Propiedades de la igualdad

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Propiedades de la igualdad
El álgebra es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las propiedades de objetos
matemáticos.
Un objeto matemático puede ser un número, una ecuación, un vector, etc.
Por ejemplo, para el álgebra de los números, tenemos un conjunto de objetos, en este caso, los
números, y el álgebra lo que hará es buscar y encontrar todas las propiedades de ese conjunto de
números.
La igualdad es una relación que se define entre números.
Las tres propiedades más importantes de la igualdad se resumen en una estructura matemática
que se conoce como relación de equivalencia.
Relación de equivalencia
La relación de equivalencia se define con las siguientes propiedades:
Reflexiva: a = a.
Ejemplo: 5 = 5.
Definición
1
Simétrica: Si a = b, entonces, b = a.
Ejemplo: Si x = 2, entonces, 2 = x.
Transitiva: Si a = b, y b = c, entonces, a = c.
Ejemplo: Si x = 2, y 2 = w, entonces, x = w.
Las propiedades de la igualdad nos ayudan a justificar los métodos que usaremos para resolver
problemas.
Por ejemplo, la propiedad reflexiva en palabras dice: «un número siempre es igual a sí mismo». En
un contexto familiar, podemos decir: yo siempre tengo mi propia edad.
La propiedad simétrica en palabras dice: «Si un número es igual a otro, el segundo debe ser igual al
primero». En el mismo contexto, podemos decir: Si Alicia tiene la misma edad que Berenice, entonces
Berenice tiene la misma edad que Alicia.
La propiedad transitiva en palabras dice: «Si un primer número es igual a otro segundo número, y
además, el segundo número es igual a otro tercer número, entonces el tercer número y el primer número
deben ser iguales». En el contexto de las edades esto se aplica así: Si Alicia tiene la misma edad que
Berenice, y Berenice tiene la misma edad que Claudia, entonces, Alicia y Claudia tienen la misma edad.
Sin embargo, esas propiedades no son todas las que posee la igualdad.
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Propiedades de la igualdad
Además de las propiedades que se mencionan en la relación de equivalencia, la igualdad presenta las
siguientes:
Para la suma: Si a = b, entonces, a + c = b + c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x + 3 = 5 + 3.
Para la resta: Si a = b, entonces, a − c = b − c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x − 3 = 5 − 3.
Para la multiplicación: Si a = b, entonces, a c = b c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, 7 x = (7)(5).
b
a
Para la división: Si a = b, entonces, = .
c
c
x
5
Ejemplo: Si x = 5, entonces, = .
7
7
Definición
2
( c 6 = 0)
Para la potencia: Si a = b, entonces, an = bn .
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x2 = 52 .
√
√
n
Para la raíz: Si a = b, entonces, n √
a= √
b.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x = 5.
3 La propiedad para la suma, nos dice en palabras que al sumar un mismo número en ambos
lados de una igualdad, obtenemos una nueva igualdad válida.
3 La propiedad para la resta, nos dice que al restar un mismo número en ambos lados de una
igualdad, obtenemos otra igualdad válida.
3 La propiedad para la multiplicación, nos dice en palabras que si multiplicamos ambos lados
de la igualdad por un número real, obtenemos otra nueva igualdad válida.
3 La propiedad para la división, nos dice que si dividimos ambos lados de la igualdad por un
número real (distinto de cero), obtenemos otra nueva igualdad válida.
3 La propiedad de la igualdad para la potencia indica que, si elevamos a la misma potencia
ambos lados de una igualdad, ésta se sigue cumpliendo.
3 La propiedad de la igualdad para la raíz nos dice que si calculamos la raíz n-ésima en
ambos lados de una igualdad (si esta operación es posible de realizar), la igualdad sigue
siendo válida. Por ejemplo puede ocurrir que obtengas:
3 x + 1 = −5
y desees calcular la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad. En este caso NO podemos
aplicar esa propiedad, porque no es posible calcular la raíz cuadrada de −5 (por ahora1 ).
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
• Si x = y, entonces, x + 2 = y + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la suma
1 Al
final del curso sabrás cómo calcularla.
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• Si a = 4, entonces, a + 2 = 4 + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la suma
• Si m = 6, entonces, 2 · m = 2 · 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la mult
• Si u = v y v = w, entonces, u = w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . transitiva
• Si p = 11 + q, entonces, p − 11 = 11 + q − 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la resta
• Si 2 m = r, entonces,
2m
r
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la div
2
2
Este tema es muy importante y también muy sencillo.
Probablemente, ya conocías todas las propiedades que se mencionaron, porque son muy evidentes.
En la siguiente solución de la ecuación 2 x + 5 = 21, indica la propiedad de la igualdad que se
utilizó.
Ejemplo 2
• Escribe a la izquierda la propiedad utilizada.
• 2 x + 5 − 5 = 21 − 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la resta
• 2 x = 16
•
2x
16
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la div
2
2
• x=8
• No te preocupes por entender los pasos que se dieron para la solución de la ecuación
anterior.
• Por ahora debes concentrarte en reconocer cada una de las propiedades de la igualdad.
Las propiedades de la igualdad se utilizarán en la mayoría de los procedimientos que utilizaremos
para resolver ecuaciones y otros problemas relacionados con álgebra, por ejemplo, el despeje.
El siguiente procedimiento se conoce como un despeje. En este caso se despeja la variable v f
de la fórmula:
v f − vi
a=
t
Indica en cada paso la propiedad de la igualdad que se está aplicando.
• Escribe a la derecha de las ecuaciones que tienen puntos la propiedad que corresponde.
v f − vi
t
v f − vi
• a·t =
· t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la mult
t
• a=
• a · t = v f − vi
• a · t + vi = v f − vi + vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la suma
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Ejemplo 3
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• a · t + vi = v f
• v f = a · t + vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . transitiva
• Como puedes ver, el despeje puede justificarse con las propiedades de la igualdad.
• No te preocupes por entender el despeje por ahora.
• Por ahora, solamente debes concentrar tu aprendizaje en las propiedades de la igualdad.
Ejemplo 4
Indica en cada paso del siguiente despeje la propiedad de la igualdad que se está aplicando.
• Escribe a la derecha la propiedad que corresponde a cada paso del despeje:
m1 · m2
r2
m1 · m2
2
• F·r = G·
· r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la mult
r2
• F = G·
• F · r 2 = G · m1 · m2
•
G · m1 · m2
F · r2
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la div
F
F
G · m1 · m2
F
r
√
G · m1 · m2
• r2 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para la raíz
F
r
G · m1 · m2
• r=
F
• r2 =
• Concéntrate solamente en las propiedades de la igualdad.
• Lo demás lo aprenderás más adelante.
En realidad, las propiedades de la igualdad y de los números sirven para justificar por qué utilizamos los procedimientos que usamos en álgebra y al entenderlos, podrás ver más ayá de las
letras escritas en este material, pues entenderás por qué podemos realizar una operación en un
procedimiento.
Por ahora, debes entender cómo podemos modificar expresiones que están igualadas.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 22 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
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