Variable aleatoria discreta

4. Variable aleatoria discreta
El mismo Doob explicaba el origen del término variable aleatoria
(random variable): "Cuando estaba escribiendo mi libro [Stochastic
Processes] tuve una discusión con William Feller. Él aseguraba que todo
el mundo decía "variable aleatoria" (random variable), mientras que yo
sostenía que se usaba "variable al azar" (chance variable).
Obviamente, debíamos usar el mismo nombre en nuestros libros, así que
optamos por tomar la decisión mediante un procedimiento aleatorio:
1
lanzamos una moneda y él ganó".
Variable aleatoria
Una variable aleatoria X es una función que asocia a
cada suceso del espacio muestral E de un experimento
aleatorio un valor numérico real:
X :E →ℜ
w → X ( w)
Llamar variable a una función resulta algo confuso,
por ello hay que insistir en que es una función.
La variable aleatoria puede ser discreta o continua.
Veremos en este capítulo el caso discreto.
2
Ejemplo de variable aleatoria discreta:
Número de caras al lanzar
3 monedas.
Elementos del
espacio muestral
+++
++C +C+
C++
CC+
C+C
+CC CCC
Ley de
correspondencia
Nº reales
(# de caras)
0
Establecer una variable aleatoria
para un experimento aleatorio no
es más que una manera de asignar
de "manera natural" números a los
eventos.
1
2
X :E →ℜ
w → X ( w)
3 caras
3
Función de probabilidad
Voy a pensar un número entero del 1 al 100.
“¿Qué numero será?”
Intentaremos representar el estado de incertidumbre
mediante una función matemática: la función de
probabilidad.
P
1/100
1 2 3
........
99 100 X
4
Distribución uniforme discreta
En muchos casos asumimos que todos los resultados de
un experimento aleatorio son igualmente posibles.
Si X es una variable aleatoria que representa los resultados
posibles del experimento, decimos que X se distribuye
uniformemente.
Si el espacio muestral consta de n sucesos simples,
0 < n < ∞ , entonces la función de probabilidad discreta se
define como p(x) = 1/n para todo x del espacio muestral.
En un ordenador podemos generar una distribución de valores
con esta probabilidad con:
1 + int [n (rnd)]
5
Supongamos que me preguntáis si es par.
Y respondo que no. ¿Cómo modifica la función?
P
1/50
1 2 3
........
99 100 X
Os pido una pregunta de modo que mi respuesta
genere una función de incertidumbre, de probabilidad,
tal que los valores del espacio muestral posibles (con
probabilidad distinta de cero) no tengan todos la misma
probabilidad. ¿Son válidas: “¿Tiene dos cifras el número?”
6
o “¿Es un número primo?” ?
Función de probabilidad o distribución
Una vez definida una variable aleatoria X, podemos
definir una función de probabilidad o distribución
de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma:
p : ℜ → [0,1]
x → p( x) = P( X = x)
La función de probabilidad debe cumplir:
(i ) 0 ≤ p ( x) ≤ 1 ∀x ∈ ℜ
(ii ) ∑ p ( x) = 1
x
(Suma sobre todos los posibles valores
7
que puede tomar la variable aleatoria).
Función de probabilidad discreta
Z
Z
Z
Valores
Probabilidad
0
1/4 = 0.25
1
2/4 = 0.50
2
1/4 = 0.25
Z
X :E →ℜ
w → X ( w)
p : ℜ → [0,1]
x → p( x) = P( X = x)
8
Requerimientos de una distribución de
probabilidad
X
P(X)
X
P(X)
X
P(X)
-1
0
1
2
3
.1
.2
.4
.2
.1
1.0
-1
0
1
2
3
-.1
.3
.4
.3
.1
1.0
-1
0
1
2
3
.1
.3
.4
.3
.1
1.2
0 ≤ p ( x ) ≤ 1 para todo x
∑ p( x) = 1
x
9
Observa que aun si el espacio muestral es infinito
numerable, también podemos definir una variable
aleatoria discreta y una función de probabilidad.
Ejemplo: Sea X = Número de lanzamientos de una
moneda antes de que aparezca una cara.
