Energ a y fuerzas.

Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Electrostática
•
•
•
•
•
•
Definición
Los conductores en electrostática.
Campo de una carga puntual.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Integrales de superposición.
Potencial electrostático
– Definición e Interpretación. Integrales de superposición.
– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condiciones
de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo,
momento dipolar, polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.
EyM 3h-1
J.L. Fernández Jambrina
Energía Electrostática
• A partir del teorema de Poynting la energía asociada al campo
eléctrico es:
WE =
r r
1
E ⋅ DdV
∫∫∫
2 V
r r
• La energía eléctrica es una magnitud positiva ya que E ⋅ D ≥ 0
• Sólo puede ser nula si el campo eléctrico también lo es.
• Esta expresión asocia la energía al campo y, aunque este enfoque
es ventajoso, conviene obtener una expresión que relacione la
energía con las cargas:
( )
r
r
r
r r
∇ ⋅ Φ D = ∇Φ ⋅ D + Φ ∇ ⋅ D = − E ⋅ D + Φ ρ
r r
r
1
1
1
W E = ∫∫∫ E ⋅ DdV = ∫∫∫ ΦρdV − ∫∫∫ ∇ ⋅ ΦD dV
V
V
V
2
2
2
– Los cambios de medio plantean problemas al intentar transformar la
segunda integral mediante del teorema de Gauss.
– Utilizando
( )
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Energía y Fuerzas
EyM 3h-2
Eym 3F-1
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Energía Electrostática (2)
WE =
( )
r r
r
1
1
1
E ⋅ DdV = ∫∫∫ ΦρdV − ∫∫∫ ∇ ⋅ ΦD dV
∫∫∫
2 V
2 V
2 V
• Suponiendo una situación como la de la figura, y utilizando los
sentidos de las normales indicados resulta:
∫∫∫ ∇ ⋅ (ΦD )dV = ∫∫∫
r
V
V0
(
)
(
)
N
r
r
∇ ⋅ ΦD0 dV + ∑ ∫∫∫ ∇ ⋅ ΦDi dV =
i =1
Vi
r N
r N
r
r
r
r
= ∫∫ ΦD0 ⋅ dS − ∑ ∫∫ ΦD0 ⋅ dS + ∑ ∫∫ ΦDi ⋅ dS =
S∞
Si
Si
i =1
14
4244
3 i =1
0
(
)
N
N
r
r
r
= −∑ ∫∫ Φ D0 − D j ⋅ dS = −∑ ∫∫ Φρ Si dS
i =1
Si
i =1
S∞
ρ S1
S1
V0
ε0
V1
ε1
n$1
Si
ρ SN
SN
n$ N
VN
εN
– La integral que se cancela lo hace debido a las
condiciones de regularidad en el infinito.
– También se ha aplicado la condición de frontera del vector
desplazamiento.
• Resultado:
WE =
r r
1
1
1
E ⋅ DdV = ∫∫∫ ΦρdV + ∫∫ Φρ S dS
∫∫∫
V
V
2
2
2 S
EyM 3h-3
J.L. Fernández Jambrina
Energía electrostática (3)
WE =
r r
1
1
1
E ⋅ DdV = ∫∫∫ ΦρdV + ∫∫ Φρ S dS
∫∫∫
V
V
2
2
2 S
• En la expresión en función de los campos la integral debe extenderse
a todo el volumen en existan campos, lo que equivale a decir casi
siempre todo el espacio.
• En la expresión en función las cargas y el potencial, la integral
volumétrica puede restringirse al volumen en que existe carga.
• No tiene sentido desarrollar expresiones para cargas lineales o
puntuales ya que la energía asociada es infinita: ambos tipos de
distribución dan lugar potenciales infinitos en los puntos en que se
encuentran situadas.
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Energía y Fuerzas
EyM 3h-4
Eym 3F-2
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Ejemplo: Energía de una bola de carga
• El campo debido a la distribución de la figura es:
 ρ0 r
r  3ε rˆ ; 0 ≤ r ≤ R
E=
3
 ρ0 R2 rˆ ;
R≤r
 3εr
ρ = ρ0
ε
R
• La energía:
r r
r r
r2
1
1
ε
E ⋅ DdV = ∫∫∫ E ⋅ εEdV = ∫∫∫ E dV =
2 ∫∫∫V
2 V
2 V
2
3 2

