REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA UNEFA NUCLEO ZULIA SEDE EL MILAGRO MARACAIBO, ESTADO ZULIA TEORIA DE DECISIONES REALIZADO POR: Bermúdez R. Yorman E. C.I.: 20277172 Ojeda R. Henrry J. C.I.: 19342991 Soto G. Luis Manuel C.I.: 19550568 Trejo C. Moammar C.I.: 18494214 SECCIÓN: 09 ISI D71 PROFESORA: Ing. Sonia Velázquez MARACAIBO, AGOSTO 2012 AUTORES: Bermúdez R. Yorman E. C.I.: 20277172 Ojeda R. Henrry J. C.I.: 19342991 Soto G. Luis Manuel C.I.: 19550568 Trejo C. Moammar C.I.: 18494214 SECCIÓN: 09 ISI D71 PROFESORA: Ing. Sonia Velázquez MARACAIBO, AGOSTO 2012 INTRODUCCION Mediante la siguiente recopilación de información se planteara el famoso criterio de Laplace, la teoría de juegos (Suma Cero) y el método de Minimax. El criterio de Laplace; antes de explicar el criterio ¿Quién fue Laplace? Pierre-Simon Laplace Nace en la ciudad Beaumont-en-Auge (Normandía) el 28 de marzo de 1749 y muere el 5 de marzo de 1827. Fue un astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló la transformada de Laplace, El criterio de Laplace y la ecuación de Laplace. En 1812, con la Teoría Analítica de las Probabilidades, expone los principios y las aplicaciones de lo que él llama geometría del azar. Laplace expresa de forma sencilla el significado del cálculo de probabilidades: En el fondo, la teoría de probabilidades es sólo sentido común expresado con números. Bien su criterio está basado en el principio de razón insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. En teoría de juegos, Minimax es un método de decisión para minimizar la pérdida máxima esperada en juegos con adversario y con información perfecta. Minimax es un algoritmo recursivo. El funcionamiento de Minimax puede resumirse como elegir el mejor movimiento para ti mismo suponiendo que tu contrincante escogerá el peor para ti. Los juegos suma cero son aquellos en los cuales uno gana y otro pierde. Tiene que ser así o el juego no es aceptable, al menos para uno de los jugadores. Y es que la victoria, para algunos, solo es real cuando la otra parte sabe que está derrotada. La teoría de juegos maneja situaciones de decisión en las que hay dos oponentes inteligentes que tienen objetivos contrarios. DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE La toma de decisiones bajo incertidumbre, al igual que bajo riesgo, implica acciones alternativas cuyas retribuciones dependen de los estados de la naturaleza (aleatorios). En forma específica, la matriz de retribución de un problema de decisión con m acciones alternativas y n estados de la naturaleza, se puede representar como sigue: El elemento ai representa la acción i, y el elemento sj representa el estado de la naturaleza j. La retribución o resultado asociado con la acción ai y el estado sj es v (ai, sj). La diferencia entre tomar una decisión bajo riesgo y bajo incertidumbre es que en el caso de la incertidumbre, la distribución de probabilidades correspondiente a los estados sj, j = 1, 2,..., n; se desconoce o no se puede determinar. Esta falta de información ha conducido a desarrollar los criterios siguientes para analizar el problema de decisiones: Laplace Minimax Savage Hurwicz Esos criterios difieren en el grado de conservadurismo que presente quien toma decisiones al encarar la incertidumbre. El criterio de Laplace se basa en el principio de la razón insuficiente. Como no se conocen las distribuciones de probabilidades de los estados de la naturaleza, P {sj}, no hay razón para creer que sean distintas. Así, las alternativas se evalúan con la hipótesis optimista de que es igualmente probable que ocurra cualquiera de todos los estados, esto es, que P {s1} = P {s2} =...