TRANSFORMACION DE COORDENADAS

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
INTRODUCCION: En geometría analítica, al igual que en física, es muy importante
elegir un sistema de coordenadas, o referencia, adecuado con objeto de simplificar al
máximo las ecuaciones y que el proceso de resolución sea lo más rápido posible. Ello se
realiza mediante una transformación de ejes coordenados cuyo proceso general se puede
considerar reducido a dos movimientos, uno de traslación y otro por rotación.
DEFINICIÓN: Transformación es una operación por la cual una relación, expresión o
figura se cambia en otra siguiendo una ley dada.
ECUACIÓN ORDINARIA
( x h) 2 ( y k ) 2
r2
ECUACIÓN CANÓNICA TRANSFORMADA
(1)
x2
y2
r2
(2)
Vemos entonces, que moviendo los ejes coordenados paralelamente a sí mismos, hemos
transformado las coordenadas ( x, y) de un punto cualquiera de la circunferencia en
las coordenadas ( x , y ) y como resultado hemos transformado la ecuación (1) en la
ecuación más simple (2).
La operación de mover los ejes coordenados en el plano coordenado a una posición
diferente, paralelos a los ejes primitivos y dirigidos en el mismo sentido, se llama
traslación de los ejes coordenadas.
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Página 1
TRASLACIÓN DE EJES. Sean OX y OY los ejes primitivos y O X y O Y ,
paralelos respectivamente a los anteriores, los nuevos ejes. Sean también (h, k) las
coordenadas de O con respecto al sistema inicial.
Supongamos que (x, y) son las
coordenadas de un punto P con respecto
a los ejes primitivos, ( x , y ) las
coordenadas, del mismo punto, respecto
de los nuevos. Para determinar x e y en
función de x , y ; h y k se tiene:
x MP MM MP h x
y NP NN N P k y
Por tanto, las ecuaciones de la traslación
de ejes son:
x x h, y y k
Relación para simplificar una ecuación o para obtener las nuevas coordenadas de
un punto.
x x h
y y k
Relación para trasladar los ejes coordenadas a un punto dado
x
x h,
y
y k
Ejemplo 1: Las nuevas coordenadas del punto P(7,4), al trasladar los ejes al nuevo
origen O ( 3,6) son:
Sea h
3 k 6
x x h = 7 ( 3) 10
y y k=4 6 2
Luego las nuevas
coordenadas del punto
son: P (10, 2)
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Página 2
Ejemplo 2: Determinar la nueva ecuación de la recta 2x 4 y 6 0 después de
trasladar los ejes al nuevo origen O (2, 4) . Trazar los sistemas y la recta.
Solución:
Con h 2 y k 4 , tenemos:
x x h , y y k
x x 2
y y 4
Sustituyendo los valores de x y y en la ecuación de la recta: 2x 4 y 6 0
2 x 2 4 y 4 6 0
2x
4 4 y 16 6 0
2x 4 y 14 0
Como se observa en la figura, la recta no se mueve al encontrar el nuevo sistema, lo
único que cambia es la ecuación en que pasa, de 2x 4 y 6 0 a 2x 4 y 14 0 ; la
pendiente no cambia, pero sí la intersección con los eje x y y.
Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la curva 2 x2 3 y2 8 x 6 y 7 cuando se traslada el
origen de coordenadas al punto 2, 1 .
Solución:
Sustituyendo x
obtiene: 2 x
x
2
2
2, y
3 y 1
y 1 en la ecuación dada se
2
8 x
2
6 y 1
7.
Desarrollando y simplificando, se llega a la ecuación de la
curva referida a los nuevos ejes. 2 x 2 3 y 2 18 .
x2
9
y2
6
1
Esta es la ecuación de la elipse con centro en el nuevo origen, con el eje mayor sobre el
6
eje x y de semiejes a 3 , b
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Página 3
Ejemplo 4: Por medio de una traslación de ejes, transformar la ecuación
3x 2 4 y 2 6 x 24 y 135 en otra en la cual los coeficientes de los términos de
primer grado sean nulos.
Solución:
Sustituyendo x e y por los valores x h e y k , respectivamente.
