Geometría del triángulo y la circunferencia

Geometría del triángulo y la circunferencia
Raúl Núñez Cabello
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GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Y DE
LA CIRCUNFERENCIA
Raúl Núñez Cabello
Geometría del triángulo y la circunferencia
Raúl Núñez Cabello
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© 2007. Raúl Núñez Cabello
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Geometría del triángulo y la circunferencia
Raúl Núñez Cabello
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Índice de contenido
Presentación .......................................................................................................................................................7
Capítulo 1: Actividades de introducción de geometría del triángulo. ...................................................................8
a) Presencia de triángulos en distintos contextos reales: objetos, construcciones, etc. (Educación moral y cívica) ...................8
b) Triángulos de área entera.......................................................................................................................................................10
c) Valoración de los conocimientos previos del alumno. ............................................................................................................10
d) Curiosidades y anécdotas matemáticas sobre los triángulos (Recurso metodológico de la historia de las matemáticas). ...10
e) Video: “Donald en el país de las matemáticas”. .....................................................................................................................11
f) Ángulos de un triángulo. ..........................................................................................................................................................11
g) Aplicaciones de los triángulos.................................................................................................................................................11
Capítulo 2: Actividades de desarrollo de geometría del triángulo. ....................................................................12
1. Teorema de Pitágoras.............................................................................................................................................................12
a) Puntos notables de un triángulo (Educación para la salud)....................................................................................................12
b) Área de un triángulo................................................................................................................................................................13
c) Rectas notables de un triángulo..............................................................................................................................................13
d) Igualdad de triángulos. Criterios de igualdad..........................................................................................................................14
e) Utilización del teorema de Pitágoras en la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana. .............................14
f) Calcular la altura y el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados utilizando la fórmula de Herón. ...............14
Capítulo 3: Actividades de refuerzo de geometría del triángulo. .......................................................................15
1. Clasificación de triángulos según sus lados y según sus ángulos..........................................................................................15
a) Medianas de un triángulo........................................................................................................................................................16
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b) Teorema de la altura y del cateto. ..........................................................................................................................................16
c) Actividades de repaso.............................................................................................................................................................17
Capítulo 4: Actividades de ampliación de geometría del triángulo. ...................................................................18
1. Puntos notables (Educación ambiental)..................................................................................................................................18
a) Recta de Euler. .......................................................................................................................................................................18
b) Circunferencia inscrita (Educación ambiental)........................................................................................................................19
Capítulo 5: Actividades de introducción de geometría de la circunferencia. .....................................................20
1. Señalar la presencia de figuras circulares en múltiples obras de arte (Educación para la diversidad cultural)......................20
a) Calcular el área de un recinto.................................................................................................................................................22
b) Valoración de los conocimientos previos del alumno. ............................................................................................................23
Capítulo 6: Actividades de desarrollo de geometría de la circunferencia. .........................................................24
1. Ángulos inscritos.....................................................................................................................................................................24
a) Ángulos centrales y sectores circulares..................................................................................................................................24
b) Circunferencia inscrita y circunferencia circunscrita. ..............................................................................................................25
c) Arco capaz de un segmento. ..................................................................................................................................................25
Capítulo 7: Actividades de refuerzo de geometría de la circunferencia.............................................................28
1. La esfera terrestre (Educación ambiental)..............................................................................................................................28
a) La corona circular. ..................................................................................................................................................................28
b) Áreas de figuras circulares. ....................................................................................................................................................29
c) Actividades de repaso.............................................................................................................................................................29
Capítulo 8: Actividades de ampliación de geometría de la circunferencia.........................................................31
1. Problema del arco capaz de un ángulo (Educación para la utilización del tiempo de ocio). ..................................................31
a) Lugares geométricos. .............................................................................................................................................................31
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b) Áreas de figuras circulares más complejas. ...........................................................................................................................32
c) Longitud de la circunferencia................................................................................................................33
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Presentación
La idea de hacer un libro de ejercicios sobre geometría del triángulo y de la circunferencia surge
ante la necesidad de usar constantemente en clase fichas con actividades suplementarias para
los alumnos, actividades de refuerzo en la mayoría de los casos y de ampliación para la minoría.
