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division sintetica

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Guía Matemática 3.
SESION 2 11-02-2023
III ciclo
TEOREMA DEL RESIDUO Y TEOREMA DEL FACTOR
MSc. Carlos Enrique Vasquez E.
Propiedades de la división:
La división o cociente es una operación matemática que consiste en repartir entre partes o grupos iguales
y se representa mediante los símbolos "÷", ":" y "/", generalmente. La visión es el contrario de multiplicar. Si
conoces un factor de la multiplicación entonces puedes encontrar un factor de la división. Por ejemplo, si 4
x 5 = 20, 20 / 5 = 4 y 20 / 4 = 5.
Tipos de división
Existen dos tipos de división dependiendo del resultado que obtengamos en el Resto:
1. División exacta: llamamos división exacta a la división cuyo resultado es cero.
Dividendo = divisor x cociente
15 = 5 x 3
División entera o inexacta: llamamos división inexacta o entera a la división en la que el dividendo es igual
al divisor por el cociente más el resto. Dividendo = divisor x cociente + resto
17 = 5 x 3 + 2
Propiedades de la división
o Propiedades no conmutativas: en el caso de las divisiones, no se da la propiedad conmutativa. Al
contrario de lo que sucede en la propiedad conmutativa de la multiplicación, si variamos el orden
de los números de una división, se alterará el resultado. Por ejemplo: 10 ÷ 2 = 5, pero 2 ÷ 10 = 0,
2.
o Propiedad no asociativa: si descomponemos uno o todos los números de una división, o los
agrupamos de diferentes maneras, el cociente o el resultado pueden cambiar. Por ejemplo: 200 ÷ 10
÷ 5 puede dar 4 o 100 según como se asocie. Si realizamos (200 ÷ 10) ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4, pero es
diferente a 200 ÷ (10 ÷ 5) = 200 ÷ 2 = 100
o Propiedad distributiva: es válida la propiedad distributiva de la división cuando se descompone el
dividendo. Por ejemplo: 400 ÷ 10 = 200 ÷ 10 + 200 ÷ 10
o Cero dividido entre cualquier número da cero: por ejemplo, "0: 7 = 7".
o No podemos dividir por cero, ya que no existe ningún cociente que multiplicado por 0 sea igual al
dividendo.
División sintética o regla de Ruffini:
La división sintética se puede decir que es una forma abreviada de dividir un polinomio por otro polinomio
de primer grado. El método sintético implica encontrar ceros de los polinomios. Este tipo de división por
un denominador lineal se conoce comúnmente como división por La regla de Ruffini
Para que el método de división sintética sea posible, se deben cumplir los siguientes requisitos:
• El divisor debe ser un factor lineal. Esto significa que el divisor debe ser una expresión de
grado 1.
• El coeficiente principal del divisor también debe ser 1. Si el coeficiente del divisor es distinto
de 1, el proceso de división sintética se estropeará. Por lo tanto, se verá obligado a manipular
el divisor para convertir el coeficiente principal a 1. Por ejemplo, 4x - 1 y 4x + 9 serían x - ¼ y
x + 9/4 respectivamente.
Teorema del Residuo
Generalmente cuando un polinomio se divide entre un Binomio hay un residuo.
Teorema del Factor
Es una aplicación que vincula factores y ceros de un polinomio en específico. Es un caso especial que se
utiliza para resolver el teorema del resto, por lo tanto, cuando se mencionan, deben ir juntos. El teorema
establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x – k) si y solo si f (k) = 0. O lo que también se podría
entender que k es una raíz.
Las siguientes afirmaciones se aplican a cualquier polinomio f(x):
• El resto es cero cuando f(x) se divide exactamente por (x–c)
• (x-c) es un factor de f(x)
• c es la solución de f(x)
• c es un cero de la función f(x), o f(c)=0
Ejemplos:
1.- Dividir x3 + 5x2 -2x - 24 entre x – 2
2.- Dividir x2 + 11x + 30 entre x + 5
3.- 2x3 + 5x2 + 9 entre x + 3
4.- Use la división sintética para dividir 3 x3 + 10x 2-6x −20 por x + 2.
5.- Divida -9x4 + 10x 3 + 7x 2-6 entre x − 1.
6.- f(x)=x 2 - 8 x + 6. Divida el polinomio entre el binomio x - 2.
7.- ¿Cuál es el residuo cuando el polinomio 6x3+4x2+7x+6 es dividido por x+2?
8.- Encuentra el residuo cuando 10x3+4x2−5x+10 es dividido por x+5.
9.- Encuentra el residuo cuando 2x3−5x2+4x+2 es dividido por (2x+1)
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