Formulario.

Formulario —Astronáutica/Mecánica Orbital, 2013/2014
Problema de los dos cuerpos
~r
p
h2
Ecuación diferencial: ~r¨ = −µ 3 , donde µ ≈ Gm. Solución (cónica): r =
, donde e=excentricidad, p =
parámetro de la cónica,
r
1 + e cosθ
µ
2
µ
µ
v
θ=anomalı́a verdadera. Energı́a especı́fica: ε = − . Además ε = − . Momento angular especı́fico: ~h =~r ×~v. h = vr cos γ,
s
2
r
2a
a3
e sen θ
2
γ (ángulo de trayectoria) verifica tan γ =
. Vel. areolar Ȧ = r θ̇/2 = h/2. Periodo T = 2π
. Vector nodal ~n = ~kR ×~h.
1
+
e
cosθ
µ
r
r
r
r
µ
~v ×~h ~r
2µ µ
µ
2µ
− .Velocidades: circular vc =
, escape ve =
, exceso v∞ = − . Vector excentricidad:~e =
− .
Fuerzas vivas: v =
r
a
r
r
a
µ
r
√
Cónicas
ELIPSE (0 < e < 1): p = a(1 − e2), b = a 1 − e2, c = ae, a2 = b2 + c2
ra + r p
ra − r p
p
p
.
= a(1 − e), ra =
= a(1 + e), a =
,e=
1+e
1−e
2
ra + r p
p
θ
PARÁBOLA (e = 1): r p = . a = c = ra = ∞. γ =
2
2
√
HIPÉRBOLA (e > 1): a, b, c < 0, p = a(1 − e2), b = a e2 − 1, c = ae, c2 = b2 + a2 .
1
1
p
−1
−1
, θ∞ = cos
− .
= a(1 − e). Ası́ntotas: δ = 2 sen
rp =
1+e
e
e
Periapsis/apoapsis: r p =
r
y
p
θ
x
O
b
c
a
Leyes Horarias
ra
rp
r
p
y
x
r
1+e
tan (E/2), E=anomalı́a excéntrica. Ecuación de Kepler:M = E − e sen E.
1−e
p
M = n∆t, M=anomalı́a media, n = µ/a3 velocidad orbital media, ∆t=tiempo desde periapsis.
f (Ek )
Método Newton: Ek+1 = Ek − ′
donde f (E) = M − E + e sen E. Recurrencia: Ek+1 = M + e sen Ek .
f (Ek )
3
5
2
3
5/128 sen 3M + O(e4 )
Serie:E = M + e − er/8 + e /192 sen M
e4/6 sen 2M
+
3e /8 − 27e p
+e /2 − √
1
θ
θ
θ
µ
3
+ tan3
. tan
= z − , z = B + B2 + 1.
∆t. 2B = 3 tan
PARÁBOLA: B = 3
3
p r
2
2
2
z
1+e
HIPÉRBOLA:tan (θ/2) =
tanh (H/2), H=anomalı́a hiperbólica. N = e senh H − H.
r
e−1
µ
.
N=anomalı́a hiperbólica media. N = n∆t, n =
−a3
ELIPSE: tan (θ/2) =
θ
O
Elementos Orbitales Clásicos
En la figura: Ω=ascensión recta del nodo ascendente (RAAN), ω=argumento de periapsis,
i=inclinación, θ=anomalı́a verdadera. Además: e, a. Si e = 0 → ω, θ indefinidos: u = ω + θ.
Si i = 0o → Ω, ω indefinidos: ϖ = Ω + ω. Si e = 0, i = 0o → Ω, ω, θ indefinidos: λT = Ω + ω + θ.
rp
Maniobras
r
δ
y
θ∞
O
MANIOBRA GENERAL
∆V 2 = Vi2 + V f2 − 2ViV f cos ϕ, donde Vi =Vel. inicial, V f =Vel. final, ϕ=ángulo entre Vi y V f = γi − γ f .
