Electromagnetismo Curso 2012/2013 Tema 1: Introducción Concepto de campo Repaso de álgebra vectorial Sistemas de coordenadas Cartesiano Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico. Operadores vectoriales. Gradiente Divergencia Rotacional Derivada temporal Combinación de operadores: Laplaciana Expresiones con operadores Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos EyM 1d-1 J.L. Fernández Jambrina Circulación sobre contornos cerrados • Ya se ha mencionado la circulación de un campo vectorial a lo largo de contornos cerrados: • Interpretación: r dl r r ∫ A ⋅ dl C – Si se supone que el campo representa la velocidad de un fluido de densidad y viscosidad homogéneas, y que el contorno representa la guía de una cadena con paletas, entonces la circulación muestra la tendencia de dicha cadena a desplazarse sobre la guía: – Si la circulación es positiva, la cadena tenderá a moverse en el sentido definido como positivo. – Si es negativa, en sentido contrario. – Si es nula, no se moverá. C • Importante: – La circulación no mide el que las líneas de campo den vueltas en un sentido u otro, aunque se ve influenciada por dicho hecho. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 EyM 1d-2 1 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Rotacional • Definición: – Es un vector que se define componente a componente según la r v expresión: A ⋅ dl r r ∫ Cu rot A u = ∇ × A u = lim Cu → 0 Su S →0 () ( ) u – Cu es un contorno contenido en una superficie u=cte – Su es el área de la superficie u=cte limitada por Cu. – La normal de la superficie se debe tomar según û, y el sentido positivo de la circulación se debe relacionar con û según la regla del sacacorchos. • El rotacional cuantifica la contribución del campo en cada punto a las circulaciones sobre contornos cerrados. EyM 1d-3 J.L. Fernández Jambrina Expresión en curvilíneas ... u3 • Comenzando por la componente û1, se puede considerar el contorno de la figura y la superficie u1=cte correspondiente. ∆ u3 P u2 u1 – Empezando a calcular la circulación por el lado de la derecha: r u + ∆u 2 r b r u + ∆u 2 ∫a A ⋅ dl = ∫u33− ∆u33 2 A ⋅ uˆ3h3du3 ∆u2 = ∫u33− ∆u33 2 A3h3du3 u2 + 2 ∆ u2 u3 u2 + – Sólo contribuye la componente A3. P ∆u 2 2 ∆ u3 u2 u1 ∆ u2 – A medida que la longitud del tramo tiende a cero, se puede aproximar el integrando por su valor en el centro del tramo y, a continuación, expresar a partir del valor en en punto P : ∫ b a r r A ⋅ dl → A3h3∆u3 J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 u2 + ∆ u2 2 ∂A h ∆u2 → A3h3 P + 3 3 ∆u3 ∂u2 P 2 EyM 1d-4 2 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Expresión en curvilíneas ...(2) – ∫ b a r r A ⋅ dl → A3h3∆u3 u2 + ∆u 2 2 ∂A h ∆u2 → A3h3 P + 3 3 ∆u3 ∂u2 P 2 ∫ b b ∆ u3 P – Trabajando con el lado opuesto: r d r ∂A h ∫c A ⋅ dl → − A3h3∆u3 ∆u2 → − A3h3 P − ∂u3 2 3 u2 − 2 – Combinado las contribuciones: r dr r b r ∂A h ∫a A ⋅ dl + ∫c A ⋅ dl → ∂u3 2 3 ∆u2∆u3 P – La contribución de los otros dos lados es: c u3 P u2 u1 ∆u2 ∆u3 2 a ∆ u2 u3 c ∆ u3 P d u2 u1 ∆ u2 r r ar r ∂A h ∆u A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl → − A2 h2 + 2 2 3 ∆u2 + d ∂u 2 144442344443 b→c ∂A h ∆u ∂A h + A2 h2 − 2 2 3 ∆u2 = − 2 2 ∆u2 ∆u3 ∂u3 2 ∂u3 14442 444 3 d →a u3 c b ∆ u3 P d u2 u1 a ∆ u2 EyM 1d-5 J.L. Fernández Jambrina Expresión en curvilíneas ...