= P {sn} = 1/n. Dado que la retribución v {ai, sj) representa ganancia, la mejor alternativa es la que produce. Si v (ai, sj) representa una pérdida, entonces la minimización sustituye a la maximización. QUIEN ES LAPLACE Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge (Normandía); 28 de marzo de 1749 París; 5 de marzo de 1827) fue un astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló la transformada de Laplace y la ecuación de Laplace. Fue un creyente del determinismo causal. Es recordado como uno de los máximos científicos de todos los tiempos, a veces referido como el Newton de Francia, con unas fenomenales facultades matemáticas no poseídas por ninguno de sus contemporáneos. Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era de , donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado. Laplace decía que esta fórmula, que era conocida como la regla de sucesión, podía aplicarse en todos los casos donde no sabemos nada, o donde lo que conocíamos fue cambiado por lo que no. Aún es usada como un estimador de la probabilidad de un evento, si sabemos el lugar del evento, pero sólo tenemos muy pocas muestras de él. En 1812, con la Teoría Analítica de las Probabilidades, expone los principios y las aplicaciones de lo que él llama "geometría del azar". Esta obra representa la introducción de los recursos del análisis matemático en el estudio de los fenómenos aleatorios y recopila toda una serie de memorias publicadas desde 1771. Laplace expresa de forma sencilla el significado del cálculo de probabilidades: "En el fondo, la teoría de probabilidades es sólo sentido común expresado con números". La importancia de esta materia la resalta Laplace con las siguientes palabras: "Es notable que una ciencia que comenzó con las consideraciones de juegos de azar había de llegar a ser el objeto más importante del conocimiento humano. Las cuestiones más importantes de la vida constituyen en su mayor parte, en realidad, solamente problemas de probabilidad". APORTACIONES DE LAPLACE A LA PROBABILIDAD Dio una definición de probabilidad y la llamada posteriormente regla de Bayes. Encontró métodos para calcular la probabilidad de sucesos compuestos conocidas las probabilidades de sus componentes simples. En una de sus publicaciones apareció la ley de Laplace y que asigna probabilidades a sucesos equiprobables. Aplicó la probabilidad a la mortalidad, la esperanza de vida, la duración de los matrimonios, a los sucesos legales, a los errores en las observaciones, la determinación de las masas de Júpiter, Saturno y Urano, métodos de triangulación y problemas de geodesia. CRITERIO DE LAPLACE Este criterio, propuesto por Laplace en 1825, está basado en el principio de razón insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. Así, para un problema de decisión con n posibles estados de la naturaleza, asignaríamos probabilidad 1/n a cada uno de ellos. El criterio de Laplace se considera, en cambio, todos los valores. Puesto que no tenemos información sobre la probabilidad de que ocurra C, D o E, lo más racional sería, según este criterio, asignarle a cada valor la misma probabilidad y elegir el que nos dé el mayor valor esperado (la mayor utilidad esperada). De esta forma obtendríamos los siguientes resultados para A y B. A = 1/3 X 100 + 1/3 X 2 + 1/3 X 1 = 34,33 B = 1/3 X 99 + 1/3 x 98 + 1/3 X O = 65,33 Una vez realizada esta asignación de probabilidades, a la alternativa ai le corresponderá un resultado esperado igual a: La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un mayor resultado esperado: MODELO DE LAPLACE Su definición nos dice que sea E un experimento cualquiera y S el conjunto finito de sus resultados posibles tal que es equiprobable (que ninguno entonces tenga , si suponemos que cada resultado más oportunidades que otro), . Si queremos que P sea una funcion de probabilidad tal que Entonces Sea A un subconjunto de S Tal que Entonces LEY DE LAPLACE La ley de Laplace, también conocida como regla o fórmula de Laplace, sirve para asignar probabilidades a sucesos equiprobables. "La probabilidad de un suceso elemental es igual al cociente entre el número de casos favorables a ese suceso y el número de