Normas de Vectores y Matrices Curso 2016-17 1 Definición y propiedades básicas Definición Sea V un espacio vectorial sobre F (R o C). Una función ν : V −→ R es una norma en V si ν satisface las siguientes propiedades: (i) x 6= 0 ⇒ ν(x) > 0. (ii) ν(αx) = |α|ν(x), ∀α ∈ F. (iii) ν(x + y ) ≤ ν(x) + ν(y ), ∀x ∈ V (desigualdad triangular) Primeras propiedades 1 ν(0) = 0 porque ν(0) = ν(0x) = 0ν(x) = 0. 2 ν(−x) = ν(x) porque ν(−x) = | − 1|ν(x) = ν(x) 3 |ν(x) − ν(y )| ≤ ν(x − y ) 2 Ejemplos: Normas `p o de Hölder La norma `1 : MATLAB: norm(x,1) n P |xi |. kxk1 = (a) i=1 (b) kxk2 La norma `2 os norma euclı́dea: n P = |xi |2 . MATLAB: i=1 norm(x),norm(x,2) (c) La norma `∞ : MATLAB: norm(x,inf) kxk∞ = máx |xi |. 1≤i≤n (d) La norma `p norm(x,p) n 1/p P kxkp = |xi |p . i=1 general: MATLAB: 3 Equivalencia de normas Definición Sean µ y ν normas definidas en V , espacio vectorial sobre F. Se dice que µ y ν son equivalentes si existen números reales positivos c1 y c2 tales que c1 µ(x) ≤ ν(x) ≤ c2 µ(x), ∀x ∈ V . Teorema Todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes. Consecuencia: Todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensión finita generan la misma topologı́a. Es decir, los abiertos respecto de una norma lo son respecto de cualquier otra . 4 Normas de matriz Definición Sean µ, ν y ρ normas definidas en Fm×n , Fn×p y Fm×p . Se dice que µ, ν y ρ son consistentes si para todas matrices A ∈ Fm×n y B ∈ Fn×p se verifica ρ(AB) ≤ µ(A)ν(B). En particular una norma ν definida en Fn×n se dice que es consistente si ν(AB) ≤ ν(A)ν(B) para todas A, B ∈ Fn×n . Una norma ν definida en Fn×n consistente también se dice que es multiplicativa o submultiplicativa. Una norma definida en Fn×n se dice que es una norma de matriz si es consistente. Si µ es una norma en Fn×n y ν en Fn entonces, µ es consistente o compatible con la norma de vector ν si para toda A ∈ Fn×n y todo vector x ∈ Fn ν(Ax) ≤ µ(A)ν(x) 5 La norma de Frobenius 1 2 m X n X k A kF = | aij |2 MATLAB: norm(A,’fro’) i=1 j=1 Norma de matriz: A ∈ Fm×n , B ∈ Fn×p p p m P m P P P i 2 2 k AB kF = |a bj | = |ci∗ bj |2 i=1 j=1 i=1 j=1 p m P P (C − S) (kci k2 kbj k2 )2 , (cik = āik ) i=1 j=1 ! m n n p P P P P = | aik |2 | bkj |2 = ≤ = k i=1 k=1 A k2F k B k=1 j=1 k2F . Otras definiciones: p a) k A kF = tr(A∗ A) b) k A k2F =k a1 k22 + k a2 k22 + . . . + k an k22 , 6 Normas de matriz inducidas (Normas de Operador) A ∈ Fm×n : f (A) = g (A) = sup k Ax km k x kn sup k Ax km . 06=x∈Fn kxkn =1 f (A) = g (A) para cada A ∈ Fm×n f (A) = máx kxkn =1 k Ax km = máx n 06=x∈F k Ax km . k x kn 7 Un teorema importante Teorema Sea k · kn y k · km normas definidas en Fn y Fm , respectivamente. a) La función real f definida en Fm×n por f (A) = máx kxkn =1 k Ax km = máx n 06=x∈F k Ax km k x kn es una norma que denotaremos con k · km,n . b) Si A ∈ Fm×n y B ∈ Fn×p entonces kABkm,p ≤ kAkm,n kBkn,p . En particular, si m = n entonces la norma k · kn,n es una norma de matriz. c) Las normas k · km,n , k · km y k · kn son consistentes. d) Si µ es cualquier otra norma de matriz consistente con k · km y k · kn , entonces k A km,n ≤8 µ(A), ∀A ∈ Fm×n . Las normas inducidas `1 , `2 y `∞ 1 La norma inducida por `1 : k A k1 = 2 máx 1≤j≤n n X i=1 máx 1≤j≤n k aj k1 , MATLAB: norm(A,1) La norma inducida por `∞ : k A k∞ = máx 1≤i≤n 3 |aij | = n X j=1 |aij |, MATLAB: norm(A,inf) La norma inducida por `2 : Se le llama Norma Espectral. MATLAB: norm(A)=norm(A,2) 9 Sucesiones y series de matrices Proposición P∞ Si la serie numérica j=0 kAj k converge para alguna norma de matriz, P∞ también converge la serie matricial j=0 Aj . P∞ P∞ En particular, j=0 aj Aj es convergente si lo es j=0 |aj | kAkj . ∞ P Si f (z) = aj z j para |z| < R y hay una norma de matriz para la que j=0 P∞ kAk < R, la serie j=0 |aj | kAkj converge y podemos definir f (A) = ∞ X aj Aj . j=0 Por ejemplo eA sen(A) cos(A) P∞ 1 j A , ∀A ∈ Fn×n . MATLAB: expm(A) j=0 j! P∞ (−1)j = A2j+1 , ∀A ∈ Fn×n . MATLAB: sin(A) j=0 (2j + 1)! P∞ (−1)j 2j = A , ∀A ∈ Fn×n . MATLAB: cos(A) j=0 (2j)! = 10 Una proposición útil (y previsible) Proposición Si A ∈ Fn×n y kAk < 1 para alguna norma de matriz, entonces ∞ P −1 Aj y In − A es invertible. En tal caso (In − A) = j=0 k(In − A)−1 k ≤ 1 . 1 − kAk 11