Libros sobre geometría del triángulo y la circunferencia hay muchos y hoy en día es muy fácil
buscar información en libros o por internet sobre la multitud de trabajos que se pueden realizar.
Sin embargo, a mí me interesaba algo más concreto.
Se me ocurrió la idea de que si se puede disponer esporádicamente de alguna hora con los
alumnos (alternativa a la religión, tutorías, guardias, etc) se aproveche esta hora para introducir
algunos conceptos básicos sobre la geometría del triángulo y de la circunferencia con
actividades de distinto tipo. Además, estos juegos y actividades pueden servir muy bien para
introducir algún tema transversal, a veces tan difíciles de introducir en algunas clases. En este
libro se ha puesto entre paréntesis en el título de la actividad cuando se tocaba algunos de estos
temas.
Ésta ha sido la razón de ser de este libro, proporcionarles a las profesoras y profesores que lo
estimen oportuno algunas actividades sobre geometría del triángulo y de la circunferencia para
hacer en clase de vez en cuando, así como animarles a hacerlo, ya que, hoy por hoy, se antoja
como una opción realmente buena para acercar la geometría a las alumnas y alumnos.
El autor.
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Capítulo 1: Actividades de introducción de geometría del
triángulo.
a.) Presencia de triángulos en distintos contextos reales: objetos, construcciones, etc.
(Educación moral y cívica)
Un buen y famoso ejemplo de construcción con triángulos es la Torre Eiffel de París. Construida
para la Exposición Universal en conmemoración del centenario de la Revolución Francesa, la
torre con la bandera flambeando en la cumbre fue inaugurada el 31 de Marzo de 1889. A pesar
de las fuertes protestas y de las críticas severas de los Parisinos y de los intelectuales franceses
durante su construcción, la estructura metálica se ha convertido hoy en día en el símbolo de
París, atrayendo cada año a más de 6 millones de visitantes.
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Se construye con triángulos ya q el triángulo es el único polígono indeformable. Si construimos
un paralelogramo, u otro polígono de más lados, con tiras de cartón y alfileres, obtenemos
estructuras que se deforman presionando. Realizando la operación con el triángulo, no lo
modificamos: es la rigidez del triángulo la que hace que sea utilizado en muchas
construcciones.
Una elegante silueta: el puente del Alamillo de Sevilla.
Fue construido entre 1989 y 1992 por el arquitecto Santiago Calatrava. El puente tiene un sólo
brazo que soporta todo su peso. Es sin lugar a dudas una de las más destacadas construcciones
de las llevadas a cabo en Sevilla con motivo de la Exposición Universal de 1992. La estructura
sustentadora, la plataforma de la calzada y los tirantes forman triángulos oblicuángulos
semejantes. Se les puede comentar a los alumnos que en esta unidad aprenderán a calcular la
longitud de los diferentes tirantes conocidos los puntos de anclaje en la calzada y la estructura
sustentadora. La herramienta que se empleará es una generalización del teorema de Pitágoras.
Pedir a los alumnos que pongan ejemplos como los anteriores.
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b.) Triángulos de área entera.
Si conocemos los tres lados de un triángulo, podemos averiguar su área usando la fórmula de
Herón, que desarrollaremos en esta unidad. A lo largo de la historia los matemáticos han tratado
de encontrar grupos de números consecutivos que cumplieran la condición de que el área del
triángulo formado con esas medidas fuera un número entero. Utiliza la fórmula de Herón (Área
= p ( p − a )( p − b)( p − c) , siendo a, b y c las longitudes de los lados del triángulo y p el
a+b+c
semiperímetro, es decir, p =
), que más adelante demostraremos en clase, para
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comprobar que un triángulo de lados 13, 14 y 15 tiene área entera. Busca otra terna de números
consecutivos que verifiquen que el área del triángulo sea entera. Al cabo de un tiempo, podemos
decirles que prueben con números mayores de 10000. (A medida que los números son mayores
van aumentando el nº de ternas que cumplen la condición)
c.) Valoración de los conocimientos previos del alumno.
