documento - revista de la facultad de ingenieria

18 (2004) 41-45
Aplicación de Poincaré Asociada a una Órbita Homoclínica en un
Campo de Vectores Lineales por Partes
Francisco J. Torres1
1. Departamento de Matemática, Universidad de Atacama, Copiapó, Chile,
ftorres@matematica.uda.cl
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Resumen
En este trabajo se presenta la aplicación de Poincaré asociada a una órbita homoclínica en el
origen, para esto usamos el teorema de la función implícita como herramienta principal. También
utilizamos los itenerarios dinámicos de los campos de vectores definidos en los distintos sectores
del espacio euclidiano. Usando técnicas de autovalores para resolver un sistema de tres ecuaciones
diferenciales ordinarias como también la forma canónica de jordan asociada a la matriz de
coeficientes del sistema de ecuaciones.
Palabras claves: Aplicación de Poincaré, Orbita Homoclínica.
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Abstract
In this work the application of Poincaré associated to a homoclínica orbit in the origin appears, for
this we used the theorem of the implicit function like main tool. Also we used the dynamic
itenerarios of the fields of vectors defined in the different sectors from the euclidiano space. Using
technical of autovalores to solve a system of three equations ordinary differentials as also the
canonical form of jordan associate to the matrix of coefficients of the system of equations.
Keywords: Homoclinic Orbit, Poincaré Map.
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1. Introducción
Demostración:
Definición. Un punto de equilibrio p de un
campo de vectores X, es dicho un punto
homoclínico si existe una trayectoria tiende a
p cuando Tal trayectoria es llamada órbita
homoclínica através de p y además, es una
autoconección de sillas, esto es, p es el
conjunto α y ω limite de la órbita.
uuur
uuur
r
r
s
x = r 0c2 + r '0c3
x
∈
W
(0)
Sea
entonces
y
r
r
t
t
α x ≤ 1 y si x ∈ V1 entonces α x = 1 , por lo
tanto
Orbitas Homoclínicas en 0.
Como
u1
u2 , u3
Sea
un real positivo
y
reales
negativos o complejos conjugados con parte
real negativa.
Como los autovalores asociados a los
dados por
ci = (1, ui , ui2 ) , i = 1, 2,3
ui
son
. Entonces tenemos una
s
variedad estable 2-dimensional W (0) y una
r
α tx = 1 ⇒ x = 1
uur
t
0ci = ( 1, ui , ui2 )
[1]
entonces tenemos
t
r
x = ( r + r ' ru2 + r ' u3 ru22 + r ' u32 )
Sustituyendo
relación
[2] en [1]
[2]
se obtiene la
r+ r'= 1
r
Resta probar que u x = 1
t
u
variedad inestable 1-dimensional W (0) en el
punto de equilibrio 0=(0,0,0) , dadas por
uuur r
r
r
W u (0) = x ∈ ¡ 3 : x = r 0c1 ,α x − 1 > 0
uuur
uuur r
r
r
W s (0) = x ∈ ¡ 3 : x = r 0c2 + r '0c3 , α x − 1 ≤ 0
r
r
,
r
'
∈
¡
x
= ( x, y , z ) .
Donde
y
{
{
}
}
Observación: Las variedades invariantes
asociadas al punto crítico 0 están definidas de
tal modo que todo punto perteneciente a una
de ellas es una combinación lineal de los
autovectores
correspondientes
a
los
autovalores que general el espacio.
¡
Lema: Sean
V1
definidos en [2] y el vector
 u + u −1 
u =  0, 2 3 ,

u2u3 u2u3 

dado por
, entonces
r
r
W s (0) ∩ V1 = { x ∈ ¡ 3 : u t x = 1, x = 1}
 x
r  u2 + u3 − 1   
ux= 0
u2 + u3
z
 y
u2u3 u2u3   
y−

