Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Magnetostática • • • • • Definición. El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades. Ley de Biot y Savart. Ley de Ampère. Campo en puntos alejados. Momento magnético. – Comportamiento en el infinito. – Corrientes ligadas. • Energía Magnética. – – – – Relación con las corrientes. Formación e Interacción. Sistemas de corrientes filiformes. Coeficientes de inducción. Autoinducción. Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas. • Fuerzas magnéticas. Efecto Hall J.L. Fernández Jambrina EyM 5d-1 Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente. • La expresión básica para el cálculo de fuerzas magnéticas es la fuerza de Lorentz: r r r F = qv × B • Que como r r J = ρeqv v:eqv V2 V1 v J1 r r r F = ∫∫∫ J × BdV V r r1 • En el caso de las dos distribuciones de la figura, la fuerza que ejerce la distribución 1 sobre la 2 es: O r r r r r r r r r r r µ J 2 (r2 ) × J1 (r1 ) × (r2 − r1 ) F2,1 = ∫∫∫ J 2 (r2 ) × B1 (r2 )dV2 = dV1dV2 r r3 ∫∫∫∫∫∫ 4 π r2 − r1 V2 V2 V1 [ • Desarrollando el doble producto vectorial: [ ] r r2 ] [ ] r r r r r r r r r (rr2 − rr1 ) J 2 (rr2 ) ⋅ J1 (rr1 ) dV dV µ J1 (r1 ) J 2 (r2 ) ⋅ (r2 − r1 ) µ F2,1 = dV dV − 1 2 1 2 r r3 r r3 4π ∫∫∫∫∫∫ 4π ∫∫∫∫∫∫ r2 − r1 r2 − r1 V2 V1 V2 V1 • Donde la primera integral se cancela si la corriente es estacionaria ... J.L. Fernández Jambrina Magnetostática e: fuerzas EyM 5e-2 1 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente. (2) r r • La primera integral se cancela si: ∇ 2 ⋅ J 2 (r2 ) = 0 [ ] [ ] r r r r r r r r r r r r r ( µ J1 (r1 ) J 2 (r2 ) ⋅ (r2 − r1 ) µ r2 − r1 ) J 2 (r2 ) ⋅ J1 (r1 ) F2,1 = dV1dV2 − dV1dV2 r r3 r r3 4π ∫∫∫∫∫∫ 4π ∫∫∫∫∫∫ r2 − r1 r2 − r1 V2 V1 V2 V1 r r r r r r r r J (rr ) ∇ ⋅ J (rr ) r r 1 1 J (r ) ⋅ (r − r ) ∇ 2 ⋅ r 2 2r = 2r 2r 2 + J 2 (r2 ) ⋅ ∇ 2 r r = J 2 (r2 ) ⋅ ∇ 2 r r = − 2 r2 r2 3 1 r2 − r1 r2 − r1 r2 − r1 r2 − r1 r2 − r1 [ ] r r r r r r r r J1 (r1 ) J 2 (r2 ) ⋅ (r2 − r1 ) dV2 = − J1 (r1 )∫∫∫ ∇ 2 ⋅ r r3 ∫∫∫ r2 − r1 V2 V2 r r r r r r J 2 (r2 ) J 2 (r2 ) r r r dV2 = − J1 (r1 )∫∫ r r ⋅ dS = 0 r2 − r1 r − r1 S2 2 • Pues, como ya se ha visto, si el volumen encierra a la distribución, no puede haber corriente a través de la superficie que la limita. [ ] r r r (rr − rr ) J (rr ) ⋅ J (rr ) µ F2,1 = − ∫∫∫∫∫∫ 2 1 r 2 r2 3 1 1 dV1dV2 4π V2 V1 r2 − r1 EyM 5e-3 J.L. Fernández Jambrina Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de r r corriente. (3) r (rr − rr )[J (rr ) ⋅ J (rr )] µ F2,1 = − 4π ∫∫∫∫∫∫ V 2 V1 2 1 2 2 1 r r3 r2 − r1 1 dV1dV2 • Intercambiando los subíndices se observa que las fuerzas magnéticas cumplen el principio de acción y reacción: r r F2,1 = − F1, 2 • Si se aplica la expresión al cálculo de la fuerza que ejerce una distribución sobre sí misma se obtiene un valor nulo: r r F1,1 = − F1,1 = 0 – Esto no quiere decir que una distribución no ejerza fuerza sobre sus elementos de corriente, sino r que la fuerza total sobre el F conjunto de sus elementos de corriente es nula. r B r B r F I r B r B I I I r F r F J.L. Fernández Jambrina Magnetostática e: fuerzas EyM 5e-4 2 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente. (4) • La fuerza total sobre un elemento de corriente debe ser ortogonal al mismo. r r r r r dF2,1 = J 2 (r2 ) × B1 (r2 )dV2 • La fuerza entre dos elementos de corriente, en principio, no es necesariamente radial. r r [ ] r r r r r µ J 2 (r2 ) × J1 (r1 ) × (r2 − r1 ) dF2,1 = − dV1dV2 r r3 4π r2 − r1 Pero como las distribuciones tienen divergencia nula, sólo contribuye la componente radial: [ ] r r r r r r r µ (r2 − r1 ) J 2 (r2 ) ⋅ J1 (r1 ) dF2,1 = − dV1dV2 r r3 4π r2 − r1 • La suma de las fuerzas que dos