Departament de Matemàtiques 2n Batxillerat Matemàtiques II Curs 2016/17 1 Discutiu aquest sistema i resoleu-lo quan a = 2 i b = 1 : ax + y − z = b−1 2x + a y = b+1 −x + z = b Solució La idea és fer servir el teorema de Rouché per poder discriminar els diferents casos segons el valor de a i b. Per això, hem de trobar el rang de la matriu de coeficients A i de la matriu ampliada A0 , i comparar-los. Passem a mirar quin rang té la matriu A, en funció de a (podem observar que b no hi apareix): a 1 −1 A= 2 a 0 −1 0 1 Calculem el determinant d’un menor d’ordre 2, no nul, el que ens assegura que el rang de la matriu almenys és 2, i l’ampliem al determinant d’A: 1 −1 = 1 6= 0 −→ 0 1 a 1 -1 2 a 0 = a2 − a − 2 −1 0 1 Plantegem i resolem l’equació, a2 − a − 2 = 0 −→ a = a = −1 1±3 = a = 2 2 Per tant, quan a = −1 o a = 2 el rang de la matriu A és 2. Comencem la discussió dels diferents casos: a) Si a 6= −1 i a 6= 2 : Tenim que el rang de A és 3 i, per tant, el rang de A0 també és 3, independentment dels valors de b. Llavors, al ser els rangs iguals, pel teorema de Rouché, sabem que el sistema és compatible. Com que el rang és igual al nombre d’incògnites, podem assegurar que el sistema és compatible determinat. 2n Control 1a Avaluació 1/12/2016 Departament de Matemàtiques Curs 2016/17 2n Batxillerat Matemàtiques II b) Si a = −1: El rang de A és 2 i hem de mirar el rang de A0 ampliant el menor d’ordre 2 no nul amb la segona fila i la columna de termes independents: 1 −1 b − 1 −1 0 b + 1 = −3b −→ −3b = 0 ⇒ Si b = 0 el rang de A0 és 2. 0 1 b Llavors en el cas de què a = −1 es poden donar els casos: b1 ) Si a = −1 i b = 0: Tenim que el rang de A i el rang de A0 són 2. Llavors, al ser els rangs iguals, pel teorema de Rouché, sabem que el sistema és compatible. Com que el rang és menor al nombre d’incògnites, podem assegurar que el sistema és compatible indeterminat. b2 ) Si a = −1 i b 6= 0: Tenim que el rang de A és 2 i el rang de A0 és 3. Llavors, al ser els rangs diferents, pel teorema de Rouché, sabem que el sistema és incompatible. c) Si a = 2: El rang de A és 2 i hem de mirar el rang de A0 ampliant el menor d’ordre 2 no nul amb la segona fila i la columna de termes independents: 1 −1 b − 1 2 0 b + 1 = 3b − 3 −→ 3b − 3 = 0 ⇒ Si b = 1 el rang de A0 és 2. 0 1 b Llavors en el cas de què a = 2 es poden donar els casos: c1 ) Si a = 2 i b = 1: Tenim que el rang de A i el rang de A0 són 2. Llavors, al ser els rangs iguals, pel teorema de Rouché, sabem que el sistema és compatible. Com que el rang és menor al nombre d’incògnites, podem assegurar que el sistema és compatible indeterminat. c2 ) Si a = 2 i b 6= 1: Tenim que el rang de A és 2 i el rang de A0 és 3. Llavors, al ser els rangs diferents, pel teorema de Rouché, sabem que el sistema és incompatible. - Resoldre el sistema en el cas que a = 2 i b = 1: Per aquests valors dels paràmetres, estem en el cas c1 , llavors el sistema és compatible indeterminat. 2n Control 1a Avaluació 1/12/2016 2n Batxillerat Departament de Matemàtiques Matemàtiques II Curs 2016/17 Al sistema li podem llevar la 2a equació i el resolem fàcilment: 2x + y − z = 0 x = λ − 1 2x + y − z = 0 −→ −→ y = 2 − λ 2x + 2y = 2 −x + z = 1 −x + z = 1 z=λ 2 Contesta els apartats: a) Trobau el nombre de vectors linealment independents que hi ha entre els vectors següents: ~a = (1, 1, 1) ~b = (0, 2, 1) ~c = (2, 0, −3) d~ = (−1, 1, 2) Si són linealment dependents, donau explícitament una relació lineal entre ells. b) Calcula les