Entonces:
P(X = 1) = P(C) = 1/2
P(X = 2) = P(+C) = 1/2 ∙ 1/2 = 1/4
P(X = 3) = P(++C) = 1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8
...
y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1, 2,…
Demuestra que está normalizada.
10
Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos
el espacio muestral E como:
E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}
Definamos la variable aleatoria discreta X como:
con S = {2,3,...,12} la suma de puntos.
Una posible función de probabilidad es:
f : ℜ → [0,1]
f (2) = P(X = 2 ) = P( (1,1) ) = 1/ 36
f (3) = P(X = 3 ) = P( (1,2) ∪ (2 ,1) ) = 2 / 36
f (4) = P(X = 4 ) = P( (1,3) ∪ (3,1) ∪ (2,2) ) = 3 / 36
...
11
Función de probabilidad de la variable aleatoria X
6/36
P
5/36
5/36
4/36
4/36
3/36
3/36
2/36
2/36
1/36
2
1/36
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X
Observa que cumple las dos condiciones: es siempre
positiva (y menor o igual a 1) y está normalizada. 12
Función de distribución (acumulada)
Dada una variable aleatoria discreta X se llama
función de distribución a la función F definida
como:
F : ℜ → [0,1]
x → F ( x) = P( X ≤ x)
En nuestro ejemplo de los dos dados:
F(5) = P(X ≤ 5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)
F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36
13
Función de distribución de la variable aleatoria X
F
1,0
0,5
0,028
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
x
14
Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función
de distribución F(x) de una variable discreta definida
como:
X = Número en la cara de un dado.
X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada
uno con probabilidad 1/6
1
6
1
F(x)
f(x)
0.5
0
1
6
x
0 1
x
6
15
Función de probabilidad f(x)
Función de distribución F(x)
Algunos problemas de probabilidad están relacionados
con la probabilidad P(a <X ≤ b) de que X asuma algún
valor en un intervalo (a, b]. Observa que:
P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
Para demostrarlo observa que, como los sucesos
X ≤ a y a < X ≤ b son mutuamente excluyentes, entonces:
F(b) = P(X ≤ b) = P(X ≤ a) + P(a < X ≤ b)
= F(a) + P(a < X ≤ b)
En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de
que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8:
P(3 < X ≤ 8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36
16
Algunas propiedades de la función de distribución
F (+∞) = lim F ( x) = lim P( X ≤ x) = P( E ) = 1
x → +∞
x → +∞
F (−∞) = lim F ( x) = lim P( X ≤ x) = P(∅) = 0
x → −∞
x → −∞
P( x1 < X ≤ x2 ) = F ( x2 ) − F ( x1 )
F es monótona creciente.
F es continua por la derecha: la probabilidad de
que la variable aleatoria discreta X tome un valor
concreto es igual al salto de la función de distribución
17
en ese punto.
Monte Carlo
Por método de Monte Carlo en general entendemos la simulación de
los resultados de un experimento utilizando una computadora y un
generador de números aleatorios. Se utiliza cuando un cálculo es
difícil de realizar por otros métodos numéricos o algebraicos, o
cuando somos demasiado vagos o ignorantes como para solucionarlo
por métodos más elegantes.
y
Ejemplo clásico: área debajo de una curva.
Dada un área A fácil de medir, que contiene
una curva f(x) difícil de integrar, se puede
calcular el área debajo de la curva mediante la
generación de N pares de números aleatorios
(x,y) que representan coordenadas. Se
cuentan los puntos que caen por debajo de la
curva y entonces:
∫ f ( x )dx = A ×
Rectángulo de área A
# de puntos bajo la curva
# de puntos
f(x)
x
Aleatoriedad
Deborah J. Bennett
Alianza Editorial, 2000.
19
Método de Monte Carlo
Realicemos ahora el siguiente
experimento aleatorio: girar la
ruleta de la imagen y apuntar el
número del sector que coincide
con la flecha.
La variable aleatoria X de este experimento asocia cada sector
a un número entero, como podemos observar en la imagen.
Es una variable aleatoria discreta. Los resultados posibles son:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Por simetría podemos establecer una
función de probabilidad: la probabilidad de cada resultado es
20
1/8.