V f sen ϕ
, ψ=ángulo entre Vi y ∆V . Sin cambio de plano: ωi + θi = ω f + θ f .
sen ψ =
∆V
θ
x
-b
p
-a
-c
rp
F
7
?
periapsis
MANIOBRA DE CAMBIO DE PLANO ( i1 , Ω1 → i2 , Ω2 )
ϕ
cosϕ = cos i1 cos i2 + sen i1 sen i2 cos(Ω2 − Ω1), ∆V = 2V sen . Si Ω2 = Ω1 → ϕ = ∆i = i2 − i1 .
2
sen i1 sen i2 sen(Ω2 − Ω1 )
, donde φ=latitud donde se realiza la maniobra.
sen φ =
sen ϕ
m0 + m p
GASTO COMBUSTIBLE: ∆V = Ve ln
,Ve = Isp g0 . Isp =impulso especı́fico, g0 = 9,81m/s2.
m0
Ω + λu − λ − GST0
TRAZA/LANZAMIENTO: cos i = sen Az cos φ, donde Az=azimut, φ=latitud. t =
ω⊕
cos Az
t=tiempo(UT), cos λu =
, λ=longitud, GST0 =GST(00:00UT), GST(t2 ) = GST(t1 ) + (t2 − t1)ω⊕ .
sen i
sen φ = sen u sen i, tan λu = tan u cos i, donde u = ω + θ, λu + Ω = LST = GST + λ = GST0 + λ + ω⊕t
Cruce SրN:u ∈ [−90o, 90o ],NրS:u ∈ [90o , 270o].:u = 0o .Máx. φ:u = 90o .:u = 180o.Mı́n. φ:u = 270o .
Órbita directa (i < 90o ): λu mismo cuadrante que u. Retrógrada (i > 90o): λu cuadrante opuesto a u.
Órbita polar (i = 90o ): Cruce SրN → u = φ, λu = 0o . Cruce NրS → u = 180 − φ, λu = 180o.
λ̇
cosi
(1 + e cosθ)2
tan φ
r φ̇ = tan u u̇, λ̇ = −ω⊕ + cos2 φ u̇, u̇ = θ̇ = n (1 − e2 )3/2 , retrógrada si λ̇ < 0. Az aparente:tanAz = .
φ̇
Cobertura y visibilidad
R⊕ + h
R⊕
sen α − α
donde h=altitud, Γ=radio angular. Instrumental: Γ = sen−1
R⊕ + h
R⊕
donde α=ángulo visibilidad instrumento. Ancho huella w = 2R⊕ Γ (Γ en rad.).Área:2πR2⊕(1 − cosΓ).
cos Γ − senφ0 sen φ
Circunferencia esférica de radio Γ centrada en φ0 , λ0 : sen φ = sen φ0 cos Γ + cosφ0 sen Γ cos A con A ∈ [0, 360o]. cos ∆λ =
,
cos φ0 cos φ
λ = λ0 ± ∆λ (+ si A ∈ [0, 180o ], - si A h∈ [180, 360o]). Distancia ortodrómica:cosα
=
sen
φ
sen
φ
+
cosφ
cos
φ
cos(λ
−
λ).
Dentro
si
α
≤
Γ.
0
0
0
−1/2 i
,visible si h > hmin , donde ψ se obtiene despejando
Visibilidad desde (φ, λ): h(t) = sen−1 (r cos ψ − R⊕) r2 + R2⊕ − 2R⊕r cos ψ
ide
h
R⊕ cos hmin
−1
cos ψ = cos φ[cos(LST − Ω) cos(ω + θ) + sen(LST − Ω) sen(ω + θ) cos i] + sen(ω + θ) sen i sen φ. Cı́rculo visible:Φ = cos
R⊕ +hSAT − hmin .
cosΓ =
Trigonometrı́a Esférica
!
$
"
%
Perturbaciones seculares
sen b sen c
sen a
=
=
. Área: S = (α + β + γ − π)R2
sen α sen β sen γ