casos posibles" EJERCICIO DE LAPLACE Una compañía de productos de alimentos produce cierta cantidad de uno de sus productos al consumidor, el valor del producto es de 20,00 Bs por unidad, el costo variable es de 9,00 Bs; el Costo fijo (Mano de Obra) es de 1850,00 Bs dicha producción y posee una pérdida de 12,00 Bs; Se dice que la ganancia es igual a ingreso menos costo; El ingreso = PVP * Producción (La producción es por Docena); El Costo = Costo Variable* Producción + Costo Fijo (Mano de Obra) + Perdida. Se desea calcular las ganancias de los productos vendidos. Solución: Ventas 15 25 35 Resultado 15 130 130 130 130 25 10 1450 1450 1450 35 -110 1330 2770 2770 Producción AXX = (PVP * Producción (Docena)) – (Costo Variable* Producción (Docena) + Costo Fijo (Mano de Obra) + Perdida) A11 = (20 * (15 * 12)) – (9 (15*12) + 1850 + 0) A11 = 3600 – 3470 A11 = 130 A12 = (20 * (15 * 12)) – (9 (15*12) + 1850 + 0) A12 = 3600 – 3470 A12 = 130 A13 = (20 * (15 * 12)) – (9 (15*12) + 1850 + 0) A13 = 3600 – 3470 A13 = 130 A21 = (20 * (25 * 12)) – (9 (25*12)) + (1850) + (12 * (10 *12)) A21 = 6000 – 5990 A21 = 10 A22 = (20 * (25 * 12)) – (9 (25*12)) + (1850) + (0) A22 = 6000 – 4550 A22 = 1450 A23 = (20 * (25 * 12)) – (9 (25*12)) + (1850) + (0) A23 = 6000 – 4550 A23 = 1450 A31 = (20 * (35 * 12)) – (9 (35*12)) + (1850) + (12*(12*20)) A31 = 8400 – 8510 A31 = -110 A32 = (20 * (35 * 12)) – (9 (35*12)) + (1850) + (12*(12*10)) A32 = 8400 – 7070 A32 = 1330 A33 = (20 * (35 * 12)) – (9 (35*12)) + (1850) + (0) A33 = 8400 – 5630 A33 = 2770 Ventas 15 25 35 0.333 0.333 0.333 15 130 130 130 130 25 10 1450 1450 960 35 -110 1330 2770 1317 Producción Resultado Al no tener la probabilidad se calcula de la siguiente manera son 03 ventas (15 – 25 -- 35) se dividen entre 100 para saber su porcentaje 100/3 = 33,33 C/u, luego la probabilidad tienes que estar entre [0 – 1] por lo tanto el 33,33 % sería un 0,33 C/u A14 = (0.333*130) + (0.333*130) + (0.333*130) = 130 A24 = (0.333*10) + (0.333*1450) + (0.333*1450) = 960 A34 = (0.333*-110) + (0.333*1330) + (0.333*2770) = 1317 MINIMAX En teoría de juegos, Minimax es un método de decisión para minimizar la pérdida máxima esperada en juegos con adversario y con información perfecta. Minimax es un algoritmo recursivo. El funcionamiento de Minimax puede resumirse como elegir el mejor movimiento para ti mismo suponiendo que tu contrincante escogerá el peor para ti. John von Neumann es el creador del teorema Minimax, quien dio la siguiente noción de lo que era un juego: "Un juego es una situación conflictiva en la que uno debe tomar una decisión sabiendo que los demás también toman decisiones, y que el resultado del conflicto se determina, de algún modo, a partir de todas las decisiones realizadas." También afirmó que: "Siempre existe una forma racional de actuar en juegos de dos participantes, si los intereses que los gobiernan son completamente opuestos." La demostración a esa afirmación se llama Teoría Minimax y surge en 1926. Este teorema establece que en los juegos bipersonales de suma nula, donde cada jugador conoce de antemano la estrategia de su oponente y sus consecuencias, existe una estrategia que permite a ambos jugadores minimizar la pérdida máxima esperada. En particular, cuando se examina cada posible estrategia, un jugador debe considerar todas las respuestas posibles del jugador adversario y la pérdida máxima que puede acarrear. El jugador juega, entonces, con la estrategia que resulta en la minimización de su máxima pérdida. Tal estrategia es llamada óptima para ambos jugadores sólo en caso de que sus Minimax es sean iguales (en valor absoluto) y contrarios (en signo). Si el valor común es cero el juego se convierte en un sinsentido. ALGORITMO MINIMAX CON MOVIMIENTOS ALTERNATIVOS Pasos del algoritmo Minimax: Generación del árbol de juego. Se generarán todos los nodos hasta llegar a un estado terminal. Cálculo de los valores de la función de