Problema: Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada

Problema: Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3.
Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1€/cm2 y para la base se emplea
un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.
La caja es un paralelepípedo y más concretamente un ortoedro, ya que las caras
unidas por una arista forman ángulos rectos. Como la base es un cuadrado, llamaremos a su
lado x. A la altura de la caja la designaremos por y.
Como el volumen de un ortoedro es igual a la superficie de la base por la altura,
tenemos que x2 · y = 80. Despejando nos queda que y = 80 / x2.
Ahora vamos con el coste de las caras de la caja. La inferior nos cuesta 1’5·x2. La
superior 1·x2. Las cuatro caras laterales 4·x·y.
El coste total de construir la caja es C = 1’5x2 + x2 + 4xy. Como el coste hay que
expresarlo en función de x, debemos sustituir y por el valor obtenido anteriormente:
C(x) = 2’5x2 + 4x·80/x2 , que simplificada es C(x) = 2’5x2 + 320/x
Para hallar el coste mínimo hay que calcular el mínimo de esta función. La forma de
hacerlo es igualando la derivada primera a cero y comprobando después que la solución
obtenida es, efectivamente, un mínimo. C’(x) = 5x - 320/x2 = 0.
De ahí obtenemos que 5x3 – 320 = 0; es decir, x3 = 64 , x = 4 , y = 80/16 = 5.
Para verificar que el punto x = 4 es un mínimo relativo (y no un máximo), lo
sustituimos en la derivada segunda en la que deberá dar un valor positivo.
C’’(x) = 5 + 640/x3 ; por tanto, C’’(4) = 15 > 0.
Este último cálculo nos asegura que la forma más económica de construir la caja es
tomando la base de lado 4cm y la altura de 5cm.
JM Soft