apuntes Tema I

Principios de Mecánica
Salamanca, 2006-2007
Índice
1. Unidades y dimensiones
1. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1..1
Sistema Internacional . . . . . . . .
2. Ecuación de dimensiones . . . . . . . . . .
2..1
Cálculo dimensional . . . . . . . .
3. Constantes fundamentales . . . . . . . . .
3..1
Sistema natural de unidades . . . .
4. La carga eléctrica como magnitud derivada
5. Cifras significativas y órdenes de magnitud
5..1
reglas . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Cinemática en una dimensión
1. Distinción entre cinemática y dinámica
2. Concepto de partı́cula . . . . . . . . .
3. Espacio y tiempo . . . . . . . . . . . .
3..1
Movimiento . . . . . . . . . . .
3..2
Medida . . . . . . . . . . . . .
3..3
Homogeneidad del tiempo . . .
4. Movimiento en una dimensión . . . . .
4..1
Posición . . . . . . . . . . . . .
4..2
Velocidad . . . . . . . . . . . .
4..3
Aceleración . . . . . . . . . . .
4..4
Ejemplos . . . . . . . . . . . . .
5. Condiciones iniciales . . . . . . . . . .
5..1
Posición inicial . . . . . . . . .
5..2
Velocidad inicial . . . . . . . .
6. Movimiento uniformemente acelerado .
6..1
Caı́da libre . . . . . . . . . . .
7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . .
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
17
18
18
18
18
18
18
19
19
20
20
20
20
20
21
ii
3. Cinemática en el plano
1. Posición de un punto en el plano . . . . . . . . .
1..1
Vector posición. Coordenadas cartesianas .
1..2
Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1..3
Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Movimiento de proyectiles . . . . . . . . . . . . .
3. Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . .
3..1
Movimiento circular uniforme . . . . . . .
4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
39
39
40
40
40
41
43
44
4. Leyes de Newton
1. El espacio y el tiempo en mecánica newtoniana .
1..1
La geometrı́a del espacio es euclidiana . .
2. La Primera Ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2..1
Principio de Relatividad de Galileo . . . .
2..2
Transformaciones de Galileo. . . . . . . . .
2..3
Conservación de los intervalos espaciales .
2..4
Conservación de los intervalos temporales
3. La Segunda Ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3..1
Principio de equivalencia . . . . . . . . . .
3..2
Principio de determinación . . . . . . . . .
4. La Tercera Ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Sistemas de referencia no inerciales . . . . . . . .
6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
71
71
71
72
72
72
73
73
73
74
74
75
75
76
5. Dinámica en una dimensión I
1. Fuerzas de rozamiento . . . . . . . .
1..1
Rozamiento estático . . . . .
1..2
Rozamiento cinético . . . . .
2. Fuerzas dependientes del tiempo . . .
3. Fuerzas dependientes de la velocidad
4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
97
97
98
98
100
102
.
.
.
.
.
.
.
.
125
. 125
. 125
. 125
. 125
. 126
. 126
. 127
. 127
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6. Dinámica en una dimensión II
1. Energı́a cinética . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Fuerzas dependientes de la posición . . . . .
2..1
Energı́a Potencial . . . . . . . . . . .
2..2
Conservación de la energı́a . . . . . .
3. Movimiento de una partı́cula en un potencial
3..1
Estudio cualitativo del potencial . . .
3..2
Puntos de retroceso . . . . . . . . . .
3..3
Puntos de equilibrio . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iii
4.
5.
6.
Oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Lanzamiento vertical de objetos de gran velocidad . . . . . . . . . . 130
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7. Oscilaciones
1. Oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio
2. Oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . .
2..1
Ecuación del movimiento . . . . . . . . .
3. Oscilador armónico amortiguado . . . . . . . . .
3..1
ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3..2
frecuencias caracterı́sticas . . . . . . . .
3..3
Oscilador infraamortiguado ω0 > γ . . .
