Tema IV 1 Teoria - OCW Universidad de Cantabria

Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Capitulo IV
IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos.
Generación de funciones
1
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Capí
Capítulo IV
Síntesis dimensional de mecanismos
IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generació
Generación de
funciones.
1. Introducció
Introducción a la sí
síntesis dimensional.
2. Síntesis de generació
generación de funciones.
3. Ecuació
Ecuación de Freudenstein.
Freudenstein.
4. Síntesis con tres puntos de precisió
precisión.
5. Aumento del nú
número de puntos de precisió
precisión.
6. Derivadas de precisió
precisión.
7. Generalizació
Generalización de la ecuació
ecuación de Freudenstein.
Freudenstein.
IV.2 Generació
Generación de trayectorias.
IV.3 Guiado de só
sólido rí
rígido.
2
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Capí
Capítulo IV: Tema 1
Síntesis dimensional de
mecanismos. Generació
Generación de
funciones.
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Introducció
Introducción a la sí
síntesis dimensional.
Síntesis de generació
generación de funciones.
Ecuació
Ecuación de Freudenstein.
Freudenstein.
Síntesis con tres puntos de precisió
precisión.
Aumento del nú
número de puntos de precisió
precisión.
Derivadas de precisió
precisión.
Generalizació
Generalización de la ecuació
ecuación de Freudenstein.
Freudenstein.
3
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Capí
Capítulo IV: Tema 1
Síntesis dimensional de
mecanismos. Generació
Generación de
funciones.
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
1. Introducció
Introducción a la sí
síntesis dimensional.
4
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Introducció
Introducción a la sí
síntesis dimensional
Síntesis cinemá
cinemática: Es el proceso de encontrar la mejor
geometría y dimensiones del mecanismo que producirá el
movimiento deseado.
Aná
Análisis cinemá
cinemático
Datos: geometría y
dimensiones del mecanismo
y posición de los elementos
de entrada
Resultado: Posición inicial,
desplazamientos finitos,
velocidades y aceleraciones.
vs.
vs
Síntesis cinemá
cinemática
Datos: Posición inicial,
desplazamientos finitos,
velocidades y aceleraciones.
Resultados: geometría y
dimensiones del mecanismo
y posición de los elementos
de entrada
5
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Introducció
Introducción a la sí
síntesis dimensional
Síntesis de tipo o Reuleaux:
Reuleaux: Consiste en encontrar el tipo y
número de elementos y pares cinemáticos para formar un
mecanismo que cumpla con las condiciones de movimiento
impuestas.
Síntesis dimensional: Para un mecanismo estructuralmente
definido (elementos y pares cinemáticos), consiste en
encontrar las dimensiones de los elementos que
proporcionen las características de movimiento que
cumplan con la condiciones impuestas.
6
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Introducció
Introducción a la sí
síntesis dimensional
Dentro de la síntesis dimensional de mecanismos existen tres tipos de
problemas que dan lugar a dos clases de síntesis:
•S
Síntesis de generació
generación de funciones.
•S
Síntesis de generació
generación de trayectorias.
•S
Síntesis de guiado de só
sólido rí
rígido.
En este primer tema se estudiará la síntesis de generación de funciones, para
posteriormente estudiar la generación de trayectorias.
7
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Introducció
Introducción a la sí
síntesis dimensional
•S
Síntesis de generació
generación de funciones: se denomina así a la parte de la
síntesis de mecanismos que estudia encontrar las dimensiones de un
mecanismo que genere una coordinación deseada de las posiciones de
las barras de entrada y de salida.
ψ
f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0
c
b
ψ
a
ϕ
ϕ
ψ
f(ϕ,ψ,a1,b1,c1) = 0
f(ϕ,ψ,a2,b2,c2) = 0
f(ϕ,ψ,a3,b3,c3) = 0
ϕ
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Introducció
Introducción a la sí
síntesis dimensional
•S
Síntesis de generació
generación de trayectorias: Se denomina así a la parte de la
síntesis de mecanismos que estudia encontrar las dimensiones de un
mecanismo en el que uno de sus genere una trayectoria deseada.
P(x,y)
Trayectoria deseada
e
d
c
Trayectoria generada
a
b
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Introducció
Introducción a la sí
síntesis dimensional
•S
Síntesis de guiado de só
sólido rí
rígido: Se denomina así a la parte de la
síntesis de mecanismos que estudia situar un elemento de un mecanismo en
diversas posicione especificadas.
y
x
10
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Capí
Capítulo IV: Tema 1
Síntesis dimensional de
mecanismos. Generació
Generación de
funciones.
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2. Síntesis de generació
generación de funciones.
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Síntesis de generació
generación de funciones
ψ
ψ1
c
b
ψ0
ψ
a
f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0
ϕ
ϕ
ϕ0
ϕ
ψ
ϕ1
ψ1
ϕ2
ψ2
ϕ3
ψ3
ϕ4
ψ4
…
…
ϕ1
ψ
f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0
ψ5
ψ4
ψ2 ψ3
ψ1
ϕ
ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5
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Síntesis de generació
generación de funciones
ψd
ψ
ψ1
ψg
f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0
ψd
ψ
f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0
ψ5
ψ4
ψ3
ψ0
ψ1
ψg
ψ2
ϕ
ϕ
ϕ0
ϕ1
Ψd: función deseada
Ψg: función generada
ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4
ϕ
ψ
ϕ1
ψ1
ϕ2
ψ2
ϕ3
ψ3
ϕ4
ψ4
ϕ5
ψ5
ϕ5
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Síntesis de generació
generación de funciones
Funció
Función de Error Estructural
E = ψd - ψg
Error Estructural máximo
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ5
ϕ
En mecanismos con 2 gdl esta función será una superficie y con más de 2 gdl
una hipersuperficie.
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Capí
Capítulo IV: Tema 1
Síntesis dimensional de
mecanismos. Generació
Generación de
funciones.
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3. Ecuació
Ecuación de Freudenstein.
Freudenstein.
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Ecuació
Ecuación de Freudenstein
La ecuación de Freudenstein ofrece la relación entre los ángulos de los
elementos en un cuadrilátero articulado. Para obtener esta expresión
empezamos escribiendo la ecuación de cierre del mecanismo considerando
como sistema de referencia el indicado en la figura de la siguiente forma,
ae iθ 2 + ce iθ 3 = d + be iθ 4
a cos θ 2 + c cos θ 3 = d + b cos θ 4 