coordenades d’un vector ~u que sigui ortogonal als dos primers vectors i que, a més, el producte mixt dels tres vectors sigui igual a 4. Solució a) El nombre de vectors linealment independents coincideix amb el rang de la matriu formada per les coordenades dels vectors disposades per columnes (també es podrien posar per files): 1 0 2 −1 V = 1 2 0 1 1 1 −3 2 Calculem el rang fent servir determinants. Començam amb un menor d’ordre 2 diferent de zero i ampliem a menors d’ordre 3 i mirem de trobar-ne un no nul, si es pot. Com que la matriu és de dimensions 3 × 4, el rang no pot ser major que 3 (= màxim 3 vectors linealment independents): 1 0 2 1 0 = 2 6= 0 −→ 1 2 0 = −8 6= 0 1 2 1 1 −3 El rang de la matriu és 3, llavors el màxim nombre de vectors linealment independents en aquest conjunt de vectors és 3. 2n Control 1a Avaluació 1/12/2016 Departament de Matemàtiques 2n Batxillerat Matemàtiques II Curs 2016/17 Com que el menor d’ordre 3 diferent de zero el formen les coordenades dels vectors ~ ~a, b i ~c, aquest 3 vectors són linealment independents, llavors podem posar el d~ com a combinació lineal d’aquests: d~ = x ·~a + y · ~b + z ·~c on x, y i z ∈ R Llavors plantegem el sistema d’equacions lineal: x + 2z = −1 = 1 (−1, 1, 2) = x · (1, 1, 1) + y · (0, 2, 1) + z · (2, 0, −3) −→ x + 2y x + y − 3z = 2 Aquest sistema per raons obvies és un sistema compatible determinat i, si el resolem pel mètode que vulguem, la solució és ( x, y, z) = 0, 21 , − 12 . Llavors podem expressar: 1 1 d~ = 0 ·~a + · ~b − ·~c 2 2 b) Si expressem el vector demanat com ~u = ( x, y, z). De l’enunciat es desprenen les següents condicions: ~u ⊥ ~a −→ ~u ·~a = 0 −→ ( x, y, z) · (1, 1, 1) = 0 −→ x + y + z = 0 ~u ⊥ ~b −→ ~u · ~b = 0 −→ ( x, y, z) · (0, 2, 1) = 0 −→ 2y + z = 0 x 1 0 i h ~ ~u, ~a, b = 4 −→ y 1 2 = − x − y + 2z −→ − x − y + 2z = 4 z 1 1 El vector demanat és la solució del sistema: y + z = 0 2 2 4 −→ ( x, y, z) = − , − , 2y + z = 0 3 3 3 − x − y + 2z = 4 x + Observació: el vector 2n Control 2 2 4 , ,− 3 3 3 també seria solució de l’apartat. 1a Avaluació 1/12/2016 2n Batxillerat Departament de Matemàtiques Matemàtiques II Curs 2016/17 3 Resol els apartats: a) Dels vectors ~u i ~v sabem que els seus mòduls respectius són 10 i 2, i que ~u ·~v = 12 . Calculau | ~u × ~v | b) Estudiau si els punts A(1, 2, 1) mateix pla. B(3, 1, 0) C (0, 1, 2) D (0, 0, 1) pertanyen al Solució a) Ho resolem a partir de l’expressió del producte escalar i de l’expressió del mòdul del producte vectorial: d ~u · ~v = |~u | · |~v | · cos(~u , ~v ) d |~u × ~v | = |~u | · |~v | · sin(~u , ~v ) Elevem al quadrat l’expressió del producte escalar: 2 2 d d ~ ~ ~ , ~v ) −→ u , v ) −→ (~u · ~v)2 = |~u |2 · |~v |2 · cos2 (~u u · v = |~ u | · |~ v | · cos ( (~ ) 144 9 d d d −→ 122 = 102 · 22 · cos2 (~u , ~v ) −→ cos2 (~u , ~v ) = −→ cos2 (~u , ~v ) = 400 25 d d , ~v ) = 1 : , ~v ) + cos2 (~u Feim servir la identitat trigonomètrica sin2 (~u 9 9 d d d d sin2 (~u , ~v ) + cos2 (~u , ~v ) = 1 −→ sin2 (~u , ~v ) + = 1 −→ sin2 (~u , ~v ) = 1 − −→ 25 25 d , ~v ) = −→ sin2 (~u 16 25 Llavors, si elevem al quadrat l’expressió del mòdul del producte vectorial i substituïm: 16 d |~u ×~v|2 = |~u |2 · |~v |2 · sin2 (~u , ~v ) −→ |~u ×~v|2 = 102 · 22 · = 256 =⇒ |~u ×~v| = 25 √ 256 = 16 Per tant, |~u × ~v| = 16 b) A partir dels quatre punts donats, trobem els vectors: −→ AB (2, −1, −1) 2n Control −→ AC (−1, −1, 1) 1a Avaluació −→ AD (−1, −2, 0) 1/12/2016 Departament de Matemàtiques 2n Batxillerat