elementos de corriente ejercen uno sobre el otro es nula. • Dos elementos de corriente paralelos se atraen si sus corrientes llevan el mismo sentido y se repelen si llevan sentidos contrarios. EyM 5e-5 J.L. Fernández Jambrina Ejemplo 1: Fuerza entre una corriente rectilínea indefinida y una espira rectangular • En este caso en más práctico partir de la expresión en función del campo magnético: r r r r F2,1 = − I 2 ∫ B1 (r2 )× d l2 Z Y I2 I1 C2 r µI µI • El campo debido a la línea de B1 (r ) = 1 ϕˆ = − 1 xˆ corriente en el plano x=0 es: 2πρ 2πy D b a – La contribución de los tramos horizontales se cancela. – Domina la contribución del tramo vertical más próximo: z +b D+a r (− xˆ × yˆ ) dy + z 0 − ( xˆ × zˆ ) dz + D − ( xˆ × yˆ ) dy = µI I 0 (− xˆ × zˆ ) F2,1 = − 1 2 ∫ dz + ∫ ∫ D+a ∫ 2π z = z 0 D y y y=D z = z0 +b y=D+a =− µI1I 2b 1 1 − yˆ 2π D D + a – Para los sentidos de corriente de la figura, la fuerza resultante es atractiva. EyM 5e-6 J.L. Fernández Jambrina Magnetostática e: fuerzas 3 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Efecto Hall • Definición: – Al someter un conductor por el que circula una corriente eléctrica estacionaria a un campo magnético externo, aparece una fuerza electromotriz perpendicular a la corriente y al campo magnético. • Explicación: – Al estar sometida a un campo magnético, aparece una r la corriente r r fuerza del tipo F = qv × B sobre ella. – Esta fuerza normalmente no puede dar origen a una corriente por que líneas se encuentran con los límites del conductor. Pero produce una redistribución de la carga libre del conductor hasta que el campo eléctrico debido a esta carga cancela la fuerza de origen magnético. – En exterior del conductor no existe la fuerza de origen magnético y si existe la de origen eléctrico, luego se puede medir una diferencia de potencial. EyM 5e-7 J.L. Fernández Jambrina Efecto Hall: Ejemplo • El ejemplo más simple de efecto Hall consiste un conductor de sección rectangular por el que fluye una corriente I, sometido a un campo magnético r constante perpendicular a dos de J = J z zˆ sus caras. Y a b X r B = Bex xˆ – La fuerza de origen magnético sobre las cargas en un dV es: Z r rcontenidas r dF = J × Be dV = J z Bex yˆdV – Como la carga dentro de este volumen es: dq = ρdV , el campo equivalente es: r r dF J z Bex dV J B = yˆ = z ex yˆ = EHall dq ρdV ρ – Este campo no puede dar lugar a una corriente estacionaria, pero puede transportar cargas entre la cara superior y la inferior hasta que se cancele su efecto: r r r r J B EHall + E = 0 ⇒ E = − EHall = − z ex yˆ ρ EyM 5e-8 J.L. Fernández Jambrina Magnetostática e: fuerzas 4 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Efecto Hall: Ejemplo (2) r r J B E = − EHall = − z ex yˆ ρ – Este campo está generado por cargas superficiales en las caras superior e inferior: r − εE ⋅ yˆ = εJ z Bex ρ ; cara superior ρS = r ˆ ε E ⋅ y = − ε J B ρ ; cara inferior z ex La diferencia de potencial que puede medirse en el exterior es: sup r bJ B r r sup r bJ B Φ sup − Φ inf = − ∫ E ⋅ dl = ∫ EH ⋅ dl = ∫ z ex dy = z ex ρ ρ inf inf 0 » Su signo depende del de ρ: del signo de los portadores. – Aplicaciones: » Si se conoce el campo magnético, la corriente y la diferencia de potencial, se puede calcular ρ, o lo que es lo mismo, la densidad de portadores. (Utilizado en la caracterización de semiconductores) » También se utiliza en la detección de movimientos (Sincronización de encendido de motores de explosión) – Una vez alcanzado el equilibrio no hay fuerza transversal sobre la corriente: la corriente se distribuye de forma uniforme en la sección. J.L. Fernández Jambrina Magnetostática e: fuerzas EyM 5e-9 5