
1
0
2
4
–2
–1
1
–6
–2
5
–2
3
6
0
–3
3
4
0
–2
2
1
resto
∴ R(x) = 1
5.
Dado el polinomio
P(x) = 3x5 – 2x4 – 3x3 – 4x2 + mx + 2
halle el resto de dividir P(x) entre 3x – 2 si el término independiente del cociente es 1.
Resolución
Aplicamos el método de Ruffini.
3
–2
–3
2
0
3
0
1
0
2
3
3÷
–4
m
2
–2 –4
2
–3
–6
3
4
–1
–2
1
coeficientes del cociente
∴ R(x) = 4
resto
término
independiente
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6.
Álgebra
Sea P(x) un polinomio cúbico, tal que al dividirlo entre 2x2 – x + 1, su resto es 2x – 1; además,
la suma de coeficientes es 1 y su término independiente es 2. Halle el resto de dividir P(x)
entre x + 1.
P( )
x → resto = P(−1)
x +1
Resolución
P( – 1) = (2 + 1 + 1)(3 + 3) – 2 – 1
Por dato
P( )
→ resto = 2 x − 1
2 x
2x − x + 1
Por el algoritmo de la división
P( x ) = (2 x 2 − x + 1) Q( x ) + 2 x − 1


grado 3
grado 1
Nos piden
En (*), x = – 1
∴ P( – 1) = 21
7.
Halle el resto de dividir
x5 − 3 x3 + 5 x2 − x + 7
x2 − 1
Resolución
Aplicamos el teorema del resto.
Sea Q(x) = ax + b
P( x ) = (2 x 2 − x + 1) ( ax + b) + 2 x − 1
∑ coef ( P ) = 1 = P(1) = 2 ( a + b) + 1
a+b=0
x2 – 1 = 0
→ x2 = 1
x4 = 1
Entonces
T.I.(P) = 2 = P(0) = b – 1
b=3
∧ a=–3
x5 = x ⋅ 
x4 = x
1
x3 = x ⋅ 
x2 = x
1
Entonces
P( x ) = (2 x 2 − x + 1) ( −3 x + 3) + 2 x − 1 (*)
R( x ) = x − 3 x + 5 − x + 7 = −3 x + 12
∴ R(x) = – 3x + 12
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Material Didáctico
Ejercicios de reforzamiento
1.
5.
Al dividir P(x) entre x2 – x + 2 se obtiene como
divisor a x3 + x2 + 2x – 4 y como resto a 2x + 5.
Calcule P(2) + P( – 1).
A) 32
2.
B) 42
C) 36
D) 28
A) 12
6.
Con respecto a la siguiente división, calcule el
cociente y resto, respectivamente.
x 3 + 2x 4 − x + 3
Se tiene A(x) = (3x5 + x4 + 4x3 + 5x2 – 4) kg de queso,
y se le partió en porciones de B(x) = (3x – 2) kg.
¿Cuántas porciones se logró obtener?
D) x4 +x3 + 2x2 + 3x + 2
C) x2 + 3x + 2 y x +1
7.
D) x2 + 2x + 2 y x – 1
Determine el cociente y resto de la siguiente
división:
3 x 2 + x 3 + 10 x 4 + 8 x + 3
5x − 2
B) t2 + 5t+10
C) t2 + 4t+13
D) t2 + 5t+12
B) 3x3 +x2 +x + 2 y 6
C) 2x3 +x2 +x – 2 y – 7
8.
D) 2x3 +x2 +x + 2 y 7
restos
Un corredor ha recorrido D(t) = (t3 + 3t2 + 2t – 24)
km en un tiempo t seg, y en cada paso logra
avanzar d(t) = (t – 2) km, t ≥ 2 seg. ¿Cuántos pasos logró dar el corredor ?
A) t2 + 6t+12
A) 2x3 +x2 +x + 2 y 8
los
D) 18
C) x4 +x3 + 2x2 + 3x + 4
B) x2 – 2x + 3 y x +1
Determine
divisiones:
C) 16
B) x4 +x3 + 3x2 + 3x + 2
A) x2 + 2x – 2 y x – 1
4.
B) 13
A) x4 + 2x3 + 2x2 + 3x + 2
2 − 3x + 2x 2
3.