3x 2 4 y 2 6 x 24 y 135
3 x
2
h
4 y
k
2
6 x
h
24 y
Desarrollando y agrupando tenemos:
3x 2 4 y 2 6h 6 x 8k 24 y
k
135
3h 2 4k 2 6h 24k 135 .
Si deseamos eliminar x , y debemos hacer cero sus coeficientes:
De 6h 6 0 y 8k 24 0 se obtiene h
1 y k 3 , con lo cual resulta
2
2
3x
4y
102 .
Esta es la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, eje real o transversal sobre
el eje x y semieje igual a 34 .
Otro método.
A veces, para eliminar los términos de primer grado de una ecuación, se sigue el método
que se da a continuación.
Dada la ecuación 3x 2 4 y 2 6 x 24 y 135 completando cuadrados tenemos:
3 x 1
2
4 y 3
2
102
Sustituyendo x 1 por x e y 3 por y se tiene: 3 x 2 4 y 2
102
.
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Página 4
ROTACIÓN DE EJES: Sean OX y OY los ejes primitivos y O‘X‘ y O’Y’ los nuevos
ejes, siendo O el origen común de ambos sistemas. Representemos por
el ángulo
X‘OX de la rotación. Supongamos que (x, y) son las coordenadas de un punto P del
plano con respecto a los ejes primitivos, y ( x , y ) las coordenadas del mismo punto,
respecto de los nuevos ejes.
Para determinar x e y en función de x , y , , se
tiene:
x OM ON MN
x cos
y sen
y MP MM MP
x sen y cos
NN
MP
Por lo tanto, las formulas de la rotación
coordenados son:
x x cos
y x sen
de los ejes
y sen
y cos
Por simplicidad el ángulo de rotación siempre se considera agudo o recto y positivo.
Si se quiere obtener los valores de x y de y , se resuelve el sistema anterior
considerando que las incógnitas son x , y .
Luego:
x x cos
ysen
y y cos
xsen
Llamadas ecuaciones recíprocas de rotación
Ejemplo 5: Hallar las nuevas coordenadas del punto
coordenados giran un ángulo de 30º entorno a su origen.
P (3, 4) , cuando los ejes
Solución:
x
x cos
ysen
3cos30º ( 4)sen30º
3 3
2
4
y
1
2
3 3
2
2
Por lo tanto las coordenadas son P x , y son:
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y cos
xsen
4cos30º 3sen30º
( 4)
3
1
3
2
2
2 3
3
2
3 3
2
2, 2 3
3
2
Página 5
Ejemplo 6: Obtenga una ecuación en las variables x , y de la gráfica de xy 4 bajo
un ángulo de rotación de los ejes alrededor del origen con
45º
Solución:
Se tiene cos 45º
1
y sen45º
2
1
. Si se tiene
2
x x cos
y sen
1
1
x x
y
2
2
x y
x
2
y x sen y cos
1
1
y x
y
2
2
x y
y
2
Sustituyendo en la ecuación xy 4 , se tiene:
x
y
2
x
x2
y2
y2
2
2
x
8
4
4
2
x2
y
2
8
y
8
1
Ejemplo 7: Hallar el ángulo de rotación de ejes necesario para eliminar el término en xy
de la ecuación 7 x2 6 3xy 13y2 16
Solución:
Sustituyendo en la ecuación dada
x x cos
y sen
y x sen y cos
Se obtiene:
7 x cos
y sen
2
6 3 x cos
y sen
x sen
y cos
13 x sen
y cos
2
(*)
Desarrollando y reduciendo términos semejantes:
7 cos2
6 3sen cos
13sen2 x 2
12sen cos
6 3 cos2
2
7sen
sen2
xy +
6 3sen cos
13 cos2
y2
16
Para eliminar el término en x'y', igualamos a cero el coeficiente de dicho término y
despejamos
12sen cos
6 3 cos 2
sen2
0
2sen cos
3 cos 2
Recordar: sen2
sen2
0
2sen cos
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Página 6
16
cos2
sen2
cos 2
Luego tenemos: 2sen cos
3 cos 2
sen2
sen2
3 cos 2
0
Luego
sen2
cos 2
Entonces 2
0
3
60º , de donde
Sustituyendo este valor de
30º
en (*), la ecuación se reduce a : x 2
2
4y 2
4,
2
x
y
1
4
1
Que representa una elipse de centro en el origen y que tiene sus ejes sobre los nuevos.