asenθ 2 + csenθ 3 = bsenθ 4 
B
Im
c cos θ 3 = d + b cos θ 4 − a cos θ 2 

csenθ 3 = bsenθ 4 − asenθ 2 
Re
c
C
θ3
b
a
c 2 = d 2 + a 2 + b 2 + 2bd cos θ 4 − 2ad cosθ 2 − 2ab cos(θ 4 − θ 2 )
K1 =
d
d
a 2 − b2 + c2 + d 2
; K 2 = ; K3 =
a
c
2ac
θ4
A
θ2
d
D
K1 cos θ 4 − K 2 cos θ 2 + K 3 = cos(θ 2 − θ 4 )
Expresión que se conoce con el nombre de “Ecuación de Freudenstein” y
que resulta muy útil en síntesis de mecanismos.
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Ecuació
Ecuación de Freudenstein
Esta ecuación presenta una serie de características que deben ser tenidas en cuenta.
Estas son las siguientes:
• Si la ecuación se verifica para las coordenadas θ2 y θ4 y unos valores cualesquiera
de las constantes K también se verifica para su imagen espejo respecto de la barra
fija correspondiente a sustituir las coordenadas (θ2-2π) y (θ4-2π).
θ4
θ2
θ2
θ4
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Ecuació
Ecuación de Freudenstein
• Para un determinado valor de las constantes K y de θ2, existen dos valores de θ4 que
cumplen con la ecuación de Freudenstein. Estos valores se corresponden con las
configuraciones abierta y cerrada del cuadrilátero articulado.
Solución abierta (ABCDA)
C
c
B
Im
Re
θ3
b
a
c'
A
θ4
θ2
D
d
C’
b’
Solución cruzada (ABC’DA)
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Ecuació
Ecuación de Freudenstein
• Si para un determinado valor de los ángulos θ2 y θ4 los valores resultantes de K
son negativos debe de modificarse la ecuación ya que dichos valores negativos
carecen de sentido físico (son módulos). Esta modificación puede consistir en
sumar π radianes a los ángulos. Como están afectados por la función coseno,
cambiará su signo pero no su valor absoluto.
(− K1 ) cosθ 4 − (− K 2 ) cosθ 2 + K 3 = cos(θ 2 − θ 4 )
−K1 cosθ 4 + K 2 cosθ 2 + K 3 = cos(θ 2 − θ 4 )
K1 cos(θ 4 + π ) − K 2 cos(θ 2 + π ) + K 3 = cos(θ 2 + π − θ 4 − π )
K1 cos θ ' 4 −K 2 cos θ '2 + K 3 = cos(θ ' 2 −θ '4 )
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Ecuació
Ecuación de Freudenstein
La ecuación de Freudenstein obtenida ofrece la coordinación existente entre
los ángulos θ2 y θ4 del mecanismo. Se puede obtener una relación similar entre
los ángulos θ2 y θ3 ó θ3 y θ4. Las ecuaciones en este caso son las siguientes:
P1 cos θ 2 + P2 cos θ 3 − P3 = cos(θ 2 − θ 3 )
d
d
a 2 + c2 + d 2 − b2
P1 = ; P2 = ; P3 =
c
a
2ac
R1 cos θ 4 − R2 cos θ 3 + R3 = cos(θ 4 − θ 3 )
R1 =
d
d
d 2 + b2 + c2 − a 2
; R2 = ; R3 =
c
b
2cb
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Ecuació
Ecuación de Freudenstein
La ecuación de Freudenstein se puede obtener para otros mecanismos distintos al
cuadrilátero articulado como por ejemplo el mecanismo biela-manivela. Así, la ecuación
de cierre generada por este mecanismo puede expresarse como sigue,
ae iθ 2 + be iθ 3 = d + ce iθ 4
θ3
a cos θ 2 + b cos θ 3 = s 

