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CLASE 2 y 3 analisis numerico

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
ANÁLISIS NUMÉRICO
Lic. Gladys G. Melgarejo Estremadoyro
SISTEMA NUMÉRICO
SISTEMA NUMERICO
1.1 ) Conversión de números enteros del sistema decimal
a un sistema de base b y viceversa
E1) Convierta 35810 al sistema octal.
358 ∟8
❻ 44∟8
❹❺
Entonces 35810 es equivalente a 5468
E2) Convierta 6528 al sistema decimal.
6528 = 6 × 82 + 5 × 81 + 2 × 80 = 42610
Entonces 2768 es equivalente a 19010
E1) Convierta 5468 al sistema binario.
Primero aplicaremos Descomposición polinómica.
5468 = 5 × 82 + 4 × 81 + 6 × 80 = 35810 .
Luego divisiones sucesivas
358 ∟2
⓿ 179∟2
❶ 89∟2
❶ 44∟2
⓿ 22…….
2∟2
⓿❶
Entonces 35810 es equivalente a 1011001102
Por lo tanto 5468 es equivalente al número binario 1011001102
Pero también lo podemos resolver así:
5468 =
5
101
5 ∟2
❶ 2 ∟2
⓿ ❶
4
100
6
110
……..
1.3 ) Conversión de números fraccionarios del sistema
decimal a un sistema de base b
E1) Convierta 0510 al sistema octal.
0.5
× 8
4.0
0.4
× 8
3.2
0.2
× 8
1.6
0.6
× 8
4.8
0.8
× 8
6.4
0.4
× 8
3.2
y se repite
Entonces 0.510 es equivalente a 0.431468 .
Este procedimiento se repite un número suficiente de veces o hasta que la parte
decimal sea CERO.
1.4 ) Conversión de un número fraccionario en sistema
binario al sistema decimal
Generalmente los errores de redondeo se relacionan de
manera directa con la forma en que se guardan en la
memoria de la computadora.
La unidad
fundamental de almacenamiento en un
computador es la PALABRA, que pueden ser de 8 a 64
bits.
A continuación representaciones de los números en la
computadora:
• Revisaremos
como
los
números
de
base
10
pueden
ser
representados en base 2, la aproximación más simple es el método
de la MAGNITUD DEL SIGNO, donde el primer bit corresponde al
signo, que puede ser (+) cuando es CERO y (-) cuando es UNO
2) NUMEROS REALES (PUNTO FLOTANTE)
Al almacenar un número real en su representación
binaria se utilizara la notación:
0. 𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4 𝑑5 𝑑6 𝑑7 𝑑8 ×
′ 𝑑′ 𝑑′ 𝑑′ 𝑑′ 𝑑′ 𝑑′
𝑑
1
2 3 4 5 6 7
2
Donde 𝑑𝑖 ≈ 0 y 𝑑𝑖 𝑦 𝑑𝑗 con i= 1,….8 ; j=1,2,…7 pueden
ser cero o unos.
RAICES DE UNA
ECUACIÓN
INTRODUCCION
Nosotros desde hace tiempo aprendimos a utilizar la
fórmula:
−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎
Para resolver expresiones 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ó también
podemos resolver polinomios lineales 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
A estos valores calculados del polinomio ya sea lineal o
cuadrático se les llama raíces; es decir 𝑝 𝑥 = 0
es por
eso que algunas raíces se les conocen como ceros del
polinomio.
Aunque la fórmula anterior es útil para resolver
ecuaciones
polinomiales de segundo grado, hay
muchos polinomios que no es posible resolverlos de
una manera fácil, en estos casos los métodos
numéricos son métodos eficientes para obtener una
respuesta.
MÉTODO GRÁFICO
 Este método es útil para obtener una aproximación a
la raíz de un polinomio y observar donde cruza ó se
intercepta en el eje de las X.
 Este valor 𝑥 para la cual 𝑝 𝑥 = 0 proporciona una
aproximación inicial de la raíz, aunque los métodos
gráficos
son
útiles
para
obtener
estimaciones
aproximadas de las raíces, pero pocas precisas.
• Para aproximar debemos usar la técnica de PRUEBA
ERROR, que es escoger un valor de x y evaluarla si
es 𝑝 𝑥 = 0, sino no ocurre así, como en la mayoría
de los casos, se hace otra conjetura y se evalúa
nuevamente a 𝑝 𝑥
estimación
, hasta determinar la mejor
hasta encontrar un valor que genere un
𝑝 𝑥 cercano a CERO.
Vemos que el gráfico (1) y (3) tienen
el mismo signo pero, no hay raíces
en la FIG(1).
FIG(3) tiene par de ellos entre los
valores dados.