Se les puede plantear a las alumnas y alumnos las siguientes actividades:
•
Hallar ángulos complementarios y suplementarios de algunos dados.
•
Dadas dos rectas que se cortan, calcular los cuatro ángulos que se forman sabiendo el
valor de uno de ellos.
•
Trazar la mediatriz de un segmento.
•
Trazar la bisectriz de un ángulo.
•
Trazar las mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de diferentes tipos de triángulos.
•
Calcular la diagonal de un rectángulo conocidos sus lados.
•
Calcular la medida del lado de un cuadrado sabiendo el valor de su diagonal.
d.) Curiosidades y anécdotas matemáticas sobre los triángulos (Recurso metodológico de
la historia de las matemáticas).
¿Sabes cuál es el teorema del que se conocen más demostraciones diferentes?
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A principios del siglo XX, un profesor llamado Elisha Scout Loomis reunió 367 demostraciones
del teorema de Pitágoras. Curiosamente, entre tantas demostraciones, no hay ninguna que
podamos asignar originalmente al propio Pitágoras.
e.) Video: “Donald en el país de las matemáticas”.
La unidad se puede iniciar con la proyección de este vídeo, para estimular visualmente con la
parte de la relación de Pitágoras con la música, el rectángulo de oro y el pentágono regular en la
naturaleza. Se dejaran abiertas varias interrogaciones sobre la relación de la geometría con la
vida cotidiana y la necesidad de las mediaciones indirectas.
f.) Ángulos de un triángulo.
Un triángulo tienen sus tres ángulos diferentes. La medida del mediano es 10º mayor que el
ángulo pequeño, pero 10º menor que el ángulo grande. Halla el valor de los tres ángulos. ¿De
qué tipo es el triángulo según sus lados?
Los valores de los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 2, 3 y 4. Halla los
valores de estos ángulos sabiendo que están expresados en grados.
g.) Aplicaciones de los triángulos.
¿Te has fijado alguna vez en los andamios que se utilizan para poder ir subiendo a la parte
construida de los edificios? Verás que los tubos que los forman van siguiendo siempre formas
triangulares. Es así porque el triángulo es el único polígono indeformable.
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Capítulo 2: Actividades de desarrollo de geometría del
triángulo.
1. Teorema de Pitágoras.
Proponemos problemas que se resuelven aplicando este teorema, por ejemplo.:
a.) Puntos notables de un triángulo(Educación para la salud)
En los Juegos Olímpicos el recorrido de una de las regatas tiene forma de triángulo obtusángulo
con el ángulo obtuso en A. Las longitudes de los lados son, en millas marinas, AB=1,5 AC=2
BC=3. Dibuja el triángulo resultante. En cada vértice está situada una boya y un juez quiere
situarse en un bote a igual distancia de cada una. ¿En qué punto debe hacerlo y cuál será aprox.
la distancia desde el bote a cada boya?
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b.) Área de un triángulo.
c.) Rectas notables de un triángulo
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d.) Igualdad de triángulos. Criterios de igualdad.
Ejercicios geométricos de construcción de triángulos conocidos los tres lados, dos lados y el
ángulo comprendido o un lado y los dos lados contiguos.
En un paralelogramo se traza una diagonal. ¿Cómo son los triángulos que se forman?, ¿tienen la
misma superficie?
Utiliza los criterios de igualdad de triángulos.Utilizando la igualdad de triángulos,
demuestra:Cualquier punto de la mediatriz de un segmento de extremos A y B equidista de los
extremos.
Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo AOB equidista de las rectas OA y OB.
e.) Utilización del teorema de Pitágoras en la resolución de problemas geométricos y de la
vida cotidiana.
La diagonal de un rectángulo mide 30 cm y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo.
En un cajón con forma de ortoedro de dimensiones 10 cm de largo, 7 cm de ancho y 5 cm de alto
se quiere meter una varilla recta de hierro de 13 cm de largo. ¿Es posible?
f.) Calcular la altura y el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados
utilizando la fórmula de Herón.
Dado el triángulo ABC cuyos lados miden 13, 14 y 15 cm, se pide:
La altura sobre el lado mayor.
El área del triángulo conocido el resultado anterior.
El área, utilizando la fórmula de Herón.
Hallar la fórmula del triángulo equilátero a partir de la fórmula de Herón. Aplicarlo al caso que el
lado mide 12 cm.
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Capítulo 3: Actividades de refuerzo de geometría del
triángulo.
Están orientadas a aquellos alumnos que tienen dificultades en alcanzar los objetivos señalados.
Cabría la posibilidad de dar a estos alumnos estas actividades en unas fichas aparte para que
las vayan haciendo. Es muy importante que las alumnas y alumnos sepan distinguir
correctamente los elementos, características y tipos de triángulos. Se pueden proponer las
siguientes actividades:
1.- Clasificación de triángulos según sus lados y según sus ángulos.
Clasifica en rectángulos, acutángulos u obtusángulos los triángulos de lados:
a) 5 m, 6 m y 7 m. b) 13 m, 15 m y 20 m. c) 45 m, 27 m y 36 m. d) 35 m, 28 m y 46 m.
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a.) Medianas de un triángulo.
Se llaman medianas a los segmentos que unen el punto medio de un lado con el vértice
opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado baricentro. El
baricentro tiene la propiedad de ser el centro de gravedad del triángulo.
Les podemos plantear a los alumnos el siguiente ejercicio: Ata una plomada
a un alfiler y pincha el triángulo por cada una de sus esquinas. El hilo define
tres rectas que son las medianas.
Si sostenemos desde el baricentro, el triángulo se mantendrá paralelo al suelo (en equilibrio).
b.) Teorema de la altura y del cateto.
Teorema de la altura: En la figura tienes tres triángulos
rectángulos: AHC, BHC y ABC.
Aplicando el tª de Pitágoras en los dos primeros, tenemos:
y
Si aplicamos el mismo teorema en el triángulo mayor y
sustituimos c por m+n, tendremos:
Por
tanto:
Teorema
del
cateto:
En
triángulo BHC, se obtiene que
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el
triángulo
, es decir:
.
AHC
de
la
figura
anterior:
. Análogamente, razonando sobre el
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Ejercicio:
c.) Actividades de repaso.
Construye un triángulo equilátero de lado 10 cm. Halla gráficamente el baricentro y el ortocentro.
¿Qué observas?
Dibuja un triángulo ABC cualquiera. Halla el circuncentro O, el baricentro G y el ortocentro H.
¿Qué observas?
Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo que mide 40º, ¿son siempre iguales?
Al dibujar un triángulo y para comprobar si es rectángulo se han vuelto a medir sus lados y se ha
obtenido 5 m, 11 m y 11 m. ¿Es un triángulo rectángulo?
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Capítulo 4: Actividades de ampliación de geometría del
triángulo.
Están dirigidas a aquellos alumnos que han alcanzado rápidamente los objetivos propuestos,
que tienen curiosidad por el tema y que les gustaría saber más en algunos aspectos:
1.- Puntos notables (Educación ambiental).
Ana, Benito y Celia viven junto al parque. Halla en el plano el lugar en el que han de encontrarse
para que recorran lo mismo.
a.) Recta de Euler.
En cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están contenidos en una misma
recta, llamada recta de Euler. Halla esta recta en un triángulo dado.
