Campo Eléctrico Campo Eléctrico Campo Eléctrico Campo Eléctrico

Campo Eléctrico
Campo Eléctrico
„ La noción física de campo se corresponde
„ El espacio que rodea a un cuerpo cargado cualquiera parece
con la de un espacio dotado de propiedades
medibles.
estar afectado por este cuerpo y a este espacio lo llamaremos
campo eléctrico. Podemos decir también que el campo eléctrico
asociado a una carga aislada o a un conjunto de cargas es
aquella región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos.
„ En el caso de que se trate de un campo de
fuerzas éste viene a ser aquella región del
espacio en donde se dejan sentir los efectos
de fuerzas a distancia.
Campo Eléctrico
r
Fe
Colocamos un cuerpo cargado en el espacio a analizar
y vemos que pasa
¿Como nos damos cuenta?
Campo Eléctrico
„ Todo campo físico queda caracterizado por sus
propiedades.
„ En el caso del campo eléctrico, una forma de
describir las propiedades del campo sería indicar la
fuerza F que se ejercería sobre un mismo cuerpo
e
de prueba que tenga una carga q0
„ La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del
campo se ejerce sobre la carga de prueba positiva,
tomada como elemento de comparación, recibe el
nombre de intensidad del campo eléctrico y se
representa por la letra
r
E
Definimos campo eléctrico como:
r
r Fe
E=
q0
„ La carga de referencia más simple es la carga
puntual (masa despreciable) con carga positiva.
Campo Eléctrico
Campo Eléctrico
„ Por tratarse de una fuerza (vector) por unidad de
„ Podemos decir entonces que el campo eléctrico en
carga (escalar) la intensidad del campo eléctrico es
una magnitud vectorial que viene definida por su
módulo
r
r Fe
E=
q0
E
y por su dirección y sentido.
Fe →
Fuerza eléctrica en el punto
q0 →
Carga de prueba
un punto es distinto de cero si una carga de prueba
situada en dicho punto siente una fuerza eléctrica
„ Para que la carga de prueba no modifique el campo
eléctrico se tiene que cumplir que:
r
r
Fe
E = lim
q0 → 0 q
0
q
Es decir la carga
0 tiene que ser
muy pequeña a fin de no modificar el
campo que se quiere poner en
evidencia
Por convención la carga de prueba es
siempre positiva
1
Campo Eléctrico
Campo Eléctrico
„ Conociendo en campo eléctrico, en un punto
„ Campo eléctrico de una carga puntual
podemos conocer la fuerza eléctrica sobre una
carga en dicho punto
r
r
Fe = q * E
Las unidades del campo eléctrico en el S.I. serán
[] []
r
r Fe
1
1
E=
=
q0 4πε 0 q0
r
E =
r
r
F
[Newton] = N
E =
=
[q ] [Coulomb] C
1
4πε 0
q0 q r
r
r2
Simplificando
q r
r
r2
Sistema de N cargas puntuales
Sistema de N cargas puntuales
„ Supongamos que tenemos ahora un sistema de N
n
r
q
q r
Fe = 0 ∑ 2i ri
4πε 0 i =1 ri
r
r Fe
1 n qi r n r
E=
=
Ei
∑ ri = ∑
q0 4πε 0 i =1 ri 2
i =1
cargas puntuales. La fuerza que actuará sobre una
carga de prueba situada en un punto P del espacio
estará dada
r
Fe =
q0 q1 r
1 q0 q 2 r
1 q0 q n r
r1 +
r2 + ...... +
rn
2
2
4πε 0 r1
4πε 0 r2
4πε 0 rn2
1
r
q ⎛q r q r
q r⎞
Fe = 0 ⎜⎜ 12 r1 + 22 r2 + ...... + 2n rn ⎟⎟
4πε 0 ⎝ r1
r2