Si N(t) = 3t4 + 10t3 + 9t + 15 representa el número
de alumnos que hay, en un tiempo t, y si se le
agrupa en cantidades de A(t) = 3t2 + 4t + 1, determine cuántos alumnos sobran.
de
las
siguientes
( x − 3)12 + ( x − 1)3 + 2 ( x − 4 )4 + 3 x + 2
x−2
( x 2 − 4)3 + x 3 + x 4 − 6
Sea N(x) la representación del número
de monedas que se tiene. Al agrupar en
cantidades de 2x + 3 monedas se obtienen
(x2 + 4x + 1) grupos, sobrando 7 monedas.
¿Cuántas monedas sobran si lo agrupamos en
cantidades de (x + 1) monedas?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 5
2
x −3
A) 48 y 3x + 2
B) 42 y 3x + 2
C) 50 y 2x + 3
D) 48 y x + 2
9.
Al dividir P(x) entre x3 + 2x2 + ax – a se obtiene
como divisor x2 – 2x – 1 y como residuo x + 3.
Determine la suma de coeficientes de P(x).
A) – 2
B) – 3
C) 4
D) – 3
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Álgebra
10. Al dividir A(x), un trinomio cuadrático mónico,
entre (x – 2) y (x – 3) se obtiene como residuos
a 8 y 14, respectivamente. ¿Cuánto se debe
aumentar a A(x) para que sea divisible entre
(x – 1)?
A) 5
B) 3
C) – 4
D) – 3
3
2
3
V(t) = 3t + 8t + 11t + 6t + 2 cm , representa la cantidad de vino, después de t minutos. Si se llena
en botellas de N(t) = 3t2 + 2t + 1 cm3 de capacidad, determine la expresión que represente la
cantidad de botellas.
A) t2 + 3t+ 2
2x 2 − x + 1
halle el valor de m.
A) 1
B) 0
C) 2
D) –2
2x 4 + 7x 3 + 6 x 2 + x + b
2x − 1
se obtiene q(x) como cociente, halle q(1) – b.
A) 13
B) 10
C) 19
D) 16
16. ¿Cuál es el número que se le debe restar al
B) t2 + 2t+ 3
siguiente polinomio P( x ) = 2 x 5 − x 3 − 2 x 2 + 1
para que sea divisible por ( x − 2)? Dé como respuesta la suma de las cifras de dicho número.
2
C) t + 4t+ 2
D) t2 + 2t+ 2
12. Una maquina produce caramelos y la cantidad está determinada por la expresión
C(t) = 2t4 + 3t3 + 8t2 + 5t + 14 y la cantidad de caramelos que se coloca en bolsas, para un tiempo
t, está determinado por Q(t) = 2t2 + t + 3. ¿Cuántos caramelos quedarían sin poder colocarse
en una bolsa?
A) 5
2 x 5 − 3 x 4 + 2 x 2 + mx + 1
15. Al efectuar la división exacta
11. Se llena un recipiente de vino,
4
14. A partir de la siguiente división exacta:
B) 8
C) 4
D) 6
13. Al vender un artículo a S/(3x + 7) y sabiendo
que el costo de producción de un artículo
es de S/(2x + 1) se obtiene una ganancia de
G(x) = 2x3 + x2 + 4x + 420. Determine el número
de artículos que se vendió, en términos de x.
A) 2x2 – 10x +70
B) 2x2 – 11x +71
C) 2x2 – 11x +70
D) x2 – 11x +70
A) 10
B) 19
C) 13
D) 16
17. El alumno Gustavo efectúa la división algebrai-
ca de los polinomios P(x) y f(x) = x2 – 5x + 3, obteniéndose los polinomios cociente (x2 + x + 5)
y resto (3x + 1). Al hallar P(x), comete un error
en el término independiente del cociente, obteniendo que P(2) = 4. Indique qué número colocó por error.
A) 4
B) – 4
C) – 5
B) 6
18. Si P(x) es un polinomio cúbico mónico divisible
en forma separada por los polinomios (x2 – 4) y
(x + 5), halle el resto de dividir P(x) con x2 + x + 1.
A) – 9x – 20
B) – 9x – 24
C) 9x + 24
D) – 24x – 9
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