Relación de ejercicios, tema 2

Relación de ejercicios, Tema II.
Ecuaciones en Derivadas Parciales, Grado en Matemáticas
1. Resolver mediante el método de las curvas caracterı́sticas:
ux + uy =
u
.
log u
2. La siguiente ecuación recibe el nombre de ecuación de Burgers, y puede
verse como una versión uno-dimensional de las ecuaciones de Euler:
ut + u ux = 0,
u(x, 0) = g(x).
a) Resolver dicha ecuación, dando una expresión implı́cita de u(x, t). Bajo
qué condiciones sobre g la solución está bien definida para todo t ≥ 0?
b) Probar que si g 0 (x) está acotada, entonces existe solución en un conjunto de la forma R × (−ε, ε).
c) Probar que si, además, g ∈ L2 (R), entonces u(·, t) también lo está para
todo t ∈ (−ε, ε), y
Z
+∞
Z
2
+∞
u(x, t) dx =
g(x)2 dx.
−∞
−∞
Hacerlo de manera formal no es difı́cil. Hacerlo riguroso, un poco sı́ lo
es!
3. Resolver el problema:
uux + uy = 1,
u(s, s) = 2s .
1
4. Explicar por qué el siguiente problema de Cauchy:
ux + uy = u,
u(s, s) = 1,
no tiene solución.
5. Dado g ∈ C 1 (R) y α ∈ R, resolver el siguiente problema de Cauchy:
xux + yuy = α u,
u(x, 1) = g(x).
6. Sea Ω el disco unidad cerrado en R2 y consideremos dos funciones a, b ∈
C 1 (Ω) tales que:
a(x, y)x + b(x, y)y > 0,
∀(x, y) ∈ ∂Ω.
Probar que u ≡ 0 es la única solución de la ecuación:
a(x, y)ux + b(x, y)uy = −u,
(x, y) ∈ Ω.
6. Dados h ∈ C 1 (R2 ) y α ∈ R, resolver el siguiente problema de Cauchy:
xux + yuy + uz = αu,
u(x, y, 0) = h(x, y).
x > 0,
7. Dado el siguiente problema de Cauchy:
√
yux − xuy + uz = u,
u(x, y, 0) = x2 + y 2 .
¿Es un problema caracterı́stico? ¿Qué forma tienen las curvas caracterı́sticas?
8. Resolver el siguiente problema de Cauchy:
yu2 ux + xuy = 0,
u(x, 0) = g(x).
¿En qué modo el dato inicial g cambia la forma de las curvas caracterı́sticas?
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9. Resolver el siguiente problema de Cauchy y estudiar para qué dominio de
R2 hay solución:
uxux + uyuy = 1,
u(x, y) = g(x, y), x2 + y 2 = 1
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