rn ⎠
Ejemplo:
q1
y
q2
ambas positivas con
r
E1
r
E2
q0
α
q1
β
q2
q1 = 2q2
r
r
v
E1 = E1x + E1 y
r
ET
r
v r
ET = E1 + E2
r
r
v
E2 = E2 x + E2 y
r
E1x =
r
1 q1
senαi
4πε 0 r12
r
r
1 q1
E1 y =
cos αj
2
4πε 0 r1
r
r
1 q2
E2 x =
senβ i
4πε 0 r22
r
r
1 q2
E2 y =
cos β j
4πε 0 r22
r
E1
r
E2
q0
α
q1
r
r
v
ETx = E1x + E2 x
r
r
v
ETy = E1 y + E2 y
ET =
β
Ex + E y
δ = arctg
2
2
Ex
Ey
q2
2
Dipolo eléctrico
Dipolo eléctrico
r
r r
ET = E1 + E2
q
r
r
ET = 2 E y
q
E y = E1 cos α
α
α
a
P
r
E1
r
E2
α
α
r
−q
P
r
E2
−q
r
r
r
r
ETy = E1 y + E2 y = 2 E1 y
r
r
r
ETx = E1x + E2 x = 0
Dipolo eléctrico
E1 =
1
4πε 0
(a
q
2
+r
2
)
2
=
1
q
4πε 0 a 2 + r 2
ET ≅
q
ET = 2 E y = 2 E1 cos α = 2
4πε 0 a 2 + r 2
2aq
4πε 0
Llamamos a
1
(a
2
+r
a
a2 + r 2
r >> a ⇒ ET ≅
)
3
2 2
ρ = 2aq
1 2aq
4πε 0 r 3
1
a
a2 + r 2
r
ET
1
4πε 0
(a
q
2
+r
2
)
2
=
1
q
4πε 0 a 2 + r 2
ρ
4πε 0 r 3
Vemos entonces que para el dipolo eléctrico el campo eléctrico
varia
ET ∝
1
r3
Mientras que para la carga eléctrica lo hace
momento de dipolo eléctrico
ET ≅
Distribuciones de Carga
r
ΔEi =
r
E≈
Δqi r
ri
4πε 0 ri 2
1
Δqi r
ri
∑
4πε 0 i =1 ri 2
1
1
r2
Distribuciones de Carga
r
r
Δqi → ΔFi → ΔEi
Q
cos α =
Dipolo eléctrico
1
ET =
E1 =
r
E1
n
r
ΔEi → dEir
Δqi → 0
r
dEi = lim
Δqi →0
Δqi r
1 dqi r
r =
ri
2 i
4πε 0 ri
4πε 0 ri 2
1
r
r
1 dq r
1
dq r
E = ∫ dEi = ∫
r=
r
2
∫
4πε 0 r
4πε 0 V r 2
V
V
Δq
3
Distribuciones continuas de carga
ρ
Para una densidad volumétrica de carga
r
dq = ρ (r )dV → E =
r
E
λ
Una varilla de longitud l esta cargada con una densidad lineal de carga
uniforme, siendo la carga total Q Calcularemos el campo eléctrico en
un punto P situado a lo largo del eje de la varilla, a una distancia
de
un extremo
a
σ
será
1
σ (r )
dS
4πε 0 ∫S r 2
λ
Para una densidad lineal carga
r
dq = λ (r )dV → E =
„ Ejemplo: Campo eléctrico de una varilla cargada
será
1
ρ (r )
dV
4πε 0 V∫ r 2
Para una densidad superficial de carga
r
dq = σ (r )dS → E =
Distribuciones continuas de carga
1
4πε 0
∫
L
x
r
E
Q
P
será
λ (r )
r
2
a
l
dL
dx
dq
Q
P
Campo eléctrico de un anillo cargado uniformemente
a
a
l
dE =
dq = λdx
λ
E=
4πε 0
E=
∫
l +a
a
dq
1 λdx
λ dx
=
=
4πε 0 x 2 4πε 0 x 2
4πε 0 x 2
x
1
dx
λ
⇒E=
4πε 0
x2
l
λ
4πε 0 a(l + a )
Un anillo de radio
esta cargado positivamente de manera uniforme,
con una carga total Q Calcularemos el campo eléctrico en un punto P
situado sobre el eje del anillo a una distancia
del centro del mismo
Si
⎡ 1⎤
⎢⎣− x ⎥⎦
Las componentes en Y se anulan, solo
quedan componentes en X
l +a
=
1 ⎞
λ ⎛1
⎜ −
⎟
4πε 0 ⎝ a l + a ⎠
dE =
a
a >> l ⇒ E =
λ l
4πε 0 a 2
1
dq
4πε 0 r 2
Campo eléctrico de un anillo cargado
uniformemente
dE1 y = − dE2 y
dE x = dE cos θ =
Ey = 0
r = x2 + a2
dE x = dE cos θ
r
v
ET = E x
dE x =
1
x
4πε 0 x 2 + a 2
(
E x = ∫ dE x = ∫
Q
1 dq x
1 xdq
1 dq
=
cos θ =
4πε 0 r 2 r 4πε 0 r 3
4πε 0 r 2
Q
)
3
dq ⇒
2
x
1
4πε 0 x 2 + a 2
(
)
3
dq =
2
x
1
4πε 0 x 2 + a 2
(
)
3
Q
2
4
Líneas de Campo Eléctrico
Líneas de Campo Eléctrico
„ Es una representación grafica, no son reales, permiten visualizar
el campo eléctrico.
