Curso: NÚMEROS Y OPERACIONES Profesor: Paul Aburto Tema: CONTEO DE NÚMEROS Ciclo: SEMESTRAL – II CATÓLICA Propiedades: CONTEO DE NÚMEROS a) Para hallar el término “n” de una progresión aritmética 1. Progresión Aritmética Es aquella secuencia de números donde la diferencia de dos términos consecutivos siempre es constante. Ejemplo: Progresión aritmética creciente: 22 ,29 , 36 , 43 , ... 7 7 7 Progresión aritmética decreciente: 120 , 111, 102 , 93 , ... −9 −9 −9 Al dividir cada uno de los términos de una progresión aritmética entre su razón se obtiene el mismo residuo. an = a1 + (n − 1) r b) Para hallar el número de términos de una progresión aritmética a − a1 n= n +1 r c) Para hallar la suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética a +a Sn = 1 n n 2 Aplicación: En la siguiente progresión aritmética: 13 , 24 , 35 , 46 , ... En general: a1 , a2 , a3 , ... , an r r Donde: a1: Primer término an: Término enésimo r: Razón n: Número de términos i. Halle el termino general En la P.A: 13 , 24 , 35 , 46 , ... 11 11 11 an = 13 + (n − 1) 11 → an = 11n + 2 Método práctico: 2 13 , 24 , 35 , 46 , ... 11 11 11 Observación: Sean a, b y c tres términos consecutivos de una progresión aritmética. 11 → an = 11n + 2 ii. Halle los términos 56 y 120. • a56 = 11(56) + 2 = 618 • a120 = 11(120) + 2 = 1322 iii. Halle la suma de los 20 primeros términos. PA : a ; b ; c , ... → a + c = 2b Problema 04 Halle la cantidad de términos que hay en la siguiente progresión aritmética: P.A. 3n + 5; 4n + 2; 4n + 7; … ; 309 A. 55 C. 56 B. 57 D. 58 • a20 = 11(20) + 2 = 222 Solución: a + a20 13 + 222 S20 = 1 20 = 20 = 2350 2 2 En la P.A: 3n + 5 ; 4n + 2 ; 4n + 7 ; ... ; 309 Aplicación: Halle la cantidad de términos de la progresión aritmética: 45 ; 53 ; 61 ; 69 ; ... ; 941 8 8 5 3n + 5 + 5 = 4n + 2 → n = 8 En la P.A: 29 ; 34 ; 39 ; ... ; 309 8 941 − 45 896 n= +1 = + 1 = 113 8 8 5 5 n= 5 309 − 29 280 +1 = + 1 = 57 5 5 Clave B Problema 09 En una progresión aritmética creciente, el producto del cuarto y quinto término es 325 y la suma de dichos términos es 38. Halle el mayor termino de 3 cifras de dicha progresión. A. 973 C. 997 B. 962 D. 988 2. Progresión Geométrica Es aquella secuencia de números donde el cociente de dos términos consecutivos siempre es constante. Ejemplo: Progresión geométrica creciente: 2 , 6 , 18 , 54 , ... 3 3 3 Solución: Sea la P.A: a1 ; a2 ; a3 ; a 4 ; a5 ; ...;xyz Progresión geométrica descendente: 880 , 440 , 220 , 110 , ... Datos: a4 a5 = 325 a 4 + a5 = 38 13 25 13 25 La P.A: −35 −23 ; − 11 ; 1 ; 13 ; 25 12 12 En general: t1 , t 2 , t 3 , ... , tn q q 12 → an = 12n − 35 12n − 35 1000 → 12n 1035 → n 86,25 xyz(max) = 12(86) − 35 = 997 Clave C Donde: t1: Primer término tn: Término enésimo q: razón n: numero de términos 1 2 1 1 2 2 Propiedades: a) Para hallar el término “n” de una progresión geométrica tn = t1 qn−1 b) Para hallar la suma de los primeros “n” términos de una progresión geométricas. qn − 1 Sn = t1 q − 1 Problema 05 Hallar la razón en la siguiente progresión geométrica: (5 - x) ; (x + 1) ; (11 - x) A. 3 C. 1 B. 4 D. 2 Solución: La razón: k = → x 2 + 2x + 1 = 55 − 16 x + x 2 → 18x = 54 → x = 3 Aplicación: En la siguiente progresión geométrica: 4 , 12 , 36 , 108 , ... i. Halle el termino 20 3 +1 =2 5−3 ii. Halle la suma de los primeros 20 términos términos 320 − 1 20 = 4 3 − 1 = 2 3 − 1 ( t , tq , tq2 , tq3 , ... ( −1 q 1) 1 Sn = t1 1− q 3 t 20 = 4 320 −1 = 4 319 S20 k = c) Suma de términos de una progresión geométrica infinita En la P.G: 4 , 12 , 36 , 108 , ... 3 3 x + 1 11 − x = → (x + 1)(x + 1) = (5 − x)(11 − x) 5−x x +1 )