La longitud de la sombra que proyecta un edificio , a una hora determinada, y la altura del edificio son magnitudes directamente proporcionales. Indica las expresiones algebraicas de las funciones de proporcionalidad directa q se obtienen en los siguientes casos a) Un edificio de 24 m, a las 8 de la mañana, proyecta una sombra de 30 m. b) El mismo edificio, a las 10 de la mañana, proyecta una sombra de 20 m. -Construye una tabla de valores para los 6 m, 12 m, 18 m, 24 m de altura del edificio y representa graficamente ambas funciones. -Determina la pendiente de cada recta. -¿Qué crees que ocurriría a las 11 de la mañana: las sombras serán mayores o menores? Solución: Cuando te dicen que dos magnitudes son directamente proporcionales es que se pueden escribir 𝑦 = 𝑘 · 𝑥 donde 𝑥 y 𝑦 son las magnitudes proporcionales y 𝑘 es la constante de proporcionalidad, que hay que determinar. Para poder hacerlo necesitas saber 1 dato de cada magnitud en un mismo instante, y luego resolver la ecuación. Supongamos que 𝑥 es la altura del edificio y 𝑦 es la longitud de la sombra (esto es a las 8 de la mañana) 𝑦 = 𝑘 · 𝑥 ⟹ 30 = 𝑘 · 24 ⟹ 𝑘 = Luego: 30 5 = 24 4 5 a) para las 8 de la mañana, se tiene que la ecuación es 𝑦 = 4 𝑥 Por otra parte, como el edificio es el mismo, sigue teniendo 24 m de altura, pero a las 10 de la mañana, la sombra es de 20 m. Por lo tanto, a esta hora 𝑥 = 24, 𝑦 = 20: 20 5 𝑦 = 𝑘 · 𝑥 ⟹ 20 = 𝑘 · 24 ⟹ 𝑘 = ⟹𝑘= 24 6 Luego: 5 b) para las 10 de la mañana, se tiene que la ecuación es 𝑦 = 6 𝑥 Estas ecuaciones nos permiten conocer la sombra de cualquier edificio a estas horas, sea cual sea su altura (𝑥) Hacemos las tablas: Hora: 8:00 𝑥 (altura edif) 6 12 18 24 Hora: 10:00 5 Sombra: 𝑦 = 4 𝑥 5 30 ·6= = 7,5 4 4 5 𝑦 = · 12 = 15 4 5 𝑦 = · 18 = 22,5 4 5 𝑦 = · 24 = 30 4 𝑦= 𝑥 6 12 18 24 𝑦= 5 6 5 ·6=5 6 5 𝑦 = · 12 = 10 6 5 𝑦 = · 18 = 15 6 5 𝑦 = · 24 = 20 6 𝑦= La pendiente de cada recta es, en cada ecuación, el número que multiplica a 𝑥. En la recta que simula las 8:00 5 horas, la pendiente es 𝑚 = 4, mientras que a las 10:00 horas, la 5 pendiente es 𝑚 = 6. Con lo cual, vemos que las pendientes van siendo menores conforme avanza la mañana. Así, a las 11 de la mañana se prevé que las sombras sean menores que las que hay a las 10 de la mañana. (La explicación está en los 5 5 valores de las pendientes: a las 8 vale 4 = 1,25, mientras a las 10 vale 6 = 0,83.)