u2u3 =
 z  = u2u3
t
( ru22 + r ' u32 )
u2 + u3
( ru2 + r ' u3 ) −
u2u3
u2u3
=
=
=r + r'= 1
por lo tanto
resultado.
r
u t x = 1 y de esto se sigue el
2. Itenerarios
Homoclínicas
Dinámico
de
Orbitas
En esta sección se muestran diversos tipos de
órbitas homoclínicas asociadas al origen y
condiciones necesarias sobre las aplicaciones
de retorno para su existencia.
Tipo 1.
0 → V1 → V1 → 0
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En este caso se satisfacen las siguientes
condiciones
Estas formulas se interpretan en forma similar
al tipo 1.
α t eCs0 c1 = 1
Tipo 3.
u t eCs0 c1 = 1
Donde la matriz C está definida en [1,2], con
las condiciones en la aplicación de retorno
α t eCs c1 ≠ 1
∀ s con 0 < s < s0
α t e As eCs0 c1 ≠ 1
∀s> 0
s0
está
las
p = eCs0 c1
La condición c) dice que
s0
a
α e
es el menor
tiempo tal que el campo intersecta
.
La condición d) garantiza la existencia de la
órbita homoclínica, pues, para cualquier t > 0 ,
e At ∉ V1
y por lo tanto este converge al punto
periódico 0 cuando t tiende a infinito, sobre la
variedad estable.
0 → V1 → V1 → V1 → V → 0
x = K (t , s )h
1 1 1,
En este caso tenemos que
dados en [Torres] y las siguientes condiciones
se cumplen
α t eCs0 c1 = 1
eCs0 c1 = e − At0 K (t1 , s1 )h1
u t eCs1 K (t1 , s1 )h1
Con condiciones en la aplicación de retorno
∀ 0 < s < s0
α t e − At x ≠ 1
∀ 0 < t < t0
α t eCs x ≠ 1
∀ 0 < s < s1
α t e At eCs1 x ≠ 1
∀t> 0
α t eCs c1 ≠ 1
t − At
V1
α t eCs c1 ≠ 1
u t eCs1 y = 1
Con condiciones en la aplicación de retorno
a este plano.
La condición b) obliga al punto
V ∩ W s (0)
pertenecer a 1
.
Tipo 2.
cumplen
eCs0 c1 = − e − At1 y
V
definido sobre el plano 1 aplicado al punto
corta en un tiempo
y = K (t1 , s1 )h2
En este caso tenemos que
definida en [Torres] y se
siguientes relaciones
α t eCs0 c1 = 1
La condición a) dice que el campo de vectores
c1
0 → V1 → V1 → V− 1 → V− 1 → 0
y ≠1
∀ 0 < s < s0
∀ 0 < t < t1
α t eCs y ≠ 1
∀ 0 < s < s1
α t e At eCs1 y ≠ 1
∀ t> 0
3. Aplicación de Poincaré Asociada a una
Orbita
3.1. Homoclínica.
En esta sección se muestra la aplicación de
Poincaré en una órbita homoclínica, para esto
se escoge un itinerario del tipo 1.
El campo definido entre las regiones V1 y V− 1
que llamaremos de R0 , tiene asociado un
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
r
r
x ' = Ax donde A ∈ M 3× 3 (¡ ) y sus autovalores
λ 1 = σ + iω λ 2 = σ − iω
λ3 = γ
son
,
y
donde
γ
>
0
−σ > 0 y
, así, existe un sistema de
coordenadas tal que A es trasformada en su
forma de Jordan J , esto es,
σ

J = ω
0

−ω
σ
0
0

0
γ 
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La
variedad
M = W s (0)
estable
es
xy y la variedad
transformada en el plano
u
inestable W (0) es transformado en el eje z
[Arneodo et al]. En este nuevo sistema de
coordenadas, el sistema de ecuaciones es
dado por
σ
r 
x'= ω
0

−ω
σ
0
Σ1
t% = h y
modo que
una sección bidimensional de
intersecte la variedad estable
W s (0) . Se quiere determinar una aplicación
ϕ de Σ 1 en Σ 0 . Una trayectoria partiendo
p0 = ( r0 , 0, z0 )
Σ1
Σ0
de
en
0
r
0 x
γ 
z 0 eγ t = h
, entonces
1  γ 
t% = ln  
γ  z0 
x' = σ x− ω y
y' = ω x+ σ y
lurgo la aplicación
z'= γ z
ϕ :Σ 1 → Σ 0
Tomando coordenadas cilíndricas con
−π ≤ θ ≤ π
r
Es dada por
como
p = ( x, y )
Angular de cualquier punto
,
tenemos que la solución del sistema para
( r ,θ , z )
condiciones iniciales 0 0 0 es dado por
r (t ) = r0eσ t
ϕ ( r0 , 0, z0 )
σ


