Triángulos - pedro godoy g.

Triángulos
Es un polígono formado por tres segmentos cuyos tres puntos de intersección no están
en línea recta.
Triángulo ABC
A,B y C son vértices del triángulo
α , β , γ  ’s interiores.
a, b y c, longitud de los lados.
Clasificación de los triángulos:
-Según sus lados: - Escaleno
- Isósceles
- Equilátero
-Según sus ángulos: - Acutángulo (3 agudos)
- Rectángulo (Un ángulo de 90º)
- Obtusángulo (Un ángulo obtuso)
Propiedades de los triángulos
1. En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es 180°


2. En todo triángulo la suma de los ángulos exteriores es 360°

’’’
3. En todo triángulo la suma de sus lados debe ser mayor que el tercero
a + b > c,
b+c>a
a+c>b
4. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma
de los ángulos interiores no adyacentes.
’ =  + 
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’ =  + 
’ =  + 
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Característica de cada uno de los triángulos
TRIÁNGULO ESCALENO
 3 lados de distinta medida
 3 ángulo interiores de distinta medida
TRIÁNGULO ISOSCELES
 ABC  CAB , ángulos basales congruentes
o BCA se llama ángulo del vértice
o AB se llama base
o AC  BC , lados congruentes
TRIÁNGULO EQUILATERO
Tres lados de igual medida
Cada ángulo interior mide 60°
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TRIÁNGULO ACUTANGULO
Sus tres ángulos interiores son agudos, o sea, miden menos de 90°
Sus lados son lados pueden ser iguales o distintos, es decir, un triángulo
acutángulo puede ser, escaleno, isósceles, o equilátero.
TRIÁNGULO RECTANGULO
Uno de sus ángulos interiores mide 90°
La suma de los otros dos ángulos siempre
es 90° ( +  = 90°)
Se cumple el teorema de Pitágoras
a2  b2  c2
Si  =  = 45° se dice que triángulo es rectángulo isósceles.
En todo triángulo rectángulo donde sus ángulos
interiores son 30°-60°-90°. El lado opuesto al ángulo
de 30° es igual a la mitad de la hipotenusa.
BC 
AB
2
TRIÁNGULO OBTUSANGULO
Tiene un ángulo mayor de 90°, o
sea obtuso.
Puede ser escaleno o isósceles.
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
Dado un triángulo cualquiera, en el es posible representar cada uno de los
siguientes elementos, llamados secundarios
Bisectriz
Altura
Simetral
Transversal de gravedad
Mediana
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Bisectriz de un triángulo
Bisectriz: Divide cada ángulo por la mitad
AD bisectriz del  α
BD bisectriz del  β
CD bisectriz del  γ
Las tres bisectrices de un triángulo se interceptan en un mismo punto llamado
INCENTRO. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo.
Las bisectrices según el tipo de triángulo tiene particularidades que es conveniente
estudiar.
En el triángulo isósceles la bisectriz bajada
desde el ángulo del vértice, es perpendi cular a la base y cae en el punto medio del
lado opuesto.
Sin embargo, en el triángulo equilátero,
cada una de las bisectrices es perpendicular
en el punto medio del lado opuesto.
En un triángulo cualquiera, las bisectrices
solo dividen el ángulo por la mitad, nada
más.
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Altura:
Es el segmento de la perpendicular bajada desde un vértice del triángulo al lado
opuesto.
CD  hc
BE hb
AF  ha
Las tres alturas de un triángulo se intersectan en un mismo punto que se denomina
ORTOCENTRO y es designado con la letra H.
La altura bajada desde el ángulo del vértice de un triángulo isósceles, divide el ángulo
por la mitad ( bisectriz) y además cae en el punto medio del lado opuesto.
Las alturas en un triángulo equilátero, dividen cada ángulo por la mitad y caen en el
punto medio del lado opuesto. Además el ortocentro coincide con el incentro.
En un triángulo cualquiera, no hay propiedades especiales.
En un triángulo obtusángulo el ortocentro cae fuera del triángulo, y en un triángulo
rectángulo el ortocentro coincide con el ángulo recto.
bh
, da la posibilidad del área del
2
triángulo se calcule utilizando cualquier altura con su correspondiente base.
Obs: El área de un triángulo dado por A 
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A
c  hc
2
;
A
b·hb
2
;
A
a·ha
2
Transversales de Gravedad
Es el segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
.
CM =
tc
BF = t b
AN = t a
G se llama centro de gravedad (BARICENTRO) y es el punto donde concurren todas
las transversales.




