Universidad De Santiago De Chile Algebra 1 Prof: E. Rivera - R. Vargas 1er semestre 2012 Pauta Control N◦ 1 1. Considere el polinomio p(x) ∈ R[x] definido por p(x) = x4 + λx3 − 2λx + 4 donde λ ∈ R. Se pide: a) Evaluar el polinomio en los valores {−1, 0, 1}. b) Determine el valor de λ ∈ R, sabiendo que el polinomio q(x) = x + 2 divide a p(x). c) Determine el conjunto S = {x ∈ R | p(x) = 0}. Solución. a) Tenemos que p(−1) = (−1)4 + λ · (−1)3 − 2λ · (−1) + 4 = 5 + λ p(0) = 04 + λ · 03 − 2λ · 0 + 4 = 4 p(1) = 14 + λ · 13 − 2λ · 1 + 4 = 5 − λ b) Aplicando el Teorema del Resto tenemos p(−2) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ (−2)4 + λ · (−2)3 − 2λ · (−2) + 4 = 0 16 − 8λ + 4λ + 4 = 0 20 − 4λ = 0 λ=5 Entonces p(x) = x4 + 5x3 − 10x + 4 c) De lo anterior, claramente x = −2 es solución de la ecuación pedida. Por otro lado notemos que si λ = 5, entonces del item a) p(1) = 0, luego x = 1 es también solución de la ecuación. Realizando división sintética Potencias → Coeficientes → −2 Coeficientes del cociente Potencias del cociente x4 4 1 x3 Potencias → Coeficientes → 1 Coeficientes del cociente Potencias del cociente x3 5 −2 3 x2 x3 1 1 x2 x2 0 −6 −6 x x2 3 1 4 x x n◦ −10 4 12 −4 2 0 ◦ n resto x n◦ −6 2 4 −2 −2 0 ◦ n resto Ası́ p(x) = x4 + 5x3 − 10x + 4 = (x + 2)(x − 1)(x2 + 4x − 2) = 0 Finalmente nos falta determinar las raı́ces de la ecuación cuadrática p −4 ± 16 − 4 · 1 · (−2) 2 x + 4x − 2 = 0 ⇐⇒ x = 2 √ √ ⇐⇒ x = −2 − 6 ∨ x = −2 + 6 √ √ ∴ S = {−2, 1, −2 − 6, −2 + 6} 2. Si la proposición {∼ [(p ∧ r) ⇒ (p ∧ q)]} ∨ {(q∧ ∼ r) ∧ (p ⇔ q)} (1) es verdadera, determine el valor de verdad de la siguiente proposición: p ∧ (q ∨ r) . (2) Solución. Si la proposición en (1) es verdadera entonces existen dos casos: Caso 1. ∼ [(p ∧ r) ⇒ (p ∧ q)] es verdadera. Si ∼ [(p ∧ r) ⇒ (p ∧ q)] es verdadera entonces [(p ∧ r) ⇒ (p ∧ q)] es falsa y la única manera que una implicación sea falsa es que (p ∧ r) sea verdadera y (p ∧ q) sea falsa. Como (p ∧ r) es verdadera entonces p es verdadera y r es verdadera. Finalmente por ser p verdadera y (p ∧ q) falsa implica que q es falsa. Entonces, el valor de verdad de (2) en este caso es p ∧ (q ∨ r) ⇔ V ∧ (F ∨ V ) ⇔ V ∧ V ⇔ V . Caso 2. {(q∧ ∼ r) ∧ (p ⇔ q)} es verdadera. Si {(q∧ ∼ r) ∧ (p ⇔ q)} es verdadera entonces (q∧ ∼ r) es verdadera y (p ⇔ q) es verdadera. Como (q∧ ∼ r) es verdadera entonces q es verdadera y ∼ r es verdadera, esto es, r es falsa. Por ser p ⇔ q verdadera y q verdadera implica que p es verdadera. Entonces, el valor de verdad de (2) en este caso es: p ∧ (q ∨ r) ⇔ V ∧ (V ∨ F ) ⇔ V ∧ V ⇔ V . Por lo tanto, de los casos 1 y 2 se sigue que la proposición en (2) es verdadera.