utilidad para cada nodo terminal. Calcular el valor de los nodos superiores a partir del valor de los inferiores. Según nivel si es MAX o MIN se elegirán los valores mínimos y máximos representando los movimientos del jugador y del oponente, de ahí el nombre de Minimax. Elegir la jugada valorando los valores que han llegado al nivel superior. El algoritmo explorará los nodos del árbol asignándoles un valor numérico mediante una función de evaluación, empezando por los nodos terminales y subiendo hacia la raíz. La función de utilidad definirá lo buena que es la posición para un jugador cuando la alcanza. En el caso del ajedrez los posibles valores son (+1, 0, -1) que se corresponden con ganar, empatar y perder respectivamente. En el caso del backgammon los posibles valores tendrán un rango de [+192,-192], correspondiéndose con el valor de las fichas. Para cada juego pueden ser diferentes. Si Minimax se enfrenta con el dilema del prisionero escogerá siempre la opción con la cual maximiza su resultado suponiendo que el contrincante intenta minimizarlo y hacernos perder. EJEMPLO En el siguiente ejemplo puede verse el funcionamiento de Minimax en un árbol generado para un juego imaginario. Los posibles valores de la función de utilidad tienen un rango de [1-9]. En los movimientos del contrincante suponemos que escogerá los movimientos que minimicen nuestra utilidad, en nuestros movimientos suponemos que escogeremos los movimientos que maximizan nuestra utilidad. El primer paso será calcular los nodos terminales, en verde. Posteriormente calcularemos el cuarto nivel, movimiento min, minimizando lo elegido (5, 2 y 1). Después podremos calcular el tercer nivel, movimiento Max, maximizando la utilidad (5, 9). El segundo nivel es un movimiento min (5, 3 y 1). Finalmente llegamos al primer nivel, el movimiento actual, elegiremos el nodo que maximice nuestra utilidad (5). OPTIMIZACIÓN En la práctica el método Minimax es impracticable excepto en supuestos sencillos. Realizar la búsqueda completa requeriría cantidades excesivas de tiempo y memoria. Claude Shannon en su texto sobre ajedrez de 1950 (Programming a Computer for Playing Chess) propuso limitar la profundidad de la búsqueda en el árbol de posibilidades y determinar su valor mediante una función heurística. Para optimizar Minimax puede limitarse la búsqueda por nivel de profundidad o por tiempo de ejecución. Otra posible técnica es el uso de la poda alfa-beta. Esta optimización se basa en la suposición que el jugador contrario no nos permitirá jugar nuestras mejores jugadas. EJERCICIO DE MINIMAX Una compañía de productos de alimentos produce cierta cantidad de uno de sus productos al consumidor, el valor del producto es de 10,00 Bs por unidad, el costo variable es de 7,00 Bs; el Costo fijo (Mano de Obra) es de 500,00 Bs dicha producción y posee una pérdida de 7,00 Bs; Se dice que la ganancia es igual a ingreso menos costo; El ingreso = PVP * Producción (La producción es por 20 unidades); El Costo = Costo Variable* Producción + Costo Fijo (Mano de Obra) + Perdida. Se desea calcular las ganancias de los productos vendidos. Solución: Ventas 10 20 30 40 Minimax 10 100 100 100 100 100 20 -700 700 700 700 700 30 -1500 -100 1300 1300 1300 40 -2300 -900 500 1900 500 Producción AXX = (PVP * Producción (Docena)) – (Costo Variable* Producción (Docena) + Costo Fijo (Mano de Obra) + Perdida) A11 = (10*(10*20)) – (7*(10*20)) + 500 + 0 A11 = 2000 – 1900 A11 = 100 A12 = (10*(10*20)) – (7*(10*20)) + 500 + 0 A12 = 2000 – 1900 A12 = 100 A13 = (10*(10*20)) – (7*(10*20)) + 500 + 0 A13 = 2000 – 1900 A13 = 100 A14 = (10*(10*20)) – (7*(10*20)) + 500 + 0 A14 = 2000 – 1900 A14 = 100 A21= (10*(20*20)) - (7(20*20)) + 500 + (7 * (10*20)) A21 = 4000 – 4700 A21= -700 A22= (10*(20*20)) - (7(20*20)) + 500 + (0) A22 = 4000 – 3300 A22= 700 A23= (10*(20*20)) - (7(20*20)) + 500 + (0) A23 = 4000 – 3300 A23= 700 A24= (10*(20*20)) - (7(20*20)) + 500 + (0) A24 = 4000 – 3200 A24= 700 A31= (10*(30*20)) - (7(30*20)) + 500 + (7 * (20*20)) A31 = 6000 – 7500 A31= -1500 A32= (10*(30*20)) - (7(30*20)) + 500 + (7 * (10*20)) A32 = 6000 – 6100 A32= -100 A33= (10*(30*20)) - (7(30*20)) + 500 + (0) A33 = 6000 – 4700 A33= 1300 A34= (10*(30*20)) - (7(30*20)) + 500 + (0) A34 = 6000 – 4700 A34= 1300 A41= (10*(40*20)) - (7(40*20)) + 500 + (7*(30*20)) A41 = 8000 – 10300 A41= -2300 A42= (10*(40*20)) - (7(40*20)) + 500 + (7*(20*20)) A42 = 8000 – 8900 A42= -900 A43= (10*(40*20)) - (7(40*20)) + 500 + (7*(10*20)) A43 = 8000 – 7500 A43= 500 A44= (10*(40*20)) - (7(40*20)) + 500 + (0) A44 = 8000 – 6100 A44= 1900 EJEMPLO CON LAPLACE Y MINIMAX Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada (UNEFA) prepara un campamento de verano en la ciudad de Mérida (Pico Bolívar), para adiestrar a las personas en supervivencia en la naturaleza. Estima que la asistencia puede estar en una de cuatro categorías: 200, 250, 300 y 350 personas. El costo del campamento será mínimo si se construye para adaptarse exactamente a la demanda. Las variaciones de más o menos de la demanda ideal incurren en costos adicionales, debidos a construcciones sobrantes (no usadas) o a ingresos perdidos, cuando no cabe toda la demanda. Si ai a a4 representan los tamaños de los campamentos (200, 250, 300 y 350 personas) y si a s4 la asistencia, la tabla siguiente resume la matriz de costo (en miles de Bs) en este caso. A1 A2 A3 A4 S1 S2 S3 S4 5 8 21 30 10 7 18 22 18 12 12 19 25 23 21 15 LAPLACE: Dada P {sj} = ¼, j = 1, 2, 3, 4, los valores esperados para las diversas acciones Se calculan como sigue: E {A1} = ¼ (5 + 10 + 18 + 25) = BS 14,500 E {A1} = ¼ (8 + 7 + 12 + 23) = BS 12,500 <= Mas Optimo E {A1} = ¼ (21 + 18 + 12 + 21) = BS 18,000 E {A1} = ¼ (30 + 22 + 19 + 15) = BS 21,500 MINIMAX: El criterio Minimax produce la siguiente matriz: A1 A2 A3 A4 S1 S2 S3 S4 Max. De Renglón 5 8 21 30 10 7 18 22 18 12 12 19 25 23 21 15 25 23 21 <= Minimax 30 QUE ES UN JUEGO (Nicholson, 1997); indica que un juego es Cualquier situación en la que los individuos deben tomar decisiones estratégicas y en la que el resultado final depende de lo que cada uno decida hacer. Por otra parte (Ferguson y Gould, 1975); Es una situación en la que compiten dos o más jugadores (Maddala y Miller, 1991); Señalan que Cualquier problema de toma de decisiones, donde el rendimiento que obtiene una persona depende no sólo de sus propias decisiones sino también de las decisiones de las otras personas que participan en el juego OBJETIVO DE LA TEORÍA DE JUEGOS Es la determinación de patrones de comportamiento racional en la que los resultados dependen de las acciones de los jugadores interdependientes. ELEMENTOS DE UN JUEGO Son JUGADORES cada uno de los agentes que toman decisiones. Pueden elegir entre un conjunto de alternativas posibles. Una ESTRATEGIA corresponde a cada curso de acción que puede elegir un jugador. Cada jugador debe elige lo que más le convenga. Las GANANCIAS corresponden a los rendimientos que obtiene cada jugador cuando termina el juego. Las REGLAS ayudan a definir el juego, el número de jugadores o la secuencia de juego. También aseguran que el juego sea divertido y organizado. TEORÍA DE JUEGOS La teoría de juegos maneja situaciones de decisión en las que hay dos oponentes inteligentes que tienen objetivos contrarios. Entre los ejemplos característicos están lanzamientos de campañas de publicidad para productos que compiten, y la planeación de estrategias bélicas de los ejércitos contrarios. Estas situaciones contrastan con las que hemos estudiado hasta ahora, en las que no se considera que la naturaleza sea un oponente malévolo. En un conflicto de juego hay dos oponentes, llamados jugadores, y cada uno tiene una cantidad (finita o infinita) de alternativas o estrategias. Asociada con cada par de estrategias hay una recompensa que paga un jugador al otro. A esos juegos se les llama juegos