AM = MB, BN = NC , CF = FA
AG : GN = 2 : 1, BG : GF = 2 : 1,
CG : GM = 2 : 1
La transversal de gravedad bajada desde el ángulo del vértice en un triángulo
isósceles es perpendicular al lado opuesto, y bisectriz del ángulo.
En un triángulo equilátero las tres transversales son bisectrices y alturas
TEOREMA DE LA TRANSVERSAL: Dado un
triángulo rectángulo en C , la transversal bajada
desde el ángulo recto a la hipotenusa, es igual, a la
mitad de la hipotenusa.
AD = BD = CD
SIMETRALES
Es la recta perpendicular en el punto medio de un
trazo. Esto lleva a que todo triángulo contenga a
tres simetrales. El punto de intersección de las
simetrales se llama circuncentro (S) , que
corresponde al centro de la circunferencia
circunscrita.
Prop: El circuncentro equidista de los vértices del
triángulo.
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la simetral que pasa por el ángulo
del vértice en un triángulo
isósceles, corresponde a una
bisectriz, transversal y altura
Cada una de las simetrales de un
triángulo equilátero corresponde a
una bisectriz, transversal, y altura.
MEDIANA
La mediana, es el trazo que une entre
ellos los puntos medios de cada lado.
Cada mediana en paralela al lado opuesto
Cada mediana divide al triángulo en cuatro
pequeños triángulos congruentes, que
equivalen a ¼ del triángulo mayor.
Cada una de las medianas es igual a la
mitad de su lado opuesto.
son medianas
DE 
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AB
AC
, EF 
,
2
2
DF 
DE, DF, EF
BC
2
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PROPIEDAD:
El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS.
El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro.
La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro.
Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro,
Baricentro y Circuncentro) se llama RECTA DE EULER
Propiedades de las bisectrices:
Las bisectrices interior y exterior de un ángulo son perpendiculares
En todo triángulo, la bisectriz interior de un ángulo divide al lado opuesto en
dos segmentos aditivos proporcionales a los lados del ángulo.
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La bisectriz de A divide al lado opuesto en los segmentos BM y MC.
La paralela a la bisectriz de A, por C corta en D a la prolongación de
lado AB.
El triángulo ACD es isósceles, AC=AD.
AB/AD = BM/MC
AB/AC = BM/MC
En todo triángulo, la bisectriz exterior de un ángulo determina en el lado
opuesto dos segmentos sustractivos proporcionales a los lados del ángulo.
La bisectriz exterior de A corta en N a la prolongación de lado BC.
La paralela a ésta bisectriz por C corta en E al lado AB.
El triángulo ACE es isósceles, AC=AE.
AB/AE = NB/NC
AB/AC = NB/NC
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Incentro de un triángulo
Es el punto donde concurren sus tres bisectrices.
El incentro equidista de los tres lados del triángulo por lo que es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
Circunferencia ex – inscrita:
Se entiende la circunferencia que es tangente a un lado de un triángulo y, también a la
prolongación de los otros dos.
D, E y F son los puntos de
tangencia
Para encontrar el centro de esta circunferencia, se dibujan las bisectrices de los  ’s
exteriores,  HCB y  GBC.
Teorema:
1) La distancia entre el vértice A y el punto de tangencia F, es igual al
semiperímetro del triángulo ABC.
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Circunferencia Inscrita:
En un triángulo ABC cualquiera, es la circunferencia tangente interior a cada uno de los
lados del triángulo.
r : radio
Para encontrar el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, debemos dibujar las
tres bisectrices interiores. El radio R se encuentra en forma perpendicular desde el
centro de la circunferencia hasta cada uno de los lados del triángulo en el punto de
tangencia.
Teorema:
2) los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita determinan en los lados del
triángulo los siguientes trazos.
AE = AG = s – a
EB = FB = s – b
CG = CF = s – c
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s : Semi – perímetro.
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