 cos α = − cos β cos γ + senβ sen γ cos a
cos β = − cosα cos γ + senα sen γ cos b
Leyes de cosenos I:

cos γ = − cos β cos α + sen β sen α cos c

 cos a = cos b cos c + senb sen c cos α
cos b = cos a cosc + sena sen c cos β
Leyes de cosenos II:

cosc = cos a cosb + sena sen b cosγ
debidas al J2
Ley de senos:
#
2
2
3 RL
3 RL
Ω̇ = − n 2 J2 cosi. ω̇ = n 2 J2 (5 cos2 i − 1).
2 p
4 p
2
3 RL √
Ṁ = n + n 2 J2 1 − e2(2 − 3 sen2 i).
7/2
4 p
R⊕
= −0,0989.
Órbita heliosı́ncrona (circular): cos i
R⊕ + h
p
„U
Misiones lunares e interplanetarias
2/5
µ2
.
Esfera de influencia(m2 ≪ m1 ):Re = L
µ1
1
Periodo sinódico:TPsin =
|1/T⊕H − 1/TPH | q
#
U
park
L2$ + R2e$ − 2L$ Re$ cos λ.
Ψ = θL − β − n$tv , donde β se obtiene de rq
L sen β = Re$ sen λ.
S
G
S
2 − 2V GV cos(γG − β).
~
~
~
Órbita selenocéntrica: VL = VL − V$ . VL = (VLG )2 + V$
L $
L
MISIONES LUNARES: De la figura: rL =
γSL = δ − 90o donde δ verifica VLS sen δ = V$ cos λ − VLG cos(γG
L − λ − β).
w0)(D
~
MANIOBRA ASISTIDA POR GRAVEDAD (EL TRIÁNGULO VARÍA
AASEGÚN EL PROBLEMA):
MISIONES LUNARES: ÓRBITA GEOCÉNTRICA
8h1
8I1
~
8
8hd
~h
h
1
& t
8U
8Id
d
~h
~
t
U
1
„€
& „U
&
8hd
#
p
C
8U
#
~
U
@
2v∞
.
− ~VP , vP1 = vP2 = v∞ . ∆V = 2v∞ sen δ/2 =
q
1 + r pv2∞ /µ p
v
sen
α
∞
H
2
v2 = VP + v2∞ − 2VPv∞ cos α.sen γ2 =
,α se obtiene del triángulo.
vH
2
~vP
= ~vH
MISIONES LUNARES: ÓRBITA SELENOCÉNTRICA
Datos de uso común
R⊕ = 6378,14 km,µ⊕ = 398600,4 km3 /s2 ,L⊕ = 1 AU = 149,598 · 106 km,T⊕ = 23 h 56 m 4 s,ω⊕ = T2π⊕ = 7,29 · 10−5 rad/s = 0,004178 o /s.
ω⊙ = 114,2o ,ε = 23,5o ,e = 0,0167, J = 0,001083, λ = 123o,J = −5,35 · 10−6,UT = 806,8117 s = 13,447 min,UV = 7,9054 km/s.
⊕
⊕
2
22
22
⊕
⊕
3 2
µ⊙ = 132712439935,5 km3 /s2 , L$ = 384400
 km, R$ = 1738 km, µ$ = 4902,8 km /s , UV⊙ = 29,7847 km/s,UT⊙ = 58,1324
√ dias.
2
de
2 ∂U p
1 − e ∂U p
 da
1 − e2 ∂U p

Variación de los elementos

=
=
−

2

dt
na ∂M
dt
na e ∂M
na2 e ∂ω

 di
∂U p
∂U p
∂U p
dΩ
1
1
√
+ cosi
=
Ecuaciones planetarias de Lagrange dt = − 2√
2
2
2
∂Ω
∂ω
dt

na 1 − e sen i ∂i
√na 1 − e sen i

2 ∂U
 dω
[perturbación~γP = −∇U p (a, e, i, ω, Ω, M)] 
∂U
dM
cos
i
2 ∂U p 1 − e2 ∂U p
1
−
e

p
p

√
=
−
=
n
−
−

R
(1 − e2)3/2
dt
na2 e ∂e
dt
na ∂a
na2 e ∂e
na2 1 − e2 sen i ∂i
Ū p = 02π U p
dθ.
2
\F
(1 + e cosθ) 2 J2
µ R⊕
90-*
2
2
(1 − 3 sen φ) + 3J22 cos φ cos(2(λ − λ22)) .
Modelo J2/triaxial:U p =
uIC
r
r
2
Otros
\F
L
\F
*
90-_
Sol: u⊙ = u⊕ + 1800. HSA=
+ 12.
90-&C
HSM=UT+λ/15
(LST
− AR⊙ )/15
7
M + 9
275M
`
+
+ D + 1721013,5
Dı́as Julianos: JD = 367A − 7/4 A +
12
9
Radio circ. eclipse a altura h: sen Γ = R⊕ /(R⊕ + h). Ángulo horario S: HS = LST − ARS . TRIÁNGULOS ESFÉRICOS TÍPICOS
√
Solución A sen θ + B cosθ = C : si C2 ≤ A2 + B2 , θ = ± cos−1 (C/D) + θ0 , donde D = A2 + B2, cos θ0 = B/D, sen θ0 = A/D.