Factorización de Polinomios

1
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS en Q (racionales)
FAQ
¿Qué es factorizar un polinomio?
Es expresarlo como un producto (por eso lo de "factorizar") de otros polinomios de grado igual o menor a él
¿Para qué factorizar un polinomio?
Para poder ver rápidamente sus raíces y tener una idea de su gráfica (comportamiento)
¿Qué es la raíz de un polinomio?
Son todos aquellos valores numéricos que al reemplazar la x por ellos en el polinomio y hacer las cuentas
indicadas todo da cero, es decir: P(a)= 0 siendo a un número real
¿Todos los polinomios se pueden factorizar?
Algunos polinomios no son factorizables (salvo numéricamente) en el conjunto de los números racionales; se
los llama irreducibles en los racionales (es decir, no tienen raíces racionales)
¿Cómo queda un polinomio ya factorizado por sus raíces?
Si tiene tantas raíces como el grado quedará así:
P( x ) = an .( x − x 1 ).( x − x 2 )( x − x 3 )...( x − x n )
Siendo an el coeficiente principal; x1 , x2 , … xn las raíces (números) de P(x) y "n" su grado
Ej: P( x ) = 2.( x − 2).( x − 1)( x + 3)( x + 4) siendo an = 2; sus raíces son x1= 2; x2= 1; x3= -3; x4= -4
Si tiene menos raíces que el grado quedará así:
P( x ) = an .( x − x 1 ).( x − x 2 )( x − x 3 ).Q ( x ) con Q ( x ) irreducible
Ej: P( x ) = −3.( x − 1).( x + 2)( x 2 + 1) siendo an = -3; sus raíces son x1= 1; x2= -2 ; con C(x)= x2+1
Multiplicidad
A veces una misma raíz aparece más de una vez en la factorización de un polinomio. Esto determina su
multiplicidad.
Ej 1:
P( x ) = −2( x − 2)( x − 2)( x − 1)( x + 1)( x + 1)( x + 1) = −2( x − 2) 2 ( x − 1)( x + 1) 3
Sus raíces son: 2, de multiplicidad 2 (porque apareció dos veces en la factorización)
1, de multiplicidad 1 o simple (porque apareció una sola vez en la factorización)
-1, de multiplicidad 3 (porque apareció tres veces en la factorización)
Ej 2:
P( x ) = 5x 3 ( x − 3).( x − 3)( x + 7)( x + 7)( x + 7)( x + 7) = 5x 3 ( x − 3) 2 ( x + 7) 4
Sus raíces son: 0, de multiplicidad 3 (porque apareció tres veces en la factorización)
3, de multiplicidad 2 (porque apareció dos veces en la factorización)
-7, de multiplicidad 4 o simple (porque apareció cuatro veces en la factorización)
¿Cómo se factoriza un polinomio?
Existen varios métodos o casos de factoreo, unos más generales que otros, que combinados permiten
factorizarlos al máximo usando sus raíces
EEM N°2 DE 14 "Asociación Atlética Argentinos Juniors";
Matemática, Prof: Marcelo Stigliano
2
Algunos Casos de Factorización de Polinomios
Factor Común
Es la operación que deshace la propiedad distributiva. Se trata de encontrar el o los factores que están presentes en
TODOS los términos de un polinomio.
Numérico
Ej: 6 x 3 − 9 x 7 − 12 = 3(2x 3 − 3x 7 − 4)
Como el máximo común divisor entre los coeficientes del polinomio (6; -9 y -12) es 3, éste será nuestro
factor común numérico. Para obtener los términos dentro del paréntesis dividimos cada coeficiente por 3,
respetando la regla de los signos. La indeterminada x y su grado quedan igual.