∞
2π  ρ R 
π
1  R π 2π  ρ 0 r  2
0

 r 2 sen θdϕ dθ dr  =
=
r
sen
d
d
dr
+
θ
ϕ
θ


∫
∫
∫
∫
∫
∫
2 

θ
ϕ
θ
ϕ
r
=
0
=
0
=
0
r
=
R
=
0
=
0


2ε
 3 
 3r 


WE =
=
2πρ 0
9ε
2
6
∞ R
 R 4
 2πρ 0
 ∫ r dr + ∫
dr  =
r =0
r=R r 2
9ε


2
 R5
 4πR 5 ρ 0
3Q 2

+ R 5  =
=
15ε
20πεR
 5

2
• Donde si se mantiene la carga total, Q, y el radio tiende a 0, carga
puntual, la energía se hace infinita.
EyM 3h-5
J.L. Fernández Jambrina
Energía de un sistema de conductores
• En un sistema de conductores toda la carga está en sus superficies:
WE =
1
1
1
1
1
ρ S ΦdS = ∑ ∫∫ ρ Si ΦdS = ∑ ∫∫ ρ Si Vi dS = ∑ QiVi = ∑∑ C ijV jVi
2 ∫∫ΣS
2 i Si
2 i Si
2 i
2 i j
• En el caso de un condensador:
2
Q
W E = 1 (Q1V1 + Q2V2 ) = 1 Q1 (V1 − V2 ) = 1 QV = 1 CV 2 = 1
2
2
2
2
2 C
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Energía y Fuerzas
EyM 3h-6
Eym 3F-3
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Energías de Formación e Interacción
• Si se suponen dos distribuciones de carga, ρ 1 y ρ 2 :
Φ = Φ 1 + Φ 2
r
r r
ρ
ρ
ρ
⇒
=
+
⇒
r r 
 E = E1 + E 2
1
2
r
r
r

ρ 2 ⇒ Φ 2 , E 2 , D2 

 D = D1 + D2
r
r
ρ1 ⇒ Φ 1 , E1 , D1 
• Su energía total puede escribirse como:
WE Formacion 1 W E Formacion 2
WE Interaccion
6447448 6447448 6444
4744448
r
r
r
r
r
r
r r
r r
1
1
1
1
W E = ∫∫∫ E ⋅ DdV = ∫∫∫ E1 ⋅ D1 dV + ∫∫∫ E 2 ⋅ D2 dV + ∫∫∫ E1 ⋅ D2 + E 2 ⋅ D1 dV
V
V
V
V
2
2
2
2
1
1
1
1
1
= ∫∫∫ ΦρdV = ∫∫∫ Φ 1 ρ1 dV + ∫∫∫ Φ 2 ρ 2 dV + ∫∫∫ Φ 1 ρ 2 dV + ∫∫∫ Φ 2 ρ1 dV
V1
V2
V2
2 V
2
2
2
2 4V4
1
144244
3 1442443 144444
424
444
3
W E Formacion 1 WE Formacion 2
WE Interaccion
(
)
• La energía de formación es la propia de cada distribución.
• La energía de interacción es la corrección que hay que hacer a la
suma de las energías de formación para obtener la energía total.
Representa la interacción energética entre las distribuciones.
EyM 3h-7
J.L. Fernández Jambrina
Energías de Formación e Interacción (2)
• La energía total y de formación no pueden ser negativas.
• La energía de interacción puede ser negativa.
• Simplificaciones de las expresiones de la energía de interacción:
r r
r r
r r
r r
r r
r r
E1 ⋅ D2 = εE1 ⋅ E 2 = E 2 ⋅ D1 ⇒ WE1, 2 = ∫∫∫ E1 ⋅ D2 dV = ∫∫∫ εE1 ⋅ E 2 dV = ∫∫∫ ε −1 D1 ⋅ D2 dV
V
V
V
– De forma similar a como se obtuvo la expresión de la energía en función
de las cargas se obtiene:
r r
W E1, 2 = ∫∫∫ E1 ⋅ D2 dV = ∫∫∫ Φ 1 ⋅ ρ 2 dV =
V
V2
r r
= ∫∫∫ E 2 ⋅ D1 dV = ∫∫∫ Φ 2 ⋅ ρ1 dV
V
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Energía y Fuerzas
V1
EyM 3h-8
Eym 3F-4
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Energías de interacción de cargas puntuales
• Considerando una carga puntual como el límite al que tiende una
distribución de carga cuando el volumen que la contiene tiende hacia
r
r
cero: W
I :q ,Φ e = lim ∫∫∫ Φ e ρ q dV = Φ e (rq )∫∫∫ ρ q dV = qΦ e (rq )
V
V
Vq →0
q
q
– Resultado de acuerdo con la interpretación física
del potencial escalar electrostático.
Vq
• Si el potencial externo es debido a otra carga puntual:
r
1 qi q j
W I :q ,q = qi Φ q (rq ) =
r r
i j
j
4πε ri − r j
ρq
q=
∫∫∫
Vq
ρ q dV
• La energía de interacción en un sistema de N cargas
puntuales es:
N
WI :q ...q = ∑
1
N
N
1
qi q j
∑ 4πε rr − rr
i =1 j = i +1
i
j
=
1 N N 1 qi q j
∑∑ r r
2 i =1 j =1 4πε ri − rj
j ≠i
– En la última expresión se han omitido los términos j=i que corresponden
a la energía de formación de las cargas puntuales (∞).
J.L. Fernández Jambrina
EyM 3h-9
Energía de interacción de distribuciones de carga
nula.
• Suponiendo una distribución de carga total nula en presencia de un
potencial externo casi constante (~campo constante):
– Si el potencial es casi constante:
r
r
∂Φ
Φ e (r ) ≈ Φ e (r0 ) +
(x − x0 ) + ∂Φ ( y − y0 ) + ∂Φ r (z − z0 ) =
∂x rr
∂y rr
∂z r
Vρ
0
0
0
r
r r
r
r
r r r r
= Φ e (r0 ) + (r − r0 ) ⋅ ∇Φ e (r0 ) = Φ e (r0 ) − (r − r0 ) ⋅ E (r0 )
ρ
– Aplicando esta aproximación:
r
rρ
r r
r
r r
WI :ρ, Φ = ∫∫∫ Φ eρdV ≈ Φ e (rρ )∫∫∫ ρdV − E (rρ ) ⋅ ∫∫∫ (r − rρ )ρdV =
Vρ
Vρ
Vρq
O
142
4
3
= q =0
r
r r
r r r
r
r r
rρ puede ser
= − E (rρ )⋅ ∫∫∫ r ρdV + E (rρ ) ⋅ rρ ∫∫∫ ρdV = − p ⋅ Ee
cualquier punto
Vρq
Vρq
142
1424
3
de la distribución
r 43
p
=q=0
• La energía de interacción depende del valor y orientación con
respecto al campo externo del momento dipolar de la distribución.
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Energía y Fuerzas
EyM 3h-10
Eym 3F-5
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Acciones Mecánicas
r
r
• Recordando la definición del campo eléctrico: FEr = qE
r
r
• La fuerza sobre una distribución volumétrica rígida será: FEr = ∫∫∫ EρdV
Vρ
• Si se consideran dos distribuciones ρ i y ρ j , las fuerzas que ejercen
una sobre la otra son iguales y de sentido contrario (principio de
acción y reacción):
r r
r
r r
ρ j (ri − rj )dV j
1
Fi , j = ∫∫∫ E j (ri )ρi dVi =
∫∫∫
∫∫∫
r r 3 ρi dVi =
Vi
V
V
4πε
i
j
ri − rj
r r
r r
r
ρi (rj − ri )dVi
−1
=
ρ j dV j = − ∫∫∫ Ei (rj )ρ j dV j = − F j ,i
∫∫∫
∫∫∫
Vj
4πε V j Vi rri − rrj 3
– Consecuencia 1: una distribución no ejerce fuerza sobre sí misma.
r
r
r
» Basta con tomar j = i ⇒ Fi ,i = − Fi ,i ⇒ Fi ,i = 0
