R S || T || R S ||| T ||| - Dept. Estadística e I.O.

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Tema 10. Generación de valores de una variable aleatoria. Pág. 1
10 Generación de valores de una variable aleatoria.
10.1 Método de la transformación inversa.
10.1.1 Caso: Variables discretas.
10.1.2 Caso: Variables contínuas.
10.1 Método de la transformación inversa.
Lo que vamos a ver está basado en una distribución U~U(0,1)
1
= 1, x ∈ (0,1)
1− 0
x−a
= x x ∈ (0,1)
b−a
F ( x) = 0
x≤0
1
x ≥1
f ( x) =
R|
|S
||
T
10.1.1 Caso: Variables discretas.
Veamos un ejemplo:
X=x
P[X=x]
1
0’1
R|1
2
|
g (U ) = Y = S3
||4
|T5
2
0’2
3
0’3
4
0’25
5
0’15
0 < U ≤ 01
' = FX (1)
01
' < U ≤ 0'3 = FX (2 )
0'3 < U ≤ 0'6 = FX (3)
0'6 < U ≤ 0'85 = FX (4 )
0'85 < U < 1 = FX (5)
P[Y=1] = P[0< U ≤0’1] = 0’1–0 = 0’1
P[Y=2] = P[0’1< U ≤0’3] = 0’3–0’1 = 0’2
P[Y=3] = P[0’3< U ≤0’6] = 0’6–0’3 = 0’3
P[Y=4] = P[0’6< U ≤0’85] = 0’85–0’6 = 0’25
P[Y=5] = P[0’85< U <1] = 1–0’85 = 0’15
U
X
0’02011 1
0’85393 5
0’97265 5
0’61680 4
0’16656 2
El proceso de transformación inversa consiste en
(1) Obtener un valor U~U(0,1)
(2) Devolver X = xi.
F(xi–1) < U ≤ F(xi )
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Tema 10. Generación de valores de una variable aleatoria. Pág. 2
10.1.2 Caso: Variables contínuas.
Proposición:
Sea X una v.a. con función de distribución F(x). Supongamos que F(x)’ es contínua y estrictamente
creciente. Sea U~U(0,1). Entonces Y=F–1(U) es una v.a. con la misma distribución que la v.a. X.
q
0F = P[Y ≤ x] = P[ F
−1
Y
(U ) ≤ x ] = P[U ≤ F ( x)] = FX ( x )
∈( 0 ,1)
n
Transformación inversa:
(1) Obtener U~U(0,1)
(2) Generamos X=Fx–1(U)
Ejemplo:
f(x) = λe–λx, x>0
X~Exp(λ)
F(x)=1–e–λx, x>0
U = 1–e–λx
e–λx = 1–U = U ’
–λx = ln U’
x=−
ln U '
λ
U
0’20969
0’52666
0’30680
0’00849
0’60672
X =−
ln U
3
0’5207
0’2137
0’3939
0’1873
0’1666
Ejemplo:
Si F(x) es tal que es complicado hacer su inversa, podemos hacer lo siguiente, siempre que esté tabulada su
función de distribución F(x) = φ(x)
X~N(0,1)→ F ( x ) =
z
2
x
−∞
1 − 2u
e du
2π
A esto sería difícil hacerle FX–1(h). ¿Cómo encontraríamos un valor entre x1 y x2?
U~U(0,1)1 X=Fx–1(U)=φ–1(U)
lim inf
lim sup
1–U
0’81647 0’9021
φ(0’90)=0’8159 φ(0’91)=0’8186
0’30995 –0’495972
φ(0’49)=0’6879 φ(0’50)=0’6915 0’69005
0’76393 0’719129
φ(0’71)=0’7611 φ(0’72)=0’9642
0’07856 –1’14148299
φ(1’41)=0’92073 φ(1’42)=0’92220 0’92144
0’06121 –1’5447107
0’27756 –0’5412121
1º:
UV
W
0'91 − 0'90 = 0'01 → φ (0'91) − φ (0'90) = 0'8159 − 0'8186 = 0'0027
0'00057
h=
⋅ 0'01 = 0'0021
h → 0'81647 − 0'8159 = 0'00057
0'0027
2º: φ(-x)=1–φ(x) porque el valor 0’30995 no aparece en la tabla. Volvemos a hacer la regla de tres pero para el
valor φ(-x) el resultado se le pone signo negativo. Si dan X~N(3,5) se hace como en ejercicios anteriores con
N(0,1) cambiándolo a N(3,5) e igual que arriba.
1
tomamos para U~U(0,1) los valores de la columna 5 de random numbers