(3) • Finalmente: r r ∫ A ⋅ dl (∇ × A) = lim C1 1 C1 → 0 S1 → 0 S1 ∂A3h3 ∂A2h2 ∆u2 ∆u3 − ∂u2 ∂u3 = = h2h3∆u2 ∆u3 ∂ 1 ∂A3h3 ∂A2 h2 1 = = − ∂u2 h2 h3 ∂u2 ∂u3 h2 h3 A2 h2 ∂ ∂u3 A3h3 u3 u2 u1 u3 • La componente 2: (∇ × A)2 = ∂ 1 ∂A1h1 ∂A3h3 1 = − ∂u3 h3h1 ∂u3 ∂u1 h3h1 A3h3 ∂ ∂u1 A1h1 J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 ∂ 1 ∂A2h2 ∂A1h1 1 = − ∂u1 h1h2 ∂u1 ∂u3 h1h2 A1h1 u2 u3 • La componente 3: (∇ × A)3 = u1 ∂ ∂u2 A2h2 u1 u2 EyM 1d-6 3 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Expresiones del rotacional • Curvilíneas: r ∇× A = h1uˆ1 1 ∂ h1h2h3 ∂u1 A1h1 h2uˆ2 h3uˆ3 A2 h2 A3h3 ∂ ∂u 2 ∂ ∂u3 • Cartesianas: xˆ r ∂ ∇× A = ∂x Ax yˆ ∂ ∂y Ay zˆ ∂ ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax xˆ + zˆ = − − − yˆ + ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Az • Cilíndricas ρˆ r 1 ∂ ∇× A = ρ ∂ρ Aρ Esféricas ρϕˆ ∂ ∂ϕ ρAϕ zˆ ∂ ∂z r ∇× A = Az rˆ ∂ 1 r 2 senθ ∂r Ar rθˆ ∂ ∂θ rAθ rsenθϕˆ ∂ ∂ϕ rsenθAϕ EyM 1d-7 J.L. Fernández Jambrina Teorema de Stokes • Enunciado: La circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno cerrado es igual al flujo de del rotacional del campo a través de una superficie abierta limitada por el contorno siempre que el sentido de circulación y la normal a la superficie estén relacionados por la regla del tornillo y únicamente estén involucrados puntos ordinarios. n$ r r r r A ⋅ d l = ∇ × A ⋅ dS ∫ ∫∫ C S S C Nota: Cada contorno tiene asociadas infinitas superficies a efectos de este teorema. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 EyM 1d-8 4 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Teorema de Stokes (2) C • Demostración: – La superficie escogida se puede dividir en un número arbitrario de subsuperficies manteniendo el sentido de circulación a sus contornos. – Al sumar la circulación a lo largo de todos los contornos de la superficies, se cancelan las contribuciones de los lados interiores. Sólo queda la circulación a lo largo del contorno exterior: r r N r r + = ∫ A ⋅ dl = ∑ ∫ A ⋅ dl C Ci i – Si los contornos son suficientemente pequeños, a partir de la definición de rotacional: r v r ∫CA ⋅ dl ⇒ Ar ⋅ dlv = ∇ × Ar ⋅ S nˆ ⇒ Ar ⋅ dlr = N ∇ × Ar ⋅ S nˆ ∇ × A u = lim u ∑i i i i i ∫Ci ∫C Cu → 0 Su S →0 ( ) u – Si el número de subsuperficies tiende a infinito y su tamaño a cero: N r r r r r ∫ A ⋅ dl = lim ∑ ∇ × A ⋅ Si nˆi = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS C N →∞ i S EyM 1d-9 J.L. Fernández Jambrina Definición alternativa del rotacional. r • La definición del rotacional utilizada: ( ) r ∇ × A u = lim v ∫ A ⋅ dl Cu Cu → 0 Su Su →0 – Permite una interpretación directa útil. – Al definir el rotacional a través de sus componentes no permite comprobar fácilmente que el rotacional es un vector. r r A × dS r ∫∫ S • Algunos textos utilizan la definición: ∇ × A = − lim V →0 V S →0 Esta definición: – No permite una interpretación directa útil. – Hace evidente que el rotacional es un vector. r r r – Por su parecido con la definición de ∇ × AdV = − ∫∫ A × dS ∫∫∫ V S la divergencia, esta definición lleva directamente a la siguiente expresión integral: – La verificación de esta expresión es prueba de que ambas definiciones con equivalentes (y de que el rotacional es un vector). J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 EyM 1d-10 5 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Definición alternativa del rotacional. (2) r r r ∫∫∫∇ × AdV = − ∫∫ A × dS V S – Se va a realizar la demostración término a término en coordenadas cartesianas: ∂A » Definiendo un vector auxiliar de la forma Az yˆ ; ∇ ⋅ ( Az yˆ ) = z ∂y es evidente que: r ∂Az ∫∫∫V ∂y dV = ∫∫∫V ∇ ⋅ ( Az yˆ )dV = ∫∫S