Cambios de variable para integrales exponenciales Llamamos integrales exponenciales a aquellas cuyo integrando contiene logaritmos, exponenciales o funciones hiperbólicas. 1) Si predominan logaritmos neperianos, un posible cambio es ln x = t , con lo que x = et y dx = et dt 2) Si predominan exponenciales, se recomienda hacer ex = t , con lo que dx = dt/t 3) Si R(− senh x, cosh x) = −R(senh x, cosh x) (integrando impar en seno), se hace cosh x = t con lo que senh x = √ t2 − 1 ; senh x dx = dt =⇒ dx = √ dt t2 − 1 4) Si R(senh x, − cosh x) = −R(senh x, cosh x) (integrando impar en coseno), se hace senh x = t con lo que cosh x = √ t2 + 1 ; cosh x dx = dt =⇒ dx = √ dt t2 + 1 5) Si R(− senh x, − cosh x) = R(senh x, cosh x), se hace tanh x = t , con lo que cosh x = √ 1 1− t2 ; senh x = √ t 1− 6) En los restantes casos, se hace tanh cosh t2 ; (1−tanh2 x) dx = dt =⇒ dx = dt 1 − t2 x = t , con lo que 2 x 1 x t 2t 1 + t2 =√ ; senh = √ =⇒ senh x = ; cosh x = 2 2 1 − t2 1 − t2 1 − t2 1 − t2 ³ x´ ³x´ 2dt 1 − tanh2 d = dt =⇒ dx = 2 2 1 − t2 7) Cambio de productos en sumas. A partir de cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y cosh(x − y) = cosh x cosh y − senh x senh y senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y senh(x − y) = senh x cosh y − cosh x senh y se obtiene senh x senh y = cosh(x + y) − cosh(x − y) 2 cosh x cosh y = cosh(x + y) + cosh(x − y) 2 senh x cosh y = senh(x + y) + senh(x − y) 2