La función de demanda Cobb-Douglas parte de la siguiente función

La función de demanda Cobb-Douglas parte de la siguiente función de utilidad:
U ( x1 , x2 ) = α1 log( x1 ) + α 2 log( x2 )
(1)
siendo α1, α2 > 0.
Podemos fijar α1 + α2 = 1 sin falta de generalidad (nótese que podemos someter la
función a una transformación monótona dividiendo todo por la suma α1 + α2).
Es una función de utilidad monótona estricta y estrictamente cuasicóncava.
F. de demanda
La maximización de (1) con respecto a xi sujeto a la restricción presupuestaria
Y = p1 x1 + p2 x2 nos da el sistema:
α / x = λp
α / x = λp
Y = px + p x
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
(2)
(3)
(4)
Dividiendo (2) entre (3) e introduciéndolo en (4) obtenemos las siguientes ecuaciones
de demanda de los dos bienes:
x1 ( p1 , p2 , Y ) =
α
Y
p
(5)
α
Y
p
(6)
1
1
x2 ( p1 , p2 , Y ) =
2
2
si α1 + α2 = 1. Es un modelo muy restrictivo, los bienes son independiente brutos y la
homoteticidad de la función de utilidad implica que la proporción de gasto en cada bien
es constante:
p1 x1 / Y = α1
p2 x 2 / Y = α 2
(5)’
(6)’
F. indirecta de utilidad
Si introducimos las ecuaciones (5) y (6) en la función directa de utilidad (1) obtenemos
la función indirecta de utilidad siguiente:
V ( p1 , p2 , Y ) = log(Y
αα αα
α
α )
p p
1
1
1
1
donde α1 + α2 = 1.
2
2
2
2