PROBLEMAS DE MATEMÁTICA FINANCIERA TEMA 4: COSTE Y

PROBLEMAS DE MATEMÁTICA FINANCIERA
TEMA 4: COSTE Y RENDIMIENTO DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS
1.- Una persona realiza una operación de ahorro consistente en ingresar en una entidad financiera
imposiciones constantes de 1.500€ al final de cada año durante 5 años. Los tipos de interés anuales
aplicables a la operación son del 5% los tres primeros años y del 3,5% los dos últimos. Obténgase el
capital ahorrado y el tanto efectivo de la operación.
2.- Una persona compró un coche, valorado en 12.200€, en las siguientes condiciones: 3.600€ de entrada
y 24 pagos al final de cada mes de 425€ cada uno. Obténgase el tanto efectivo de la operación pura y el
tanto efectivo de coste, teniendo en cuenta que existieron unos gastos iniciales de 180€ y unos gastos
finales de 60€, ambos a cargo del comprador.
3.- En una operación de amortización a ocho años, una persona recibió un capital de 3.000€ y se
comprometió a devolverlo mediante pagos constantes de cuantía X durante los cinco primeros años de la
operación y de cuantía 2X los restantes. Teniendo en cuenta que los tipos de interés aplicables fueron: i1 =
i2=...=i5= 0,06; i6 = i7 = i8 = 0,07, y que existieron, a cargo del deudor, unos gastos iniciales de 300€
(bilaterales) y unos finales de 60€ (unilaterales). Obténgase:
a) Tanto efectivo de la operación pura.
b) Tanto efectivo de rendimiento.
c) Tanto efectivo de coste.
4.- Un inversor adquiere, a través de un intermediario, un activo financiero emitido por la entidad
TUNSA que da derecho a percibir 3.005€ al cabo de 90 días. El precio de la compra se determina con la
ley L( t; t n ) = 1 + i( t n − t ) , con tipo de interés anual i = 6%. Teniendo en cuenta que el comprador del
activo debe pagar al intermediario financiero con el que opera una comisión del 0,5 por mil en el
momento de la compra y otra del 1 por mil en el momento del vencimiento, ambas sobre el valor de la
contraprestación recibida, obténgase:
a)
b)
c)
d)
Precio pagado por el activo financiero.
Tanto efectivo de la operación pura.
Tanto efectivo de rendimiento obtenido por el inversor.
Tanto efectivo de coste para la entidad TUNSA.
5.- Una persona contrató un plan de ahorro por el que se comprometía con una entidad financiera a
realizar, durante 12 años, imposiciones al principio de cada mes que deberían experimentar un
crecimiento interanual acumulativo del 2%, siendo la cuantía de la primera imposición mensual de 60€ y
el tipo de interés de la operación el 5,5% efectivo anual. A los 7 años de iniciada la operación, el
impositor la canceló, debiendo asumir una penalización por cancelación anticipada del 2% del capital
rescatado. En estas condiciones, obténgase:
a) Capital ahorrado en el supuesto de que la operación hubiese llegado a término.
b) Capital constituido al producirse la cancelación.
c) Tanto efectivo de la operación pura.
d) Tanto efectivo de rendimiento con cancelación.
e) Tanto efectivo de coste con cancelación.
6.- Una persona recibió, en una operación de amortización, un capital por el que debería devolver 3.313€
al final de cada trimestre durante 5 años, siendo el tanto nominal de valoración del 5%. Teniendo en
cuenta que existieron unos gastos iniciales de naturaleza bilateral de 180€ a cargo del deudor, obténgase:
a)
b)
c)
d)
Cuantía de la prestación.
Tanto efectivo de la operación pura.
Tanto efectivo de coste.
Tanto efectivo de rendimiento.