Literal
Ej: 3x 8 − 4 x 2 + 11x 6 − x 5 = x 2 (3x 6 − 4 + 11x 4 − x 3 )
Como todos los términos tienen la misma indeterminada (la "x") ésta será nuestro factor común. Tomaremos
como su grado el menor de los que aparezca en el polinomio (en este caso: 2). Para obtener los términos
dentro del paréntesis mantenemos los coeficientes como estaban. Los grados de cada término los obtenemos
dividiendo cada indeterminada con su grado por nuestro factor común literal (en este caso: x2) siguiendo la
regla:
x a : x b = x a −b
Si la "x" es factor común entonces 0 es raíz del polinomio
Numérico y Literal
Ej: − 20 x 2 − 15 x 4 + 10 x 6 = 5x 2 (- 4 − 3x 2 + 2 x 4 )
Combinamos los dos primeros casos y listo! (coeficiente con coeficiente, letra con letra)
Normalización (el coeficiente principal como factor común forzoso)
Ej: 6 x 5 − 18 x 3 − 12 = 6(x 5 − 3x 3 − 2)
Ej: − 5 x 7 + 10 x 3 − 15 = - 5( x 7 - 2x 3 + 3)
Ej: 2 x 6 − x 3 − 3x 4 + 12 x 5 = 2( x 6 −
Ej: − 4 x 9 + 1 = - 4(x 9 −
1
)
4
1) Saquen el factor común numérico, cuando sea posible:
a) 2 x 4 + 2 =
b) 5 x 6 + 5 x 3 + 5 =
c) 6 x 7 + 6 x 3 + 6 x 2 + 6 =
d) 2x 4 − 2 =
e) 5 x 6 − 5 x 3 − 5 =
f) 6 x 7 − 6 x 3 + 6 x 2 − 6 =
g) 7 x 3 − 7 x − 7 x 2 + x 7 =
1 3 3 4
x − x + 6x 5 )
2
2
Es "forzoso" porque
nos obliga a usar
fracciones
h) 2 x 4 + 4 =
i) 10 x 6 + 5 x 5 + 20 =
j) 6 x 7 + 3x 3 + 9 x 2 + 21 =
k) 2 x 4 − 8 =
l) − 10 x 6 + 5 x 5 + 20 =
m) − 12 x 7 − 3x 5 + 9 x 3 − 27 =
n) 6 x 3 − 2 x 4 + 3x 2 − 2 =
2) Saquen el factor común literal, cuando sea posible:
a)
b)
c)
d)
x4 + x =
5x 6 + 8 x 4 + 7 x 7 =
x 4 + 2x 5 + x 9 + 5x =
x4 − x7 =
e) − 3x 6 + 5 x 5 − x 9 =
f) 10 x 10 + 2 x 7 − x 8 =
g) − x 10 − x 7 − x 8 =
h) − 2x 3 + 2x − 2 =
3) Saquen los factores comunes numérico y literal, cuando sea posible:
a)
b)
c)
d)
2x 4 + 2x 4 =
4 x 6 + 16 x 2 + 8 x 3 =
20 x 9 + 20 x + 30 x 2 + 10 x 7 =
3x 4 − 3x 9 =
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e) 4 x 6 − 16 x 2 − 8 x 3 =
f) 20 x 6 − 5 x 7 + 10 x − 10 x 8 =
g) 3x 4 − 6 x 3 + 2 =
h) − x 3 + 2 x 5 + x =
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3
4) Saquen los máximos factores comunes que sean posibles:
g) x 2 + 2 =
h) x 4 − x 5 + x 3 =
i) x 2 − 1 =
j) x 4 + 3x 2 - 7x + 5x 3 =
k) x 2 + 2x + 1 =
l) − 125 x 9 + 50 x 5 + 100 x 3 − 75 x =
a) 2 x 4 − 6 + 3x =
b) 8 x 9 − 4 x 3 − 8 =
c) − 6 x 9 − 12 x 3 − 18 x 6 + 6 x =
d) x 4 + 3 =
e) 7 x 5 − 7 x 4 + 7 x 3 − 7 x 7 + 7 =
f) − 8 x 7 + 16 x 3 + 48 x 4 − 10 =
Trinomio Cuadrado Perfecto
Es el desarrollo del cuadrado de un binomio del tipo:
Ej: x + 6 x + 9 =
2
(x ± a)2 = ( x + a)( x + a) = x 2
x2 es, obviamente, el cuadrado de x
9 es el cuadrado de 3
Se verifica que el doble de ambos da el tercer término
es decir: 2.x.3 = 6x
± 2xa + a2
luego: x 2 + 6 x + 9 = (x + 3)
2
Método:
1°) Dado un trinomio, buscamos reescribir dos de los tres términos como cuadrados de otras expresiones
(numéricas y/o literales)
2°) Verificamos que el doble del producto entre ambas expresiones sea igual al tercer término del