3..4
Oscilador sobreamortiguado ω0 < γ . . .
4. Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . .
4..1
Fuerza externa periódica . . . . . . . . .
4..2
Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
145
145
146
146
147
147
148
148
149
150
151
152
154
Capı́tulo 1.
Unidades y dimensiones
1.
Unidades
La medida de toda magnitud fı́sica exige compararla con cierto valor unitario de
la misma. Toda magnitud fı́sica debe expresarse por un número y una unidad.
Todas las magnitudes fı́sicas peden expresarse en función de un pequeño número
de unidades fundamentales. La selección de las unidades patrón para estas magnitudes determina un sistema de unidades.
1..1
Sistema Internacional
El sistema utilizado universalmente por la comunidad cientı́fica es el distema internacional (SI). En el SI la unidad patrón de longitud es el metro, el tiempo patrón
es el segundo y la masa patrón es el kilogramo.
Existen otros sistemas como el cgs (centimetro, gramo y segundo) o el imperial
(pie, libra y segundo) asi como el sistema de unidades naturales que veremos más
adelante.
2.
Ecuación de dimensiones
Si tomamos como magnitudes fundamentales masa, longitud y tiempo, las dimensiones de otras magnitudes se escriben en función de las magnitudes fundamentales.
2..1
Cálculo dimensional
La notación es:
[] = La M b T c
A veces pueden detectarse errores de cálculo comprobando las dimensiones de las
magnitudes que intervienen en él
1
2
3.
Capı́tulo 1
Constantes fundamentales
Las interacciones fı́sicas determinan contantes tales como:
• La velocidad de la luz
c = 2, 998.108 (m).(sg)−1 (electromagnetismo)
• La constante de Planck
~ = 1, 05.10−34 kgr.(m)2 .(sg)−1 (mecánica cuántica)
• La constante de interacción gravitatoria
G = 6, 67.10−11 (m)3 .(kgr)−1 .(sg)−2 (gravitación)
3..1
Sistema natural de unidades
• Longitud
L = [c]a [G]b [~]d = (LT −1 )a (L3 T −2 M −1 )b (M L2 T −1 )d
igualando exponentes
1 = a + 3b + 2d,
0 = −a − 2b − d,
0 = −b + d
la solución es
a = −3/2,
y por tanto
µ
l0 =
~G
c3
b = d = 1/2
¶1/2
= 1, 61.10−35 m
• masa
M = [c]a [G]b [~]d = (LT −1 )a (L3 T −2 M −1 )b (M L2 T −1 )d
0 = a + 3b + 2d,
0 = −a − 2b − d,
1 = −b + d
la solución es
a = d = 1/2,
y por tanto
µ
m0 =
~c
G
b = −1/2
¶1/2
= 2, 17.10−8 kgr
• Tiempo
T = [c]a [G]b [~]d = (LT −1 )a (L3 T −2 M −1 )b (M L2 T −1 )d
0 = a + 3b + 2d,
1 = −a − 2b − d,
0 = −b + d
Unidades y dimensiones
3
la solución es
a = −5/2,
y por tanto
µ
t0 =
4.
~G
c5
b = d = 1/2
¶1/2
= 5, 38.10−44 sg
La carga eléctrica como magnitud derivada
La forma convencional de expresar la fuerza electrostática es:
F =
1 e2
4π²0 r2
pero en unidades naturales
F =
luego
ê2 =
ê2
r2
e2
4π²0
La constante de estructura fina es:
1
ê2
=
137
~c
de forma que
ê2 =
~c
kgr.m3
= 2, 30.10−28
137
sg 2
Por otro lado
e = 1, 60.10−19 cul.
luego
5.