TEMA 5. OPERACIÓN DE AMORTIZACIÓN. PRÉSTAMOS
1.- Se pacta una operación de préstamo de 60.000€ al 6% anual con amortización y pago de intereses
anuales y una duración de 4 años. Sabiendo que los términos amortizativos anuales son, respectivamente,
10.500€, 19.000€, 22.000€ y el 4º año la cantidad necesaria para cancelar la deuda, se pide:
a)
Calcular el término amortizativo del 4º año planteando la ecuación de equivalencia
financiera.
b) Comprobar el resultado anterior mediante el desarrollo del cuadro de amortización.
c) Representar gráficamente la función saldo, señalando las principales variables.
2.- Analícese un préstamo de 36.000€, de 6 años de duración y pactado a un tipo de interés efectivo anual
del 6% en los siguientes casos:
a) Préstamo con un único término amortizativo a los 6 años.
b) Los dos primeros años sin pagar cuota de interés ni cuota de amortización, y a partir de ese
momento se amortiza como un préstamo americano con términos anuales.
c) Préstamo americano con términos anuales desde el principio.
3.- Un préstamo de 45.000€ se amortiza con las siguientes cuotas de amortización anuales:
A1 = 0; A2 = 20.000 A3 = 20.000; A4 = 5.000.
Si los tipos de interés efectivos anuales son i1 = 0,1; i2 = 0,11; i3 = 0,12; i4 = 0,13, se pide:
a) Construir el cuadro de amortización.
b) Tanto efectivo de la operación financiera pura.
c) Tanto efectivo de coste y de rendimiento si existen unos gastos iniciales de 1000€ de tipo
unilateral a cargo del deudor y unos bilaterales del 0,5% sobre el importe prestado, también a
cargo del deudor.
4.- Sea un préstamo francés de 25.000€, de 8 años de duración, pactado a un tanto nominal anual del
6,50%. Obténgase:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Término amortizativo mensual.
Capital vivo al principio del año 5º.
Descomposición del sexto término amortizativo.
Variación del saldo entre el 4º y 5º año.
Tanto efectivo de coste del prestatario teniendo en cuenta que existe un gasto inicial bilateral
del 1% sobre el capital prestado a cargo del prestatario.
Tanto efectivo de coste si la operación se cancela a los cinco años y existe una penalización
por cancelación anticipada del 1,5% sobre la deuda pendiente.
5.- Se concede un préstamo de 100.000€ amortizable mediante cuotas de amortización anuales constantes,
cuya duración es de 10 años y con un tipo de interés efectivo anual del 7%. Calcúlese:
a)
b)
c)
d)
Cuotas de amortización.
Capital vivo a principio del 7º período.
Cuota de interés de los períodos 3º y 8º.
Término amortizativo de los períodos 4º y 10º.
6.- Sea un préstamo con 2 años de carencia en la cuota de amortización y los 8 restantes con términos
amortizativos anuales crecientes al 3% acumulativo anual. Determínese los términos amortizativos en el
caso de que la cuantía prestada fuera 80.000€ y que el tipo de interés efectivo anual fuera el 9%.
7.- Sea un préstamo de 300.000€ pactado a 10 años al 8% con términos amortizativos anuales. Sabiendo
que los términos de los años 6º a 10º son constantes y de doble cuantía que los de los años 1º a 5º,
obténgase:
a)
b)
c)
d)
Cuantía de todos los términos amortizativos.
Cuotas de amortización de los años 3º y 8º.
Cuotas de interés del 5º y 10º año.
Capital vivo al principio del 5º año.
8.- El deudor de un préstamo de 60.000€ a 20 años y a un tipo de interés efectivo anual del 5% acuerda
con el prestamista que los términos amortizativos sean mensuales, constantes durante el año, y crecientes
interanualmente un 2% acumulativo. Determínese:
a) Los términos amortizativos a pagar en los años 1, 2 y 3.
b) El capital pendiente de amortizar al principio del 4º año.
c) Los términos amortizativos de los años 1, 2 y 3 si la razón de la progresión fuera el 5%.