trinomio
2
3°) Expresamos el trinomio como el cuadrado del binomio hallado: x 2 ± 2 xa + a 2 = (x ± a)
Recuerden que si al verificar el tercer término la diferencia es sólo de signos, lo único que hay que hacer es cambiar
2
el signo del segundo término, es decir, x 2 − 6 x + 9 quedará expresado como (x − 3)
5) Expresen, cuando sea posible, los siguientes trinomios como cuadrados de un binomio:
a)
b)
c)
d)
e)
x 2 + 4x + 4 =
x 2 + 2x + 1 =
x 2 + 10 x + 25 =
x 2 + 8 x + 16 =
x2 − 4x + 4 =
f) x 2 − 2 x + 1 =
g) x 2 − 12 x + 36 =
h) x 2 + 4 x − 4 =
i) x 2 − 14 x + 49 =
j) x 2 + 9 x + 9 =
Diferencia de Cuadrados
Se aplica a binomios del tipo a2 - b2 que resultan de aplicar una doble distributiva a la expresión (a+b)(a-b)
Ej: x 2 − 4 = x 2 − 2 2 = ( x + 2)( x − 2)
(el segundo paso no es necesario escribirlo)
7) Factoricen los siguientes binomios, cuando sea posible, usando diferencia de cuadrados:
x2 −1 =
x2 − 9 =
x 2 − 16 =
x 2 − 64 =
1
e) x 2 − =
4
a)
b)
c)
d)
1
=
9
4
g) x 2 − =
9
3
h) x − 4 =
i) x 2 + 3 =
f) x 2 −
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j) x 2 −
4
=
25
l) x 2 − 36 =
m) x 2 − 25 =
n) x 2 − 1 =
25
49
=
9
p) 4 x 2 − 4 =
q) x 2 + 1 =
1
r) 4 x 2 −
=
16
o) x 2 −
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4
Gauss - Ruffini
Este método de factorización se aplica a cualquier polinomio que tenga TODOS sus coeficientes enteros
( a i ∈ z ) y su término independiente distinto de cero ( a 0 ≠ 0 ).
Importante:
Un polinomio tiene como máximo tantas raíces como su grado; por ejemplo, si es de grado 4
tendrá como máximo cuatro raíces, pudiendo tener tres, dos, una o ninguna raíz pero nunca cinco o más.
Nota:
Nosotros en el curso vamos a factorizar por Gauss-Ruffini solamente polinomios que tengan tantas raíces
racionales como su grado (aunque pueden "repetirse", es decir, que tengan multiplicidad mayor a 1)
Ejemplo 1:
P( x ) = 2 x 2 − 2 x − 4
Vemos que todos sus coeficientes son enteros (2; -2; -4) y que a0 ≠ 0
Entonces podemos aplicar Gauss que consiste en lo siguiente:
1) a0 = −4
2) an = 2
buscamos todos sus divisores
buscamos todos sus divisores
p = {± 1; ± 2; ± 4}
q = {± 1; ± 2}
p
1
(irreducibles y sin repetir) son: 
± 1; ± 2; ± 4; ±  que serán las posibles
q
2

raíces (Gauss) y no existen otras.
p
4) Reemplazamos la "x" por las posibles raíces . Empezamos con los números enteros más "chicos", primero
q
los positivos y después los negativos (los de cuentas más fáciles). Si encontramos dos que sean raíz (la
cuenta da cero) entonces la factorización se acabará:
3) Todas las combinaciones
P(1) = 2.12 − 2.1 − 4 ⇒ P(1) ≠ 0 ⇒ no sirve
P(2 ) = 2.2 2 − 2.2 − 4 ⇒ P(2 ) = 0 ⇒
x1 = 2
P( 4 ) = 2.4 − 2.4 − 4 ⇒ P( 4 ) ≠ 0 ⇒ no sirve
2
P( −1) = 2.(− 1) − 2.(− 1) − 4 ⇒ P( −1) = 0 ⇒
2
x 2 = −1
Como el polinomio es de grado 2 y encontramos dos raíces terminamos el ejercicio, y reescribimos:
an
X2
P( x ) = 2 x 2 − 2 x − 4 = 2(x - 2)(x + 1)
y ya está!