entre dos personas con suma cero, porque la ganancia de un jugador es igual a la pérdida del otro. Si se representan los dos jugadores con A y B, con m y n estrategias, respectivamente, el juego se suele representar con la matriz de recompensa para el jugador A, que es la siguiente: La representación indica que si A usa la estrategia i y B usa la estrategia j, la recompensa para A es aij, y entonces la recompensa para B es – aij. SOLUCIÓN ÓPTIMA DE JUEGOS DE DOS PERSONAS CON SUMA CERO Como los juegos tienen su base en el conflicto de intereses, la solución óptima escoge una o más estrategias para cada jugador, de tal modo que cualquier cambio en las estrategias elegidas no mejore la recompensa para cualquiera de los jugadores. Esas soluciones pueden tener la forma de una sola estrategia pura, o varias estrategias mezcladas de acuerdo con probabilidades predeterminadas. Los dos ejemplos siguientes muestran los dos casos. En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras palabras, un jugador se beneficia solamente a expensas de otros). El go, el ajedrez, el póker y el juego del oso son ejemplos de juegos de suma cero, porque se gana exactamente la cantidad que pierde el oponente. Como curiosidad, el fútbol dejó hace unos años de ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el empate 1 (considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto), mientras que en la actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1. La mayoría de los ejemplos reales en negocios y política, al igual que el dilema del prisionero, son juegos de suma no cero, porque algunos desenlaces tienen resultados netos mayores o menores que cero. Es decir, la ganancia de un jugador no necesariamente se corresponde con la pérdida de otro. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra idealmente un desenlace de suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor que la que tendría si no se hubiera dado la negociación. Se puede analizar más fácilmente un juego de suma cero, y cualquier juego se puede transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador "ficticio" adicional ("el tablero" o "la banca"), cuyas pérdidas compensen las ganancias netas de los jugadores. La matriz de pagos de un juego es una forma conveniente de representación. Por ejemplo, un juego de suma cero de dos jugadores con la matriz que se muestra a la derecha. TEORÍA DE JUEGOS APLICADA AL CASO VENEZOLANO Los juegos suma cero son aquellos en los cuales uno gana y otro pierde. Tiene que ser así o el juego no es aceptable, al menos para uno de los jugadores. Y es que la victoria, para algunos, solo es real cuando la otra parte sabe que está derrotada. Patria o muerte. El ejemplo clásico es el de la persona a quien el genio le dará lo que él pida pero le advierte que le tiene que dar a su odiado vecino el doble. Y entonces la persona le dice al genio: Sácame un ojo. En contraste, un juego ganar ganar, como su nombre lo indica, es aquel en el cual las dos partes ganan. Generalmente estos juegos son el resultado final de una negociación que establece reglas obligatorias para los participantes. Se dice que estos juegos son eminentemente racionales porque se piensa que los seres racionales tratan de obtener los mejores beneficios para sí, no importa que la otra parte también se beneficie. Por último, el juego perder perder es uno en el cual ambas partes pierden. Los expertos dicen que este el juego más irracional posible pero, asombrosamente, es también el que muchos prefieren jugar. Según esta versión la persona hablando con el genio le dice: sácame un ojo siempre y cuando le saques uno a mi enemigo. Ocurre este juego en situaciones en los cuales el botín es exiguo, o cuando la desgracia ajena causa alegría o cuando el éxito ajeno enferma, o cuando el otro debe ser pequeño para uno poder ser grande o cuando uno resiente el éxito ajeno y por ello debe destruirlo. En la literatura