Repitamos un experimento aleatorio semejante, pero ahora con
esta nueva ruleta:
Ahora el espacio muestral
está compuesto por 4
eventos. Establecemos una
nueva variable aleatoria
discreta X' que asocia cada
sector (evento) a los
números: {0, 1, 2, 3}.
Ahora teniendo en cuenta el tamaño relativo de los sectores
podemos establecer una función de probabilidad, que asocia
a cada uno de los valores de la variable aleatoria
{0, 1, 2, 3} las probabilidades {1/4, 1/2, 1/8, 1/8},
respectivamente (proporcionales al ángulo del sector).
21
La variable aleatoria X en el primer ejemplo de la ruleta
está uniformemente distribuida, ya que todos los
resultados tienen la misma probabilidad. Sin embargo, en
el segundo ejemplo, la variable aleatoria X, no está
uniformemente distribuida.
El problema crucial de la aplicación de los métodos de
Monte Carlo es hallar los valores de una variable aleatoria
(discreta o continua) con una distribución de probabilidad
dada por la función p(x) a partir de los valores de una
variable aleatoria uniformemente distribuida en el
intervalo [0, 1], proporcionada por el ordenador.
22
¿Cómo simular con
el ordenador la
distribución de
probabilidad de las
ruletas?
Resultado Función de
probabilidad
P. acumulada
(Función de
distribución)
0
1
2
3
0.25
0.75
0.875
1
0.25
0.5
0.125
0.125
Condición
Resultado
0 ≤ γ < 0.25
0.25 ≤ γ < 0.75
0.75 ≤ γ < 0.875
0.875 ≤ γ < 1
0
1
2
3
23
Una vez visto un caso particular, el problema general puede
formularse del siguiente modo:
Si X es una variable aleatoria discreta cuyos posible resultados
son {x0, x1, x2 , ... xn} y sean {p0, p1, p2, ... pn} sus respectivas
probabilidades. Al sortear un número aleatorio γ,
uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1), se obtiene el
resultado xi, si se verifica la siguiente condición:
i −1
∑p
j =0
i
j
≤ γ <∑ p j
j =0
24
Esperanza matemática o media
de una función de probabilidad discreta
µ = E ( X ) = ∑ xi P( X = xi ) = ∑ xi p( xi )
i
i
X
P(X)
X P(X)
-1
0
1
2
3
.1
.2
.4
.2
.1
-.1
.0
.4
.4
.3
1.0
Siempre que no genere
ambigüedad pasaremos
de arrastrar la variable
aleatoria: en vez de poner
X = xi ponemos
directamente xi.
25
Calcular la esperanza de la variable aleatoria X en
el ejemplo de los dos dados:
12
µ = E ( X ) = ∑ P(i ) ⋅ i =
i =2
1
6
2
1
⋅ 2 + ⋅ 3 + ... + ⋅ 7 + ... + ⋅12 = 7
36
36
36
36
26
Sean a, b y c constantes. Demuestra que:
(1)
E (c ) = c
(2)
E ( P1 ( x) + P2 ( x)) = E ( P1 ( x)) + E ( P2 ( x))
(3)
(1)
(2)
E (aX + b) = aE ( X ) + b
µ = E (c ) = 1⋅ c = c
E (P1 ( x) + P2 ( x) ) = ∑ xi (P1 ( X = xi ) + P2 ( X = xi ) ) =
i
∑ x P ( X = x ) + ∑ x P ( X = x ) = E (P ( x ) ) + E (P ( x ) )
i 1
i
i 2
i
i
i
1
2
27
Supongamos que tenemos que hacer unos análisis clínicos
de sangre. Queremos detectar una enfermedad que
afecta a 1 de cada 1000 personas. Los pacientes acuden
en grupos de 50. ¿Qué nos sale económicamente más
a cuenta: analizar paciente a paciente o mezclar la sangre de
los 50 y analizar la mezcla?
P(1 persona sana) =
999
;
1000
 999 
P(50 personas sanas) = 

 1000 
 999 
P(Al menos una persona de 50 enferma) = 1 - 

 1000 
50
50
50
50


999
999




# esperado de análisis = 1 ⋅ 
  ≅ 21
 + 51 ⋅ 1 - 
 1000 
  1000  
Tomando la mezcla, en promedio tendremos que hacer
unos 21 análisis en vez de 50 por grupo.