asenθ 2 + bsenθ 3 = c 
b cos θ 3 = s − a cos θ 2 

bsenθ 3 = c − asenθ 2 
Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y
sumándolas posteriormente, se obtiene,
A
O
b
rs
a
B
c
θ4
θ2
s
b 2 − a 2 − c 2 + 2as cos θ 2 + 2acsenθ 2 = s 2
Agrupando los términos constantes se obtiene,
K1s cos θ 2 + K 2 senθ 2 − K 3 = s 2
K1 = 2a; K 2 = 2ac; K 3 = a 2 + c 2 − b 2 ;
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Capí
Capítulo IV: Tema 1
Síntesis dimensional de
mecanismos. Generació
Generación de
funciones.
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Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
4. Síntesis con tres puntos de precisió
precisión.
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Síntesis de generació
generación de funciones con 3
puntos de precisió
precisión
Procedimiento:
Definició
Definición del problema: obtener las longitudes de los elementos a, b, c y
d de un cuadrilátero articulado para tres posiciones dadas:
ϕ
ϕ1 ϕ2 ϕ3
ψ
ψ1 ψ2 ψ3
Solució
Solución: Sustituyendo en la ecuación de Freudenstein los 6 valores
conocidos se plantea el siguientes sistema de ecuaciones:
K1 cosψ 1 − K 2 cosφ1 + K 3 = cos(φ1 − ψ 2 ) 

K1 cosψ 2 − K 2 cosφ2 + K 3 = cos(φ2 − ψ 2 )
K1 cosψ 3 − K 2 cosφ3 + K 3 = cos(φ3 − ψ 3 ) 
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Síntesis de generació
generación de funciones
con 3 puntos de precisió
precisión
 cosψ 1
cosψ
2

cosψ 3
− cos φ1 1  K1   cos(φ1 − ψ 1 ) 

  
− cos φ2 1 K 2  = cos(φ2 − ψ 2 )
− cos φ3 1 K 3  cos(φ3 − ψ 3 ) 
[S]{K i } = {cos(φi −ψ i }
{K i } = [S]−1{cos(φi − ψ i }
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Síntesis de generació
generación de funciones
con 3 puntos de precisió
precisión