El grafico (2) nos da el resultado
de una raíz que está acotada
por valores positivos y negativos
de 𝑝 𝑥
Pero no siempre se cumple, pues
hay funciones tangenciales ó
discontinuas.
Así 𝑝 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 − 2 𝑥 − 4 es
un polinomio tangencial pero
tiene una raíz múltiple
LOCALIZACIÓN DE INTERVALOS DE
RAICES DE f(x) =0
Cuando no hay información previa de acerca de
los valores aproximados de las raíces; una
manera sencilla para hallar intervalos de “x”
que contenga una raíz es construir una tabla de
valores de x, con separación uniforme.
MÉTODOS
CERRADOS
INTRODUCCIÓN
 Son aquellos que aprovechan que una función
cambia de signo en una vecindad de una raíz.
 A
estas
técnicas
los
llamamos
“Métodos
Cerrados” o de “Intervalos”, y para ello, son
necesarios dos puntos iniciales para encontrar
la raíz.
 Esto implica que dichos valores iniciales deben
encerrar a la raíz.
 Los métodos que vamos a estudiar emplearan
diferentes estrategias para reducir el tamaño
del intervalo y converger a la respuesta
correcta.
 Entre ellos tenemos:
a) Método de Bisección
b) Método de Regula Falsi
MÉTODO
DE
BISECCIÓN
INTRODUCCION
Al graficar la función podemos observaremos que la función
cambia de signo en ambos lados de la raíz.
 Sea 𝒇 𝒙
una función continua y definida en el
intervalo, con 𝒇 𝒂
y
𝒇 𝒃
de signos distintos,
existe un 𝒙∗ , 𝒂 < 𝒙∗ < 𝒃 tal que 𝒇 𝒙∗ = 𝟎.
(Existe una solución ó raíz por el Teorema del Valor
Medio).
 Este método
pasos
para
de Bisección aplica los siguientes
una
raíz
significativas exactas.
con
ciertas
cifras
1)Sea
para
un intervalo
generar
inicial donde existe la raíz 𝒙∗ ,
luego
la
mediante la relación :
sucesión
𝒙𝒊 =
𝒂𝒊 +𝒃𝒊
𝟐
2)Determinar
• 𝒇 𝒂𝒊 𝒇 𝒙𝒊 =
=
>
𝟎
⇒
𝒂𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊
𝒃𝒊+𝟏 = 𝒃𝒊
<
𝟎
⇒
𝒂𝒊+𝟏 = 𝒂𝒊
𝒃𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊
𝟎
3) Dejar de iterar sí
⇒
𝒙𝒊 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒓𝒂𝒊𝒛
Tolerancia
∞
𝒙𝒊
⟶ 𝒙∗
𝒊=𝟎
, 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
,
EJEMPLO:
Encuentre la raíz de la siguiente ecuación en el intervalo
𝟔 ,𝟕
empleando el método de bisección
polinomio
error
para el
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟗𝒙 − 𝟏𝟖 e iterar hasta que el
estimado
sea
menor
o
igual
al
0.01.
𝑓 6 =
6
2 ln
6 − 9 6 − 18 = −7.5
𝑓 7 =
7
2 ln
7 − 9 7 − 18 = 14.35
Si 𝒇 𝟔 𝒇 𝟕 < 𝟎 ⟹ ∃ 𝒙∗ 𝒂 , 𝒃 ; 𝒇 𝒙∗ = 𝟎
Ejemplo
La tostación de menas sulfuradas produce una gran
contaminación del aire por la emisión de enormes
cantidades de óxido de azufre (SO2) a la atmósfera,
viene dada por la función: 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝟏
en el intervalo
Bisección
e
𝟐𝝅
𝟑
,𝝅
, para ello emplee el método de
iterar hasta que el
menor que 𝟎. 𝟎𝟎𝟖. (6 dígitos )
error estimado sea
2𝜋
2𝜋
2𝜋
𝑓
= 𝑠𝑒𝑛
+ cos 1 +
3
3
3
𝑓 𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋 + cos 1 + 𝜋
Entonces:
𝑓
2𝜋
3
2
𝑓 𝜋 < 0 , ∃ 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
2
− 1 = 0.490221
− 1 = −1.1256337
𝒏
𝒙𝒏
0
2.617994
1
2.879793
0.261799
2
2.748894
0.130900
3
2.683444
0.065450
4
2.716169
0.032725
5
2.732531
0.016362
6
2.740712
0.008181
7
2.744803
0.004091
⃒𝒙𝒏+𝟏 − 𝒙𝒏 ⃒
EJEMPLO
Encuentre la raíz de la siguiente ecuación en el intervalo
−1, −2.5 , empleando el método de Bisección para el
polinomio
𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 2𝑥 − 10, e iterar hasta que el error estimado
sea menor o igual al 5%.