28
Juegos
A un juego de azar podemos asignarle una variable aleatoria X,
cuyos valores son las ganancias correspondientes a los
posibles resultados. La esperanza matemática de la variable
aleatoria X representa el beneficio medio o ganancia media
que se obtiene en cada jugada cuando se juega un número
elevado de veces.
Si la esperanza matemática es 0 se dice que el juego es justo.
Si es mayor que 0 se dice que el juego es favorable al jugador.
Si es menor que 0 se dice que perjudica al jugador y no es
favorable.
Sea el juego que consiste en sacar una bola de una urna que
contiene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Ganamos 50 euros si la
bola extraída es roja y pagamos 150 euros en el caso de que sea
29
negra. ¿Qué podemos esperar si jugamos muchas veces?
Espacio muestral E = {R, N}. Consideramos las ganancias
como positivas y las pérdidas negativas:
Variable aleatoria X
Función de probabilidad
R
50
0,7
N
-150
0,3
µ = 50 ⋅ 0,7 + (−150) ⋅ 0,3 = −10
Ganancia media
30
Una compañía de seguros domésticos tiene que determinar
el gasto medio por póliza suscrita, sabiendo que cada año
1 de cada 10.000 pólizas termina en una reclamación de
20 millones, 1 de cada 1.000 en 5 millones, 1 de cada 50 en
200.000 y el resto en 0.
1  
1 

7
6
µ =  2 ⋅10 ⋅
+
 +  5 ⋅10 ⋅
1000 
10000  

1   9789 

5
+  2 ⋅10 ⋅  +  0 ⋅
 = 11000
50   10000 

31
32
Marc Kac, en Enigmas of Chance (1985), explica cómo aplicar el
concepto de esperanza a la vida real:
"Una semana, apareció un anuncio del Imperial College of Science
and Technology ofreciendo un puesto de profesor de Matemáticas
con un salario de 150 libras anuales; ser ciudadano británico no era
requisito necesario. El salario era tan escaso que supuse que ningún
ciudadano británico respetable estaría interesado en ese trabajo. Fui
a preguntar a Steinhaus si debía o no optar al puesto. Por entonces
no sabía ni una palabra de inglés, pero estaba dispuesto a jurar que
mis conocimientos eran los suficientes.
"Déjame pensar", me dijo Steinhaus. "Estimaría que la probabilidad
de que consigas el trabajo es de una entre mil. Si multiplicas esto
por ciento cincuenta libras, tienes tres chelines. Eso es mucho más
de lo que cuesta enviar la carta, así que deberías hacerlo". Lo hice,
pero el trabajo fue al final para un ciudadano británico (después de
todo, sí que había alguno interesado)”.
33
Momento de orden k de una variable
aleatoria discreta
De forma más general podemos definir la esperanza
matemática o media no solo para una variable aleatoria X,
sino para cualquier función T(X) como:
µ = E (T ( X ) ) = ∑ T ( xi ) p( xi )
i
Tomando como casos particulares a las funciones:
T ( X ) = X ; k = 1, 2, 3, ...
k
obtenemos los momentos de orden k centrados en el origen:
mk = E ( X ) = ∑ x p ( xi )
k
k
i
i
34
Y tomando como casos particulares a las funciones:
T ( X ) = ( X − µ ) ; k = 1, 2, 3, ...
k
obtenemos los momentos de orden k centrados en
la media de X:
M k = E (( X − µ ) ) = ∑ ( x − µ ) p ( xi )
k
k
i
Observa que:
m1 = E ( X ) = µ
M1 = E( X − µ ) = E( X ) − µ = 0
35
Varianza y desviación estándar o típica
de una función de probabilidad discreta
Varianza
σ = Var ( X ) = M 2 = E (( X − µ ) ) =
2
2
∑ (x − µ)
i
2
P ( X = xi )
i
Desviación estándar
o típica
σ = Var ( X )
Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación
36
típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos.