1
ê2
kgr.m3
= 2 = 8, 99.109 2
4π²0
e
sg .cul2
Cifras significativas y órdenes de magnitud
Muchos de los números que se manejan son el resultado de una medida y por
tanto sólo se conocen con cierta incertidumbre experimental. La magnitud de
este error depende de la habilidad del experimentador y del aparato utilizado y
frecuentemente solo se puede estimar. Se suele dar una indicación aproximadade
la incertidumbre de una medida mediante el número de dı́gitos que se utilice. Por
ejemplo si decimos que la longitud de una mesa es 2,50 m, queremos decir que
probablemente su longitud se encuetra entre 2,495 y 2,505; es decir conocemos su
longitud con un error de ±0, 005m = ±0, 5cm.
4
5..1
Capı́tulo 1
reglas
• El número de cifras significativas del resultado de una suma multiplicación o
división no debe ser mayor que el menor número de cifras significativas en cualesquiera de los factores.
• El resultado de la suma o resta de dos números carece de cifras significativas
más allá de la última cifra decimal en que ambos números originales tienen cifras
significativas.
Este tema se tratar con mucho detalle en la asignatura de Técnicas experimentales por lo que no abundaremos más en él por el momento
Unidades y dimensiones
5
Problemas del Tema I
(24-9-2008)
1) Utilizar análisis dimensional para determinar cual de las siguientes ecuaciones
está equivocada
λ = vt
F =
m
a
mv
t
F =
h=
v2
2g
1
v = (2gh) 2
λ y h son espacio, v es velocidad, t es tiempo, m masa, F fuerza, a y g aceleración
2 ) Si s es distancia y t es tiempo, ¿Cuales deben ser las dimensiones de C1 , C2 ,
C3 y C4 en cada una de las siguientes ecuaciones?
s = C1 t
1
s = C2 t2
2
s = C3 sin C4 t
3 ) Las constantes fundamentales de la naturaleza son la constante G de la gravitación universal, la velocidad c de la luz y la constante de Planck ~. Construir
con estas constantes patrones fundamentales de masa, longitud y tiempo
10 cm
c = 3.10
sg
,
−8
G = 6, 67.10
cm3
gr.sg 2
−27 gr.cm
~ = 1, 05.10
2
sg
Conparar estos patrones con la masa del protón 1, 67.10−24 gr, el radio del sol
6, 95.105 Km y el año sideral 3, 15.107 sg
4 ) Un objeto situado en el extremo de una cuerda se mueve según un cı́rculo.
La fuerza ejercida por la cuerda depende de la masa del objeto, su velocidad y el
radio del cı́rculo. Hacer una estimación de esta dependencia
5 ) Una pelota se lanza verticalmente con velocidad v. Utilizar análisis dimensional
para determinar (salvo factores numéricos) la altura que alcanza y el tiempo que
tarda en caer. Observar que el resultado no depende de la masa (Principio de
equivalencia: Todos los cuerpos se mueven igual en el campo gravitatorio con
independencia de su masa)
6 ) En el problema anterior introducimos una fuerza de rozamiento proporcional
a la velocidad con constante de proporcionalidad b. Demostrar que para construir
longitudes en las que aparezca b es necesario introducir tambien la masa. (En
presencia de rozamiento, cuerpos de distinta masa se mueven de distinta forma)
7 ) Expresar la carga del electrón en unidades naturales utilizando la constante
de estructura fina. Calcular la permitividad del vacı́o
6
Capı́tulo 1
8 ) Cuando un objeto cae a través del aire, se produce una fuerza de rozamiento
que depende del producto de su area superficial y el cuadrado de su velocidad, es
decir, F = CAv 2 . Determinar las unidades de C
9 ) La tercera ley de Kepler relaciona el perı́do de un planeta con su radio, la
constante de la gravitación y la masa del sol. ¿Qué combinación de estos factores
dá las dimensiones correctas:
10 ) Determinar el orden de magnitud de la velocidad de escape en la tierra y en
el sol. Hacer lo mismo para la aceleración de la gravedad en la superficie
Unidades y dimensiones
6.