– Consecuencia 2: Para calcular la fuerza sobre una distribución da igual
utilizar el campo total o el campo debido al resto de cargas.
r
r r
r r
r
r
r
r
r
Fi = ∫∫∫ ET (ri )ρi dVi = ∫∫∫ Ei (ri ) + EResto (ri ) ρi dVi = Fi ,i + Fi , Resto = Fi , Resto
Vi
Vi
{
[
]
0
EyM 3h-11
J.L. Fernández Jambrina
Fuerzas sobre conductores
• Campo en la superficie de un conductor:
– Estrictamente no está definido ya que es discontinuo.
dS
– Se acostumbra a denominar como tal el campo
r
que existe justo fuera del conductor.
EdS ,e r
– Se puede descomponer en dos componentes:
EdS ,i
r
r
» La del elemento de superficial de carga:
Eresto E
resto
es discontinua y por simetría:
r
r
ρS
EdS , e = − EdS ,i =
nˆ
σ
r
n̂
2ε
» La del resto de las cargas: E resto
r
r
– Para que el campo sea nulo dentro del conductor: E resto = − E dS ,i
r
r
r
r
– Luego el campo total justo fuera es: ET = E resto + E dS ,e = 2 E resto
r
v r
• La fuerza sobre el dS utilizando el campo del resto: dF = E resto ρ S dS = 12 ET ρ S dS
• La fuerza total sobre el conductor:
2
r
r
v
ρ
F = 1 ∫∫ ET ρ S dS = 1 ∫∫ S dS
2 S
2 S ε
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Energía y Fuerzas
¡La mitad de lo que
se podía haber
pensado!
EyM 3h-12
Eym 3F-6
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Relación fuerza energía:
• Si se modifica la posición relativa de dos distribuciones de carga con
la lentitud suficiente para que los estados intermedios se puedan
considerar como situaciones estáticas, las fuerzas eléctricas
realizarán un trabajo a costa de la energía eléctrica del sistema.
– En el caso de una carga puntual en el seno de un campo externo:
» Para que el desplazamiento se haga
de forma lenta
2
r
debe existir una fuerza externa, Fm ,que cancele en r q
Fm
r
r
todo momento el efecto de la fuerza eléctrica.
FEr = qE
» El trabajo realizado por la fuerza eléctrica será
igual
a la disminución
derla energía eléctrica:
r
r
r
1
r2 r
r2 r r
r2
r
r
∫rr1 FEr ⋅ dl = ∫rr1 qE ⋅ dl = − ∫rr1 qdΦ = −q[Φ(r2 ) − Φ(r1 )] = −∆WI = −∆WE
» La variación de energía eléctrica es independiente del camino:
r
r
r r
r
r
∂WI
⇒ FEr = −∇ rr WI
FEr ⋅ dl = qE ⋅ dl = − dWI ⇒ qE ⋅ nˆ = −
q
∂n
» Se deriva respecto del vector de posición de la carga.
• El resultado es aplicable a otros tipos de distribuciones.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 3h-13
Fuerza entre conductores
• Si los conductores se consideran aislados, carga constante, es
inmediato.
– Ejemplo: la fuerza entre las armaduras de un condensador plano es
» Directamente:
x − x1
Q x − x1
Q
Φ ( x ) = (V2 − V1 )
+ V1 =
+ V1 =
( x − x1 ) + V1
x 2 − x1
C x 2 − x1
εS
r
−Q
Q
E = − xˆ
Q
εS
S
2
r
v
Q
S
F2,1 = 1 ∫∫ ET ρ S 2 dS 2 = −
xˆ
2 S2
2εS
x1
» A partir de la energía:
Q2 Q2
=
( x2 − x1 )
2C 2εS
Q2
= −∇ rr WI = −
xˆ
2
2εS
x 2 = x1 + d
W I = 12 QV =
r
F2,1
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Energía y Fuerzas
X
V1
V2
EyM 3h-14
Eym 3F-7
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Fuerza entre conductores (2)
• Si los conductores se encuentran a potencial constante, deben
considerarse los generadores:
– Los generadores mantienen la tensión a base de aportar la carga que
sea necesaria, por lo tanto también aportan energía en forma eléctrica.
Wg
• Ejemplo: El condensador anterior.
V
1
dx
– Si se supone un desplazamiento 2 :
V2
» La capacidad aumenta un
Q
-Q
Wm
 εS 
εSdx2
C2
 = −
=−
dC = d 
dx2
2
εS
( x2 − x1 )
WE
 x 2 − x1 
» La carga aumenta un:
S
S
VC 2
dx 2
εS
» La energía eléctrica varía un
1
C 2C 2
dWE = V 2 dC = −
dx2
2
2εS
» El generador entrega ...
dQ = VdC = −
x 2 = x1 + d
x1
X
EyM 3h-15
J.L. Fernández Jambrina
Fuerza entre conductores (3)
dC = −
C2
dx2
εS
V 2C 2
dx 2
εS
V 2C 2
Su energía aumenta: dW g = −VdQ =
dx 2
εS
• El generador entrega: VdQ = −
r
VC 2
dx2
εS
V 2C 2
dWE = −
dx2
2εS
dQ = −
r
• El trabajo realizado por la fuerza externa es: F ⋅ xˆdx 2 = − FEr ⋅ xˆdx2
r
r
La energía externa aumenta un: dWm = − F ⋅ xˆdx 2 = FEr ⋅ xˆdx 2
Wg
V1
• Como la energía total no puede variar:
-Q
 V 2C 2 V 2 C 2 r