Ejemplo
X
P(X)
X −µ
-1
0
1
2
3
.1
.2
.4
.2
.1
-2
-1
0
1
2
( X − µ ) ( X − µ ) ⋅ P( X )
2
4
1
0
1
4
2
.4
.2
.0
.2
.4
1.2
σ = ∑ ( xi − µ ) P( xi ) = 1,2
2
2
i
σ = Var ( X ) = 1.10
37
Calcula la varianza y desviación típica de la variable
aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:
12
Var ( X ) = ∑ P(i) ⋅ (i − 7) =
2
i =2
1
2
1
2
2
2
⋅ (2 − 7) + ⋅ (3 − 7) + ... + ⋅ (12 − 7) = 5,83
36
36
36
σ = Var ( X ) = 5,83 = 2,41
38
Algunas propiedades de la varianza
Var ( X ) = σ = ∑ ( xi − µ ) p ( xi ) =
2
2
i
∑ (x
i
2
+ µ − 2 µxi ) p ( xi ) =
2
i
∑x
2
i
i
p ( xi ) + µ − 2 µ ∑ xi p ( xi ) =
2
i
E ( X ) + µ − 2 µ = E ( X ) − ( E ( X ))
2
2
2
2
σ = E ( X ) − ( E ( X ))
2
2
2
39
2
La apuesta de Pascal
Usted tiene dos cosas que perder: la verdad y el bien, y dos cosas que comprometer: su razón
y su voluntad, su conocimiento y su bienaventuranza; y su naturaleza posee dos cosas de las
que debe huir: el error y la miseria. Su razón no está más dañada, eligiendo la una o la otra,
puesto que es necesario elegir. He aquí un punto vacío. ¿Pero su bienaventuranza? Vamos a
pesar la ganancia y la pérdida, eligiendo cruz (de cara o cruz) para el hecho de que Dios existe.
Estimemos estos dos casos: si usted gana, usted gana todo; si usted pierde, usted no pierde
nada. Apueste usted que Él existe, sin titubear.
Pensamientos, Blaise Pascal (1670)
Dios existe
Dios no existe
Creer en Dios
+∞ (CIELO)
NADA
No creer en
Dios
−∞
(INFIERNO)
NADA
«Deberías vivir tu vida e intentar hacer del mundo un lugar mejor
estando en él, tanto si crees en dios como si no. Si no hay dios, no
habrás perdido nada y serás recordado al morir por todos los que
dejaste atrás. Si existe un dios benevolente, te juzgará a ti y a tus
méritos y no por el hecho de si has creído o no en él».
40
Michael Martin
La paradoja de Parrondo
(perder + perder = ganar)
Juego A
Prob.
de
ganar
Prob.
de
perder
1/2 - ε 1/2 + ε
Sea X(t), el capital en el
instante t. Diremos que un
juego es ganador
(perdedor) si el promedio
<X(t)> es una función
monótona creciente
(decreciente) de t. Y será
un juego justo si <X(t)>
es constante.
Es fácil probar que el juego A es un juego
perdedor si ε positivo:
<X(t+1)>-<X(t)> = <X(t+1)-X(t)> =
(1/2 - ε) − (1/2 + ε) = −2ε
La paradoja de San Petersburgo
«Se comienza con un “bote” de dos euros.
Se lanza una moneda al aire: si sale cruz,
yo doblo la cantidad que hay en el bote; si
sale cara, usted se lleva el bote disponible
en ese momento. Es decir, si la primera
tirada es cara, usted gana 2 euros, si la
primera tirada es cruz y la segunda cara,
gana 4 euros, si la primera cara sale en la
tercera tirada gana 8 euros, y si la primera
cara sale en la tirada n-ésima gana 2n
euros. Obviamente, lo que a usted más le
conviene es que salga cara lo más tarde
posible. En cualquier caso, usted gana
siempre algo de dinero, por lo que es justo
que yo le cobre alguna cantidad o cuota
para permitirle participar en el juego».
J. M. Parrondo
INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, febrero, 2007
Daniel Bernoulli 1738
San Petersburgo.