7
Problemas
1) Utilizar análisis dimensional para determinar cual de las siguientes ecuaciones
está equivocada
λ = vt
F =
m
a
F =
mv
t
h=
v2
2g
1
v = (2gh) 2
λ y h son espacio, v es velocidad, t es tiempo, m masa, F fuerza, a y g aceleración
Solución
Está mal la segunda porque
m
a
no tiene dimensiones de fuerza.
2 ) Si s es distancia y t es tiempo, ¿Cuales deben ser las dimensiones de C1 , C2 ,
C3 , C4 , C5 y C6 en cada una de las siguientes ecuaciones?
s = C1 t
1
s = C2 t2
2
Solución
[C1 ] =
s = C3 sin C4 t
hsi
t
hsi
= LT −1
= LT −2
t2
[C3 ] = [s] = L
· ¸
1
= T −1
[C4 ] =
t
· ¸
1
[C5 ] =
= L−1
s
· ¸
1
= T −1
[C6 ] =
t
[C2 ] =
s = C5 eC6 t
8
Capı́tulo 1
3 ) Las constantes fundamentales de la naturaleza son la constante G de la gravitación universal, la velocidad c de la luz y la constante de Planck ~. Construir
con estas constantes patrones fundamentales de masa, longitud y tiempo
c = 3.1010 (cm).(sg)−1
G = 6, 67.10−8 (cm)3 .(gr)−1 .(sg)−2
~ = 1, 05.10−27 gr.(cm)2 .(sg)−1
Conparar estos patrones con la masa del protón 1, 67.10−24 gr, el radio del sol
6, 95.105 Km y el año sideral 3, 15.107 sg
Solución
• Longitud
L = [c]a [G]b [~]d = (LT −1 )a (L3 T −2 M −1 )b (M L2 T −1 )d
igualando exponentes
1 = a + 3b + 2d,
0 = −a − 2b − d,
0 = −b + d
la solución es
a = −3/2,
y por tanto
µ
l0 =
~G
c3
b = d = 1/2
¶1/2
= 1, 6.10−33 cm
En consecuencia
Rs =
6, 95.1010
l0
1, 6.10−33
Rs = 4, 34.1043 l0
• masa
M = [c]a [G]b [~]d = (LT −1 )a (L3 T −2 M −1 )b (M L2 T −1 )d
0 = a + 3b + 2d,
0 = −a − 2b − d,
la solución es
a = d = 1/2,
y por tanto
µ
m0 =
~c
G
b = −1/2
¶1/2
= 2, 16.10−5 gr
1 = −b + d
Unidades y dimensiones
9
En consecuencia
1, 67.10−24
mp =
m0
2, 16.10−5
mp = 7, 7.10−20 m0
• Tiempo
T = [c]a [G]b [~]d = (LT −1 )a (L3 T −2 M −1 )b (M L2 T −1 )d
0 = a + 3b + 2d,
1 = −a − 2b − d,
la solución es
a = −5/2,
y por tanto
µ
t0 =
~G
c5
b = d = 1/2
¶1/2
En consecuencia
1sy =
= 5, 3.10−44 sg
3, 15.107
t0
5, 3.10−44
1sy = 5.94.1050 t0
0 = −b + d
10
Capı́tulo 1
4 ) Un objeto situado en el extremo de una cuerda se mueve según un cı́rculo.
La fuerza ejercida por la cuerda depende de la masa del objeto, su velocidad y el
radio del cı́rculo. Hacer una estimación de esta dependencia
Solución
Si ponemos
F = ma v b R c
la ecuación dimensional es:
M LT −2 = M a (L/T )b Lc
y por tanto
1=a
1=b+c
−2 = −b
de forma que:
a = 1,
b = 2,
y, salvo factores numéricos.