La misma cantidad de líneas atraviesan las
superficie
„ El vector del campo eléctrico es tangente a la línea de campo
A
y
B
eléctrico en cada punto
„ El número de líneas de campo eléctrico por unidad de superficie
perpendicular a dichas líneas es proporcional a la magnitud del
campo en esa región del espacio
„ En donde las líneas están muy cercanas, el campo es grande y en
donde están separadas es pequeño.
B
Pero los efectos del campo eléctrico son
mayores en la superficie
A
ya que
hay mayor densidad de líneas de campo
Líneas de Campo Eléctrico
Líneas de Campo Eléctrico
„ Líneas de campo eléctrico de una carga puntual
„ Líneas de campo eléctrico de un dipolo eléctrico
+q
+
A
−q
Las líneas de campo salen de
la carga positiva y mueren en la
carga negativa, el espacio entre
las dos cargas tiene mayor
campo eléctrico
-
Líneas de Campo Eléctrico
Líneas de Campo Eléctrico
„ Líneas de campo eléctrico de dos cargas puntuales positivas
En el espacio entre las dos
cargas el campo eléctrico total
es nulo
La carga positiva es el
doble de la carga negativa
5
Líneas de Campo Eléctrico
Movimiento de una partícula cargada
en un campo eléctrico uniforme
r
E
„ Una varilla larga cargada
+
_
+
+
+
Para una varilla cargada
uniformemente el campo
es normal a la varilla y
constante
+
+
+
+
v=0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Movimiento de una partícula cargada
en un campo eléctrico uniforme
r
v
_
_
r
r
r
Fe = qE = ma ⇒
r
r qE
a=
m
r
r
E = cte ⇒ a = cte
_
_
_
x=
_
_
_
1 2 1 qE 2
at =
t
2
2 m
v = at =
qE
t
m
Tubo de rayos catódicos (TRC)
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
r r
eE r
a = ay = −
j
m
vxx ==vvi ti = cte
+
+
+
+
+
+
+
+
+
r
E
1
eE1 eE
y =v y =aayytt2==−− t t 2
m2 m
2
Flujo de Campo Eléctrico
Flujo de Campo Eléctrico
„ El flujo será el producto escalar entre ambos vectores
„ Este concepto se origina en la Teoría de los Fluidos, donde flujo
significa la rapidez con que un fluido pasa a través de una superficie
imaginaria.
Φ
„ El flujo de un campo vectorial
involucra: el campo vectorial y
una superficie en la cual el flujo es evaluado.
„
Para obtener el flujo a través de una superficie representamos a la
superficie mediante el vector superficie
„ Para una superficie plana el vector superficie tendrá un modulo
igual al área de la superficie
a esta superficie
ΔS
y como dirección perpendicular
r r
Φ E = ExΔS = E * ΔS * cos α
r
E
Si
r
E = cte
ΔS = cte
α = 900
Φ E = ΔS * E
6
Flujo de Campo Eléctrico
Flujo de Campo Eléctrico
r
E
„ Si la superficie es curva o el campo eléctrico varía punto a
punto sobre la superficie, el flujo se obtiene dividiendo la
superficie en pequeños elementos, tan pequeños que
puedan considerarse planos, y que el campo eléctrico no
varíe en su superficie
0
= =90
220
α α= α45
r
ΔS
0
„ El flujo total será la suma de todas las contribuciones de
flujo a través de cada uno de los elementos de superficie
r r
45
Φ E = ExΔS = E * ΔS **cos
22
cosα
9000 = 0
n
ΦET = ∑ ΦEi
i =1
Flujo de Campo Eléctrico
Flujo de Campo Eléctrico
„ En el limite en que el tamaño de cada elemento se
aproxima a cero y el numero de elementos a
infinito, la suma se convierte en una integral
n
ΦET = ∑ ΦEi
i =1
Flujo de Campo Eléctrico
r
E
r
ΔS
Flujo de Campo Eléctrico
n→∞
r
r
ΔS → dS
∑→ ∫
r r nn r r
n
r r
r r
Φ
E
=
E
ΦEΦ
=T∑=Φlim
ExiS= ∑ EExxΔΔ
SiS = ExdS
T E
∑
T
∫
i =1
ΔS →0 i =1
i =1
S
r r
ΦE = ∫ ExdS
r r
ΦE2 = ExA = E * A * cos θ
r r
ΦE1 = ExA′ = E * A′ * cos θ
ΦE1 = −ΦE2 ⇒ ΦET = ΦE1 + ΦE2 = 0
ΦET = 0
7
Superficie Cerrada
Flujo de Campo Eléctrico
r r
ΦE = ∫ ExdS =
S
= ∫ E * dS * cos θ
S
Flujo de Campo eléctrico
Flujo de Campo eléctrico
Si
r
E
ΦET = ΦESi + ΦES d + ΦES L
r r
ΦES = ExS d = E * S d * cos1800 = − E * S d
r r
ΦESi = ExSi = E * S i * cos 00 = E * Si
r r
ΦES L = ExS L = E * S L * cos 900 = 0
d
Sd
SL
ΦET = ΦESi + ΦES d + ΦES L = E * S + 0 − E * S = 0
ΦET = 0
Ley de Gauss
Ley de Gauss
„ La ley de Gauss puede ser enunciada de la siguiente
„ Resumiendo la ley de Gauss dice que “ el flujo eléctrico a través
manera: el flujo eléctrico ΦE a través de una
superficie cerrada arbitraria es proporcional a la carga
neta encerrada.
ΦE ∝ ∑ q
∑q ⇒
ΦE =
ε0
Para la igualdad será
v r
∫ ExdS =
S
∑q
de una superficie cerrada arbitraria es igual a la carga neta
encerrada por dicha superficie dividida por
0 “
ε
v r
E
∫ xdS =
S
∑q
ε0
ε0
8
Ley de Gauss
Ley de Gauss y Ley de Coulomb
v r
v r q
E
xd
S
=
⇒
ε
E
0
∫
∫ xdS =q
„Donde la superficie cerrada (superficie gaussiana) puede tener cualquier
forma y tamaño y el termino
∑q
ε0
S
S
v r
ε 0 ∫ ExdS =ε 0 ∫ E * dS * cos 00 ⇒
representa la carga neta
contenida en el volumen que encierra la superficie.
S
S
ε 0 ∫ E * dS =q ⇒ ε 0 * E * 4πr 2 = q
S
El seleccionar la forma y el tamaño adecuados de una
superficie
gaussiana es una de las claves principales para la utilización correcta de la
Ley de Gauss. Es muy útil para situaciones de alta simetría
Ley de Gauss
E=
1
q
4πε 0 r 2
Fe = q0 E ⇒ Fe =
1
q * q0
4πε 0 r 2
Ley de Gauss
Φcreado
E L =por0una partícula
cargada exterior al
q
bloque.
Φ
E
=
−
S
i
2 i
„ La superficie cerrada esta
4
πε
r
formada por dos 0 i
casquetes esféricos
q con
en
la partícula y S
Φcentro
E
=
e
e
cuatro planos laterales
4πε 0 re2
alineados radialmente
„ El campo eléctrico esta
„ El flujo neto es cero, ya que el flujo que atraviesa el casquete
interior es el que también atraviesa el casquete exterior, pero
cambiado de signo
„ Una superficie de cualquier forma puede ser construida con un
numero infinito de casquetes esféricos y lados planos radiales
de tamaño infinitesimal
ΦET = 0
con la partícula.
rr rr
qq
q
cos
0+q
**Φ
Φ
xdSSE
dS
dS
=r0=−−E 2 q=
S e 0Si
q==∫+
qdS
**cos
180
Φ
dSE=r= −= ΦS
∫ESEΦ
∫
ΦEΦEEE==∫=∫=EE−xdΦ
E
E
+
=
∫
4
πε
4
πε
r
rei−Φ
=−
S4πε
= −r
E2
0 ri i
S4πε rr Si =04πε
4πε r
4πε r r
„ Como los dos casquetes están limitados por
2
0
2
los mismos planos radiales, la relación
entre
e
2 e
i e áreas es igual a la relación entre el e
2
sus
Te S
i S2 e
L
e i 0 e Si
22
e
0 i e Si
S i e entre sus
S i radios,
cuadrado
es decir 2 2
i
0 e
0 e
0 ii
i
Ley de Gauss
Ley de Gauss
„ Flujo a través de una superficie arbitraria debido a una
„ Como el valor de es independiente del radio de la esfera, el
partícula cargada interior
flujo será el mismo para una esfera de cualquier radio.
„ Por otra parte, cualquier superficie de forma arbitraria puede
1
q
* 2 * 4πr 2
ΦE = E * S =
4πε 0 r
ΦE =
q
obtenerse como límite de un número infinito de casquetes
esféricos y planes radiales infinitesimales, entonces podemos
afirmar que el flujo eléctrico a través de una superficie
gaussiana de forma arbitraria debido a una partícula cargada
encerrada en su interior será siempre:
ε0
ΦE =
q
ε0
9
Ley de Gauss
Ley de Gauss
„ Superficies
cerradas de varias
formas que
encierran una
carga
„ El flujo eléctrico
neto a través de
cualquiera de ellas
es el mismo
r
r r
r
ET = E1 + E2 + E3
r
r
r r
r
r r
ΦET = ∫ E1 xdS + ∫ E2 xdS + ∫ E3 xdS
S
ΦE =
q1
ε0
S
+0+
q2
ε0
n
S
=∑
i =1
q1
ε0
Ley de Gauss
Propiedades electroestáticas de un
conductor
„ Campo debido a una distribución lineal de cargas
„ En electrostática,
ΦE = ∫ E * dS * cos 00 + 2 ∫ E * dS * cos 900
+ + + + + + + + + +
r
E
Sup. Lateral
SupTapas
ΦE = ∫ E * dS + 0 = E 2πrL
ΦE =
λ
λL
λL
⇒ E 2πrL =
ε0
ε0
λ
E=
2πε 0 r
Propiedades electroestáticas de un
conductor
es dentro del conductor.
„ No puede haber exceso de carga en ningún punto interior del
conductor: la densidad de carga volumétrica debe ser cero para
cualquier parte del conductor.
ρ =0
Sup . Lateral
„ Aplicando la Ley de Gaus
r
E=0
„ Si la carga neta no puede estar dentro del conductor significa que
las cargas se ubican en la superficie, y distribuidas de manera que
en el interior del conductor el campo eléctrico se anule
„ En el interior del conductor
r
Q = 0 ⇒ ΦE = 0 ⇒ E = 0
Propiedades electroestáticas de un
conductor
„ En la zona exterior inmediata a la superficie el campo eléctrico
debe ser perpendicular a ella, dado que si tuviera una
componente tangencial, la misma provocaría que las cargas
superficiales se moviesen en respuesta a la fuerza tangencial
resultante.
Conductor cargado
∑
„ El campo eléctrico
q =aσun* ΔS
debido
conductor cargado
será entonces
ΔS
„ Aplicando la Ley de Gauss
„ Por tanto, en un conductor en equilibrio en su superficie el
campo es perpendicular. La dirección del campo será hacia
fuera si las cargas superficiales son positivas, caso contrario,
σ ∑q
ε0 ε
=* ΔS =
ΦEE
=E
hacia adentro.
Superficie Gaussiana
r
Φ
0 +S =
ΦEE ==0∫+Exd
S
∫ ∫
0
r
r rr
r σ
r σ r* ΔS
Exd
SES==+E * Δ
EΦxd
S E=xd=SE+ΔS ⇒∫ EExd
=S
∫ ∫EdS
Sup .TSup
. Exterior
. Lateral
SupSup
.T ..Exterior
T . Interior
ε0
Sup .T . Exterior
ε0
10