X1
Por suerte no hizo falta probar con las fracciones!! Ni tampoco usar Ruffini
Nota:
Si se toman el trabajo de hacer todas las distributivas verán que llegarán al polinomio original:
P( x ) = 2 x 2 − 2 x − 4
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Ejemplo 2:
P( x ) = x 3 − 3x 2 + 4 Vemos que todos sus coeficientes son enteros (1; -3 y 4) y a0 ≠ 0
Entonces podemos aplicar Gauss:
a0 = 4 siendo todos sus divisores p = {± 1; ± 2; ± 4}
2) an = 1 siendo todos sus divisores p = {± 1}
1)
{
}
p
(irreducibles y sin repetir) son: ± 1; ± 2; ± 4 (no hay fracciones!!)
q
4) Igual que antes probamos con todos; empezamos con los números enteros más "chicos", primero los
positivos y después los negativos.
3) Todas las combinaciones
P(1) = 13 − 3.12 + 4 ⇒ P(1) ≠ 0 ⇒ no sirve
P( 2) = 2 3 − 3.2 2 + 4 ⇒ P(2 ) = 0 ⇒ x 1 = 2
P( 4 ) = 4 3 − 3.4 2 + 4 ⇒ P(4 ) ≠ 0 ⇒ no sirve
P( −1) = (− 1) − 3.(− 1) + 4 ⇒ P(1) = 0 ⇒ x 2 = −1
3
2
P( −2) = (− 2 ) − 3.(− 2 ) + 4 ⇒ P( 2) ≠ 0 ⇒ no sirve
3
2
P( −4 ) = (− 4 ) − 3(− 4 ) + 4 ⇒ P(4 ) ≠ 0 ⇒ no sirve
3
2
Como el polinomio es de grado 3 y sólo encontramos 2 raíces (mala suerte…) debemos usar Ruffini para
encontrar la expresión factorizada del polinomio:
Empezamos usando las raíces halladas, en forma sucesiva:
X1
X2
1
-3
2
0
-2
4
-4
Coeficientes ordenados y
completos de P(x)
1
-1
-1
-2
2
0
Resto: si lo hicimos bien
SIEMPRE debe dar CERO
2
-1
1
-2
0
Coeficientes ordenados y completos del último polinomio cociente, es decir,
C(x): x-2 como es de grado 1 terminamos la factorización:
P( x ) = 1( x − 2)( x + 1)( x − 2) = ( x − 2) 2 ( x + 1)
Sus raíces son: 2, de multiplicidad 2 (porque apareció dos veces en la factorización)
-1, de multiplicidad 1 o simple (porque apareció una sola vez en la factorización)
Ejemplo 3:
P( x ) = 2x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 − 8x + 8 Vemos que todos sus coeficientes son enteros (2; 4; -6;-8; y 8) y a0 ≠ 0
Entonces podemos aplicar Gauss:
1)
a 0 = 8 siendo todos sus divisores p = {± 1; ± 2; ± 4; ± 8}
2)
an = 2
siendo todos sus divisores
3) Todas las combinaciones
p = {± 1; ± 2}
1

p
(irreducibles y sin repetir) son: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 
q
2

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4) Igual que antes probamos con todos; empezamos con los números enteros más "chicos", primero los positivos y
después los negativos.