9.- Sea un préstamo de 50.000€ amortizable en 5 años por el método de cuotas de amortización anuales
constantes, pactado a un tipo de interés nominal anual del 6% con abono semestral de intereses. Se pide:
a) Términos amortizativos y valor de la reserva en todos los periodos, analítica y gráficamente.
b) Tanto efectivo de la operación pura.
c) Tanto efectivo de coste si la operación se cancela a los tres años y medio y existe una
comisión por cancelación anticipada del 2%
10.- Dada una operación de amortización de 40.000€ a diez años valorada al 4 % efectivo anual,
obténgase la cuantía de los términos amortizativos y el valor de la reserva a los tres años en los siguientes
casos:
a)
b)
c)
d)
Términos anuales constantes.
Términos mensuales constantes.
Términos anuales crecientes en progresión geométrica de razón q = 1,03.
Términos mensuales constantes durante el año y crecientes un 1,5 % interanualmente.
11.- En un préstamo hipotecario definido por:
Co = 75.000€.
n = 15 años.
Tipo de interés nominal anual: 9%.
Cuotas de amortización anuales constantes.
Pago trimestral de intereses.
Comisión de apertura: 1% s/ Co.
Comisión de cancelación anticipada: 3% sobre el capital que se amortiza.
Gastos de hipoteca (unilaterales y a cargo del prestatario): 2.000€.
Determínese:
a)
b)
c)
d)
Las cuotas de interés del 6º período.
El capital vivo tras el pago de la 3ª cuota de amortización.
El capital amortizado al final del primer semestre del 12º año.
Tanto efectivo de coste y tanto de rendimiento.
12.- Transcurridos 5 años, el prestatario del problema anterior (11), decide cancelar anticipadamente la
operación para beneficiarse del descenso sufrido por los tipos de interés. Por ello, analiza la oferta de una
entidad bancaria que otorga préstamos en las siguientes condiciones:
Cuantía del préstamo: hasta 90.000€.
Plazo de la operación: máximo 12 años.
Términos amortizativos mensuales constantes.
Tipo de interés nominal: 6,5% fijo para toda la operación.
Gastos iniciales a cargo de prestatario: 1,5% sobre el capital prestado.
En estas condiciones, obténgase:
a)
Términos amortizativos de esta operación en el supuesto de que la cuantía del préstamo sea
la cantidad necesaria para cancelar la operación anterior y la duración de la nueva operación
10 años.
b) Tanto efectivo de coste de la financiación conjunta si se decide a llevar a cabo la
cancelación y teniendo en cuenta que, al tratarse de un préstamo hipotecario, debe hacer
frente a unos gastos derivados de la cancelación y constitución de la hipoteca que ascienden
a 1.500€.
13.- Sea la siguiente operación de préstamo:
Capital prestado: 45.000€.
Tipo de interés indexado.
Períodos de interés anuales.
Tipo de interés nominal aplicable al 1er. período: 6,5%.
Resto de la operación: Valor del índice de referencia más un diferencial de 1,25 puntos
porcentuales.
Gastos iniciales bilaterales a cargo del prestatario: 1,75% s/C0.
Con tres posibles modalidades:
A) Términos amortizativos anuales constantes y duración máxima 4 años.
B) Cuotas de amortización anuales constantes y cuatro años de duración.
C) Términos amortizativos semestrales, constantes durante el año y variables de año a año según la
evolución del índice de referencia, y 4 años de duración.
Resuélvase la operación en los tres supuestos y obténgase el tanto efectivo de coste sabiendo que el valor
tomado por el índice de referencia en los tres períodos ha sido:
i r1 = 0,06 ; i r2 = 0,0625 ; i r3 = 0,07
14.- Sea la siguiente operación de préstamo:
Co= 50.000€.
n = 10 años.
Tipo de interés indexado.
Períodos de interés anuales.
Tipo de interés nominal aplicable al 1er. período: 4,5%
Cuotas de amortización anuales constantes.
Pago trimestral de intereses.
Resto de la operación: Valor del índice de referencia más un diferencial de 1,75 puntos
porcentuales.