Sea 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎, 𝒙∗ 𝝐 −𝟏, −𝟐. 𝟓 con un
𝝃𝒔 ≤ 𝟓%
𝒊
𝒙𝒊
𝒙𝒊+𝟏 − 𝒙𝒊
0
-1.750000000
1
-1.375000000
0.375000000
2
-1.562500000
0.187500000
3
-1.468750000
0.093750000
4
-1.51625000
Luego tenemos que la raíz es:
0.046875000 ≤ 𝟎. 𝟎𝟓
⟹ 𝒙𝟐 = −𝟏. 𝟓𝟔𝟐𝟓𝟎𝟎
Donde ⃒𝒙𝒊+𝟏 − 𝒙𝒊 ⃒ = 𝟎. 𝟎𝟒𝟔𝟖𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎 ≤ 𝟎. 𝟎𝟓
EJEMPLO
Aplique el método de Bisección para la función
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥
en el intervalo
2 , 3 , e iterar hasta
que el error aproximado sea menor que 0.008.
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 ∗ 𝜖 2 , 3 con un 𝐸𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 < 0.008
No se puede continuar pues, no tiene raiz
𝑬𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙 = 𝑬𝑹𝑹𝑶𝑹 𝑨𝑷𝑹𝑶𝑿𝑰𝑴𝑨𝑫𝑶 = ⃒
𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 − 𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑨𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓
⃒
𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍
EJEMPLO:
Aplique el método de Bisección para la función
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥
en
el
intervalo
−2 , 3
, e iterar
hasta que el error aproximado sea menor que 0.008.
Sea
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝐸𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 < 0.008
,
𝑥 ∗ 𝜖 −2 , 3
con
un
MÉTODO
DE
REGULA FALSI
INTRODUCCION
Dado que el Método de Bisección es una técnica que
permite
determinar
raíces,
su
enfoque
no
es
tan
eficiente.
La Falsa
Posición
es una alternativa basada en la
visualización gráfica, pues la intersección de una línea
con el eje de las X, representa una mejor estimación de
la raíz, de aquí el nombre de Falsa Posición, en Latín
Regula Falsi ó método de Interpolación Lineal
CARACTERISTICAS
1) Este método se basa en la interpolación lineal, es
análogo al método de bisección, puesto que el
tamaño del intervalo que contiene a la raíz se
reduce mediante iteración.
2) El Método de Bisección tiene el defecto que al
dividir
el
intervalo
en
mitades
iguales
no
considera la magnitud de las imágenes de la
función
3) Sin embargo en vez de encontrar los puntos medios
de los intervalos en forma monótona , utiliza la
interpolación lineal ajustada a dos puntos extremos
para encontrar una aproximación de la raíz, siendo
la función bien aproximada por la interpolación
lineal , entonces las raíces tendrán una buena
precisión y la iteración convergerá más rápido que
usando el método de bisección.
Sabemos que la ecuación de la recta
es:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
𝑦1 − 𝑦0
𝑦 − 𝑦0 =
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
Entonces:
Sea el intervalo cerrado 𝑎 , 𝑏 que
contenga a la raíz , la función
lineal que pasa por los puntos :
𝑥1 , 𝑓 𝑥1
𝑦 − 𝑓 𝑥1
, 𝑥0 , 𝑓 𝑥0
, se tiene:
𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0
=
𝑥1 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
Si 𝑦 = 0 ⟹La recta intersecta al eje
X en una raíz
Entonces
−𝑓 𝑥0 𝑥1 − 𝑥0
𝑥1 =
+ 𝑥0
𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓 𝑥0
𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0
Entonces:
𝑥2 − 𝑥1
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓 𝑥1
𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
𝑥3 − 𝑥2
𝑥3 = 𝑥2 −
𝑓 𝑥2
𝑓 𝑥3 − 𝑓 𝑥2
Despejando, 𝑥1 tenemos:
𝑦 =0 − 𝑓 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
+ 𝑥0 = 𝑥1
𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0
• .......
• 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 −
𝑥𝑛 −𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛−1
1) La desventaja de este método es que pueden
aparecer extremos fijos así, las aproximaciones
𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 … … . a la raíz converge solamente por
un lado.
2) Los extremos fijos no son deseables, pues
hacen más lentos la convergencia,
especialmente cuando el intervalo inicial es muy
grande.