Az yˆ ⋅ dS = ∫∫S Az dS y » Análogamente: r ∂Ay ∫∫∫V ∂z dV = ∫∫∫V ∇ ⋅ (Ay zˆ )dV = ∫∫S Ay zˆ ⋅ dS = ∫∫S Ay dS z r ∂A ∂Ay » Y ... ∫∫∫V ∇ × A x dV = ∫∫∫V ∂yz − ∂z dV = ∫∫S (Az dS y − Ay dS z ) = − ∫∫S r ∂A ∂A ∫∫∫V ∇ × A y dV = ∫∫∫V ∂zx − ∂xz dV = ∫∫S ( Ax dS z − Az dS x ) = −∫∫S r ∂Ay ∂A ∫∫∫V ∇ × A z dV = ∫∫∫V ∂x − ∂yx dV = ∫∫S (Ay dS x − Ax dS y ) = − ∫∫S r r r ∇ × AdV = − ∫∫ A × dS ∫∫∫ V S » Queda demostrado [ ] [Ar × dSr ] [ [ x ] r r A × dS [ ] ] [ ] y r r A × dS z EyM 1d-11 J.L. Fernández Jambrina El operador nabla: ∇ • Repetidamente se ha utilizado el símbolo ∇ en la nomenclatura de los operadores descritos. • Este símbolo representa un operador bien definido en coordenadas cartesianas: ∂ ∂ ∂ ∇ = xˆ + yˆ + zˆ ∂y ∂z ∂x • En otros sistemas de coordenadas su definición no es tan clara, pero resulta útil para simplificar la nomenclatura. • Tiene carácter vectorial y diferencial: se deben seguir las normas correspondientes para su aplicación. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 EyM 1d-12 6 Electromagnetismo Curso 2012/2013 (2) El operador nabla: • Gradiente: – Producto de un escalar por un vector: ∂ ∂ ∂ ∂U ∂U ∂U ∇U = xˆ + yˆ + zˆ U = xˆ + yˆ + zˆ ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x • Divergencia: – Producto escalar de dos vectores: r ∂ ∂ ∂ ∂A ∂A ∂A ∇ ⋅ A = ∇ = xˆ + yˆ + zˆ ⋅ (Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ ) = x + y + z ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x • Rotacional: – Producto vectorial de dos vectores: xˆ r ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ × A = xˆ + yˆ + zˆ × (Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ ) = ∂y ∂z ∂x ∂x Ax yˆ zˆ ∂ ∂y ∂ ∂z Ay Az EyM 1d-13 J.L. Fernández Jambrina El operador nabla: ∇ (3) • Existe una definición general: 1 ∇U = ∆lim V → 0 ∆V r r 1 1 ∇o = lim d S o ⇒ ∇ ⋅ A = ∆lim ∆V → 0 ∆V ∫∫ V → 0 ∆V ∆S r 1 ∇ × A = ∆lim V → 0 ∆V J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 r ∫∫UdS ⇔ r r ∫∫ A ⋅ dS ⇔ ∆S ∆S V r ∫∫ dS × A ⇔ ∆S r ∫∫∫∇UdV = ∫∫UdS S r r r ∫∫∫∇ ⋅ AdV = ∫∫ A ⋅ dS V S r r r ∫∫∫∇ × AdV = −∫∫ A × dS V S EyM 1d-14 7 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Derivada Temporal • En rigor debería hablarse de derivada de un campo vectorial respecto de un parámetro, pero como este parámetro suele ser el tiempo se habla de derivada temporal • Los detalles que se desea resaltar se entenderán mejor con un ejemplo: r – Dado un campo vectorial A(u1 , u2 , u3 , t ) y un móvil cuya posición r está dada r por r (u1 (t ), u2 (t ), u3 (t )) : Calcule el vector derivada del campo A respecto al tiempo según se observa desde el móvil. » Sin olvidar que los vectores unitarios dependen de la posición. r dA d dA dA dA duˆ duˆ duˆ = ( A1uˆ1 + A2uˆ2 + A3uˆ3 ) = uˆ1 1 + uˆ2 2 + uˆ3 3 + A1 1 + A2 2 + A3 3 dt dt dt dt dt dt dt dt » donde: dAi ∂Ai du1 ∂Ai du2 ∂Ai du3 ∂Ai = + + + dt ∂u1 dt ∂u2 dt ∂u3 dt ∂t ∂uˆi ∂u j • Las expresiones de la forma duˆi ∂uˆi du1 ∂uˆi du2 ∂uˆi du3 = + + dt ∂u1 dt ∂u2 dt ∂u3 dt dependen de cada caso: EyM 1d-15 J.L. Fernández Jambrina Derivada Temporal • Cartesianas: dxˆ dxˆ dxˆ = = =0 dx dy dz dyˆ dyˆ dyˆ = = =0 dx dy dz • Cilíndricas: dρˆ =0 dρ dϕˆ =0 dρ dzˆ =0 dρ dρˆ =0 dz dϕˆ =0 dz dzˆ =0 dz • Esféricas: J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 (2) drˆ =0 dr dθˆ =0 dr dϕˆ =0 dr dρˆ = ϕˆ dϕ dϕˆ = −ρˆ dϕ dzˆ =0 dϕ drˆ ˆ =θ dθ dθˆ = −rˆ dθ dϕˆ =0 dθ dzˆ dzˆ dzˆ = = =0 dx dy dz drˆ = sen θϕˆ dϕ dθˆ = cos θϕˆ dϕ dϕˆ = − sen θrˆ − cos θθˆ dϕ EyM 1d-16 8