P(1) = 2.14 + 4.13 − 6.12 − 8.1 + 8 ⇒ P(1) = 0 ⇒ x 1 = 1
P( 2) = 2.2 4 + 4.2 3 − 6.22 − 8.2 + 8 ⇒ P( 2) ≠ 0 ⇒ no sirve
P( 4 ) = 2.4 4 + 4.4 3 − 6.4 2 − 8.4 + 8 ⇒ P( 4 ) ≠ 0 ⇒ no sirve
P( 8) = 2.8 4 + 4.83 − 6.82 − 8.8 + 8 ⇒ P( 8) ≠ 0 ⇒ no sirve
P( −1) = 2.(−1) 4 + 4.(−1) 3 − 6.(-1)2 − 8.(−1) + 8 ⇒ P( −1) ≠ 0 ⇒ no sirve
P( −2) = 2.(−2) 4 + 4.(−2) 3 − 6.(-2)2 − 8.(−2) + 8 ⇒ P( −2) = 0 ⇒ x 2 = −2
P( −4 ) = 2.(−4) 4 + 4.(−4) 3 − 6.(-4) 2 − 8.(−4) + 8 ⇒ P( −4 ) ≠ 0 ⇒ no sirve
P( −8) = 2.(−8) 4 + 4.(−8) 3 − 6.(-8)2 − 8.(−8) + 8 ⇒ P( −1) ≠ 0 ⇒ no sirve
4
3
2
1 
1
1 
1 
= 2.  + 4.  − 6.  − 8.  + 8 ⇒ P 1  ≠ 0 ⇒ no sirve
 
2
2
2
2
2
P 1 
 
2
4
P
1
− 
 2
3
2
 1
 1
 1
 1
= 2. −  + 4. −  − 6. −  − 8. −  + 8 ⇒ P 1  ≠ 0 ⇒ no sirve
− 
 2
 2
 2
 2
 2
Como el polinomio es de grado 4 y sólo encontramos 2 raíces (otra vez mala suerte…) debemos usar Ruffini
para encontrar la expresión factorizada del polinomio:
Empezamos usando las raíces halladas (porque no existen otras), en forma sucesiva:
X1
X2
Volvemos a
probar con X1
2
4
2
2
6
-4
2
2
1
-2
1
-6
6
-8
0
8
-8
0
-4
-8
8
0
2
2
-4
4
0
4
0
Coeficientes ordenados y
completos de P(x)
Resto: si lo hicimos bien
SIEMPRE debe dar CERO
Resto: si lo hicimos bien
SIEMPRE debe dar CERO
Como el resto dio cero
significa que x1 es múltiple
Coeficientes ordenados y completos del último polinomio cociente, es decir,
C(x): 2x+4 como es de grado 1 nos queda:
P( x ) = ( x − 1)( x + 2)( x − 1)(2x + 4) = ( x − 1) 2 ( x + 2).2.( x + 2)
Las que
"funcionaron"
con Ruffini
Es decir,
Normalizando (factor común 2)
P( x ) = 2( x − 1) 2 ( x + 2) 2
Sus raíces son: 1, de multiplicidad 2 (porque apareció dos veces en la factorización)
-2, de multiplicidad 2 (porque apareció dos veces en la factorización)
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Resumen Gauss-Ruffini
Si se cumplen las condiciones (todos sus coeficientes son enteros y su término independiente es distinto de cero)
debemos seguir los siguientes pasos:
1.- Buscar todos los divisores (positivos y negativos) del término independiente ( a 0 ), llamados "p"
2.- Buscar todos los divisores (positivos y negativos) del coeficiente principal ( a n ), llamados "q"
3.- Armar todas las combinaciones
4.- Reemplazamos la "x" por los
p
posibles (irreducibles y sin repetir)
q
p
en el polinomio y nos quedamos con los que verifiquen P p  = 0 , es decir,
 
q
 q
con aquellos que son raíz del polinomio (x1; x2; etc.)
Si tenemos suerte, encontraremos rápidamente una cantidad de raíces igual al grado, con lo cual no es
necesario hacer más cuentas porque podemos poner:
P( x ) = a n ( x − x 1 ).(x − x 2 )( x − x 3 )...(x − x n ) y listo!