ALGORITMO DEL METODO DE REGULA FALSI
EJEMPLO
Sea𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 1 para 𝑥 ∗ ∈ [0.5 , 0.7], emplee el
Método de Regular Falsi
estimado
e iterar hasta que el error
sea menor e igual a 10−4
Sea
𝑓 0.5 = 𝑠𝑒𝑛 0.5 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 0.5 + 1= − 0.606404
𝑓 0.7 = 𝑠𝑒𝑛 0.7 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 0.7 + 1 = 0.091947
Por lo tanto:
𝑓 0.5 𝑓 0.7 < 0 ⇒ ∃𝑥 ∗ ∈
0.5, 0.7 , donde 𝜉𝑠 < 10−4 = 0.0001
n
𝒙𝒏
0
0.673667
1
0.667875
0.005791
2
0.666599
0.001275
3
0.666600
0.000100  0.0001
4
0.666319
5
0.666257
𝝃𝒔
EJEMPLO:
Encuentre la raíz de 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 8𝑥 3 − 36𝑥 2 + 462𝑥 − 1010,
empleando el método de Regula Falsi, en un intervalo
3.0, 4.0 , e iterar hasta que
𝜉𝑠 ≤ 0.0001%.
i
xi
│Xi+1-Xi │
0
3.932584270
1
3.902857099
0.000297272
2
3.890154073
0.000127030
3
3.884799978
0.000053541
4
3.882556510
0.000022435
5
3.881618770
0.000009377
6
3.881227212
0.000003916
7
3.881063786
0.000001634
8
3.880995588
0.000000682
9
3.880967131
0.000000285
𝜉𝑠 ≤ 0.0001%= 0.00000
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xi
3.932584
3.902857
3.890154
3.884800
3.882557
3.881619
3.881227
3.881064
3.880996
3.880967
│Xi+1-Xi │
0.000297
0.000127
0.000054
0.000022
0.000009
0.000004
0.000002
0.000001 𝝃𝒔 ≤ 0.0001%= 0.00000100
0.000000
EJEMPLO:
Aplique el método de Falsa Posición de
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥 + 1 en un intervalo 1 ; 3
veces.
e
iterar seis
n
Xn
│Xi+1-Xi │
0
1.623230826
0.536616512
1
2.159847338
0.071080873
2
2.230928211
0.007408356
3
2.238336567
0.000748018
4
2.239084585
0.000075277
5
2.239159862
0.000008420
6
2.239168282
0.000000000
7
0.000000000
OBSERVACION
𝑬𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙 % = 𝑬𝑨 % = 𝑬𝑹𝑹𝑶𝑹 𝑨𝑷𝑹𝑶𝑿𝑰𝑴𝑨𝑫𝑶% = ⃒
𝑬𝑹 % = 𝑬𝑹𝑹𝑶𝑹 𝑹𝑬𝑳𝑨𝑻𝑰𝑽𝑶 %
=
𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 − 𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑨𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓
⃒%
𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑽𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐 − 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐
⃒
⃒%
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑽𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐
EJEMPLO
Sea
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑥 ∗ ∈ −2, −1
Método de Regular Falsi
, emplee el
e iterar hasta que el error
estimado porcentual sea menor a 10−3
Sea
𝑓 −2 = −2
𝑓 −2 = 1
𝑓 −1 = −1
4
− 3 −2
2
+ 2 −2 + 1
4
− 3 −1
2
+ 2 −1 + 1𝑓 −1 = − 3
Por lo tanto:
𝑓 −2 𝑓 −1 < 0 ⇒ ∃𝑥 ∗ ∈
−2, −1 , donde 𝜉𝑠 % < 10−3 = 0.001
n
𝒙𝒏
0
-1.7500000
1
-1.9244392 0.17444
2
-1.9392410 0.01480
3
-1.9403105 0.00107
4
-1.9403868 0.00008
𝝃𝒔 %
EJEMPLO:
Sea 𝑓 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠𝑥 3 2𝑥 − 3 𝑥 ∗ ∈ 2 , 9
( 𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠); emplee el Método de Regular Falsi e
iterar 6 veces.
n
0
𝒙𝒏
7.1356761
1
8.0916005
2
8.8152968
3
8.6733614
4
8.7260958
5
8.7907143
6
8.7883088
EJEMPLO:
Sea f x = x 2 sen x − 5 ( x está en radianes ), determine la
raíz positiva más pequeña de la función, empleando el
método de Falsa posición para x ∗ ϵ 0 ; 5 . Realice el cálculo
hasta que ξs < 0,005
n
𝒙𝒏
𝝃𝒔
0
1.271053198
1
1.996112309
0.725059110
2
2.199467317
0.203355008
3
2.233593225
0.034125908
4
2.238406548
0.0046875000 ≤ 0.05
5
2.239064611
0.000658063
6
2.239168296
0.000103685
7
0.000000000
0.000000014
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