Matemàtiques II Curs 2016/17 Llavors, perquè els quatre punts siguin del mateix pla, els vectors anteriors han de ser coplanaris, és dir, no poden ser linealment independents. Per això, calculem el rang de la matriu formada pels tres vectors (per determinants): 2 −1 −1 −1 −1 −2 = −4 −1 1 0 El rang de la matriu és 3, aleshores els vectors són linelament independents i, per tant, els punts no poden pertànyer tots al mateix pla. 4 Contesta: a) Trobau l’equació de la recta r si sabem que passa pel punt P(3, 1, 2) i que té per vector director el producte vectorial de ~a = (1, 1, 1) i ~b = (0, 2, 1) b) Estudiau la posició relativa de la recta r i la recta s : els valors de k y+3 z−k x = = , segons 1 2 3 Solució El vector director d~r de la recta r és: ~i ~j ~k ~a × ~b = 1 1 1 = −~i − ~j + 2~k −→ d~r (−1, −1, 2) 0 2 1 Llavors l’equació de la recta r pot ser: x−3 y−1 z−2 = = −1 −1 2 b) De l’equació de la recta s podem extreure que passa pel punt Q = (0, −3, k ) i té per vector director d~s (1, 2, 3) Podem observar que d~r i d~s no són proporcionals. Llavors, al no tenir aquests vectors la mateixa direcció, les rectes només es podran creuar o es podran tallar en un únic punt. Comprovem-ho segons els valors de k. 2n Control 1a Avaluació 1/12/2016 Departament de Matemàtiques Curs 2016/17 2n Batxillerat Matemàtiques II −→ Trobem el vector que uneix ambdues rectes QP(3, 4, 2 − k) −→ Si les rectes es tallen en un punt, els vectors d~r , d~s i QP seran coplanaris, per tant s’haurà d’anul·lar el següent determinant: −1 1 3 −1 2 4 2 = k − 3 −→ k − 3 = 0 =⇒ k = 3 3 2−k Aleshores podem deduir els següents casos: i) Si k = 3: Les rectes es tallen en un punt. ii) Si k 6= 3: Les rectes es creuen. 5 Resoldre: a) Donats els vectors ~u(1, −1, 2) i ~v(3, 1, −1) , trobau els vectors ortogonals a ~u que són coplanaris amb ~u i ~v ~ , b) Trobau el valor o valors d’a per als quals el vector ~u és ortogonal al vector ~v × w ~ (1, a, 1) on ~u( a, 1 + a, 2a), ~v( a, 1, a) i w c) Justificau per què el producte mixt dels vectors ~u, ~v, i ~u + ~v és sempre 0, qualsevol que sigui el valor d’a. d) Trobau el valor d’a i de b per tal que els punts A(1, 2, −1), B(3, 0, −2) i C (4, a, b) estiguin alineats. Solució a) Donat el vector genèric ~a( x, y, z), tenim que s’ha de complir: ~a ⊥ ~u −→ ~a · ~u = 0 −→ ( x, y, z) · (1, −1, 2) = 0 =⇒ x − y + 2z = 0 1 Són coplanaris −→ −1 2 2n Control 3 x 1 y = 0 =⇒ − x + 7y + 4z = 0 −1 z 1a Avaluació 1/12/2016 Departament de Matemàtiques Curs 2016/17 2n Batxillerat Matemàtiques II Resolem le sistema homogeni resultant (sistema compatible indeterminat): x = −3λ x − y + 2z = 0 =⇒ y = −λ − x + 7y + 4z = 0 z = λ Llavors, els vectors demanats són de la forma (−3λ, −λ, λ) per a ∀λ ∈ R ~: b) Trobem el vector ~v × w ~i ~j ~k ~ = (1 − a2 , 0, a2 − 1) a 1 a = (1 − a2 )~i + ( a2 − 1)~k =⇒ ~v × w 1 a 1 ~ , tenim que: Si ~u ha de ser ortogonal a ~v × w a =0 1 ~u · (~v × w ~ ) = 0 −→ a3 − a = 0 −→ a( a2 − 1) = 0 −→ a( a + 1)( a − 1) = 0 =⇒ a2 = −1 a = 1 3 c) El vector ~u + ~v és combinació lineal de ~u i de ~v, llavors [~u, ~v, ~u + ~v] = 0 −→ −→ d) Perquè estiguin alineats, els vectors AB(2, −2, −1) i AC (3, a − 2, b + 1) han de ser proporcionals. Llavors el rang de la matriu que formen ha de ser 1 i, per tant, s’ha de cumplir que: 2 3 = 0 −→ 2a + 2 = 0 =⇒ a = −1 − 2 a − 2 2 3 −2 a − 2 −→ −1 b + 1 2 3 = 0 −→ 2a + 5 = 0 =⇒ b = − 25 −1 b + 1 Finalment, perquè estiguin alineats el punt C ha de ser (4, −1, − 52 ) 2n Control 1a Avaluació 1/12/2016