Los semiejes mayor y menor son, respectivamente, a = 2, b = 1.
Ejemplo 8: Hallar las coordenadas del punto ( 1,3) cuando los ejes coordenados son
trasladados primero al nuevo origen (4,5) y después se les gira un ángulo de 60º.
Solución:
- Coordenadas de los ejes originales x y y: P ( x, y) ( 1,3) . Entonces x 1 y
y 3
- Cuando los ejes son trasladados al nuevo origen, las coordenadas son:
h, k (4,5)
x
x h,
x
1 4
5
Luego x
Entonces:
y y k
y 3 5
2
5 y y
2
x x cos
y sen
x
5cos60º 2sen60º
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y
y
y cos
x sen
2cos60º ( 5)sen60º
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1
2
x
5
x
5
2 3
2
3
2
2
y
2
1
2
y
1
5 3
2
5
3
2
Ejemplo 9: Si y 2x es la ecuación después de una rotación de 53º, hallar su
ecuación en el sistema XY.
Solución:
Se sabe que:
x x cos
y y cos
ysen
xsen
Como
53º
Entonces:
x x cos53º ysen53º
3
4
x x
y
5
5
Reemplazando: y 2x
y
3
4
x
5
5
2 x
3
5
y
y
y
y cos53º xsen53º
3
4
y
x
5
5
4
5
3 y 4x 6x 8 y
0 10x 5 y
2x y
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Página 8
FORMA GENERAL La ecuación de segundo grado es:
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
Para eliminar el término Bxy de la ecuación, el ángulo de giro se escoge de la siguiente
manera:
Si A= C, entonces
45º
B
tan 2
Si A C
co t 2
A C
,
A C
B
1 cos 2
1 cos 2
cos
,
2
2
El ángulo de rotación queda restringido al intervalo 0º
90º , de manera que
para 2 es 0º 2 180º
tener en cuenta que: sen
Ejemplo 10: Eliminar el término en xy de la ecuación 7 x2
Solución:
Como A=7 , C=13, entonces:
6 3
6 3
B
=
tan 2
6
A C 7 13
tan 2
3
Entonces 2
60º , de donde
6 3xy 13y2
16
3
30º
Luego sustituyendo en la ecuación dada con:
x x cos
y sen
x cos30º y sen30º
x
3
2
y
1
2
y x sen y cos
x sen30º y cos30º
3x y
2
Luego reemplazando en 7 x2
x
3y
2
6 3xy 13y2
16
2
Tenemos: 7
3x y
2
Simplificando se tiene:
2
6 3
x2
4
y2
1
3x y
2
x
3y
2
13
x
3y
2
16
1 (Ver fig. del ejercicio 7)
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Página 9
SIMPLIFICACION
COORDENADAS.
DE
ECUACIONES
POR
TRANSFORMACIÓN
DE
Acabamos de ver que, por una traslación o una rotación de 1os ejes coordenados, es
posible transformar muchas ecuaciones en formas más simples. Es entonces 1ógico
inferir que se puede efectuar una simplificación mayor aún aplicando ambas
operaciones a la vez. Si una ecuación es transformada en una forma más simple por una
traslación o una rotación de 1os ejes coordenados, o por ambas, el proceso se llama
simplificación por transformación de coordenadas.
Ejemplo 11: Representar la gráfica de 3 x2 2 xy 3 y2 2 x 10 y 9 0 a su forma
más simple mediante una rotación de ejes y una traslación.
Solución:
Por rotación:
Como A= C, entonces
45º .
