Bloque 4. Cálculo Tema 6 Integración básica Ejercicios resueltos 4.6-1 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas: 2 a ) x 2 dx b) c) d) e) 1 x 4 dx x2 x 5 dx x 3e senx dx x dx x 3 2 f) 5x g) Solución a) 3 dx 5 2 4 dx 9 9 x2 x 2 2 dx x 2 4 x 4 dx x 2 dx 4 xdx 4 dx x3 x2 x3 4 4x C 2 x2 4 x C 3 2 3 3 1 x 1 1 b ) 4 dx x 4 dx C C x 3 3 x3 x2 x 5 5 1 c) dx x 1 dx xdx dx 5 dx x x x x2 x 5 ln x C 2 3e x senx dx 3 e x dx senxdx 3e x cos x C d) x5 3 3 3 3 C x5 3 C 3 x5 C x 3 x2 C 53 5 5 5 3 3 1 3 f) 2 dx 2 dx arctagx C 5x 5 5 x 1 5 4 4 1 4 1 2 g) dx dx dx arcsenx C 2 2 9 9x 9 1 x 9 1 x2 3 e) G3w 3 x 2 dx x 2 3dx Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 1 4.6-2 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando algún cambio de variable apropiado: a ) x x 1dx senx b) c) d) e e) 1 x dx cos x x2 dx x3 2 x 3 e x dx 4 2x 4 dx ln x dx x e tagx g) dx cos2 x f) Solución a) x t x 1 x 1dx t 1 tdt t tdt tdt dt dx t5 2 t3 2 12 12 32 12 t t dt t dt t dt t dt C 52 32 2 52 2 32 2 2 52 32 t t C x 1 x 1 C 5 3 5 3 t cos x 1 senx dt dx 1 2 dt t 1 2 dt t cos x t dt senxdx b) c) d) t1 2 C 2t 1 2 C 2 t C 2 cos x C 12 t x 3 2 1 dt 1 x2 1 3 dx ln t C ln x 2 C 3 2 x 2 3 dt 3 x dx 3 t 3 ex 3 t ex 3 t5 4 x x e 3 e dx t dt C x 5 5 dt e dx 4 5 C t x2 2x 1 e) dx dt arctagt C arctag x 2 C 4 2 1 x 1 t dt 2 xdx 2 t ln x 2 ln x ln x t tdt C C f) dx dt 1 dx x 2 2 x t tagx e tagx e t dt e t C e tagx C g) dx dt 1 dx cos2 x cos2 x G3w Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 2 4.6-3 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de integración por partes: a ) ln xdx x ln xdx c ) xe dx d ) x e dx e ) arcsenxdx f ) e senxdx g ) x senxdx b) x 2 x x 2 Solución dx u ln x du dx a ) ln xdx x ln x dx x x ln x x x dv dx v x x ln x x C dx u ln x du x x 2 1 dx ln x x 2 b) x ln xdx 2 2 x x 2 dv xdx v 2 1 1 x2 x2 x2 x2 x2 ln x xdx ln x ln x C C 2 2 2 2 2 2 4 c) xe x du dx u x xe x e x dx xe x e x C dx x x dv e dx v e u x2 d ) x e dx x dv e dx u x x dv e dx 2 x du 2 xdx 2 x x x e 2 xe dx x ve du dx x 2 e x 2 xe x e x dx x ve x 2 e x 2 xe x 2 e x dx x 2 e x 2 xe x 2e x C G3w Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 3 dx u arcsenx du x e ) arcsenxdx dx 1 x 2 xarcsenx 1 x2 dv dx vx 1 2 t 1 x2 2 xarcsenx x 1 x dx dt 2 xdx 1 1 t1 2 xarcsenx t 1 2 dt xarcsenx C 2 21 2 xarcsenx 1 x 2 u ex f ) e senxdx dv senxdx u ex dv cos xdx x 12 C xarcsenx 1 x 2 C du e x dx x x e cos x e cos xdx v cos x du e x dx v senx