F =
mv 2
R
c = −1
Unidades y dimensiones
11
5 ) Una pelota se lanza verticalmente con velocidad v. Utilizar análisis dimensional
para determinar (salvo factores numéricos) la altura que alcanza y el tiempo que
tarda en caer. Observar que el resultado no depende de la masa (Principio de
equivalencia: Todos los cuerpos se mueven igual en el campo gravitatorio con
independencia de su masa)
Solución
Los parámetros del problema son m, v y g. Si queremos construir una longitud
L = M a (LT −1 )b (LT −2 )c
1 = b + c,
a = 0,
0 = a,
0 = −b − 2c
b = 2,
l=
c = −1
v2
g
En cuanto al tiempo
t = l/v =
v
g
12
Capı́tulo 1
6 ) En el problema anterior introducimos una fuerza de rozamiento proporcional
a la velocidad con constante de proporcionalidad b. Demostrar que para construir
longitudes en las que aparezca b es necesario introducir tambien la masa. (En
presencia de rozamiento, cuerpos de distinta masa se mueven de distinta forma)
Solución
La constante b tendrá dimensiones de fuerza dividido por velocidad. Por tanto
[b] = M T −1
Podemos pues construir
t=
m
b
Unidades y dimensiones
13
7 ) Expresar la carga del electrón en unidades naturales utilizando la constante
de estructura fina. Calcular la permitividad del vacı́o
Solución
La forma convencional de expresar la fuerza electrostática es:
F =
1 e2
4π²0 r2
pero en unidades naturales
F =
luego
ê2 =
ê2
r2
e2
4π²0
La constante de estructura fina es:
1
ê2
=
137
~c
de forma que
ê2 =
~c
gr.cm3
= 2, 2.10−19
137
sg 2
Por otro lado
e = 1, 6.10−19 cul.
luego
ê2
gr.cm3
1
= 2 = 9.1018 2
4π²0
e
sg .cul2
14
Capı́tulo 1
8 ) Cuando un objeto cae a través del aire, se produce una fuerza de rozamiento
que depende del producto de su area superficial y el cuadrado de su velocidad, es
decir, F = CAv 2 . Determinar las unidades de C
Solución
M LT −2 = [C]L2 L2 T −2
de forma que
[C] = M L−3
Unidades y dimensiones
15
9 ) La tercera ley de Kepler relaciona el perı́do de un planeta con su radio, la
constante de la gravitación y la masa del sol. ¿Qué combinación de estos factores
dá las dimensiones correctas:
Solución
Las dimensiones de G son
[G] = [F ]L2 /M 2 = M −1 L3 T −2
de forma que
T = M a Rb Gc
T = M a Lb M −c L3c T −2c
Por tanto
0=a−c
0 = b + 3c
1 = −2c
de forma que
1
c=− ,
2
1
a=− ,
2
luego
T2 ∼
R3
MG
b=
3
2
16
Capı́tulo 1
10 ) Determinar el orden de magnitud de la velocidad de escape en la tierra y en
el sol. Hacer lo mismo para la aceleración de la gravedad en la superficie
Solución
Sea
v ∼ Ga mb Rc ,
g ∼ Ga mb Rc
siendo m y R la masa y el radio del sol/tierra Haciendo análisis dimensional
LT −1 = (M −1 L3 T −2 )a M b Lc ,
LT −2 = (M −1 L3 T −2 )a M b Lc
En consecuencia
a = b = −c = 1/2,
de forma que
r
v=
Gm
,
R
a = b = −c/2 = 1
g=
Gm
R2
• Para la tierra
G = 6.67x10−11 m3 /Kg/sg 2
m = 5.98X1024 Kg
R = 6.38x106 m
y por tanto
v ∼ 7.90x103 m/sg = 2.84x104 km/h
g ∼ 9.79m/sg 2
• Para el sol
G = 6.67x10−11 m3 /Kg/sg 2
m = 1.99X1030 Kg
R = 6.96x108 m
y por tanto
v ∼ 4.37x105 m/sg = 1.57x106 km/h
g ∼ 2.74x102 m/sg 2