Las ecuaciones de la rotación son
x y
x y
y
x
2
2
2
Sustituyendo estos valores de x e y en la ecuación, 3 x 2 xy 3 y2 2 x 10 y 9 0
x
y
2
Tenemos:
3
2
2
x
y
2
x
y
2
3
x
y
2
2
2
x
y
2
10
x
y
2
9 0
4 x 2 8 y 2 12 2 x 8 2 y 18 0
De tal manera que se ha eliminado el término xy
Por traslación:
Para eliminar los términos de primer grado, completamos cuadrados:
4 x 2 8 y 2 12 2 x 8 2 y 18 0
4 x 2 12 2 x 8 y 2 8 2 y 18 0
4 x 2 3 2x
8 y2
2y
18 0
3 2
2
8
2
2
18 8 y
2
2
2
x
3 2
2
4 x
3 2
2
4
2
2
2
y
2
4
18 0
2
4 18 0
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Página 10
2
4 x
3 2
2
x
3 2
2
2
2
2
8 y
2
4
2
2
2
y
1
1
2
1
Sean
x
x
3 2
, y
2
x2
Tenemos:
1
y2
1
2
y
2
2
1
CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS DE SEGUNDO GRADO
La ecuación general de segundo grado Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 , excepto en
casos particulares, corresponde a una sección cónica. Se demuestra que si
I B2 4 AC
B2 4 AC < 0 , la curva es una elipse,
B2 4 AC 0 , la curva es una parábola,
B2 4 AC > 0 , la curva es una hipérbola.
En los casos particulares, la ecuación representar (degeneración) dos rectas siempre que
el primer miembro se pueda descomponer en el producto de dos factores lineales, un
punto o rectas imaginarias.
Teniendo en cuenta el valor de
4 ACF BDE AE 2 CD 2 FB2
1) Si
0 , entonces la ecuación Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
a) I 0 , elipse
b) I 0 , hipérbola
c) I 0 , parábola
2) Si
0
a) I 0 , punto real o vacío
b) I 0 , dos rectas concurrentes
c) I 0 , dos rectas paralelas coincidentes o vacío.
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Página 11
Ejemplo 12: Hallar la naturaleza de la curva representada por la ecuación:
4 x2 4 xy y2 6 x 3 y 2 0
Solución:
Dado que A=4 B=-4 C=1, tenemos B2 4 AC =0, puede ser una parábola.
Agrupando términos, esta ecuación se puede descomponer en factores:
4 x2 4 xy y2 3 2 x y 2 0
2x y
2
3 2x y
2x y 1 2x y 2
2 0
0
Se trata de las rectas paralelas: 2x y 1 0 , 2x y 2 0
Ejemplo 13: Hallar la naturaleza de la curva representada por la ecuación:
3x2 4 3xy y2 15
Solución:
Dado que A=3 B= 4 3 C=-1, tenemos B2
La cónica es una hipérbola.
4 AC =60>0
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En cada uno de los siguientes ejercicios transformar la ecuación dada trasladando
los ejes coordenados al nuevo origen O .
x2 y2 6 x 4 y 0; O ( 3, 2)
a)
3
b)
y2 6 x 9 0, O
,0
2
3x2 4 y2 12 x 8 y 4 0; O ( 2,1)
c)
d)
xy 3x 4 y 13 0; O ( 4,3)
2. Aplicando las fórmulas de la traslación de ejes, x x h , y y k , reducir las
ecuaciones siguientes a su forma más simple y establecer la naturaleza de la figura
que representan.
a) y 2 6 y 4 x 5 0
b) 3x2 4 y2 12 x 8 y 4 0
c) 2 x2 3 y2 4 x 12 y 20 0
d) y2 4 x 6 y 17 0
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3. Los ejes de coordenadas han girado un ángulo de 60º. Las coordenadas de los
puntos A(2 3, 4) , B( 3,0) , C (0, 2 3) están determinadas en el nuevo sistema.
Calcular las coordenadas de estos mismos puntos en el sistema de coordenadas
primitivo.
4.
Dadas las rectas 2x 3 y 6 0 y 4x 3 y 12 0 determine el nuevo origen
donde se deben trasladar los ejes x e y de modo que las ecuaciones de las rectas
dadas carezcan de términos libres.
5. Hallar las nuevas coordenadas del punto dado cuando los ejes rotan el ángulo dado
3, 4 ;
30º
b)
3, 1 ;
c) (1, 2);
180º
45º
a)
d)
e)
2,3 2 ;
1, 0 ;
45º
90º
6.
Cuáles son las coordenadas del punto cuando los ejes se giran el ángulo
especificado y luego el origen se traslada al punto especificado.
a) Punto P(3,6), ángulo 30º , O’(2, -6)
b) Punto P(2,2), ángulo 45º , O’(-1,1)
7.