λ


h
ω  h 

= r0   ,θ 0 + ln   , h


γ
 z0  
  z0 


Y definiendo ϕ ( r ) = p donde r es el punto
donde se intersectan la variedad estable en
Σ
p
0 y
cero y la sección
es el punto se
intersección entre la variedad inestable y la
θ (t ) = θ 0 + ω t
z (t ) = z0eγ t
sección
D0
Por lo tanto el flujo en la región
, que es
la región dada por la tranformación aplicada a
R0
en un
%
Así,
como coordenada radial y
coordenada
intersecta
tiempo t% , donde la tercera coordenada del
ϕ t es igual a h , esto es, cuando
flujo
Σ0
.
Ahora se quiere determinar una aplicación
de una vecindad
vs
de s en
Σ1
Σ0
ψ
, esto es
v
s es
suficiente, pues la aplicación de
a
dada por la composición de los flujos
asociados a los campos definidos en las
, es
 r0 eσ t

ϕ t ( r ,θ , z ) =  θ 0 + ω t
 z eσ t
 0
Σ0
Definimos, entonces
como una sección
transversal al flujo en la variedad inestable
W u (0) , a una altura
D
D
0 y
1 , donde esta última región
regiones
se obtiene aplicando la transformación a la
región que está sobre el plano
Sea
que
x0 = s ∈ vs
ϕ t0 ( s ) = r
V1
.
y suponga que existe
t0
tal
, entonces se define
F : vs × ( t0 − δ , t0 + δ ) → ¡
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Por
Así
ψ ( p) = r
F ( x, t ) = π 2 (ϕ t ( x)) − r
Donde
Pues,
ϕ t ( x)
es el flujo asociado al campo en
π
D
0 y
2 es la proyección en la
la región
segunda coordenada.
Como
F ( x0 , t0 ) = 0
DF ( x0 , t0 ) = rf ( s)
y
f es el campo de vectores y s no es
f , entonces
punto
crítico
de
Donde
un
DF ( x0 , t0 ) ≠ 0
funciones
v%s ⊂ vs
p∈ Σ 0 , r∈ Σ 1
. Así, por el teorema de las
implicitas, existe una vecindad
de s y una función
ψ (r ) = f ( ρ (ϕ ( p ))) = f ( ρ (q ))
= f ( s) = π 2 (ϕ t ( s ) ( s))
= π 2 (ϕ t0 ( s)) = F ( s, t0 ) + r
= r
Finalmente, tenemos que la aplicación de
Poincaré asociada a esta órbita homoclínica es
dada por la composición
π = ϕ oψ : Σ 0 → Σ 0
La cual tiene un punto fijo, pues, sea
entonces
p∈ Σ 0
,
t : v%s → ¡
π ( p ) = ϕ (ψ ( p )) = ϕ (r ) = p
Tal que
4. Conclusiones
F ( x, t ( x )) = 0 en t ( s ) = t0
En los itenerarios homoclínicos siempre es
posible definir una aplicación de Poincaré
mediante las técnicas usadas en la sección
anterior, ahora la pregunta es qué tipo de
técnicas de debe usar para definir el mismo
tipo de aplicación en una órbita heteroclínica,
que es una conección de puntos de silla.
Ahora se define
f = v%s → Σ 1
Por
f ( x) = π 2 (ϕ t ( x ) ( x))
ψ : Σ 0 → Σ 1 es
Por lo tanto, la aplicación
dada por la composición
ψ = f o ρ oϕ
ρ :Σ → v
0
s es la composición de los
Donde
flujos asociados a los campos definidos en las
D
0 y
regiones
condiciones
D1
y satisfacen las siguientes
ϕ t ' ( p) = q
ρ t '' (q ) = s
t'> 0
t '' > 0
5. Referencias
Arneodo et al., (1981). Possible new strong
attractors with spiral structure. Commun.
Math. Physics. 79
Torres F.J. (2003). Orbitas Periódicas en un
Campo de Vectores Lineales por Partes.
Revista de la Facultad de Ingeniería. 16.
Universidad de Atacama.
Torres F.J. (2004) Bifurcación de Orbitas
Periódicas en un Campo de Vectores Lineales
por Partes. Revista de la Facultad de
Ingeniería. 17. Universidad de Atacama.
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