CAMPO DE UN ANILLO CON CARGA UNIFORME y dsdQ r a dEx α x P dEy dE Un conductor de forma anular y cuyo radio es a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en toda su circunferencia. Encuentre el campo eléctrico en un punto P situado sobre el eje del anillo a una distancia x de su centro. Imaginamos el anillo dividido en segmentos infinitesimales de longitud ds y carga dQ. Cada segmento actúa como una carga puntual. El campo dE debido a dQ es: dQ 1 dQ dE = = 2 4πε 0 r 4πε 0 x 2 + a 2 r = x2 + a2 1 Un segmento en la parte inferior del anillo crea un capo eléctrico dE con componente dEy igual y opuesta, así que sólo contribuyen las componentes en x sin(α ) = y = r x cos(α ) = = r a x2 + a2 x x2 + a2 1 dQ dE x = dE cos(α ) = 4πε 0 x 2 + a 2 x 1 xdQ = 2 2 3/ 2 2 2 4 πε ( x + a ) x +a 0 Para hallar la componente x total Ex del campo en P, se integra esta expresión con respecto a todos los segmentos. x no varía al pasar de un punto a otro del anillo, todos los factores, salvo dQ, son constantes y se pueden sacar de la integral: xdQ x 1 1 xQ Ex = ∫ dQ = = 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 ∫ 4πε 0 ( x + a ) 4πε 0 ( x + a ) 4πε 0 ( x 2 + a 2 ) 3 / 2 1 Cuando el punto P está muy alejado del anillo en comparación con el tamaño de éste (x >> a) el denominador se hace aproximadamente igual a x3 y el campo eléctrico se reduce al campo de una carga puntual: 1 Q E= 4πε 0 x 2 CAMPO DE UN DISCO CON CARGA UNIFORME R Halle el campo eléctrico que produce un disco de radio R con una densidad superficial de carga σ positiva en un punto P a lo largo del eje del disco situado a una distancia x respecto a su centro. Q dQ P r+dr r x Podemos representar la distribución de carga como un conjunto de anillos concéntricos de carga dQ. Un anillo representativo tiene carga dQ, un radio interno r y un radio externo r+dr. Su área dA es: dA = 2πrdr La carga del anillo es: dQ = σdA = σ 2πrdr = 2πσrdr r E= xQ iˆ 2 2 3/ 2 4πε 0 ( x + a ) 1 Usemos la expresión del campo eléctrico debido a un anillo, con dQ en vez de Q, y sustituyamos también el radio a por r. R Q dQ = σdA = σ 2πrdr = 2πσrdr dQ P r+dr x r dE x = dEx 1 2πσrdr xdQ = x 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 4πε 0 ( x + r ) 4πε 0 ( x + r ) 1 Para hallar el campo total debido a todos los anillos, se integra dEx con respecto a r de r=0 a r = R: R Ex = ∫ 0 (2πσrdr ) x σx rdr σx = = 4πε 0 ( x 2 + r 2 ) 3 / 2 2ε 0 ∫0 ( x 2 + r 2 ) 3 / 2 2ε 0 1 1 σ σx − 1 + = = 2 2 x 2ε 0 2ε 0 x + R R 1 1 − 2 2 ( R / x ) + 1 R −1 x +r 2 = 2 0 Si el disco se hace muy grande (infinito), R -> ∞, la distribución se vuelve en una lámina infinita con carga uniforme. Si R >> x, la expresión se reduce a: E= σ 2ε 0 No depende de la distancia x ! El campo producido por una lámina infinita es independiente de la distancia respecto a la lámina, su dirección es en todas partes perpendicular a la lámina. El sentido depende del signo de la carga. -σ +σ E E CAMPO ELECTRICO ENTRE DOS LAMINAS 1 E2 2 + + + + E + + 2 + + + + E1 + + + + +σ1 E1 - - A la izquierda de la lámina 1 el campo neto es: E2 r r r r r σ 2 σ1 ˆ ˆ iˆ E = E2 + E1 = E2 i + E1 (−i ) = − 2ε 0 2ε 0 En la región entre las dos láminas el campo neto es: E1 -σ2 r r r r r σ 2 σ1 ˆ ˆ iˆ E = E2 + E1 = E2 i + E1 i = + 2ε 0 2ε 0 A la derecha de la lámina 2 el campo neto es: x r r r r r σ1 σ 2 ˆ ˆ iˆ E = E2 + E1 = E2 (−i ) + E1 i = − ε ε 2 2 0 0 Si las densidades de carga superficial σ1 y σ2 son iguales y opuestas, el campo en la región a la izquierda de la lámina 1 y a la derecha de la lámina 2 es cero. En la región entre las dos láminas es: r σ σ ˆ σ ˆ i = i + E = 2ε 0 2ε 0 ε 0 21.99 Tres láminas aislantes grandes paralelas tienen densidades superficiales de carga +0.02 C/m2, +0.01 C/m2 y -0.02 C/m2. Las láminas adyacentes están a una distancia de 0.3 m una de la otra. Calcule el campo eléctrico neto (magnitud y dirección) debido a las tres láminas en los puntos P, R, S, T. +σ1 +σ2 -σ3 σ1=+0.02 C/m2 - + + + + σ2=+0.01 C/m2 - + + + + 2 σ =-0.02 C/m 3 P R + + S - - T + + 0.15 m 0.15 m 0.15 m 0.15 m + + + + - - + + + + - - 0.3 m 0.3 m ε0=8.854 10-12 C2/Nm2 +σ1 +σ2 -σ3 E2 + + E2 + + E2 - - + + + + - - + + E3 + + E3 - - E3 + + E1 - - E1 + + - - E3 E1 + + E1 + + P R S E2 ε0=8.854 10-12 C2/Nm2 T x r σ1 σ σ − 0.02 0.01 0.02 iˆ = −5.65 108 iˆ − + P) E = (−iˆ) + 2 (−iˆ) + 3 iˆ = C 2ε 0 2ε 0 C 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 r σ1 σ 2 σ 0.02 0.01 0.02 iˆ = 1.69 109 iˆ − + R) E = iˆ + (−iˆ) + 3 iˆ = C 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 C 2ε 0 2ε 0 r σ 1 σ 2 σ 3 0.02 0.01 0.02 iˆ = 2.82 109 iˆ + + S ) E = iˆ + iˆ + iˆ = C 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 C r σ1 σ 2 σ 3 0.02 0.01 0.02 iˆ = 5.65 108 iˆ + − T ) E = iˆ + iˆ + (−iˆ) = C 2ε 0 2ε 0 2ε 0 C 2ε 0 2ε 0 2ε 0 Un dipolo eléctrico está en un campo eléctrico uniforme de magnitud E=5 105 N/C. Las dos cargas son de ±5 nC y la distancia entre ellas es de 0.03 m. a) Calcule la magnitud del momento dipolar eléctrico p. b) Si inicialmente p es paralelo al campo eléctrico (φ=0) y se mueve así que φ=45o, calcule el cambio de energía potencial y el momento de torsión de la fuerza eléctrica en las dos posiciones. −9 −9 a) p = qd = (5 10 C )(0.03 m) = 0.15 10 Cm p 1 Posición inicial + U1 = − pE cos(0) = − pE = −(0.15 10 −9 Cm)(5 105 / C ) = −0.75 10 −4 J r r τ 1 = p × E = pE sin(0) = 0 E + φ p E 2 Posición final U 2 = − pE cos(45) = −(0.15 10 −9 Cm)(5 105 / C ) cos(45) = −0.53 10 −4 J r r τ 2 = p × E = pE sin(45) = (0.15 10 −9 Cm)(5 105 / C ) sin( 45) = 0.53 10 −4 m ∆U = U 2 − U1 = (−0.53 + 0.75)10 −4 J = 0.22 10 −4 J 21.46 Una carga puntual q1=-4 nC está en el punto x=0.6 m, y = 0.8 m y una segunda carga puntual q2=+6 nC está en el punto x=0.6 m, y=0. Calcule la magnitud y dirección del campo eléctrico neto debido a estas dos cargas puntuales en el origen. r1 = (0.6) 2 + (0.8) 2 = 1 m r1 E1 cos(α ) = 0.6 α q2=6 nC E2 r E2 = q1=-4 nC sin(α ) = 0.8 r2 2 −9 m 6 10 C ˆ ˆ ˆ) = (8.9 109 ( − i ) ( − i ) = − 150 i 2 2 2 4πε 0 r2 C (0.6 m) C 1 q2 q1=-4 nC r1 E1 α E2 q2=6 nC r2 2 −9 m C 4 10 ˆ = 8.9 109 ˆ = 21.6 iˆ α i i cos( ) 0 . 6 C 2 1 C 4πε 0 r12 2 −9 r r q1 1 4 10 m C 9 ˆj = 8.9 10 ˆj = 28.8 ˆj sin( ) 0 . 8 E1 y = E1 sin(α ) ˆj = α 2 4πε 0 r12 C C 1 r ˆ r ˆ E x = (21.6 − 150) i = −128.8 i E y = 28.8 ˆj C C C r Ey tan(α ) = α = 12.6o E = (−128.8) 2 + (28.8) 2 = 131.6 C Ex r r E1x = E1 cos(α )iˆ = 1 q1 DENSIDADES NO UNIFORMES: Una esfera de radio R = 0.8 m está cargada con una densidad de carga volumétrica no uniforme: 0 < r < R k = 10-8 C/m4 ρ (r ) = kr Calcule la carga total Qtot de la esfera. dq = ρ (r ) ⇒ Qtot = ∫ ρ (r )dV dV R R 4 3 V = ∫ dV = ∫ 4πr dr = πR 3 0 dV = 4πr dr 2 2 R R 0 0 Qtot = ∫ ρ (r )dV = ∫ ρ (r )(4πr 2 dr ) = ∫ (kr )(4πr 2 )dr = R 4 R r 4πk ∫ r 3 dr =4πk 4 0 0 R4 = 4πk = π (10 −8 C / m 4 )(0.8 m) 4 = 1.28 10 −8 C 4 Calcule la carga total de la esfera en el caso de una densidad de carga no uniforme: kr 0 < r < R / 2 ρ (r ) = k / r R / 2 < r < R R R/2 0 0 Qtot = ∫ ρ (r )dV = ∫ ρ (r )(4πr 2 dr ) = R R/2 4πk ∫ 2 kr r ( )( 4 )dr + π ∫ 4 R/2 r r dr + 4πk ∫ rdr = 4πk 4 R/2 3 0 2 r + 4πk 2 0 R 4 + 24 R 2 R2 R2 R4 = πk 4πk + 4πk − 64 8 16 2 R k 2 r ( 4 )dr = π ∫R / 2 r R = R/2