de la teoría de juegos esta última variante ha sido llamada por Eli Sagan El imperativo paranoico, es decir, o tu me pisas o yo te piso. Este es una deformación frecuente en algunos casos psiquiátricos a lo Nerón o a lo Hitler. Es lo que los romanos llamaron Libidum dominantis, el deseo irresistible de dominación. JUEGOS DE LÓGICA Los acertijos lógicos son pasatiempos o juegos que consisten en hallar la solución de un enigma o encontrar el sentido oculto de una frase solo por vía de la intuición y el razonamiento ( por lo tanto no en virtud de la posesión de determinados conocimientos). La diferencia con las adivinanzas consisten en que éstas, plantean el enigma en forma de rima y van dirigidas generalmente a públicos infantiles. Como para todos los juegos de lógica, un acertijo lógico debería tener una base matemática o lógica. Sin embargo, están muy difundidos los acertijos que una vez resueltos revelan una naturaleza más o menos humorística. EJEMPLO N° 1: Entre vacas, ovejas y gallinas. El amo le dio al criado 500 pesetas para que fuese al mercado a comprarle 100 cabezas de ganado, teniendo este que comprar: vacas, ovejas y gallinas y emplear justo las 500 pesetas. Cuando llego al mercado comprobó que las vacas costaban 25 pesetas, las ovejas 5 pesetas y las gallinas un real. ¿Cuántas cabezas de ganado compro de cada? Solución: 80 gallinas X 1 real = 80 reales = 20 ptas 1 oveja a 5 ptas 19 vacas a 25 ptas = 475 pesetas 80 gallinas = 20 ptas 1 oveja = 5 ptas 19 vacas = 475 ptas Total: 100 animales = 500 ptas EJEMPLO N° 2: ¿Cómo hacemos para que a veinte, agregándole uno nos dé diecinueve? Solución: Veinte en número romanos es XX si le agregamos un uno en el medio nos queda XIX. EJEMPLO N° 3: ¿La mitad de dos más dos ¿son tres? Solución La respuesta del acertijo es SI. La mitad de dos es uno, y uno más dos son tres. EJEMPLO N° 4: Poner un número del 1 al 8 en cada casilla de la siguiente cuadricula sin que se toquen en ningún sentido, ni lateral, ni diagonal, con su antecesor o sucesor. Solución 7 3 5 1 8 4 6 2 JUEGOS DE AZAR Son juegos en los cuales las posibilidades de ganar o perder no dependen de la habilidad del jugador sino exclusivamente del azar. De ahí que la mayoría de ellos sean también juegos de apuestas cuyos premios están determinados por la probabilidad estadística de acertar la combinación elegida. Mientras menores sean las probabilidades de obtener la combinación correcta, mayor es el premio. JUEGOS DE AZAR MÁS POPULARES Bingo Cara o Cruz Dados Lotería Ruleta Maquina Traga Moneda BIBLIOGRAFÍA REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA: Investigación de Operaciones; 7ma Edición Año 2004; Autor: Hamdy A. Taha REFERENCIA ELECTRÓNICA: http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Simon_Laplace http://www.ehu.es/Degypi/Metodologia/incertidumbre.htm http://alfredocarneiro.files.wordpress.com/2011/09/teorc3ada-de-la-decisic3b3ny-la-incertidumbre.pdf http://www.abelhibert.org/clases/tablasdesicion.pdf http://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/mdid/clase1decisiones.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Minimax http://www.doi.icai.upcomillas.es/simio/transpa/t_gt_ar.pdf http://www.eyeintheskygroup.com/Azar-Ciencia/Teoria-de-Juegos/PrincipioMinimax-Maximin-en-Juegos-Estrategicos.htm http://www.youtube.com/watch?v=LXH4sYt-3Kk http://www.google.co.ve/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=0C DcQFjAC&url=http%3A%2F%2Fwebdelprofesor.ula.ve%2Feconomia%2Fguillenr%2 Fmicro_ii%2Fpresentaciones%2Fteoria_de_los_juegos_completa.ppt&ei=oZ89ULq zMov06AHMkICICA&usg=AFQjCNEJEJ4WQqdlgvzV6UD6frxlogtpsQ&sig2=MVjSiwtn _j71ZqcnSWdusg http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos#Juegos_de_suma_cero_y_ de_suma_no_cero http://www.analitica.com/va/politica/opinion/8415327.asp http://www.youtube.com/watch?v=mVn_GhGzpV4 http://www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos