Econometría II Licenciaturas de LADE Segunda evaluación 26 de mayo 2005 Señale la respuesta o respuestas correctas en la pregunta 1. 1. La mayor parte de las variables económicas dinámicas tienen estructuras dinámicas con ninguna, una o dos raíces unitarias. Para variables yt, xt y zt del tipo de variables mencionado se ha estimado el modelo εt 0,40 ⎞ ⎛ yt = ⎜ − ⎟ x t + 0,6 z t + ⎝ 1 − 0,80 L ⎠ (1 + 0,3L)(1 − L) 2 donde ε t es un proceso ruido blanco. (a) (b) (c) (d) (e) (f) El proceso y es I(1) El proceso y es I(0). El proceso y es I(2) No existe relación dinámica entre los procesos ∆2x e ∆2y. El efecto contemporáneo de ∆2x sobre ∆2y es -0,4. El efecto contemporáneo de ∆2x sobre ∆2y es menor que –0,4. Solución c y e 2. A partir de la serie trimestral del número de ACTIVOS en el mercado de trabajo español y con el período muestral primer trimestre de 1978 a segundo trimestre de 2002 se ha formulado y estimado el siguiente modelo univariante: (1 − ϕ 1 L)∇ ∇ 4 ACTIVOS t = ut (1) Los resultados de la estimación del modelo anterior, el gráfico de los residuos de dicho modelo así como las correspondientes acf y pacf de los mismos se presentan a continuación. 1 RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN Dependent Variable: D(ACTIVOS,1,4) Method: Least Squares Sample: 1978:1 2000:2 Included observations: 90 Convergence achieved after 2 iterations Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) 0.242416 0.102513 2.364736 0.0202 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood 0.052534 0.052534 56.03416 279444.6 -489.5382 Inverted AR Roots Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Durbin-Watson stat 4.788489 57.56665 10.90085 10.92862 2.026246 .24 RESIDUOS DEL MODELO ESTIMADO 200 100 0 -100 -200 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 D(ACTIVOS,1,4) Residuals 2 ACF Y PACF DE LOS RESIDUOS A partir de la información anterior, ¿piensa usted que existen motivos para creer que el modelo (1) está incorrectamente identificado? En caso afirmativo sugiera razonadamente una posible reformulación del mismo, especificando un modelo para los residuos ut en (1) y derivando a partir de dicho modelo para ut un modelo global para ∇∇ 4 ACTIVOS. Solución sugerida La acf y pacf de los residuos así como el contraste Ljung-Box muestran sólida evidencia para pensar que los residuos del modelo (1) no son ruido blanco. En concreto las autocorelaciones en los retardos estacionales en acf y pacf, sugieren que existe estructura estacional de autocorrelación por modelizar y que por tanto, nos encontramos ante un modelo ARIMA multiplicativo. A partir de acf y pacf de los residuos se puede sugerir una especificación alternativa como: (1 − ϕ 1 L)∇ ∇ 4 ACTIVOS t = (1 − Θ 1 L4 )ε t Los resultados de la estimación de dicho modelo son los siguientes: Dependent Variable: D(ACTIVOS,1,4) Method: Least Squares Sample: 1978:1 2000:2 Included observations: 90 Convergence achieved after 6 iterations Backcast: 1977:1 1977:4 3 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) MA(4) 0.265855 -0.747796 0.102605 0.071020 2.591055 -10.52938 0.0112 0.0000 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.370148 0.362990 45.94560 185767.9 -471.1644 2.004192 Inverted AR Roots Inverted MA Roots .27 .93 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) .00 -.93i 4.788489 57.56665 10.51476 10.57032 51.71530 0.000000 .00+.93i -.93 El gráfico de residuos y las correspondientes acf y pacf muestran que ahora si que el residuo puede ser ruido blanco 150 100 50 0 -50 -100 -150 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 D(ACTI,1,4) Residuals 4 3. Se desea analizar la relación que existe entre la evolución de la producción de una empresa (Y) y el número de empleados (E), para ellos se dispone de sendas series temporales de tamaño 100 cuya serie en logaritmos se presentan en el Gráfico 1. GRAFICO 1 8.4 7.6 7.4 7.2 7.0 7.6 6.8 7.2 6.6 EMPLEO PRODUCCION 8.0 6.4 6.8 6.2 6.4 10 20 30 40 50 60 PRODUCCION 70 80 90 6.0 100 EMPLEO Un investigador comprueba que ambas series son I(1) y estima por Mínimos Cuadrados Ordinarios el siguiente modelo: log Yt = α + β log E t + U t Los resultados de la estimación, los correspondientes residuos y el correlograma de los mismos son los siguientes: Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 100 Included observations: 100 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C E 0.549412 0.994194 0.170231 0.024599 3.227442 40.41548 0.0017 0.0000 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.943399 0.942821 0.085618 0.718387 104.9020 2.012457 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 7.420689 0.358054 -2.058040 -2.005937 1633.411 0.000000 5 0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Y Residuals Conteste a las siguientes preguntas: a) ¿En qué consiste el problema de la regresión espuria?. A la vista de la evidencia empírica disponible, ¿cree usted que en modelo (1) puede existir el problema de la regresión espuria? Razone la respuesta. b) A la vista de la evidencia empírica disponible, ¿piensa usted que las variables en cuestión están cointegradas? Justifique su respuesta. c) ¿Piensa usted que en el largo plazo la producción y el empleo en esta empresa mantienen alguna relación de equilibrio? 6 Solución sugerida Apartado (a) El problema de la regresión espuria consiste en pensar que dos o más variables que realmente son independientes, mantienen una relación relevante simplemente por el hecho de no ser estacionarias. Este problema aparece cuando se emplea el estimador de Mínimos Cuadrados y la inferencia basada en él en un contexto inadecuado, en concreto en una regresión entre variables no estacionarias en la que las perturbaciones tampoco son estacionarias En el caso que nos ocupa, sin embargo, ese problema no parece estar presente pues aunque tanto la producción como el empleo son no estacionarias (como se dice en el enunciado y se aprecia en el gráfico), cuando se efectúa el análisis de regresión entre ambas, parece claro que los residuos son estacionarios y en concreto ruido blanco (ver gráfico de residuos, acf y pacf), por lo que el análisis clásico de regresión es válido. Apartado (b) Dado que, como acabamos de señalar, los residuos de la regresión estimada presenta claros indicios de estacionariedad podemos decir que ambas variables están cointegradas, es decir que aunque cada una de las variables es I(1) existe una combinación lineal de ellas que es estacionaria. En concreto las variables son CI(1,1). Apartado (c) Una de las implicaciones fundamentales de la existencia de cointegración entre las variables consideradas es la existencia de una relación de equilibrio a largo plazo entre la producción y el empleo. En concreto en este caso estimamos que esa relación sería: log Yt − 0.99 log E t . 7