2
2
2
2
a −b +c +d
K3 =

2ac

d
a
d
K2 =
c
K1 =
Sistema con tres
ecuaciones y cuatro
incógnitas
Para resolver este último sistema es necesario dar un valor arbitrario a una de las
dimensiones. Esto significa que el problema puede tener infinitas soluciones.
Evidentemente, el tamaño del mecanismo dependerá del valor arbitrario dado a
uno de los elementos.
Se pueden especificar como máximo 3 puntos de precisión. Si se desea 2 puntos
de precisión se fija uno arbitrariamente.
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Síntesis de generació
generación de funciones
con 3 puntos de precisió
precisión
x3
φ=
x
= Kφ x
a+e
y
ψ=
= Kψ y
b+f
1
a +e
1
Kψ =
b+f
e
Kφ =
a
∆y = R∆ψ
∆φ
Kφ =
∆x
∆φ =
∆ψ =
∆x
a+e
∆y
b+f
∆ψ
Kψ =
∆y
= Kφ ∆x
= Kψ ∆y
xf
y3
x1
c
f
y2
y1
b
ϕ
K1 cos(Kψ y − K 2 cos Kφ x + K 3 = cos(Kφ x − Kψ y)
∆x = R∆φ
x2
ψ
d
xi
e
yf
yi
Δψ
c
a
ϕf
f
Δϕ
Δψ
b
ϕi
ψf
ψi
d
Factores de escala
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Síntesis de generació
generación de funciones
con 3 puntos de precisió
precisión
Procedimiento:
Definició
Definición del problema: obtener las longitudes de los elementos a, b, c y
d de un cuadrilátero articulado para cumplir con la función:
y = fd(x)
Solució
Solución:
1. Se establecen 3 puntos de precisión:
x
x1 x2
y
y1
x3
y2 y3
2. Se establecen los valores de los factores de escala. Esto puede
hacerse de dos formas:
• Fijando arbitrariamente las longitudes de las barras.
• En función del rango de movimiento.
∆ψ
1
∆φ
1
Kψ =
=
Kφ =
=
∆y b + f
∆x a + e
27
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Síntesis de generació
generación de funciones
con 3 puntos de precisió
precisión
3. Se plantean las ecuaciones (sistema de 3 incógnitas con 3 ecuaciones)
y se resuelve:
K1 cos(Kψ y1 ) − K 2 cos(Kφ x1 ) + K 3 = cos(Kφ x1 − Kψ y1 ) 

K1 cos(Kψ y 2 ) − K 2 cos(Kφ x 2 ) + K 3 = cos(Kφ x 2 − Kψ y 2 )

K1 cos(Kψ y 3 ) − K 2 cos(Kφ x 3 ) + K 3 = cos(K φ x 3 − Kψ y 3 ) 
4. Se obtienen las dimensiones: a, b, c y d, exactamente igual que en el
procedimiento anterior.
5. Finalmente se obtienen los valores de e y f.
e=
1
−a
Kφ
f=
1
−b
Kψ
28
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Capí
Capítulo IV: Tema 1
Síntesis dimensional de
mecanismos. Generació
Generación de
funciones.
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
5. Aumento del nú
número de puntos de precisió
precisión.
29
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Aumento del nú
número de puntos de precisió
precisión
El número de puntos de precisión puede aumentarse incluyendo más
incógnitas en las ecuaciones planteadas. Sin embargo, el aumento del número
de incógnitas aumenta también la dificultad del sistema de ecuaciones,
conduciendo a sistemas fuertemente no lineales, difíciles de resolver incluso
con la ayuda de un ordenador.
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo puede aumentarse el
número de incógnitas (puntos de precisión), aunque los ejemplos presentados
aquí no son los únicos procedimientos.
30
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Aumento del nú
número de puntos de precisió
precisión
x3
x4
x2
4 puntos de precisió
precisión
x1
Se eliminan las barras e y f.
2
2
2
y4
c
a
y2
y1
b
ϕ
2
y3
ψ
d
y d
x
a −b +c +d
x y
cos( ) − cos( ) +
= cos( − )
a
b b
a
2ac
a b
d
Incógnitas: a, b, c y d.
5 puntos de precisió
precisión
K1 cos(ψ + ψ 0 ) − K 2 cos(φ + φ0 ) + K 3 =
cos(ψ + ψ 0 − φ − φ0 )
Incógnitas: K1, K2, K3, ϕ0, ψ0.
e
a
c
f
b
ψ
ϕ
ϕ0
Ψ0
0
31
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Aumento del nú
número de puntos de precisió
precisión
6 puntos de precisió
precisión
Se eliminan las barras e y f.
d
y y0
d
x x0
a 2 − b2 + c2 + d 2
x x
y y
cos( + ) − cos( + ) +
= cos( − 0 − − 0 )
a
b b
b
a
a
2ac
a a b b
Incógnitas: a, b, c, d, x0 y y0.
32
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Capí
Capítulo IV: Tema 1
Síntesis dimensional de
mecanismos. Generació
Generación de
funciones.
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6. Derivadas de precisió
precisión.
33
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Derivadas de precisió
precisión
Si se desea obtener mayor precisión en
el problema de síntesis de generación
de funciones se puede añadir como
condición el tener en uno o varios
puntos derivadas de precisión. A este
criterio se le denomina síntesis de
derivadas de precisión.
Cada imposición de derivada de
precisión supone el planteamiento de
una nueva ecuación. Como el número
de parámetros de diseño (longitudes de
las barras) permanece inalterado se
debe reducir el número de puntos de
precisión por cada una de las derivadas
que se añadan al problema.
ψ
f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0
ψ3
ψ2
ψ1
ϕ
ϕ1
ϕ2
ϕ3
E = ψd - ψg
ϕ
ϕ1
ϕ2
ϕ3
34
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Derivadas de precisió
precisión
ψ = ψ (φ )
K1 cosψ − K 2 cos φ + K 3 = cos(ψ − φ )
K1
Puntos de precisión
 dψ

