Análisis de Datos I Esquema del Tema 14 Tema 14: Variables aleatorias continuas 1. DEFINICIÓN 2. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, f(x) 3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, F(x) 4. CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES CONTINUAS Valor Esperado de X Varianza de X Covarianza y correlación de X e Y __________________ Bibliografía: Tema 10 (pág. 265-283) Carmen Ximénez 1 Análisis de Datos I Esquema del Tema 14 1. DEFINICIÓN Las variables aleatorias continuas “se definen sobre espacios muestrales infinitos y no numerables”. 2. FUNCIÓN DE DENSIDAD, f (x) Asocia valores de la variable X con ordenadas o alturas de la curva en cada punto. Para que f (x) sea función de densidad de X ha de cumplirse (*) 1). f (x) ≥ 0 2). ∫ +∞ −∞ f ( x ) dx = 1 Gráficamente se representa mediante una curva. Por ejemplo: f ( x i) (*) Nota: La función de densidad f(x) puede tomar un valor > 1. 1 -∞ +∞ Xi 3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, F(x) Función que asocia a cada valor de X la probabilidad de que ésta adopte “como mucho” ese valor xi concreto. Donde: 1). F ( x ) = ∫ xi −∞ f ( x ) dx Donde: P(a ≤ X ≤ b) = ∫ b a f ( x ) dx o bien [F(b) - F(a)] si b ≥ a 2). F(- ∞) = 0 3). F(+ ∞) = 1 Gráficamente resulta la siguiente función: 1 ,0 ,9 ,8 ,7 F (x) ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 0 -∞ Carmen Ximénez X +∞ 2 Análisis de Datos I Esquema del Tema 14 4. CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES CONTINUAS UNA VARIABLE: Valor esperado: Varianza: E (X) = +∞ ∫− ∞ σ2 (X) = [ ∫ +∞ −∞ xi ⋅ f ( x ) dx xi2 ⋅ f ( x) dx ] – [E(X)]2 DOS VARIABLES: La Covarianza, σ ( XY ) = E( XY ) - E( X ) ⋅ E(Y ) Donde, E( XY ) = ∫ ∞ ∫ ∞ −∞ −∞ La Correlación, ρ ( XY ) = x i ⋅ y i ⋅ f ( x i , y i ) dx dy σ ( XY ) σ ( X ) ⋅ σ (Y ) En las variables continuas se puede definir las propiedades y la condición de independencia, de la misma forma que en las variables discretas El trabajo aplicado con variables continuas Consiste en hallar probabilidades. Las situaciones más comunes son las tres siguientes: P(X ≤ a) : P(X ≤ a) = f (x) ∫ a −∞ f ( x ) dx P(X ≤ a) = F(a) F(a) a X P(X ≥ a) : P(X ≥ a) = F(a) f(x) ∫ +∞ a f ( x ) dx P(X ≥ a) = 1 - F(a) a X P(a ≤ X ≤ b) : F(b) P(a ≤ X ≤ b) = f(x) ∫ b a f ( x ) dx P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a) F(a) a Carmen Ximénez b si b > a X 3