Por traslación de los ejes coordenados el nuevo al nuevo origen O’(3,3) y después
rotación en un ángulo de 30º las coordenadas de un cierto punto P se transforman
en (7,6). Encuentre las coordenadas de P con respecto a los ejes originales.
8. Hallar la transformada de la ecuación dada, al girar los ejes de coordenadas un
ángulo dado.
a)
3 y2 3xy 1 0;
60º
b) 2 x2
3xy y2
30º
3
c) 3x 4 y 10 0; sen
,cos
5
d) x2 2 xy y2 2 x 4 y 3 0;
e) y
3x 3 ;
4;
4
5
45º
60º
f) 11x2 24 xy 4 y2 30 x 40 y 45 0; sen
4
,cos
5
3
5
9. Eliminar los términos de primer grado de las ecuaciones siguientes completando
cuadrados perfectos.
a) x2 2 y2 6 x 8 y 7 0
b) x2 y2 4 x 6 y 3 0
c) 3x 2
d) 2 x 2
4 y2
5y
2
6 x 8 y 10
12 x 10 y 17
0
0
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Página 13
10. Considere una rotación 45º, para graficar xy 2 , indique sus elementos principales.
11. Por una rotación de 45º de los ejes coordenados, una ecuación de segundo grado se
transforma en 2 x 2 4 y 2 8 . Hallar la ecuación original.
12. Por una rotación de ejes la ecuación
A x
2
B y
2
x2
x
3 , se transforma en
1 . Hallar A B
13. Por una traslación de ejes, la ecuación x2
2
xy y2
2 x 2 y 1 0 se transformó en
k y . Hallar k
14. Hallar la nueva ecuación de y
3x 3 , después de haber girado los ejes 60º.
15. Si y 2x es la ecuación después de una rotación de 53º, hallar su ecuación en el
sistema XY.
16. Mediante una traslación de ejes coordenados, si es posible, reducir la ecuación:
(4 x 6)
a) y
a la forma x y a , a es constante
(2 x 1)
b) xy2 2 y2 2 xy x 4 y 37 0 a la forma x y
2
a,
17. Por una rotación de 60º de los ejes coordenados, una ecuación de segundo grado se
transforma en x 2 3 y 2 3 . Hallar la ecuación original.
18. Por una rotación de ejes, transformar la ecuación 3x 4 y 5 , en otra que no tenga
término en y .
19. Mediante una traslación de ejes adecuado, transformar la ecuación:
x2 xy y2 7 x 8 y 18 0 en otra que no tenga términos de primer grado.
20. Al efectuar una rotación, se obtiene un ángulo cuya medid es º , la pendiente de la
recta L : x 3 y 6 0 en el nuevo sistema es infinita. Halle º y la ecuación en el
nuevo sistema.
21. Por una traslación de coordenadas al nuevo origen (-2,3) seguido de una rotación de
2
2
y
4.
45º; la ecuación de una curva se ha reducido a la ecuación 4 x
Hallar la ecuación original.
22. La nueva ecuación de una curva después de una rotación según un ángulo cuya
medida de 37º es: 39( x ) 2 64( y ) 2 4 x y 100 0 . Hallar la ecuación original.
23. Por una rotación de ejes simplificar la ecuación 2 x2
la distancia de los focos).
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3xy y2
4 (dar respuesta
Página 14
24. Por medio de una rotación de ejes y una traslación, reduce las ecuaciones a su forma
más simple, trazar los ejes coordenados.
a) 9 x2 24 xy 16 y2 90 x 130 y 0
b) 8 x2 4 xy 5 y2 36
c) x2 4 3xy 3 y2 30
d) 3 x2 2 xy 3 y2 2 x 10 y 9 0
e) 9 x2 4 xy 6 y2 12 x 36 y 44 0
f) x2 10 xy y2 x y 1 0
25. Hallar la naturaleza de las cónicas siguientes teniendo en cuenta el valor de
discriminante B2 4 AC .
a) x2 2 xy 3 y2 2 x 22 y 35 0
4
b) 3 x2 18 xy 27 y2 5 y 7 y
c) x2 2 xy 3 y2 2 x 22 y 35 0
d) x2 3xy y2 x 0
e) x2 2 xy y2 3x 3 y 2 0
f) 16 x2 24 xy 9 y2 30 x 40 y 0
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