dψ
sen ψ − K 2 sen φ = 
− 1sen (ψ − φ )
dφ
 dφ

 dψ
d 2ψ
K1 2 senψ + K1 
dφ
 dφ
2
Derivadas 1ª de precisión
2

 dψ

d 2ψ
 cosψ − K 2 cos φ =

 cos(ψ − φ )
ψ
φ
sen
(
−
)
+
−
1
 dφ
2
φ
d



Reordenando
 d 2ψ
 dψ
K1  2 senψ + 
 dφ
 dφ
2
2


 dψ

d 2ψ
 cosψ  − K 2 cos φ =
sen (ψ − φ ) + 
− 1 cos(ψ − φ )
dφ 2


 dφ

Derivadas 2ª de precisión
35
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Derivadas de precisió
precisión
Las derivadas presentes en la formulación se pueden relacionar fácilmente
con las magnitudes cinemáticas que intervienen en el problema. A
continuación se expresan estas magnitudes en un mecanismo cuadrilátero
articulado.
ω1 =
ω2 =
dφ
dt
dψ
dt
d 2φ
α1 = 2
dt
2
α2 =
dψ
dt 2
dψ
dψ dψ dt
ω
=
= dt = 2 = A
dφ
ω1
dφ
dt dφ
dt
ω2
ω1
α1
α2
 ω2 


d
ω
d 2ψ dA dA dt
1
 1  = α 2ω1 − ω2α1 = α 2 − Aα1 = B
=
=
=
dA
=
dt dφ
ω1
ω1
dφ 2 dφ
ω13
ω12
36
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Derivadas de precisió
precisión
Procedimiento:
Se desean obtener:
• n puntos de precisión.
• m puntos de derivadas 1ª de precisión.
• p puntos de derivadas 2ª de precisión.
• etc.
1. Se plantean:
n ecuaciones: K1 cosψ − K 2 cos φ + K 3 = cos(ψ − φ )
m ecuaciones:
p ecuaciones:
 dψ

dψ
senψ − K 2senφ = 
− 1sen (ψ − φ )
dφ
 dφ

2
2
 d 2ψ

 dψ 
 dψ

d 2ψ
 cosψ  − K 2 cos φ =
K1  2 senψ + 
sen (ψ − φ ) + 
− 1 cos(ψ − φ )
dφ 2
 dφ

 dφ 
 dφ

K1
…
37
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria
Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Derivadas de precisió
precisión
2. Se resuelve el sistema de ecuaciones teniendo en cuenta que el
número de incógnitas (parámetros de diseño) debe ser igual al número de
ecuaciones planteadas en el sistema anterior. Esto es: n + m + p +…
Ejemplo: 2 puntos de precisión y 1 derivada 1ª de precisión en el punto 1:
ψ
K1 cosψ 1 − K 2 cos φ1 + K 3 = cos(φ1 −ψ 2 )
K1 cosψ 2 − K 2 cos φ 2 + K 3 = cos(φ 2 −ψ 2 )
K1
dψ
dφ
 dψ
senψ 1 − K 2senφ1 = 
 dφ
φ1

φ1

− 1sen (ψ 1 − φ1 )


ψ2
ψg
ψ1
ψd
ϕ
ϕ1
ϕ2
38
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Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Capí
Capítulo IV: Tema 1
Síntesis dimensional de
mecanismos. Generació
Generación de
funciones.
7. Generalizació
Generalización de la ecuació
ecuación de Freudenstein.
Freudenstein.
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Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Generalizació
Generalización de la ecuació
ecuación de
Freudenstein
Generalizació
Generalización de la ecuació
ecuación de Freudenstein
La ecuación de Freudenstein no puede considerarse exclusiva de un determinado
tipo de mecanismo, si no que puede aplicarse a cualquier tipo de mecanismo que
cumpla una serie de requisitos. En general, si en un mecanismo cualquiera la
relación entre la entrada y la salida puede expresarse linealmente en función de n
parámetros de diseño, Ki (i=1,2,…,n), se puede plantear la siguiente expresión,
K1 f1 (θ a , θ b ) + K 2 f 2 (θ a , θ b ) + ... + K n f n (θ a , θ b ) = G1 (θ a , θ b )
Siendo aplicables, pues, todos los conceptos relativos a la ecuación de
Freudenstein vistos anteriormente y desarrollados en los apartados siguientes.
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