Circunferencia inscrita (Educación ambiental).
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b) Circunferencia inscrita (Educación ambiental).
Raquel desea construir en su jardín (triangular) una pista circular lo mayor posible. ¿Sabrías
ayudarle a situarla?
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Capítulo 5: Actividades de introducción de geometría de
la circunferencia.
1.- Señalar la presencia de figuras circulares en múltiples obras de arte
(Educación para la diversidad cultural).
Se pueden mostrar fotografías de obras arquitectónicas o pictóricas donde predomine el
uso de la circunferencia. Un buen exponente es el pintor moscovita Kandinsky:
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También resultan atractivos como diseño arquitectónico circular teatros romanos de Mérida y
Tarragona:
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Pedir al alumnado q ponga ejemplos como éstos.
a.) Calcular el área de un recinto.
Calcular el área de un recinto atractivo, teniendo en cuenta que los alumnos ya deben
saber obtener áreas de figuras como el triángulo, el rectángulo y el círculo.
Nos servirá como actividad de detección de los conocimientos previos de los alumnos, para
hacer notar la presencia de figuras planas en distintos contextos y la necesidad de calcular la
superficie que ocupan. Calcula las siguientes superficies de un campo de baloncesto:
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a) El campo, b) El círculo central, c) La zona de tres puntos, d) La zona de dos puntos,
b.) Valoración de los conocimientos previos del alumno.
Se pueden realizar las siguientes actividades:
•
Hallar ángulos complementarios y suplementarios de algunos dados.
•
Dadas dos rectas que se cortan, calcular los cuatro ángulos que se forman sabiendo el
valor de uno de ellos.
•
Trazar la mediatriz de un segmento.
•
Trazar la bisectriz de un ángulo.
•
Trazar las mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de diferentes tipos de triángulos.
•
Calcular la diagonal de un rectángulo conocidos sus lados.
•
Calcular la medida del lado de un cuadrado sabiendo el valor de su diagonal.
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Capítulo 6: Actividades de desarrollo de geometría de la
circunferencia.
1.- Ángulos inscritos.
a) Ángulos centrales y sectores circulares.
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b) Circunferencia inscrita y circunferencia circunscrita.
c) Arco capaz de un segmento.
Vemos a unos futbolistas en posición de lanzar el balón contra la portería.
El ángulo de tiro es el formado por el pié del jugador (vértice) y las trayectorias a los postes
(lados).
¿Qué posiciones deberán ocupar los jugadores para que todos tengan el mismo ángulo de tiro?
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El problema consiste en averiguar el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales
se ve el ancho de la portería con el mismo ángulo. Este problema está relacionado con la
propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco PQ (misma
cuerda). Sabemos que estos ángulos miden todos lo mismo: la mitad del ángulo central
correspondiente.
Resolución del problema:
Supongamos que el ángulo de tiro es de 35º y que la portería se interpreta como un segmento
PQ. Vamos a construir el arco de circunferencia. Debemos saber que tanto los ángulos inscritos
como el ángulo semiinscrito que abarcan la misma cuerda PQ miden lo mismo.
En la figura adjunta el ángulo semiinscrito es el que tiene el vértice en la circunferencia, punto P,
un lado es tangente en P y el otro lado es secante en Q
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1. Se dan el segmento PQ = 4 y el ángulo de 35º.
2. Por el extremo P se traza el ángulo semiinscrito QPT = 35º.
1. 3º Por ser PQ una cuerda, el centro de la circunferencia está en la mediatriz de PQ. Por
eso se ha trazado dicha mediatriz.
2. Por ser PT tangente a la circunferencia, el centro está en la perpendicular a PT trazada
por P. Por ello se ha trazado dicha perpendicular.