Gastos iniciales bilaterales a cargo del prestatario: 1% s/C0.
Comisión de cancelación anticipada: 1% s/CS.
En estas condiciones, se pide:
a)
Términos amortizativos de los dos primeros años sabiendo que el valor del índice de
referencia para el segundo ha sido: ir2= 5,035%.
b) Tanto efectivo de coste.
c) Valor de cancelación a los 4 años y medio.
15.- El Sr. Martínez concertó, el 13.02.02, una operación de préstamo hipotecario con el Banco Azul en
las siguientes condiciones:
Co : 72.000€.
n : 15 años.
Tipo de interés indexado. Períodos de interés anuales.
Tanto nominal del primer período: 5,25%.
Resto: índice de referencia más 1,5 puntos.
Cuotas de amortización anuales constantes.
Pago semestral de intereses.
Comisión de apertura: 1,75% s/C0.
Comisión de cancelación anticipada: 1% s/CS.
Gastos iniciales de hipoteca: 2.000€.
En febrero de 2.004, el Sr. Martínez, se plantea la cancelación de la operación anterior para acogerse a
una oferta del Banco Sur que ofrece préstamos a tipo fijo en las siguientes condiciones:
Tipo nominal: 6%.
Comisión de apertura: 1% s/C0.
Comisión de cancelación anticipada: 2,5% s/CS.
Duración máxima: 12 años.
En estas condiciones, se pide:
a) Términos amortizativos del préstamo inicial durante los dos primeros años de la operación,
sabiendo que el valor del índice de referencia para el segundo año ha sido del 4,75%.
b) Valor de cancelación del préstamo inicial a 13.02.04
c) Términos amortizativos de los dos primeros años de la nueva operación de préstamo con el
Banco Sur si la duración es de 12 años, los términos son semestrales constantes durante el
año y crecientes anualmente un 2% acumulativo y la cuantía solicitada es la cantidad
necesaria para cancelar la operación inicial
d) Ecuación que permite obtener el tanto efectivo de coste de la financiación conjunta sabiendo
que los gastos globales de subrogación han ascendido a 950€.
TEMA 6. EMPRÉSTITOS DE OBLIGACIONES
1.- Sea un empréstito de obligaciones con las siguientes características:
- N1 = 100.000 títulos.
- C = 1.000€.
- n = 3 años.
- i = 0,0325.
- Obligaciones americanas, concupón anual.
Obténgase:
a) Cuantía de los términos amortizativos para el emisor y para una obligación.
b) Capital vivo del total del empréstito a los dos años y a los dos años y tres meses.
2.- Igual que el Ejercicio 1, pero considerando ahora obligaciones simples, es decir, cupón cero o con
intereses acumulados.
3.- Igual que el Ejercicio 1, pero considerando ahora que las obligaciones pagan cupón trimestral y que el
tipo de interés nominal es el 5%.
4.- Sea un empréstito de obligaciones con las siguientes características:
- N1 = 125.000 títulos.
- C = 500€.
- n = 4 años.
-Obligaciones americanas, cupón anual.
-Tipo de interés indexado ( o indizado). Periodos de interés anuales.
-Tipo de interés aplicable al primer periodo: 4%.
-Resto de la operación: Valor del índice de referencia menos 0,25 puntos porcentuales.
Sabiendo que el valor del índice de referencia ha sido: ir2 = 4,25%; ir3 = 6 %; ir4 =5%, obténgase:
a) Cuantía de los términos amortizativos para el emisor y para una obligación.
b) Capital vivo del total del empréstito a los dos años.
c) Tanto efectivo de rendimiento de un obligacionista que adquiere 100 títulos a través de un
intermediario financiero que le cobra una comisión de suscripción del 0,5% y una de
amortización del 0,25%, ambas sobre el nominal.
d) Tanto efectivo de coste para el emisor sabiendo que la operación tiene unos gastos iniciales
unilaterales de 513.248€.
5.- Igual que el Ejercicio 4, pero considerando que las obligaciones son cupón cero.