Si la cantidad de raíces halladas es menor al grado del polinomio debemos continuar…
5.- Dividimos a P(x) por ( x − x 1 ) usando la regla de Ruffini y hallamos el polinomio cociente,
6.- Repetimos el proceso con el resultado usando la siguiente raíz; seguimos hasta agotar todas las halladas
7.- Con el último resultado probamos otra vez con todas las raíces para ver cuáles son múltiples (puede que con
alguna no nos dé resto cero)
8.- Terminamos cuando llegamos a un polinomio de grado 1 (quedan sólo dos números en la fila)
9.- Finalmente reconstruimos el polinomio usando sus multiplicidades
P( x ) = an .( x − x 1 ) b ( x − x 2 ) c ( x − x 3 ) d
(vean que b+c+d = n)
8) Factoricen los siguientes polinomios usando, cuando sea posible, Gauss-Ruffini:
Raíces reales distintas
a) x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 =
e) x 3 + 6 x 2 + 5 x − 12 =
b) x 3 + 5 x 2 + 2 x − 8 =
1
f) x 3 + 4 x 2 + x + 2 =
2
c) x 3 − 2 x 2 + 5 x =
d) x 3 − 4 x 2 + x + 6 =
g) x 3 − 7 x − 6 =
h) x 3 − 21x − 20 =
Raíces reales simples, dobles y/o triples
i) x 4 + 5 x 3 + 9 x 2 + 7x + 2 =
l) x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4 =
j) x 3 − x 2 − x + 1 =
m) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 =
k) x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 + 4x - 8 =
n) x 3 − 3x 2 + 3x − 1 =
Casos Combinados
El objetivo de combinar los casos de factoreo es lograr que el polinomio quede factorizado de la manera más fácil y
rápida posible.
Nosotros sólo vimos algunos casos pero existen otros más; no obstante, para trabajar en el curso nos limitaremos a
los vistos.
La mejor estrategia para factorizar un polinomio es ir tratando de aplicar los distintos casos siguiendo el
mismo orden en el que los vimos, es decir:
1.
2.
3.
4.
5.
Factor Común
Trinomio Cuadrado Perfecto
Diferencia de Cuadrados
Gauss- Ruffini
Normalización (de ser necesario)
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Ejemplo 1:
P( x ) = x 5 + 2 x 4 + x 3 = x 3 . (x 2 + 2 x + 1) = x 3 (x + 1)
2
Trinomio
Cuadrado
Perfecto
Factor común x3
Factorización terminada. El polinomio tiene cinco raíces reales: 0 (multiplicidad 3) y -1 (multiplicidad 2)
Ejemplo 2:
P( x ) = 3x 3 + 6 x 2 − 3x − 6 = 3.( x 3 + 2 x 2 − x − 2) =
Factor común 3
Está en condiciones de Gauss
P( x ) = 3.(x − 1)(
. x + 2 )(
. x + 1)
Factorización terminada. El polinomio tiene tres raíces reales: 1, -2 y -1 (todas de multiplicidad 1 o simples)
Ejemplo 3:
Suma y resta de las bases
1 
1
1
1


P( x ) = 4 x 2 − 1 = (2 x + 1).(2 x − 1) = 2. x + .2. x −  = 4. x + . x − 
2 
2
2
2


Normalización:
El 2 como factor común
forzoso en ambos binomios
Diferencia de Cuadrados:
4x2 = (2x)2 y 1 = 12
Factorización terminada. El polinomio tiene dos raíces reales:
1
1
y − (de multiplicidad 1 o simples)
2
2
9) Factoricen los polinomios de la siguiente tabla por sus raíces según el o los casos que sean necesarios.
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Polinomio
2x + 4
x2 + 2x +1
x3 - 4x2 + x + 6
x3 - 7x - 6
x3 + 6x2 + 5x - 12
x3 + 6x2 + 11x + 6
x4 - 7x2 + 6x
x3 - 6x2 + 11x - 6
4x3 + 4x2
9x2 – 9
Raíces
N°
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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Polinomio
5
4
3
Raíces
2
X - 3x - 3x + 7x + 6x
2x4 - 8x2
x3 - 6x2 + 12x - 8
x3 - 4x2 + 5x - 2
x4 - 2x2 + 1
x4 – 2x3 + 2x - 1
x7 - x6
2x4 + 10x3 + 4x2 – 16x
6x2 – 9x + 3
9x2 - 1
Matemática, Prof: Marcelo Stigliano