3. El centro de la circunferencia es la intersección C de estas rectas.
4. Con radio PC se traza la circunferencia.
5. El lugar geométrico es el arco mayor, llamado arco capaz.
6. Obsérvese que la circunferencia simétrica de centro C´ también contiene otro arco capaz
desde el que se ve el segmento PQ bajo un ángulo de 35º.
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Capítulo 7: Actividades de refuerzo de geometría de la
circunferencia.
Están orientadas a aquellos alumnos que tienen dificultades en alcanzar los objetivos señalados.
Cabría la posibilidad de dar a estos alumnos estas actividades en unas fichas aparte para que
las vayan haciendo. Se pueden proponer las siguientes actividades:
1.- La esfera terrestre (Educación ambiental).
El ecuador terrestre tiene 40000 Km de longitud aproximadamente. Si suponemos que la Tierra
es una esfera perfecta, ¿cuánto mide el radio de la Tierra?
a) La corona circular.
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b) Áreas de figuras circulares.
c) Actividades de repaso.
1. En un campo de fútbol el radio del círculo central mide 9,15 m. Calcula la longitud de la
circunferencia que hay que pintar.
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2. Una pizza muy fina de 20 cm de radio es repartida a partes iguales entre 8 personas.
¿Cuál es el área de la porción que corresponde a cada persona? (Educación para la
salud: cuidado con el abuso de la comida “basura”).
3. Halla la longitud del arco y el área de un sector circular de radio 7 cm y ángulo 35º.
4. El radio de una rueda de un remolque mide 60 cm. ¿Cuánto mide la longitud de la huella
que deja en el suelo en una vuelta?
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Capítulo 8: Actividades de ampliación de geometría de la
circunferencia.
Están dirigidas a aquellos alumnos que han alcanzado rápidamente los objetivos propuestos,
que tienen curiosidad por el tema y que les gustaría saber más en algunos aspectos:
1.- Problema del arco capaz de un ángulo (Educación para la utilización del
tiempo de ocio).
Desde una butaca de un teatro un espectador ve el escenario bajo un ángulo de 90º. ¿Habrá
otras butacas desde las cuales se vea el escenario bajo el mismo ángulo?
a) Lugares geométricos.
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b) Áreas de figuras circulares más complejas.
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c) Longitud de la circunferencia.
Una rotonda tiene 10 metros de radio; parece pequeña y el ingeniero decide aumentar el radio 1
metro.
¿Cuánto aumenta la longitud de la circunferencia?
¿Y si el radio tuviera 20 m?, ¿y 50 m?
¿Puedes sacar algún resultado general para cualquier valor del radio?
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Sobre el autor
Experiencia docente:
Clases de Matemáticas e Informática de Educación Secundaria
Obligatoria en el IES Francisco Rivero de Los Molares (Sevilla)
durante todo el curso 2007/2008.
Clases de Matemáticas y Tecnología de Educación Secundaria
Obligatoria en el colegio concertado Providencia del Sagrado
Corazón en La Línea de la Concepción (Cádiz) durante todo el curso 2006/2007.
Raúl Núñez Cabello
Prácticas del Curso de Adaptación Pedagógica (C.A.P.) en el I.E.S. Doménico Scarlatti de
Aranjuez (Madrid) en Diciembre de 2004, impartiendo clases en 2º de bachillerato con el
profesor-tutor D. José María Lorenzo Magam.
Amplia experiencia impartiendo clases en academias y a particulares de matemáticas a distintos
niveles educativos, principalmente a niveles de secundaria obligatoria y bachillerato.
Elaboración de programaciones y unidades didácticas. Conocimiento de la estructura, objetivos y
contenidos del sistema educativo.
Tareas de asesoramiento, orientación y coordinación de estudios matemáticos en el Colegio
Mayor Guadaira (Sevilla).
Impartición de cursos sobre aprendizaje de distintas aplicaciones informáticas a sus usuarios
finales en la Junta de Andalucía.
Teléfonos: 653574158; 605708429;
Correo electrónico: rncabello@gmail.com
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