dWE + dWG + dWm =  −
+
+ FEr ⋅ xˆ dx 2 = 0
εS
 2εS

2 2
2
r
V
C
Q
FEr = −
xˆ = −
xˆ
2εS
2εS
S
1
Electrostática: Energía y Fuerzas
Q
Wm
WE
x
• El mismo resultado que a carga constante.
• Para ambas situaciones las fuerzas son idénticas ....
¡¡¡ Considere la situación más cómoda !!!
J.L. Fernández Jambrina
V2
S
x 2 = x1 + d
X
EyM 3h-16
Eym 3F-8
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Energía y pares de fuerza
• Las fuerzas eléctricas también pueden dar lugar a pares de fuerzas
sobre las distribuciones de carga.
r
r r
– Recordando la definición de par de fuerzas: M = ∑ r × F
– La expresión para el par de fuerzas de origen eléctrico es:
r
r
r
r
r r
M = ∑ r × qE ⇒ M = ∫∫∫ r × EρdV
V
– Si se puede considerar constante el campo en el volumen de la
distribución:
r
α
r
r r r
r
E
M = ∫∫∫ r ρdV × E = p × E
V
14
2
3
r4
u$
p
-q
– El par será perpendicular al campo y al momento.
Su componente en esa dirección será:
(
)
r r
r r
∂ r r
∂WI
M u = p × E ⋅ uˆ = p E sen α = −
p E cos α = −
∂α
∂α
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Energía y Fuerzas
+q
r
p
r r
; uˆ // p × E
EyM 3h-17
Eym 3F-9