e x cos x e x senx e x senxdx 2 e x senxdx e x cos x e x senx e x senxdx u x2 g ) x 2 senxdx dv senxdx u x dv cos xdx e x senx cos x 2 C du 2 xdx 2 x cos x 2 x cos xdx v cos x du dx v senx x 2 cos x 2 xsenx 2 senxdx x 2 cos x 2 xsenx 2 cos x C G3w Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 4 4.6-4 Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones racionales: x2 1 a) 3 dx x x2 2 x x2 1 b) 3 dx x 6 x 2 12 x 8 4 c) 3 dx 2 x 5x 7x 3 x2 3 x 2 d) dx x2 9 x2 x 8 e) 3 dx x 4 x2 2 x2 x 1 f) 2 dx x 8 x 16 x 4 3 x3 2 x2 1 g) dx x 5 Solución a) x2 1 dx x 3 x 2 2 x x x 2 x 2 x x 1 x 2 3 2 x x 2x x2 1 A B C 3 2 x x 2 x x x 1 x 2 x 2 1 A x 1 x 2 Bx x 2 Cx x 1 x 0 : 1 2 A A 1 2 x 1 : 2 3B B 2 3 x 2 : 5 6C C 5 6 b) x2 1 1 dx 2 dx 5 dx dx 3 2 x x 2x 2 x 3 x 1 6 x 2 1 2 5 ln x ln x 1 ln x 2 C 2 3 6 x2 1 3 dx x 3 6 x 2 12 x 8 x 2 3 2 x 6 x 12 x 8 x2 1 x 2 3 A B C 2 x 2 x 2 x 2 3 x 2 1 A x 2 B x 2 C Ax 2 4 Ax 4 A Bx 2 B C 2 G3w Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 5 A A 1 4 A B B 4 0 x : 1 4 A 2 B C C 5 x2 : 1 x1 : 0 x2 1 dx dx dx dx 4 5 2 3 3 2 x 6 x 12 x 8 x 2 x 2 x 2 ln x 2 c) x 3 4 5 C x 2 2 x 2 2 4 2 dx x 3 5 x 2 7 x 3 x 1 x 3 5x 7x 3 2 4 x 1 x 3 2 A B C 2 x 1 x 1 x 3 4 A x 1 x 3 B x 3 C x 1 x 1: 4 2 A 1 4C x 3: 4 B 2 x 0 : 4 3 A 3B C C 1 x 3 2 B 4 dx dx dx 2 dx 2 5x 7x 3 x 1 x 3 x 1 2 ln x 1 d) 2 ln x 3 C x 1 x2 3 x 2 dx x 2 3 x 2 1 x 2 9 3 x 11 2 x 9 x2 3 x 2 3 x 11 dx dx 2 dx x 2 9 x 3 x 3 2 x 9 x 9 3 x 11 A B 3 x 11 A x 3 B x 3 2 x 9 x 3 x 3 x 3: 2 6A A 1 3 x 3 : 20 6 B B 10 3 G3w x2 3 x 2 3 x 11 1 dx 10 dx dx dx 2 dx x 2 x 9 x 9 3 x 3 3 x 3 1 10 x ln x 3 ln x 3 C 3 3 Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 6 e) x2 x 8 dx x 3 4 x 2 x 2 x 4 3 2 x 4x x2 x 8 A B C 2 3 2 x 4x x x x4 x 2 x 8 Ax x 4 B x 4 Cx 2 Ax 2 4 Ax Bx 4 B Cx 2 AC A 1 4 x : 1 4 A B B 2 x 0 : 8 4 B C 3 4 x2 : 1 1 1 1 1 3 1 x2 x 8 dx dx 2 2 dx dx 3 2 4 x 4 x 4 x 4x x f) 1 2 3 ln x ln x 4 C 4 x 4 2 x2 x 1 dx 2 x 2 x 1 2 x 2 8 x 16 17 x 31 x 2 8 x 16 2 x2 x 1 17 x 31 2 dx 2 dx 2 dx x 2 8 x 16 x 4 2 x 8 x 16 x 8 x 16 17 x 31 x 4 2 A B 17 x 31 A x 4 B x 4 x 4 2 A 17 B 37 x : 31 4 A B x1 : 17 A 0 2 x2 x 1 1 1 dx 2 dx 17 dx 37 dx 2 2 x 8 x 16 x4 x 4 2 x 17 ln x 4 g) 37 C x4 x 4 3 x3 2 x2 1 dx x 5 x 4 3 x 3 2 x 2 1 x 3 2 x 2 8 x 40 x 5 201 G3w x 4 3 x3 2 x2 1 201 dx x 3 2 x 2 8 x 40 dx dx x 5 x 5 x4 x3 x2 2 8 40 x 201 ln x 5 C 4 3 2 Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ejercicios resueltos 7