6.- Determínese el valor financiero el 15.01.02 de una obligación del Estado de 1.000€ de nominal, que
paga cupones anuales de 52 € el 15 de diciembre de cada año y se amortiza el 15.12.11 bajo los siguientes
supuestos:
a) El tipo de interés vigente en el mercado el 15.01.02 es el 5%.
b) El tipo de interés vigente en el mercado el 15.01.02 es el 5,25%.
c) El tipo de interés vigente en el mercado el 15.01.02 es el 5,5%.
A partir de los resultados obtenidos, indique cuál es la relación existente entre el valor financiero de dicho
título y el tipo de interés vigente en el mercado.
7.- El 10.03.00 se emitió un empréstito con las siguientes características:
-
C = 60€.
N1 = 100.000 títulos.
n = 3 años.
i = 0,06.
Obligaciones americanas con pago anual de cupones.
Con estos datos, y sabiendo que el tipo de interés de mercado para operaciones equivalentes el 10.03.01 y
el 10.06.01 era igual al 6,5% y al 7%, respectivamente, obténgase el valor del empréstito y el valor de una
obligación en esas dos fechas. Indique asimismo, para ambas fechas y en el caso de una obligación, su
descomposición en valor del usufructo y de la nuda propiedad.
8.- El 15.11.00 se emitió un empréstito de las siguientes características:
-
C = 150€.
N1 = 100.000 títulos.
n = 3 años.
i = 0,06.
Obligaciones cupón cero.
Con estos datos, obténgase el valor del empréstito y el valor de una obligación el 15.05.03 bajo cada uno
de los tres supuestos siguientes en lo referente al tipo de mercado en dicha fecha:
a) El tipo de interés vigente en el mercado el 15.05.03 era el 6,5%.
b) El tipo de interés vigente en el mercado el 15.05.03 era el 6%.
c) El tipo de interés vigente en el mercado el 15.05.03 era el 5,5%.
En el caso del valor del empréstito, indique asimismo cuál era su descomposición en valor del usufructo y
de la nuda propiedad en cada uno de los supuestos considerados.
9.- El Sr. Pérez decidió invertir parte de sus ahorros adquiriendo títulos de renta fija en el mercado
financiero y con este fin formó el 15.10.00 la siguiente cartera de valores:
-
50 bonos de 60€ de nominal, con cupón anual del 5% y con fecha de vencimiento 15.10.03.
-
30 obligaciones de 150€ de nominal, con cupón anual del 4,5% y amortizables el 15.10.05.
-
100 bonos cupón cero de 60€ de nominal y emitidos el 15.03.00 y amortizables al 200% de
dicho valor el 15.03.05.
Sabiendo que el tipo de interés de mercado para este tipo de títulos en la fecha de compra de los mismos,
15.10.00, era el 4,5%, calcule cual fue el desembolso que tuvo que realizar el Sr. Pérez para poder formar
la cartera señalada.
10.- El 15.12.99 se pactó la siguiente operación de préstamo:
- C0 = 3000€ (500.000 ₧).
- n = 5 años.
- términos amortizativos anuales constantes.
- i = 0,08.
Con estos datos, compárese a 15.12.01 la reserva matemática y el valor del préstamo distinguiendo
entre el valor del usufructo y el de la nuda propiedad, bajo los supuestos que se señalan a
continuación:
a) El tipo de interés vigente en el mercado el 15.12.01 era el 9%.
b) El tipo de interés vigente en el mercado el 15.12.01 era el 8%.
c) El tipo de interés vigente en el mercado el 15.12.01 era el 7%.
Indíquese ahora cual sería el valor del préstamo seis meses después, el 15.06.02, en el caso que el tipo de
interés de mercado se hubiese mantenido en los tres niveles señalados como a), b) y c).
11.- Igual que el Ejercicio 10, pero considerando ahora que el préstamo no se amortiza mediante el
método francés sino que la modalidad de amortización empleada es la de cuotas de amortización
constantes.