«La pregunta que se hizo
Bernouilli, y que en cierto
modo sigue sin resolverse,
es: ¿cuál es la cuota de
entrada que se debería
cobrar para que el juego
fuera justo?»
44
La paradoja de San Petersburgo
Sea X la ganancia. Su valor esperado o ganancia media, es:
1 n
E ( X ) = ∑ n 2 = +∞
n ≥1 2
(La probabilidad de que salga cara por primera vez en la n-ésima
tirada es: 1/2n )
¡El jugador debería pagar una cantidad infinita para que el juego fuera justo!
«En otras palabras, si yo le ofrezco entrar en el juego con una cuota de,
digamos, un millón de euros, usted debería aceptar, porque la ganancia
media en el juego, que es infinita, supera esa y cualquier otra cantidad.
Sin embargo, nadie en su sano juicio aceptaría semejante trato. Esta es
la paradoja de San Petersburgo: el sentido común nos dice que el valor
medio de la ganancia no determina la cuota de entrada aceptable.
¿Cómo determinamos entonces dicha cuota?»
45
El problema fundamental del juego de San Petersburgo es que proporciona
premios muy cuantiosos con probabilidad extremadamente pequeña. Por ejemplo,
si la primera cara aparece en la tirada décima, la ganancia es de 1024 euros, y esto
ocurre con una probabilidad de 1 entre 1024. Las ganancias crecen
exponencialmente mientras que las probabilidades decrecen también
exponencialmente, siendo siempre el valor medio de cada posible premio igual a un
euro.
Cruz 23 veces seguidas: más de 16
millones de ganancia (en un millón de
turnos, esto puede ocurrir
con una probabilidad
superior al 5 %).
La paradoja del vaticinio
(paradoja de William A. Newcomb 1969)
Vas a jugar contra el supercomputador HAL 9000, capaz de vaticinar la elección
de su contrincante. HAL es un oráculo moderno. Te presenta dos cajas cerradas:
la caja 1 que puede contener 0 o 1.000 euros y la caja 2 que puede contener 0 o
1.000.000 euros.
Piensa que HAL vaticina con total seguridad lo que vas a escoger:
(a) Si HAL vaticina que optarás por las dos cajas, pondrá 1.000 euros en la caja 1 y nada en la
caja 2.
(b) Si HAL vaticina que optarás por la caja 2, pondrá 1.000 euros en la caja 1 y 1.000.000 de
euros en la caja 2.
(c) Si HAL vaticina que elegirás las dos cajas, y sin embargo, optas por la caja 2, no ganas nada.
(d) Si HAL vaticina que optarás por la caja 2, y sin embargo, optas por las dos cajas, ganas las
sumas contenidas en las cajas 1 y 2, es decir: 1.001.000 euros.
Matriz de pagos (Teoría de juegos):
HAL
Vaticina que
elegirás caja 2
Tú
Vaticina que
elegirás las dos
cajas
Eliges la
caja 2
1.000.000
0
Elige las
dos cajas
1.001.000
1.000
¿Qué eliges: recibir el contenido de ambas cajas o sólo el de la caja 2?
Todo está ya listo: ¿Qué opción eliges?
La gente (incluidos los matemáticos y filósofos profesionales) suele dividirse en dos
bandos:
Los que optan por la caja 2:
Si optas por las dos cajas: HAL lo habrá vaticinado y habrá colocado 1.000 euros en la caja
1 y nada en la 2. Premio: 1.000 euros.
Pero si optas por la caja 2: HAL lo habrá vaticinado y habrá colocado 1.000 euros en la
caja 1 y 1.000.000 de euros en la caja 2. Premio: 1.000.000 euros.
Es preferible tener la casi plena certeza de ganar 1.000.000 de euros que ganar 1.000 euros.
Los que optan por las dos cajas:
HAL ya ha efectuado su vaticinio, de modo que el contenido de la caja 2 ya está
determinado: así que la caja 2 contiene 1.000.000 euros o nada.
Si HAL puso 1.000.000 de euros en la caja 2, al optar por las dos cajas, ganaré 1.001.000
euros. Si HAL solo puso 1.000 euros en la caja 1, me conviene también optar por las dos,
puesto que mejor 1.000 euros que nada.